METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS

METODO DE LOS MINIMOS
CUADRADOS
ANALISIS NUMERICO/ METODOS
NUMERICOS
-2008-
AJUSTE
• Para estudiar el comportamiento de una serie
de datos obtenidos empíricamente, constituidos
por puntos dados mediante pares ordenados de
números, asociados con los valores de dos
variables, es necesario contar con una función,
que exprese analíticamente la relación funcional
que guardan las variables en cuestión.
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AJUSTE E INTERPOLACION
• INTERPOLACION : se caracteriza por suponer
que los datos que intervienen en el problema
son exactos; por lo cual en la construcción de
la FUNCION DE INTERPOLACION se exige
que la misma satisfaga todos y cada uno de los
valores que constituyen los datos .
• AJUSTE : supone que los datos ingresados
están afectados en cierto grado de errores
debido al modelado, por lo que, no resulta
indispensable que la CURVA DE AJUSTE
correspondiente, pase exactamente por los
puntos que representan los datos, sino que, en
promedio la aproximación sea óptima de
acuerdo a un cierto y determinado criterio,
denominado CRITERIO DE AJUSTE.
• El iniciador de estos procedimientos fue Gauss,
quien desarrollo el tan conocido METODO DE
LOS MINIMOS CUADRADOS .
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METODO DE LOS MINIMOS
CUADRADOS
• Es una técnica de Análisis Numérico en la que,
dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se
intenta encontrar la función que mejor se
aproxime a los datos (un “mejor ajuste”).
• En su forma más simple, intenta minimizar la
suma de cuadrados de las diferencias
ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos
generados por la función y los correspondientes
en los datos.
VENTAJAS
• Es objetivo, sólo depende de los resultados
experimentales.
• Es reproducible, proporciona la mismaa ecuación, no
importa quién realice el análisis.
• Proporciona una estimación probabilística de la
ecuación que representa a unos datos experimentales.
• Proporciona intervalos pequeños de error
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RESTRICCIONES
• Sólo sirve para ajustar modelos lineales
• Requiere tener, al menos, diez mediciones bajo
las mismas circunstancias experimentales.
• Tales resultados deben estar descritos por una
distribución de probabilidad conocida. La más
común es la distribución normal o gaussiana.
• Se requiere de algún equipo de cálculo, de lo
contrario, es muy engorroso.
PROCEDIMIENTO ESTADISTICO
PARA ENCONTRAR LA LINEA
RECTA DE “MEJOR AJUSTE”
• Si se denota el valor ajustado o de pronóstico
para y por ŷ entonces la ecuación de
pronóstico o predicción es:
representan estimaciones de las verdaderas
β0 y β1
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•Lo que se busca es minimizar las desviaciones
escogiendo la recta que se ajuste “mejor. Se
requiere de un criterio para calificar “mejor
ajuste”, que resulte tanto razonable como objetivo
y que bajo ciertas suposiciones de buenas
predicciones de y dado un valor de x.
•suma de cuadrados del error
•Con las siguientes formulas se pueden obtener
los valores numéricos de
• Con las siguientes formulas se pueden obtener los valores
numéricos de
En donde
Una vez que se hayan calculado, se sustituyen sus valores en la
ecuación de la recta y se obtiene la ecuación de predicción de
mínimos cuadrados:
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EJEMPLO
yi xi
• Obtenga la recta de
predicción de mínimos
cuadrados para el problema
cuyos datos aparecen en la
tabla 11.1
101
1.2
92
8
110
1.0
120
1.3
90
7
82
8
93
1.0
75
6
91
9
105
1.1
6