CONTROL II (Elo y Bio) Tema: Controlabilidad y Observabilidad de

CONTROL II (Elo y Bio)
Tema:
Controlabilidad y Observabilidad
de las Plantas a Controlar
Prof. Ing. Carlos F. Martín
Año: 2013
CONTROL II (Elo y Bio)
Prof. Ing. Carlos F. Martín
(2013)
1
Controlabilidad de Sistemas Lineales Invariantes:
Los conceptos de Controlabilidad y Observabilidad presentados primero por
Kalman, R.E juegan un papel importante en los aspectos teóricos y
prácticos del control moderno. Las condiciones sobre la controlabilidad y la
observabilidad gobiernan la existencia de una solución de un problema de
control óptimo. Esto parece ser la diferencia básica entre la teoría de
control óptimo y la teoría clásica de control. En esta última, las teorías de
diseño son dominadas por métodos de prueba y error, por lo que dado un
conjunto de especificaciones de diseño, el diseñador desconoce en el inicio
si existe una solución o no.
Por otro lado, la teoría de control óptimo, para la mayor parte de los
problemas, cuenta con criterios para determinar desde el inicio si la
solución de diseño existe o no para los parámetros del sistema y los
objetivos del diseño.
Se mostrará que la condición de controlabilidad de una planta está
íntimamente relacionada con la existencia de soluciones de la
realimentación de sus estados con el propósito de ubicar los valores
característicos del sistema de control en lazo cerrado en forma arbitraria.
El concepto de observabilidad se relaciona con la condición de observación
o estimación de las variables de estado a partir de las entradas y de las
salidas, las cuales son generalmente medibles, (y menor cantidad).
Una forma de ilustrar la motivación para la investigación de la
controlabilidad y observabilidad se puede realizar al hacer referencia al
diagrama de bloques de un sistema multivariable mostrado en la figura 1a)
La figura (1a) muestra un proceso con la dinámica descripta por:
d x(t )
= A x(t ) + Bu (t )
dt
Lazo Abierto
(1)
El sistema de control de lazo cerrado, (hay muchos otros esquemas), se
forma al realimentar las variables de estado a través de la matriz
realimentación K de ganancias constantes. Por lo que de la figura 1:
(2)
u (t ) = − K x(t ) + G r (t )
En donde:
u (t ) : es la acción de control, (px1).K: es la matriz de realimentación con elementos constantes, (p x n).G: es la matriz de pre-compensación, (p x q).r (t ) : es la señal de entrada referencia, (salida deseada), (q x 1).El sistema de control de lazo cerrado se describe mediante:
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[
d x (t )
= A x (t ) + B − K x(t ) + G r (t )
dt
(qx1)
]
(px1)
r (t )
+
u (t )
(nx1)
x(t )
+
∫ dt
(pxq)
_
K x (t )
(px1)
(qx1)
C
y (t )
(qxn)
+
(nx1)
A
(a)
K
(pxn)
(qx1)
(px1)
r (t )
+
u (t )
(nx1)
x(t )
+
∫ dt
(pxq)
_
K x (t )
(px1)
(qx1)
C
y (t )
(qxn)
+
(nx1)
A
(b)
xˆ (t )
K
Observador
(pxn)
Figura 1
Entonces:
d x (t )
= ( A − BK ) x (t ) + ( B G ) r (t )
dt
En donde: Ac = A − B K (n x n)
Bc = B G
(n x q)
(3)
Este problema también se conoce como: diseño por ubicación de polos
mediante la realimentación del estado. En este caso, el objetivo de diseño
es encontrar la matriz K, tal que los valores característicos de Ac sean
fijados por el diseñador. La palabra “polo” se refiere a los polos de la
función de transferencia de lazo cerrado (si p = q = 1), que serán los
mismos que los valores característicos de Ac.
Se puede demostrar que la existencia de una solución al diseño por
ubicación de los polos, con valores de los mismos asignados en forma
arbitraria a través de la realimentación del estado, está basada
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directamente en la controlabilidad de los estados de la planta.
El resultado es que:
Si la planta de la ecuación (1) es controlable, existe una matriz de
realimentación con elementos constantes K que permite que los valores
característicos de Ac=(A-BK) sean asignados en forma arbitraria.
Una vez que se ha diseñado el sistema en lazo cerrado se debe tratar con
el problema práctico de implementar la realimentación de las variables de
estado. Existen dos problemas prácticos en la implementación del control
por realimentación del estado. Uno es que el número de variables de
estado puede ser excesivo por lo que el costo de detectar cada una de
estas variables de estado para la realimentación puede ser prohibitivo. El
otro problema es que no todas las variables de estado están físicamente
accesibles. Por lo tanto, podría ser necesario diseñar y construir un
observador que estime el vector de estado a partir del vector de salida y (t )
y de la entrada u (t ) . La figura (1b) muestra el diagrama de bloque de un
sistema de lazo cerrado con un observador. El vector de estado observado
xˆ(t ) se utiliza para generar el control u (t ) a través de la matriz de
realimentación K.
La condición de que tal observador pueda ser diseñado para el sistema, es
que la planta sea observable.
Concepto General de Controlabilidad de Sistemas Lineales Invariantes
El concepto de controlabilidad se puede enunciar con referencia al
diagrama de bloques de la figura 2
Figura 2
Se dice que el proceso es completamente controlable si cada variable de
estado del proceso, partiendo de un estado inicial cualquiera, se puede
llevar a un estado final arbitrario en un tiempo finito también arbitrario, a
través de alguna acción control no restringida u (t ) .
En forma intuitiva, es sencillo entender que si una de las variables de
estado es independiente de la acción control u (t ) , no habría forma de dirigir
esta variable de estado en particular al estado deseado en un tiempo finito
por medio de un esfuerzo de control. Por lo tanto se dice que este estado
en particular no es controlable y que la planta no es completamente
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controlable o simplemente es no controlable mientras haya por lo menos un
estado que sea no controlable.
Como ejemplo sencillo de una planta, no controlable, la figura 3 ilustra un
diagrama de estado de un proceso lineal monovariable p = q = 1 , con dos
variables de estado, dónde: u ≡ u y y ≡ y , escalares.-
Figura 3:
Debido a que u (t) afecta solamente al estado x1 (t), x2 (t) es no
controlable. En otras palabras, será imposible llevar x2(t) de un estado
inicial x2 (to) a un estado deseado x2 (tf) en un intervalo de tiempo finito
(tf - to) mediante el control u (t). Por lo tanto, se dice que el sistema no es
completamente controlable.
El concepto de controlabilidad mencionado anteriormente se refiere a los
estados y se conoce como controlabilidad del estado. La controlabilidad
también se puede definir para las salidas del sistema de tal forma que
exista una diferencia entre la controlabilidad del estado y la controlabilidad
de la salida.
Definición de Controlabilidad del Estado para Sistemas Lineales Invariantes
Considere que un proceso lineal multivariable e invariante con el tiempo se
describe mediante las siguientes ecuaciones dinámicas:
d x(t )
= A x(t ) + Bu (t )
dt
y (t ) = C.x (t ) + D.u (t )
(4)
(5)
En donde:
x(t ) es el vector de estado de (nx1)
u (t ) es el vector de entrada o acción de control de (px1)
y (t ) es el vector de salida de (qx1)
A, B, C y D las matrices de los coeficientes con dimensiones apropiadas.
Dado un sistema situado en un estado inicial arbitrario x(to), se dice que es
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Completamente controlable si puede ser llevado a otro estado x(tf )
mediante un vector de entrada (señal de control) sin restricciones en un
tiempo finito. El siguiente teorema demuestra que la condición de la
controlabilidad depende solo de las matrices A y B. El teorema también
proporciona un método de prueba para la controlabilidad del estado.
Teorema 1: (Es general y fundamental)
Para que la planta descripta por las ecuaciones de estado (4) sea de estado
completamente controlable, es necesario y suficiente que la matriz
denominada de controlabilidad S, tenga rango máximo, es decir, n.
(6)
S nxnp =  B A.B A2 .B ...... An −1 .B 
La demostración de este teorema no será tratada aquí, se puede consultar
en cualquier libro de sistemas de control óptimo.
Aunque este criterio es muy directo no es sencillo emplearlo en forma
manual para sistemas de elevado orden y/o con muchas entradas, aún con
p = 2 habrán 2xn columnas en S y por ende un gran número de posibles
combinaciones de matrices de orden (nxn). En estos caso se puede hallar
SxST que es de orden (nxn), entonces si SxST es no singular, S tendrá
rango n pues el rango de S es igual al rango de SxST.
Ejemplo 1:
Dada las matrices A y B de una planta:
 0 2 −1
A =  0 1 0 
1 −4 3 
;
1 0 
B =  0 2 
 0 5 
a) ¿Será controlable?
b) ¿Se cumplirá la condición de controlabilidad utilizando una sola entrada?
a) Se tiene que
1 0 0 −1 −1 −3
S = 0 2 0 2 0 2 
0 5 1 7 3 12 
(3.6)
Utilizando las tres primeras columnas, se ve que el rango de S es 3 por lo
tanto la planta es controlable utilizando las dos entradas disponibles.
b) Si se usa la primera entrada, la nueva matriz B denominada ahora B1,
tendrá una sola columna, la primera, con lo cual la matriz S1 será:
1 0 −1
S1 = 0 0 0 
0 1 3 
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Se observa que el rango de S1 es 2, con lo cual con la entrada u1 (t)
exclusivamente no es posible llevar a la planta desde un punto cualquiera a
otro del espacio de estado, en consecuencia es no controlable.Ahora utilizando solo la segunda entrada se tiene:
S 2 =  B2
A.B2
 0 −1 −3
A .B2  =  2 2 2 
 5 7 12 
Rango de (S2)= 3
2
Por ende utilizando solo la segunda entrada la planta puede ser llevada a
un punto del espacio de estado a partir de un punto inicial dado la misma
será controlable.Ejemplo 2:
Consideremos la planta mostrada en la figura (3) que era no controlable.
Por ende el rango de la matriz S deberá ser menor que 2.
Tenemos que:
 −2 −1
A=

 0 −1
;
1 
B= 
0 
;
C = [1 0]
;
D = [ 0]
Por lo tanto la matriz de la controlabilidad será:
S = [B
1 −2 
A.B ] = 

0 0 
El rango de S es igual a 1, distinto de 2, por lo que la planta es de estado
no controlable.
En este caso x2(t) no se puede llevar de un punto cualquiera del espacio de
estado a otro.
Pruebas Alternativas para la Controlabilidad
Existen otros métodos alternos para probar la controlabilidad, y algunos de
éstos pueden ser más convenientes para aplicarse que la condición de la
ecuación (6).
Teorema 2: (Solo para sistemas SISO, lineales invariantes)
“Para un sistema de simple entrada simple salida, (SISO), por ende:
(q = p = 1), descrito por la ecuación de estado (4), el par (A,B) será
controlable si A y B están en la forma canónica controlable o son
transformables a la misma mediante una transformación lineal de
semejanza”.
La prueba de la segunda parte del teorema es directa ya que como se
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especificó antes esta clase de transformación requiere que S tenga rango n,
o sea no singular, para que exista P-1 pues P-1 = M-1.S-1.
En cuanto a la primera parte del teorema se demuestra, si para este caso,
la matriz S tiene siempre rango n. Si en la Función Canónica Controlable las
matrices de la planta son A1 y B1, donde como se sabe:
 0
 0

 ..
A1 = 
 ..
 0

− a 0
1
0
..
0
..
1
..
..
..
..
0
..
0
..
..
− a1
− a2
..
0 
0 
.. 

.. 
1 

− a n −1 
;
S =  B1 A1.B1 A12 .B1 ... A1n −1.B1 
0
0
...
0
...
...
...
...

...
...
...
...

...
...
...
...
S=
0
0
0
1

0
1
−an −1
0
0
1
−an −1
−an −1 − an − 2

3
 1 −an −1 −an −1 − an − 2 −an −1 + an − 2 + an −3
0 
0 
 
..
B1 =  
..
0 
 
1
... 1 
... ...
... ...

... ...
... ...

... ...
... ...

... ...
Como se observa S será una matriz triangular inferior con la diagonal
secundaria de unos, por ende el rango de S será (+1 o -1) dependiendo de
n, por lo tanto su rango será siempre n y en consecuencia la planta en la
F.C.C es controlable.
Ejemplo 3:
Sea la planta en la F.C.C
0 1 0
A1 =  0 0 1 
 −1 −2 −3
S =  B1
A1.B1
0 
;
F.C.C
B1 = 0 
1 
0 0 1 
2
Rango de (S) = 3 pues |S| = -1
A1 .B1  =  0 1 −3
1 −3 7 
Teorema 3: (General para sistemas lineales invariantes MIMO o SISO pero
Con valores característicos distintos).CONTROL II (Elo y Bio)
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“Para una planta descrita por la ecuación (4) si está en la F. C. Diagonal, el
par [A,B] es controlable si la matriz B no tiene filas totalmente nulas.
La demostración es evidente, pues las ecuaciones de estado están
completamente desacopladas unas de otras y la única manera de que los
estados sean “alcanzados” es que los mismos estén controlados
directamente por al menos una entrada”.
Por lo tanto si alguna fila de B tiene todos los elementos ceros, esto indica
que la correspondiente variable de estado no será “alcanzada” por ninguna
de las entradas.
Si la planta es de una entrada solamente, ningún elemento de la columna
de B debe ser nulo, evidentemente.
El teorema no sería válido para plantas en las que la matriz A se puede
diagonalizar aun cuando hay valores característicos repetidos, todos los
valores característicos repetidos asociados a bloque de Jordán de orden 1x1
Esto se aclara con el teorema siguiente cuando hay valores característicos
repetidos. Antes veremos el ejemplo siguiente:
Ejemplo 4:
Una planta tiene las matrices siguientes:
0 
 −3 0

A =  0 −6 0 
 0 0 −10 
 5
 − 42 


1

B= −
 24 
 3 


 56 
C = [32 8 −20]
Como los valores característicos son distintos la A está en la F.C.D. y la
matriz B no tiene ningún elemento nulo, (filas), la planta será controlable.
Teorema 4:
Es válido en general para sistemas MIMO aun cuando los valores
característicos múltiples tengan más de un bloque de Jordán asociado con
cada valor propio múltiple, y dice:
“Si A está en la forma canónica de Jordán el par [A, B] es controlable, si
todos los elementos en las filas de B que correspondan a la última fila de
cada bloque de Jordán no son cero.
Se entiende que las filas de B que corresponden a los valores
característicos simples no deberán tener todos sus elementos nulos”.
La prueba de este teorema es simple, ya que la última fila de cada bloque
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de Jordán corresponde a una ecuación de estado que está completamente
desacoplada de las otras, por ende debe ser “alcanzada” por alguna
entrada. Los elementos en las otras filas de B en cada bloque de Jordán, no
necesitan ser diferentes de cero ya que los estados correspondientes están
todavía acoplados a través de los números unos de los bloques de Jordán
de la matriz A.
Cuando se trata de sistemas SISO, (p=q=1), los valores característicos
múltiples deberán tener solo un bloque de Jordán asociado con cada uno
de ellos y también solo el elemento de la matriz B que corresponde a la
última fila de cada bloque de Jordán no deberá ser nulo.Ejemplo 4:
Una planta a controlar de cuarto orden tiene tres de sus cuatro valores
característicos iguales:λ1= λ2 = λ3 = λ y λ4 diferente, y tiene una sola
entrada. Supongamos que las matrices A y B son:
λ 1 0 0 
0 λ 1 0 

A=
0 0 λ 0 


 0 0 0 λ4 
 b1 
b 
B =  2
b3 
 
b4 
El teorema dice que b3 y b4 deben ser distintos de cero pero b1 y b2 pueden
ser ceros y el sistema será controlable. Las ecuaciones de estado son:
•
x1 = λ.x1 + 1.x2 + b1.u
•
x2 = λ .x2 + 1.x3 + b2 .u
•
x3 = λ.x3 + b3 .u
•
x4 = λ4 .x4 + b4 .u
El diagrama de estados sería el indicado en la figura 4.
Como se puede apreciar b1 y b2 pueden ser nulos o no pero b3 y b4 deben
ser distintos de cero para que la planta sea controlable.
Ejemplo 5:
Consideremos el ejemplo 2, en el mismo:
 −2 −1
A=

 0 −1
1 
B =  ;
0 
Con λ1= -2 y λ2 = -1 (auto valores distintos)
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Chequear por el teorema 3 si el sistema es controlable:
1 1
T =

0 1
∴
1 −1 1  1 
B´ = T −1.B = 
.  =  
0 1  0   0
Último elemento=0
Figura 4:
Como el segundo elemento de la matriz B * es cero, la variable de estado x2*
es no controlable, en consecuencia la planta será no controlable ya que
como se verá más adelante la controlabilidad no se altera con una
transformación lineal.O la x2 ya que
x1 = x1* + x2*
x2 = x2*
Solución por Computadora
La función svdesign en las herramientas del CSAD para Matlab tiene una
opción que regresa la condición de controlabilidad de una planta SISO,
(calcula la matriz S), una vez que se han introducido los parámetros de las
ecuaciones lineales dinámicas o de la función de transferencia.
Ejemplo 6:
Una planta tiene las matrices siguientes:
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 −2 0 
A=

 0 −2 
1 
B= 
2
C = [1 0.5]
Según el teorema 4, como hay solo una entrada, sistema SISO, la planta no
es controlable pues hay dos bloques de Jordán asociados con el valor
característico λ=-2.
En general para ver si la planta es controlable se aplicaría:
S = [B
1 −2 
A.B ] = 

 2 −4 
|S| = 0 por lo que el rango (S) = 1 ≠ 2 entonces la
planta es no controlable.
Esta planta se puede hacer controlable con otra entrada por ejemplo:
1 0 
1 0 −2
0
Con B = 
S = [ B A.B ] = 


2 1 
 2 1 −4 −2 
Aplicando el método general se puede ver que las dos primeras columnas
de la matriz de la controlabilidad S el rango(S) = 2 = n, por ende esta
planta ahora será controlable.
Ejemplo7:
El modelo de un proceso a controlar tiene las matrices siguientes:
1 2 −1
A = 0 1 0 
1 −4 3 
Como |sI - A| = 0
0 
B = 0 
1 
s3 + (-5).s2 + 8.s + (-4) = 0, entonces λ1-2 = 2
y λ3 = 1; y: S =  B A.B
0 −1 −4 
A2 .B  = 0 0 0 
1 3 8 
|S|=0
rango(S) = 2 ≠ 3
por lo que el proceso es no controlable.
Como se dijo y se verá más adelante si se hace una transformación lineal
de semejanza, no se altera la condición de la controlabilidad. Si se lleva el
modelo a la F. C. J. una matriz de transformación puede ser:
 1 0 0
2 1 0
0




−1
−1
T =  0 0 1  ⇒ Entonces se tendrá: A j = T . A.T =  0 2 0  y B j = T .B =  −1
 −1 1 2 
 0 0 1 
 0 
Como la última fila de Bj, que corresponde al bloque de Jordán de (1x1)
para λ3 = 1, es cero, la variable de estado transformada x3* (t ) es no
controlable. Como de T se ve que: x2 (t ) ≡ x3* (t ) significa que x2 (t ) es la
variable de estado no controlable en el modelo original de la planta.
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Ejemplo 8:
Consideremos un proceso de tercer orden que tiene:
0
− 1 1
0


A =  0 − 2 0  ; B = 0 ; C = [1 1 1] y
 0
1
0 − 3
0 0 0 
2
Luego: S = B A.B A .B = 0 0 0
1 − 3 9
[
D=0
]
|S| = 0
rango(S) = 1 ≠ 3
Por ende este proceso es de estado no controlable. En consecuencia no
existirá una transformación lineal de semejanza que lleve el modelo original
a la F.C.C, pues la matriz S no tiene inversa.
Por otro lado como s.I − A = 0
(s + 1)(. s + 2)(. s + 3) = 0
λ1 = −1; λ2 = −2; λ3 = −3 ,
se puede llevar a la F.C.D y la matriz B de esta forma deberá tener alguna
fila nula como mínimo (esto se verá en el teorema 10).
[
T = p1
p2
0
1 − 1 0
− 1 0
0 




p3 = 0 1 0 Por ende: Ad =  0 − 2 0  ; Bd = 0 y Cd = [1 0 1]
0 0 1
 0
1
0 − 3
]
Como las dos primeras filas de Bd son nulas el proceso es de estado no
controlable. Este resultado será evidente cuando veamos el teorema 10.
Las variables de estado x1* y x2* serán no controlables.
x1 = x1* − x *2
Como x(t ) = T .x * (t ) resultará
x2 = x *2
x3 = x *3
Por ende las variables x1 y x2 del modelo original serán las no controlables.
Ejemplo 9:
Sigamos con la misma planta, si se desea obtener la F.C.C. se tendrá que
hacer la descomposición directa de la Función de Transferencia de la misma
Gp = C.(s.I − S ) .B =
−1
(s
)
+ 3.s + 2
(s + 1)(. s + 2) = Y( s )
=
2
. s + 2 )(
. s + 3) U ( s )
s + 6.s + 11.s + 6 (s + 1)(
(
2
3
)
De la misma resulta:
1
0
0
0 


A= 0
0
1  ; B = 0 ; C = [2 3 1] y D = 0
− 6 − 11 − 6
1
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Este modelo será de estado controlable ya que:
[
S= B
A.B
0 0 1 
A .B = 0 1 − 6
1 6 25 
2
]
Rango(S) = 3
planta controlable
Sin embargo el modelo original, (ejemplo 6), con otras variables de estado
era no controlable.
Si en base a este último modelo (la FCC) se obtiene la forma canónica
diagonal, pues los valores característicos son distintos, la nueva matriz Bd
deberá tener todos sus elementos distintos de cero, por ende el modelo en
la FCD será controlable, como se verá más adelante, también o será el
sistema original (invariancia de la controlabilidad en una transformación
lineal de semejanza).
[
T = p1
p2
 − 1 1 − 1
p3 =  1 − 2 3  ,
− 1 4 − 9
]
puede ser una matriz de transformación, por lo tanto:
0
− 1 0
− 0.5


−1
Ad = T . A.T =  0 − 2 0  ; Bd = T .B =  − 1  y C d = [0 0 − 2]
 0
− 0.5
0 − 3
−1
Como todos los elementos de Bd son distintos de cero la planta será
controlable.
−1
Como en este caso Gp = C. ( s.I − S ) .B =
( s + 1) . ( s + 2 )
;
( s + 1) . ( s + 2 ) . ( s + 3)
Se puede ver que hay polos y ceros comunes (-1 y –2 en este caso).
Esto demuestra que en estos casos, cuando hay cancelación polo-cero en la
Gp(s) de la planta), la controlabilidad de una planta SISO depende de la
elección de las variables de estado de la misma.Además la controlabilidad no cambia a través de una transformación lineal
de semejanza. Estos dos puntos se tratarán en sendos teoremas mas
adelante.
Ejemplo 10:
Veamos una planta con dos entradas y dos salidas, las matrices del modelo
elegido son las siguientes, (está en la F.C.J):
CONTROL II (Elo y Bio)
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(2013)
14
0 0 0 0 
0 − 1 0 0 
;
A=
0 0 − 1 1 


0 0 0 − 1
1
0
B=
0

1
0
1
;
0

0
0 1 1 1 
C=

1 1 0 − 1
y
0 0 
D=

0 0 
La matriz B indica a simple vista que la planta es Controlable pues cumple
con el teorema 4.
La matriz de la controlabilidad sería:
[
S= B
AB
A2 B
1
0
A3 B = 
0

1
]
0
1 0 − 1 0 1 0 − 1
0 1
0 −2 0 3 0 

0 −1 0
1 0 −1 0 
0
0
0
0
0
0
Su rango será el mismo que el de SST:
1
0
T
SS = 
0

1
1
4 0
0 
0 14 − 6

0 −6 4 
Y como SS T = 24 ≠ 0, el rango será=4=n
0
0
Por lo tanto esta planta MIMO será controlable, a pesar de tener dos
bloques de Jordán, (uno de 1x1 y otro de 2x2), asociados con el valor
característico -1.
También se puede formar con S, una matriz de 4 por 4 con cuatro
columnas cualquiera de S y verificar que su determinante es distinto de
cero. Por ejemplo con las columnas 1, 2, 3 y 5 de S se formará la matriz:
1
0

0

1
0 
1 0
0 
0 1 − 2

0 −1 1 
0
0
Su determinante tiene el valor (-1), por lo tanto el rango de la matriz S es 4
igual a n, por ende la planta es controlable.-
Ejemplo final que resume lo visto hasta ahora:
En el esquema de la figura 5, determinar un conjunto mínimo de entradas
que permita conseguir que el sistema sea controlable. Razonar la
respuesta.
CONTROL II (Elo y Bio)
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15
Es un sistema de cuarto grado, constituyendo las variables de salida de
cada bloque un conjunto adecuado de variables de estado del sistema.
La entrada u 4 (t ) no afecta ninguna de las variables de estado, luego no
afecta a la controlabilidad del sistema. La entrada u3 (t ) afecta a las
+
u1 (t )
u3 (t )
+
.
u 4 (t )
+
+
+
+
u 2 (t )
+
y (t )
+
+
+
Figura 5:
variables de estado correspondientes a los últimos bloques, pero, como las
variables de salida de los dos primeros bloques son controladas por las
entradas u1 (t ) y/o u 2 (t ) , entonces la variable de entrada al tercer bloque
también está controlada con independencia de u3 (t ) . Por lo que la entrada
u3 (t ) no es necesaria para la controlabilidad de los dos últimos bloques
colocados en serie. Para ver si la entrada u1 (t ) es suficiente para garantizar
la controlabilidad de los dos primeros bloques, (por tanto del sistema),
habrá que ver si ambos bloques tienen el mismo comportamiento dinámico.
Reduciendo el bloque realimentado resulta el de la figura 6.
u3 (t )
u1 (t )
x1 (t )
u 4 (t )
+
+
+
.
x3 (t )
x4 (t )
y (t )
+
+
u 2 (t )
+
+
x2 (t ) +
+
Figura 6:
Para controlar x1 (t ) es necesaria la entrada u1 (t ) , puesto que u 2 (t ) no le
afecta. Para controlar simultáneamente x1 (t ) y x2 (t ) no basta con u1 (t ) , pues
al tener ambos bloques el mismo comportamiento dinámico, partiendo de
condiciones iniciales nulas, el valor de x1 (t ) será siempre el doble que el de
x2 (t ) . Por tanto, el conjunto mínimo de entradas necesarias para controlar
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(2013)
16
el sistema son u1 (t ) y u 2 (t ) .Otra forma de llegar a la misma conclusión es realizar el estudio de las
matrices de controlabilidad. El modelo de estado del sistema completo con
todas las entradas se obtiene planteando primero las ecuaciones
diferenciales de cada bloque, a saber:
2 u1 = ( s + 4) x1
⇒
x&1 (t ) = −4 x1 + 2 u
u1 + u 2 = ( s + 4) x2
⇒
x& 2 (t ) = −4 x 2 + u1 + u 2
x1 + x2 + u 3 = ( s + 4) x3
⇒
x&3 (t ) = x1 + x2 − 4 x3 + u 3
2 x3 = ( s + 1) x4
⇒
x& 4 (t ) = 2 x3 − x4
En la forma matricial la ecuación de estado será:
0
0
 x&1  − 4 0
 x&   0 − 4 0
0 
 2 = 
 x&3   1
1 −4 0 
  

0
2 − 1
 x& 4   0
 x1   2
x   1
 2 + 
 x3   0
  
 x4   0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0 
0

0
 u1 
u 
 2
u 3 
 
u 4 
Puede observarse que la última columna de la matriz B es toda de ceros,
(la u4 no influye en el estado del sistema), por lo que se puede suprimir esa
columna, quedando la matriz B de orden (4x3). Con ello la matriz de la
controlabilidad queda:
2
1
2
3
S = [ B AB A B A B ] = 
0

0
0
1
0
0
0 −8 0
0
32
0
0
0
0 
− 128
0 −4 −4 0
16 16
0
0 
− 64 − 64
1 3
1 − 4 − 24 − 8 16
144
48 − 64

0 0
0
2
5
2 − 10 − 54 − 18 42 
Tomando por ejemplo las columnas 3º,4º, 5º y 6º, su determinante es 64
por lo tanto el rango (S) = 4, por lo que el sistema es controlable con las
entradas u1, u2 y u3.Para analizar el número de entradas que garantizan la controlabilidad del
sistema, se verá primeramente si éste puede ser controlado mediante una
única entrada. Para ello se verá si las matrices de controlabilidad Si
(correspondiente a un sistema que sólo tuviera la entrada i-ésima) tienen el
rango máximo del sistema.
Para calcular cada Si, se utilizan las columnas de S correspondientes a la
i-ésima entrada. Si la entrada es sólo u1, la S1 será:
2 − 8 32 − 128
1 − 4 16
− 64 
S1 = 
0 3 − 24 144 


5
− 54 
0 0
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17
La primera fila es el doble de la segunda, (nótese que partiendo de
condiciones iniciales nulas y utilizando sólo la entrada u1, la variable x1 vale
siempre el doble que la x2), quedando el rango (S1)=3, con lo que el
sistema no es controlable utilizando únicamente a u1.Utilizando sólo la entrada u2, la matriz de controlabilidad resultante es:
0
0 
0 0
1 − 4 16 − 64

S2 = 
0 1 − 8 48 


2 − 18 
0 0
Donde la primera fila es de ceros, (la variable x1 no puede ser controlada),
quedando rango (S2)=3, con lo que el sistema no es controlable con u2.Para la entrada u3 queda:
0
0 
0 0
0 0
0
0 

S3 =
1 − 4 16 − 64


0 2 − 10 42 
Las dos primeras filas de S3 son de ceros, (no se pueden controlar las
variables x1 y x2), con lo que el rango (S3)=2 y, por tanto, el sistema no es
controlable sólo con u3.Dado que con ninguna entrada en solitario se puede controlar el sistema,
se prueba ahora con la combinación de dos de ellas, u1 y u2:
S1−2
2
1
=
0

0
0 −8 0
32
0 − 128
0 
1 − 4 − 4 16 16 − 64 − 64
0 3
1 − 24 − 8 144
48 

0 0
0
5
2 − 54 − 18 
Ahora el rango (S1-2)=4, por lo que el sistema es controlable con el
conjunto mínimo de entradas u1 y u2.Observabilidad de Sistemas Lineales
Como ya se estudió hasta ahora, el modelo de estado refleja las relaciones
entre los tres actores que describen el comportamiento de un sistema:
entrada, estado, salida. También la forma en que la entrada repercute
sobre la evolución del estado, así como las posibilidades de obtener un
determinado valor para éste en un instante dado, mediante la elección
adecuada de dicha entrada.
Ahora se estudiara la forma en las que las variaciones en el valor del estado
se manifiestan sobre la salida, con lo que se cubre la segunda etapa de la
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18
interacción descripta por el modelo de estado y se completa el análisis del
comportamiento del sistema completo.
La idea de observabilidad se relaciona con la posibilidad de conocer el valor
del estado de un sistema, a partir del conocimiento de la evolución de la
entrada y de la salida que genera. La figura 7 muestra esta idea:
Figura 7:
La observabilidad se presenta conceptualmente como una idea
complementaria a la de controlabilidad; si la controlabilidad estudia la
relación entrada-estado, ahora se va a ver la relación estado-salida.
Se verá en que sistemas es posible conocer el estado en base a la entrada
y la salida.- Esencialmente un sistema es observable si cada variable de
estado del sistema “afecta” alguna de las salidas.
En otras palabras, con frecuencia es deseable obtener información sobre
las variables de estados midiendo las salidas y las entradas. Si cualquiera
de los estados no se puede observar a partir de las mediciones de las
salidas, se dice que el estado es no observable, y el sistema no es
completamente observable, o simplemente no observable.
Ejemplo11: Supóngase el sistema de la figura 8:
u (t )
y (t )
Figura 8:
Si se tiene un sistema con una función de transferencia como la de la
figura 8 se puede elegir como variables de estado la salida y su derivada,
por lo que se tendrán todos los estados conocidos a partir de la salida y por
lo tanto será observable. Por el contrario, la planta de la figura 9 a pesar de
ser controlable, pues el rango de la matriz S es 2, la planta no es
observable puesto que si se obtiene la función de transferencia será
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19
u (t )
x1 (t )
+
y (t )
_
x2 (t )
Figura 9:
3 
1 
3 s +1
3
=
1 −
=
s +1 s + 2  s +1 s + 2 s + 2
;
Gp( s ) =
Y (s)
3
=
U ( s ) ( s + 2)
Este sistema, desde el punto de vista de su función de transferencia
entrada-salida, se comporta como un sistema de primer orden y,
conociendo u (t ) e y (t ) , solo se podrá detectar una variable de estado, luego
el sistema no será observable. Como se ve, en este ejemplo, se impide la
observabilidad con una cancelación de un polo con un cero en la función de
transferencia de los sistemas lineales invariantes Monovariables.
Los conceptos de controlabilidad y observabilidad son claramente distintos
y, sin embargo como se verá, en lo que se refiere a cálculos son duales.
La figura 10 muestra el diagrama de estado de un sistema lineal en donde
el estado x2 no está conectado en alguna forma con la salida y(t). Una vez
que se ha medido y(t) , se puede observar el estado x1(t), ya que x1(t) = y(t).
Pero x2(t) no puede ser observado midiendo y(t) por lo que la planta es no
observable.
Figura 10:
Definición de Observabilidad para Sistemas Lineales Invariantes
Dado un sistema lineal e invariante en el tiempo que se describe mediante
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20
las ecuaciones (4) y (5), se dice que el estado es observable si dada
cualquier entrada u (t ) , existe un tiempo finito tf > to tal que del
conocimiento de u (t ) para to ≤ t ≤ tf, las matrices A, B, C y D; y la salida y (t )
para to ≤ t ≤ tf son suficientes para determinar x (to ) . Si cada estado del
sistema es observable para un tf finito, se dice que el sistema es
completamente observable, o simplemente observable.
El siguiente teorema demuestra que la condición de observabilidad
depende de las matrices del sistema A y C. El teorema proporciona también
un método para probar la observabilidad del sistema.
Teorema 5: (de aplicabilidad general)
Para que la planta descripta por las ecuaciones (4) y (5) sea de estado
completamente observable, es necesario y suficiente que la matriz llamada
de observabilidad de orden (n q x n) tenga rango máximo, es decir, rango
igual a n.
 C 
 C. A 


 C . A2 
V =
(7)

 . 
 . 

n −1 
C. A  n.qxn
La demostración no se tratará en este texto.
Si la planta es SISO la matriz V se cuadrada de orden (nxn) y deberá
cumplirse que su determinante sea distinto de cero.Ejemplo 12:
Sea la planta cuyas matrices son:
0 2 −1
A = 0 1 0 
1 −4 3 
;
1 0 
B = 0 2 
0 5 
;
4 0 0
C=

0 2 4
0 0
D=

0 0
;
a) Discernir si es observable o no
b) ¿Se cumplirá la condición de observabilidad utilizando una sola de
las salidas?
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(2013)
21
0
0 
4
0
2
4 
 C  
0
8
−4 
a) V =  C. A  = 

4 −14 12 
2

C. A 
 −4 25 −12 


12 −54 32 
Utilizando las 3 primeras filas, por ejemplo, se observa que el rango es 3,
con lo cual se deduce que la planta es observable usando las dos salidas
disponibles.
b) Si se usa solo la primera salida, la nueva matriz C, denominada ahora
C1 será:
C1 = [ 4 0 0]
0 
 C1   4 0



V1 =  C1. A  =  0 8 −4 
C1. A2   −4 24 −12 
Rango (V1) = 2 < n
Con lo cual con el conocimiento de u ( t ) e y (t ) solamente no es posible llegar
a conocer el vector de estado.
Ahora utilizando la segunda salida se tiene:
2
4
 C2   0



V2 =  C2 . A  =  4 −14 12 
C2 . A2  12 −54 32 
Rango (V2) = 3
Por lo tanto, utilizando solo la observación de la segunda salida, es posible
conocer el vector de estado.
Ejemplo13:
Consideremos el sistema que se muestra en la figura (4), el cual era no
observable. Las ecuaciones dinámicas del mismo eran:
 −2 0 
A=

 0 −1
 3
B= 
1
C = [1 0]
Por lo que la matriz de la observabilidad será:
 C   1 0
V =
=

C. A  −2 0 
Rango (V) = 1 ≠ 2
Por ende el par [A, C] es de estado no observable.
Ejemplo 14:
Consideremos el proceso descrito por las ecuaciones dinámicas siguientes.
Veremos que la observabilidad depende también, (cuando p = q = 1 y hay
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polos y ceros comunes en Gp(s), de la elección de las variables de estado.
Las matrices de la planta pueden ser las siguientes:
0 1
A=

 −1 −2 
;
1
B= 
 −1
;
C = [1 0]
;
D=0
Luego:
 1 −1
A.B ] = 
Rango (S) = 1 ≠ 2
planta no controlable

 −1 1 
 C  1 0 
V =
Rango (V) = 2 = n
planta observable
=

C . A   0 1 
y
Si a través de una descomposición directa de la Gp( s ) = ( s ) se lleva el
u( s )
S = [B
modelo a la F.C.C las matrices serán:
0 1
A=

 −1 −2 
;
0 
B= 
1 
;
C = [1 1]
Evidentemente la planta será controlable, pues está en la F.C.C. Luego la
matriz de la observabilidad será:
 C  1 1
V =
=

C. A  −1 −1
Rango (V) = 1 ≠ 2
planta no observable
El presente ejemplo demuestra que la observabilidad también depende de
la elección de las variables de estado cuando hay cancelación polo-cero en
Gp(s). En el primer caso la planta es controlable pero no observable y en el
segundo a la inversa.
Hay razones bien definidas para este resultado (se verán en el teorema 9).
Pruebas Alternativas para la Observabilidad
Como con la controlabilidad, existen otros métodos alternativos para
comprobar la condición de observabilidad de una planta a controlar. Estos
se verán a continuación.
Teorema 6: (Solo para plantas SISO, p = q = 1)
“Para un sistema de simple entrada y simple salida (p = q =1), descrito por
las ecuaciones:
•
x ( t ) = A.x ( t ) + B.u ( t )
y (t ) = C.x ( t ) + D.u (t )
El par [A, C] es observable si A y C están en la F.C.O o son transformables
a la F.C.O por medio de una transformación lineal de semejanza”.
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23
La prueba de la segunda afirmación es directa, ya que se estableció que la
transformación a la forma canónica observable requiere que la matriz de
observabilidad V sea no singular, pues Q= (M.V)-1 = M-1 .V-1, o sea que
para que exista Q, matriz de transformación, el determinante de V debe ser
distinto de cero para que la inversa de V exista y en consecuencia también
la matriz de transformación Q.
Recordar que esto es válido solo para plantas Monovariables o sea una
entrada, p =1 y una salida q = 1.
En cuanto a la primera parte del teorema se demuestra si la matriz de
observabilidad V tiene siempre rango igual a n. La demostración se plantea
como una ejercitación para el alumno.
La matriz V resulta una triangular inferior con números unos en la diagonal
secundaria, por ende siempre será no singular, pues el determinante de V
será –1 o +1 ≠ 0, según sea n.
Por ejemplo si una planta está en F.C.O. o sea:
0
A = 1
0
1 
B =  2 
0 
0 3
0 1 ;
1 3
y
C = [ 0 0 1]
 C2   0 0 1 
V =  C2 . A  = 0 1 3 
C2 . A2  1 3 10 
Rango (V) = 3 pues el |V|=-1
V es no singular siempre
Teorema 7: (General para sistemas MIMO o SISO)
“Para un sistema descrito por las ecuaciones dinámicas (4) y (5), si los
valores característicos son todos distintos y A está en la F.C.D.; el par
[A,C] será completamente observable si la matriz C no tiene columnas con
todos sus elementos nulos”.
La demostración es directa, pues si la j-ésima columna de C tiene todos sus
elementos nulos, la variable de estado x j (t ) no aparecerá en la ecuación de
salida y (t ) . Por lo tanto x j (t ) será no observable.
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24
Ejemplo 15:
Consideremos el ejemplo 13, en el que la planta era no observable. Como
la matriz A es diagonal, (λ1 = -2, λ2 = -1, son distintos), la prueba
alternativa para la observabilidad requiere que la matriz C tenga al menos
un elemento nulo, y como C = [1 0], el estado x2(t) será no observable y
por ende el sistema será no observable.
Teorema 8: (Forma Dual del Teorema 4).Es válido en general para sistemas MIMO aun cuando los valores
característicos múltiples tengan más de un bloque de Jordán asociado con
cada valor propio múltiple, y dice:
“Si A está en la forma canónica de Jordán el par [A, C] es observable, si
todos los elementos en las columnas de C que correspondan a la primera
fila de cada bloque de Jordán no son cero.
Se entiende que las columnas de C que corresponden a los valores
característicos simples no deberán tener todos sus elementos nulos”.
Los elementos en las otras columnas de C en cada bloque de Jordán, no
necesitan ser diferentes de cero ya que los estados correspondientes están
todavía acoplados a través de los números unos de los bloques de Jordán
de la matriz A.
Cuando se trata de sistemas SISO, los valores característicos múltiples
deberán tener un solo bloque de Jordán asociado con cada valor propio
múltiple y también el elemento de la matriz C que corresponde a la
primera fila de cada bloque de Jordán no deberá ser nulo.Ejemplo 16: Consideremos el sistema visto en el ejemplo 4. Suponiendo
que el mismo tiene dos salidas y1(t) e y2(t) , por ende la matriz C del mismo
será de orden (2x4).
λ 1 0 0 
0 λ 1 0 

A=
0 0 λ 0 


 0 0 0 λ4 
;
 b1 
b 
B =  2
b3 
 
b4 
;
 c1
C=
c5
c2
c3
c6
c7
c4 
c8 
El diagrama de estado será el indicado en la figura 11:
Los elementos de la matriz C que pueden ser nulos son: c2, c6, c3 y c7
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25
Figura 11
Pero c1 y c5 no pueden ser simultáneamente nulos, pero uno puede ser
nulo si al mismo tiempo el otro no lo es. Lo mismo para c4 y c8.
Esto se resume en que: “Cada variable de estado deberá afectar directa o
indirectamente a por lo menos una salida”.
Ejemplo 17:
Volvamos al ejemplo 7a, la planta tenía dos salidas. A simple vista la misma
es observable, pues cumple con el teorema 8. Por ende deberá ser, con el
método general, el rango de la matriz de la observabilidad igual a cuatro.
1
1
0 1
1 1
0 − 1

 C  0 − 1 − 1 0 
 CA  0 − 1 0 1 

V =  2 = 

CA 
0 1
1 − 1

 3 
0 − 1
CA  0 1
0 − 1 − 1 2 


0 0 − 1 1 
Formando la matriz con las filas 2, 5, 6 y 7 se tendrá:
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26
0 − 1
1 1
0 1
1 − 1

;
0 1
0 − 1


0 − 1 − 1 2 
Como su determinante es igual a (-1), el rango de la matriz de la
observabilidad es igual a n=4 por ende la planta es observable.Relación entre Controlabilidad, Observabilidad y Funciones de
Transferencia.
En el análisis clásico de sistemas de control, las funciones de transferencia
se utilizan para modelar sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Aún
cuando la controlabilidad y la observabilidad son conceptos y herramientas
de la teoría de control moderna, se debe mostrar que están estrechamente
relacionadas con las propiedades de las funciones de transferencia.
Un sistema en general se puede subdividir en subsistemas a saber:
1. Un subsistema formado por todas las variables controlables y
observables.2. Un subsistema formado solo por las variables controlables, formando
el resto un subsistema con comportamiento desacoplado de las
entradas.3. Un subsistema formado solo por las variables observables formando
el resto un subsistema con comportamiento desacoplado de las
salidas.Los tres subsistemas descriptos en la anterior enumeración tienen la
particularidad de generar la misma función de transferencia, lo que significa
que los tres son realizaciones diferentes de un mismo sistema en términos
de entrada-salida. En concreto, el segundo es un subsistema controlable, el
tercero como subsistema observable. En cuanto al primero, presenta
alguna particularidad que se pasa a comentar: este subsistema es el de
mínima dimensión que puede modelar la relación entre la entrada y la
salida del sistema, por lo que se lo conoce como realización mínima del
sistema. Al orden de dicha realización mínima se le conoce también como
grado de Mc-Millan de dicho sistema. Existe un teorema, debido a Kalman,
que caracteriza la realización mínima de un sistema en términos de
controlabilidad y observabilidad.-
Una realización dada por (A, B, C y D) es mínima si y solo si es controlable
y observable.En general, y como ya se ha mencionado en otras ocasiones, un sistema
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lineal e invariante no posee una única realización en el espacio de estado.
Sin embargo, las representaciones mínimas son únicas salvo por un
cambio de base; en otras palabras, cualquier par de realizaciones mínimas
están relacionadas por una transformación lineal.Gráficamente la separación en subsistemas se puede representar de la
forma mostrada en la figura 12, donde cada subsistema se compone de un
grupo de variables de estado.
Figura 12: Separación simultánea de los subsistemas Controlable y
Observable
Analizándolos se tiene que:
• Existe un subsistema que es controlable y observable (subíndice a),
que describe la realización mínima del sistema.
• Existe un subsistema que junto con el anterior forma un subsistema
controlable, pero separado del anterior porque éste es no observable.
Esto no supone que este que este subsistema sea controlable
aisladamente (subíndice b).
• Existe un subsistema que, junto al primero, es observable, está
desconectado de la entrada y, en consecuencia, no es controlable.
Esto no quiere decir que este subsistema sea observable
aisladamente (subíndice c).
• Finalmente, existe un subsistema que no pertenece a la parte
observable y tampoco a la parte controlable, así que no es ninguna
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de las dos cosas, ya que está desconectado de la entrada y de la
salida (subíndice d).Esta separación en estos subsistemas si los hubiera no será tratada por
ahora en la presente publicación.Se verán plantas de realización mínima, o sea controlables y observables.Ahora se enumerarán algunos teoremas muy importantes:
Teorema 9: (Solo aplicable a sistemas SISO).Si la función de transferencia Gp(s) entre la salida y la entrada de una
planta lineal tiene cancelación de polos y ceros, el sistema será: o no
controlable, o no observable, o no controlable ni observable, dependiendo
de cómo se definan las variables de estado. Por otra parte, si la función de
transferencia entre la salida y la entrada no tiene cancelación de polos y
ceros, el sistema siempre se puede representar mediante las ecuaciones
dinámicas como un sistema totalmente controlable y observable, cualquiera
sean las variables de estado definidas.
No se da la prueba para este teorema. La importancia del mismo es que si
un sistema lineal se modela mediante la función de transferencia que no
tiene cancelación de polos y ceros, se asegura que es un sistema
controlable y observable, no importando como se obtenga el modelo en
variables de estado.
Se ampliará este punto con referencia al siguiente sistema SISO:
0
0
− 1 0
 0 −2 0
0 

A=
0
0 −3 0 


0
0 − 4
0
;
1
1
B= 
0 
 
0 
;
C = [1 0 1 0]
;
D = [0]
Ya que A es una matriz diagonal, las condiciones de controlabilidad y
observabilidad de los cuatro estados se determinan mediante inspección.
Estos son x1(t ) : Controlable y observable (C y O).
x 2(t ) : Controlable pero no observable (C pero no O).
x3( t ) : No controlable pero observable (no C pero O).
x 4(t ) : No controlable y no observable (no C y no O).
El diagrama de bloques del sistema de la figura 13 muestra la
descomposición de la F.C.D. del sistema.
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29
Figura 13
Claramente la función de transferencia del subsistema C y O debe ser
y( s )
u( s )
=
1
( s + 1)
Mientras que la función de transferencia que corresponde a la dinámica
descrita por las matrices (8) es:
y( s )
u( s )
= C.( s.I − A) −1 .B =
( s + 2).( s + 3).( s + 4)
( s + 1).( s + 2).( s + 3).( s + 4)
(9)
Que tiene tres polos y ceros comunes. Este ejemplo ilustra que la función
de transferencia de “orden mínimo” luego de cancelar los polos y ceros es
el único componente que corresponde a un subsistema que es controlable y
observable.
Ejemplo 18:
Consideremos una planta cuya función de transferencia es la siguiente:
y( s )
u( s )
=
s 2 + 3.s + 2
( s + 1).( s + 2)
=
3
2
s + 6.s + 11.s + 6 ( s + 1).( s + 2).( s + 3)
Las matrices del modelo que resulta de la descomposición directa de la
misma, (Forma Canónica Controlable), serán:
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1
0
0

A= 0
0
1 
− 6 − 11 − 6
0 
B = 0
1
;
C = [2 3 1]
;
D = [0]
;
Por lo tanto la planta será controlable (como sabemos), pero como:
3
1
 C  2



V =  C. A  = − 6 − 9 − 3
C. A 2   18 27 9 
|V| = 0
Rango (V) = 1 ≠ 3
La misma será no observable.
Su forma dual (F.C.O) será:
0 0 − 6 
A = 1 0 − 11
0 1 − 6 
2 
B = 3
1 
;
C = [0 0 1]
;
D = [0]
;
Por ende será observable pero no controlable, pues:
[
S= B
A.B
2 − 6 18 
A .B = 3 − 9 27
1 − 3 9 
2
]
|V| = 0
Rango (S) = 1≠ 3
Otro modelo de la misma planta puede ser el siguiente, (obtenido a través
de una transformación lineal de similitud):
0
− 1 1

A =  0 − 2 0 
 0
0 − 3
0 
B = 0
1
;
C = [1 1 1]
;
;
D = [0]
La función de transferencia deberá ser la misma o sea:
Gp( s ) = C.( s.I − A) −1 .B =
s 2 + 3.s + 2
s 3 + 6.s 2 + 1.s + 6
Como:
[
S= B
A.B
0 0 0 
A .B = 0 0 0
1 − 3 9
2
]
|V| = 0
Rango (S) = 1≠ 3
Planta de estado no controlable
y
1
 C  1 1



V =  C. A  = − 1 − 1 − 3
C. A 2   1 1
9 
|V| = 0
Rango (V) = 2 ≠ 3
Planta de estado no observable
La conclusión a la que se llega es, que dada una planta con una Gp(s) con
polos y ceros comunes, las condiciones de controlabilidad y observabilidad
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de la misma, dependen de cómo se eligen las variables de estado.
Además, como ya se dijo, si la Gp(s) no tiene cancelación de polos y ceros,
la planta será siempre controlable y observable cualesquiera sean las
variables de estado elegidas.
Teoremas de la Invariancia de la Controlabilidad y la Observabilidad.
Ahora se investigarán los efectos de las transformaciones de semejanza
sobre la controlabilidad y la observabilidad. También se investigarán los
efectos de la realimentación del estado sobre la controlabilidad y la
observabilidad.
Teorema 10:
Teorema de la invariancia debido a las transformaciones de semejanza.
Considere el sistema descrito por las ecuaciones dinámicas (4) y (5). La
*
transformación de semejanza x(t ) = P.x(t ) , en donde P es no singular,
transforma las ecuaciones a:
*
*
d x(t )
= A* .x ( t ) + B* .u (t )
dt
*
y (t ) = C * .x ( t ) + D* .u ( t )
en donde: A* = P −1. A.P y B* = P −1.B
La controlabilidad de [A*, B*] y la observabilidad de [A*, C*] no se afectan
por la transformación.
En otras palabras, la controlabilidad y la observabilidad se conservan a
través de transformaciones de semejanza.
El teorema se comprueba fácilmente al mostrar que los rangos de S* y S y
los rangos de V* y V son idénticos, en donde S* y V* son las matrices de
controlabilidad y observabilidad, respectivamente, del sistema
transformado.
Tenemos que:
S * =  B*
A* .B*
A*2 .B* ...... A*n −1 .B* 
Usando A* = P −1. A.P y B* = P −1.B , nos queda:
[
S * = P −1 .B
]
P −1 . A.P.P −1 .B P −1 . A.P.P −1 . A.P.P −1 .B .........
S =  P .B P . A.B P . A .B ...... P . A .B 
S * = P −1.  B A.B A2 .B ...... An −1.B  = P −1 .S
Por lo tanto:
S * = P −1.S
(12)
*
−1
−1
−1
2
−1
n −1
Como P-1 es no singular el rango de S será igual al de S*. Por lo tanto si la
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planta es controlable con el modelo original, también lo será con el modelo
transformado.
Para la observabilidad se puede ver que:
V * = V .P
(13)
Como P es no singular el rango de V será igual al de V*.
Teorema 11:
La Controlabilidad de una planta a controlar es invariante con respecto a la
realimentación de los estados. Por ende el par [(A-BK), BG], para cualquier
vector o matriz K (1xn), es controlable si y solo si el par [A, B] lo es.
Se demuestra de la siguiente manera. La matriz de controlabilidad del
sistema a lazo abierto es:
S =  B
A.B
A2 .B ...... An −1 .B 
y la matriz de controlabilidad del sistema a lazo cerrado será:
; Si G = 1
S K =  B ( A − B.K ).B ( A − B.K ) 2 .B ...... ( A − B.K ) n −1 .B 
No es difícil chequear que S y SK están relacionadas de la forma:
 1 − K .B − K .( A − B.K ).B

1
− K .B
 0
 0
0
1
SK = S. 
......
...... ......
...... ......
......

0
0
 0
...... − K ( A − B.K ) n − 2 .B 

...... − K ( A − B.K )n −3 .B 
...... − K ( A − B.K ) n − 4 .B 

......
......


......
......

0
1
 nxn
Notar que como K(1xn) y B(nx1) , todos los elementos de la última matriz son
escalares y como es triangular superior es no singular, por ende el rango
de S es igual al de SK . Así el sistema de lazo cerrado es controlable si y solo
si el de lazo abierto lo es.
Por otra parte, si [A, B] no es controlable, no existe K que haga al par
[(A-BK), B], sea controlable.
En otras palabras, si la planta es no controlable, no puede convertirse n
controlable el sistema de lazo cerrado por medio de la realimentación de los
estados.
Teorema 12:
La Observabilidad de un sistema de lazo cerrado puede ser destruida por la
realimentación de los estados. O sea, la observabilidad de un sistema no es
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invariante (siempre) con respecto a la realimentación de los estados.
El siguiente ejemplo demuestra esto:
Ejemplo 19: Sea la planta siguiente:
 −6 −10 
A=

 −1 −3 
;
0 
B= 
1 
;
C = [ 2 −2.5] ;
D=0
Se puede ver que el par [A, B] es controlable y el par [A,C] es observable,
pues:
0 −10 
A.B ] = 
Rango(S) = 2 = n

1 −3 
−2.5 
 C   2
V =
=
Rango (V) = 2 = n


C. A  −9.5 −12.5
S = [B
La realimentación de los estados se define como:
u(t ) = G.r(t ) − K .u (t )
en donde: K = [ k1 k2 ]
El sistema en lazo cerrado se describe por la ecuación de estado:
•
x ( t ) = ( A − B.K ).x (t ) + ( B.G ).r( t )
−10 
 −6
( A − B.K ) = 

 −(1 + K1 ) −(3 + K 2 ) 
La matriz de la observabilidad en lazo cerrado es:
2
−2,5
C


 
V =
=


C.( A − B.K )  (2,5K1 − 9,5) (2,5K 2 − 12,5) 
El determinante de V es:
|V| = 6,25.K1 + 5. K2 – 48,75
Por lo que si K1 y K2 se eligen para que |V| = 0, el sistema en lazo cerrado
será no observable. Como sabemos si un sistema es controlable pero no
observable, deberá tener al menos un cero y un polo común la función de
transferencia (pues ya se vio que la controlabilidad era invariante). O sea,
si se elige uno o más polos que cancelen ceros de la Gp(s) vuelve a estos
modos no observables. O sea que:
6,25. K1 + 5.K2 = 48,75
K2 = 9,75 -1,25.K1
(14)
Sería una recta en el plano K2 = f (K1), (la roja), y sus puntos serían valores
de K = [K1 K2] que hacen al sistema de lazo cerrado no observable. Como
G p ( s ) = C.(s.I − A) −1 .B =
− 2,5.( s + 14)
( s + 1).(s + 8)
Por lo tanto, si se eligen K1 y K2 de acuerdo a la relación (14), un polo se
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ubicará en -14, y el otro en algún lugar del eje real. Para puntos fuera de
esa recta, el sistema será observable, o sea ningún polo se ubicará en -14.
Si además se desea que el sistema sea estable la relación entre K1 y K2
deberá ser:
[s.I − A + B.K ] =
s+6
1 + K1
10
= s 2 + (9 + K 2 ).s + (8 + 6.K1 − 10.K1 ) = 0
s + 3 + K2
Las restricciones serán:
9 + K2 > 0
K2 > - 9
y
5
4
K 2 > .K 1 −
3
3
(8 + 6.K 1 - 10.K1 ) > 0
En el plano K2 = f (K1) la zona de estabilidad es sombreada y demarcada
por las líneas azules en la figura 14. En ella también se observa la línea
para que el sistema sea no observable (la roja, ecuación (14)).
Para que el sistema sea estable y no observable:
⇒
K1 < 3,8
K2 > 5
en la ecuación 14.En la gráfica están marcadas cuatro matrices K a saber:
1.
2.
3.
4.
K = [7,8 0]
polos en -14 y +5
polos en -14 y 0
K = [3,8 5]
polos en -14 y -4,75
K = [0 9,75]
polos en -14 y -10
K = [− 4,2 15]
Si se elige K = [− 4,2 15] resulta:
− 6 − 10
Ac = 

3,2 − 18
;
0  0 
Bc =   =  
G  − 4
; Cc = [2 − 2,5]
Se elige G = - 4 para que M(0)= 1, sistema seguidor tipo 1.M ( s ) = C c .( s.I − A + B.K ) −1 .Bc =
− 2,5.G.( s + 14)
( s + 10).(s + 14)
Para G = - 4
M (s) =
10
( s + 10)
Esto demuestra también que la realimentación de los estados puede mover
los polos paro no tiene ningún efecto sobre los ceros.
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Figura 14:
Principio de Dualidad.
Este principio establece que:
“Una planta será controlable (observable), si y solo si su planta dual es
observable (controlable)”.
O sea a partir de este principio de controlabilidad (observabilidad) de una
planta cualquiera se puede verificar probando la observabilidad
(controlabilidad) de su planta dual.
Ejemplo 20: Una planta tiene las matrices siguientes:
1
− 1 0

A =  1 − 2 0 
0 − 3
 0
;
0 
B = 0
1
;
C = [1 1 0]
;
D=0
1 
B = 1
0
;
C = [0 0 1]
;
D=0
La forma dual será:
0
− 1 1

A =  0 − 2 0 
 1
0 − 3
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;
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Para el mismo:
[
S= B
A.B
1 0 − 2
A .B = 1 − 2 4 
0 1 − 3
2
]
Rango ( S ) = 2 ≠ 3
Por ende el sistema original será no observable, conclusión que se puede
llegar con:
1
0
 C  1



V =  C. A  =  0 − 2 1  = S T
C. A 2  − 2 4 − 3
Rango (V) = 2 ≠ 3
planta no observable
Y como
 C  0 0 1


V =  C. A  =  1 0 − 3
C. A 2  − 4 1 9 


 
Rango ( V ) = 3 = n
Por lo tanto el sistema original será controlable.
-------------------------------------------------
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