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Lección 6
Controlabilidad y observabilidad. Estabilización
1
Eventos alcanzables y controlables
Σ = (T , U, U, X, Y, ψ, η) un sistema de control arbitrario
T × X= Espacio de eventos
(t, x) ∈ T × X= el estado del sistema en el instante t es x
Definición de controlabilidad-alcanzabilidad
(a) El evento (t, x) es alcanzable desde el evento (t0 , x0 ) si
existe un control u(·) ∈ U tal que ψ(t; t0 , x0 , u(·)) = x.
También se dice que (t0 , x0 ) puede controlarse hasta (t, x).
(b) Si x0 , x1 ∈ X, t ∈ T , (t ≥ 0) y ∃t0 , t1 ∈ T tales que
t1 − t0 = t y (t1 , x1 ) es alcanzable desde (t0 , x0 ) entonces se
dice que el estado x1 es alcanzable desde el estado x0 en
tiempo t. También se dice que x0 es controlable hasta x1 en
tiempo t.
(c) El estado x1 es alcanzable desde el estado x0 (o x0 es
controlable hasta x1 ) si ∃t ∈ T tal que x1 es alcanzable desde
x0 en tiempo t ( o x0 es controlable hasta x1 en tiempo t).
2
Controlabilidad de sistemas lineales (dimensión finita)
T ⊂ R un intervalo. X = Kn , U = Km , Y = Kp (K = R o C)
ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) t ∈ T
(Σ)
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
A(·) ∈ P C(T, Rn×n ), B(·) ∈ P C(T, Rn×m ),
C(·) ∈ P C(T, Rp×n ), D(·) ∈ P C(T, Rp×m )
Definición de controlabilidad de sistemas lineales
(Σ) es controlable en [t0 , tf ] ⊂ T si para (x0 , x1 ) ∈ Rn × Rn existe
una función de control u(·) ∈ P C([t0 , tf ], Rm ) tal que la única
solución del P.C.I.
ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
x(t0 ) = x0
cumple x(tf ) = x1 ((t0 , x0 ) es controlable a (tf , x1 ) o (tf , x1 ) es
alcanzable desde (t0 , x0 )).
Nota: Para sistemas continuos alcanzabilidad y controlabilidad son
conceptos (matemáticamente) equivalentes.
3
Una caracterización algebraica
Z t de la controlabilidad
Recordemos: x(t) = Φ(t, t0 )x0 +
solución del P.C.I.:
Φ(t, s)B(s)u(s) ds es la única
t0
ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
x(t0 ) = x0
Observaciones importante:
Z t f
Φ(tf , s)B(s)u(s) ds : u(·) ∈ U es un espacio
R(tf , t0 ) =
t0
vectorial, (U = P C(R, Rm )). Espacio de estados alcanzables desde
(t0 , 0) en tiempo tf − t0 .
(tf , x1 ) alcanzable desde (t0 , x0 ) sii x1 − Φ(tf , t0 )x0 ∈ R(t0 , tf ).
¿ Se puede caracterizar R(t0 , tf ) algebraicamente?
Matriz Grammiana de controlabilidad:
Z tf
W (tf , t0 ) =
Φ(tf , t)B(t)B(t)T Φ(tf , t)T dt
t0
R(tf , t0 ) = Im(W (tf , t0 ))
4
Controlabilidad y matriz Grammiana
(Σ) es controlable en [t0 , tf ] si y sólo si R(tf , t0 ) = Rn
(Σ) es controlable en [t0 , tf ] si y sólo si W (t0 , tf ) es invertible.
w(t) = B(t)T Φ(tf , t)T W (tf , t0 )−1 (x1 − Φ(tf , t0 )x0 ) lleva el
estado x0 en t = t0 al estado x1 en t = tf , y
Z tf
Z tf
kw(t)k2 dt ≤
ku(t)k2 dt entre todos los controles
t0
t0
m
u(·) ∈ P C([t0 , tf ], R ) para los que ψ(tf ; t0 , x0 , u(·)) = x1 .
Interpretación: w(t) es el control que minimiza la energı́a o el
consumo.
5
Un criterio más útil para la controlabilidad
Cuando A(t) y B(t) son de clase C ∞ en [t0 , tf ]
K0 (t) := B(t)
Kj (t) := −A(t)Kj−1 (t) + K̇j−1 (t), j = 1, 2, . . .
∂j
(Φ(t, s)B(s)) = Φ(t, s)Kj (s), j = 0, 1, 2, . . .
∂sj
Para t ∈ T y q ≥ 0 entero
Mq (t) = K0 (t) K1 (t) · · · Kq (t) .
Theorem
Si A(t) ∈ Fn×n y B(t) ∈ Fn×m son infinitamente diferenciables en
un intervalo I ⊂ R, [t0 , tf ] ⊂ I y existen tc ∈ [t0 , tf ] y un entero
q ≥ 0 tal que rang Mq (tc ) = n entonces el sistema (A(t), B(t)) es
controlable en [t0 , tf ].
La condición es también necesaria cuando A(t) y B(t) son
analı́ticas
6
Controlabilidad de sistemas
invariantes en el tiempo
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) t ∈ T
y(t) = Cx(t) + Du(t)
Matriz de transición de estados: Φ(t, t0 ) = eA(t−t0 )
Propiedad importante basada en el Teorema de
Hamilton-Cayley: eAt = α0 (t)I + α1 (t)A + · · · + αn−1 (t)An−1


Teorema Fundamental: Si
BT
T T


 B A

n−1
WT = B AB · · · A
B 

..


.
B T (AT )n−1
entonces
n−1
Im W (t, t0 ) = Im WT = Im B AB · · · A
B , ∀t ≥ t0
T
Ker W (t, t0 ) = Ker WT = Ker B AB · · · An−1 B , ∀t ≥ t0
n−1
C(A, B) = B AB · · · A
B ∈ Rn×nm Matriz de
controlabilidad de (Σ)
(Σ)
(Σ) controlable si y sólo si rang C(A, B) = n
7
Satélite en órbita geoestacionaria



1
0
0
0
1
0
0 2R0 Ω


0
0
1  x(t) + 0


2Ω
0
0
0
−
R0
0 1 0 x(t)
0
3Ω2

ẋ(t) =  0

0

0
 1


C(A, B) = 
 0


0
y(t) = 0
0
0
1
0
0
0
1
R0
2Ω
−
R0
0
2Ω
1
R0
0
−Ω2
2Ω
−
R0
0
0
2Ω
0
−Ω2
0
0
0
4 Ω2
−
R0
2 Ω3
R0
0
−2 Ω3
4 Ω2
−
R0
0

0
0 

0  u(t)
1 
R0








Más en controlsatelite.m
8
Descomposición de Kalman
Teorema (Descomposición de Kalman)
Si (A, B) no es controlable y rang C(A, B) = r < n, existe T ∈ Gln (R)
tal que
A
A
B1
1
2
T −1 AT =
TB =
0 A3
0
donde A1 ∈ Rr×r , B1 ∈ Rr×m y (A1 , B1 ) es controlable.

 ż1 (t) = A1 z1 (t) + A2 z2 (t) + B1 u(t)
ż2 (t) = A3 z2 (t) parte no controlable

y(t) = C1 z1 (t) + C2 z2 (t) + Du(t)
u(t)
(z1 )
(A1 , B1 , C1 , 0)
C 1 z1
y(t)
+
+
A 2 z2
(z2 )
(A3 , 0, C2 , 0)
C2 z2
9
Test PBH de controlabilidad
Teorema
(A, B) es controlable si y sólo si se cumple cualquiera de las dos
siguientes condiciones equivalentes:
(i) rang λIn − A B = n para todo λ ∈ C
(ii) rang λIn − A B = n para cada valor propio de A.
(i) o (ii) =Test PBH 1 .
1
Popov-Belevitch-Hautus
10
Observabilidad de los sistemas lineales
Observabilidad= capacidad de determinar el estado del sistema a
partir de las salidas (conocido el control).
ẋ(t) = A(t)x(t) + Bu(t), t ∈ T
(Σ)
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
Definición de observabilidad
(Σ) es observable en [t0 , tf ] si para cualquier entrada u(·) ∈
P C([t0 , tf ], Rm ) el estado inicial x(t0 ) = x0 está determinado de
manera única por la salida y(t) en [t0 , tf ].
y(t) = C(t)Φ(t, t0 )x(t0 ) +
Z
|
t
C(t)Φ(t, τ )B(τ )u(τ ) dt + Du(t)
{z
}
t0
yr (t)= respuesta forzada
La respuesta forzada no juega ningún papel en la determinación de
x0 = x(t0 ) a partir del conocimiento de y(·) en [t0 , tf ].
11
Un criterio de observabilidad
Si C(t)Φ(t, t0 )x1 = C(t)Φ(t, t0 )x2 en [t0 , tf ] el sistema no es
observable (hay dos estados iniciales distintos que producen la
misma salida).
La aplicación L : Rn → C ([t0 , tf ], Rp ) es lineal y el
x → C(t)Φ(t, t0 )x
sistema es no observable si y sólo si Ker L 6= {0}.
Ker L=subespacio de sistemas inobservables.
Ker L = Ker M (tf , t0 ) donde M (tf , t0 ) es la matriz
grammiana de observabilidad:
Z tf
M (tf , t0 ) =
Φ(t, t0 )T C(t)T C(t)Φ(t, t0 ) dt
t0
(Σ) es observable en [t0 , tf ] si y sólo si det M (tf , t0 ) 6= 0.
El estado inicial determinado por la salida es:
Z tf
x(t0 ) = M (tf , t0 )−1
Φ(t, t0 )T C(t)T y(t) dt
t0
12
Observabilidad de sistemas
invariantes en el tiempo
(Σ)
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) t ∈ T
y(t) = Cx(t) + Du(t)
Matriz fundamental de soluciones: Φ(t, t0 ) = eA(t−t0 )

Teorema Fundamental: Si
C

 CA
MT = C T AT C T · · · (AT )n−1 C T  ..
 .
CAn−1





entonces
T
Im M (t, t0 ) = Im MT = Im C T AT C T · · · (AT )n−1 C T , ∀t ≥ t0
Ker M (t, t0 ) = Ker MT = Ker C T AT C T · · · (AT )n−1 C T , ∀t ≥ t0


C
 CA 


O(A, C) =  ..  ∈ Rpn×n Matriz de observabilidad de (Σ)
 . 
CAn−1
(Σ) observable si y sólo si rang O(A, C) = n
13
Satélite en órbita geoestacionaria



1
0
0
0
1
0
0 2R0 Ω


0
0
1  x(t) + 0


2Ω
0
0
0
−
R0
0 1 0 x(t)
0
3Ω2

ẋ(t) =  0

0
y(t) = 0

0
0
0
0
2Ω
−
R0

0
0 

0  u(t)
1 
R0

0
1 


0
0 


2
0 −4Ω
1
0



O(A, C) =  0

 6Ω3
−
0
R0
Si y(t) = 1 0 0 0 x(t) el sistema no serı́a observable.
14
El problema de estabilización por feedback
Planta
v(t)
u(t)
R
Σ
+
+
y(t)
w(t)
Γ
Controlador
Planta
Controlador
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
ż(t) = Kz(t) + Ly(t)
y(t) = Cx(t)
u(t) = M z(t) + F y(t) + Rv(t)
Conexión:
ẋ(t) = Ax(t) + BM z(t) + BF Cx(t) + BRv(t) =
= (A + BF C)x(t) + BM z(t) + BRv(t)
ż(t) = Kz(t) + LCx(t)
Ecuaciones del sistema conectado (sistema en lazo cerrado)
ẋ(t)
A + BF C BM x(t)
BR
=
+
v(t).
ż(t)
K
LC
z(t)
0
Si K = 0, L = 0, M = 0:
ẋ(t) = (A + BF C)x + BRv(t) feedback de salidas
Feedback de estados
d(t)
15
Planta
Controlador
v(t)
K
+
+
+
+
u(t)
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
y(t)
x(t)
−F
Ley de control
u(t) = −F x(t) + Kv(t)
Ecuaciones sistema en lazo cerrado (salidas no afectada y
d(t) = 0):
ẋ(t) = (A − BF )x(t) + BKv(t)
Objetivos
Regular la salida y(t) para que siga la señal de referencia v(t)
Estabilización
Respuesta a un salto o de frecuencia con propiedades
especı́ficas (overshoot acotado, tiempos de subida o de ajuste
determinados,. . . )
16
...
Asignabilidad
Definición
(A, B) es asignable si para cualquier polinomio mónico
p(λ) = λn + pn−1 λn−1 + · · · + p1 λ + p0 existe una matriz
F ∈ Rm×n tal que A − BF tiene p(λ) como polinomio
caracterı́stico.
Teorema (Teorema de Asignación de Polos)
(A, B) es controlable si y sólo si es asignable.
Corolario
Dado (A, B) y un polinomio mónico p(λ) de grado n, sea q(λ) el
polinomio caracterı́stico de la parte incontrolable de (A, B).
Entonces, existe F tal que A − BF tiene p(λ) como polinomio
caracterı́stico si y sólo si q(λ)|p(λ).
17
Estabilización por feedback
Definición
Un sistema (A, B) se dice estabilizable por feedback si existe una
matriz F tal que el sistema ẋ = (A + BF )x es estable.
Observación: Por el Teorema de Asignación de Polos, si (A, B) es
controlable, es estabilizable por feedback.
Corolario
(A, B) (quizá no controlable) es estabilizable por feedback si y sólo
si los valores propios incontrolables del sistema están en el
semiplano Re s < 0
18
Procedimiento para calcular la matriz de feedback (m = 1)
Dado el sistema controlable (A, b) y el polinomio
p(s) = sn + pn−1 sn−1 + · · · + p1 s + p0 :
1 Fórmese la matriz de controlabilidad del sistema C(A, b)
2 Calcúlese su inversa C(A, b)−1
3 Extráigase la última fila de C(A, b)−1 , digamos sT


sT
 sT A 


4 Fórmese la matriz T = 

..


.
5
6
sT An−1
Calcúlese el polinomio caracterı́stico de A:
pa (s) = sn + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0
La matriz de feedback requerida es:
f T = p0 − a0 p1 − a1 · · · pn−1 − an−1 T.
19
Sistemas diferenciales no lineales (i. t.)
(Σ)
ẋ(t) = f (x, u),
t∈T
x ∈ X ⊂ Rn (estados) y u ∈ U ⊂ Rm (controles), O = X × U
abierto, f ∈ C ∞ (O, Rn ).
Definición (Controlabilidad global)
(Σ) es (globalmente) controlable en [t0 , tf ] ⊂ T si para cada
(x0 , x1 ) ∈ X × X existe u(·) ∈ U = P C([t0 , tf ], U ) tal que la
solución del P.C.I.
ẋ = f (x, u(t)), t ∈ [t0 , t1 ]
x(t0 ) = x0
cumple x(tf ) = x1 .
Referencias
J. M. Coron: Control and Nonlinearity. AMS (2007)
Mathematical Surveys and Monographs, vol 136.
E. D. Sontag: Mathematical Control Teory. Springer-Verlag
(1990).
20
Controlabilidad local de sistemas no lineales
Definición (Controlabilidad local)
Sea (xe , ue ) un punto de equilibrio de (Σ). Este sistema se dice
localmente controlable instantaneamente en (xe , ue ) si para
cada número real ε > 0 existe un número real δ > 0 tal que para
cada par de puntos x0 , x1 ∈ Bδ (xe ) := {x ∈ Rn : kx − xe k < δ}
existe u(·) ∈ P C([0, ε], R) tal que ku(t) − ue k < ε para todo
t ∈ [0, ε] y la solución del P.C.I.
ẋ = f (x, u(t)),
x(0) = x0
cumple x(ε) = x1 .
Una condición suficiente
Sea (xe , ue ) un punto de equilibrio de ẋ = f (x, u). Si su sistema
de control linealizado en (xe , ue ) es controlable entonces el sistema
ẋ = f (x, u) es localmente controlable instantaneamente en
(xe , ue ).
21
Estabilización de sistemas no lineales por feedback
Teorema
Sea
(Σ)
ẋ(t) = f (x(t), u(t))
un sistema continuo invariante en el tiempo de clase C 1 , con
X ⊂ Rn y U ⊂ Rm abiertos. Sea (xe , ue ) un punto de equilibrio
para (Σ). Sea (A, B) el sistema linealizado de (Σ) en (xe , ue ).
Entonces (Σ) es exponencialmente estabilizable si y sólo si (A, B)
es estabilizable. Además si F ∈ Rm×n es una matriz de feedback
que estabiliza el sistema linealizado (A, B) entonces el feedback
u = ue + F (x − xe )
estabiliza el sistema no lineal (Σ) exponencialmente; i.e. el sistema
en lazo cerrado
ẋ = f (x, ue + F (x − xe ))
es exponencialmente estable.
Demostración: ver Sección 2.7 de J. Zabczyk: Mathematical
Control Theory: An Introduction. Birkhäuser 1992.
22