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METODO DE MINIMOS CUADRADO
CURSO:
ELECTRÓNICA
INTEGRANTES:
DURAND MENDOZA ALEX
SARMIENTO UBAQUI ANA
DOCENTE:
CARBAJAL
CARRERA:
INGENIERÍA DE SISTEMAS
CICLO:
V
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INDICE
INTRODUCCION……………………………………………………………………..........................2
ANTECEDENTES………………………………………………………………………………………..3
CAPITULO I
1.1 Método de mínimos cuadrados……………………………………………………..….…4
CAPITULO II
2.1 Error estándar en la Desviación………………………………………………………..…8
2.2 Ejemplo……………………………………………………………………………………....8
CAPITULO III
3.1Ventajas………………………………………………………………………………….…..10
3.2Restricciones…………………………………………………………………………….….10
CAPITULO IV
4.1 Algoritmo……………………………………………………………………………….…...11
4.2 Matlab ………………………………………………………………………………..........11
CONCLUSIONES………………………………………………………………………….…………...12
BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………………..........13
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INTRODUCCION
El presente trabajo forma parte de los objetivos y contenidos de aprendizaje de la cátedra
estadística, que pretende desarrollar las habilidades para la utilización de los métodos lineales y
estimación de mínimos cuadrados.
Para lograr este fin, se realizo la consulta de una bibliografía básica la cual permitió desarrollar
los conceptos y ejemplos, como base para realizar una exposición adecuada en el salón de
clases. En este trabajo básicamente se habla de cómo desarrollar la aplicación de los métodos
lineales y estimación por mínimos cuadrados que es el procedimiento mas adecuado para
determinar la mejor aproximación lineal. Se desarrollaron una serie de ejemplos mediante los
cuales se trata de presentar manera mas sencilla usar estos métodos.
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ANTECEDENTES
El día de Año Nuevo de 1801, el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi descubrió el planeta enano
Ceres. Fue capaz de seguir su órbita durante 40 días. Durante el curso de ese año, muchos
científicos intentaron estimar su trayectoria con base en las observaciones de Piazzi (resolver las
ecuaciones no lineales de Kepler de movimiento es muy difícil). La mayoría de evaluaciones
fueron inútiles; el único cálculo suficientemente preciso para permitir a Zach, astrónomo alemán,
reencontrar a Ceres al final del año fue el de un Carl Friedrich Gauss de 24 años (los
fundamentos de su enfoque ya los había planteado en 1795, cuando aún tenía 18 años). Pero su
método de mínimos cuadrados no se publicó hasta 1809, apareciendo en el segundo volumen de
su trabajo sobre mecánica celeste, Theoria Motus Corporum Coelestium in sctionibus conicis
solem ambientium. El francés Adrien-Marie Legendre desarrolló el mismo método de forma
independiente en 1805.
En 1829 Gauss fue capaz de establecer la razón del éxito maravilloso de este procedimiento:
simplemente, el método de mínimos cuadrados es óptimo en muchos aspectos. El argumento
concreto se conoce como teorema de Gauss-Márkov.
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MÉTODOS DE MÍNIMOS CUADRADOS.
El procedimiento mas objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en un
diagrama de dispersión se conoce como "el método de los mínimos cuadrados" el ejemplo mas
simple de una de una aproximación por minimos cuadrados es el ajuste de una línea recta a un
conjunto de parejas de datos observadas:(𝑥1 𝑥1 ), (𝑥2 𝑥2 ), (𝑥3 𝑥3 ), … … (𝑥𝑛 𝑥𝑛 ). La recta
resultante y=a+bx+E, en donde ay b son coeficientes que representan la intersección con el eje
de las abscisas y la pendiente, E es el error o residuo entre las observaciones y el modelo, E= ya+bx, y presenta dos características importantes:
1. Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la recta de ajuste
∑(Y- Y) = 0.
2. Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría una
suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado
∑ (Y - Y)² → 0 (mínima).
El método de mínimos cuadrados para resolver los problemas requiere determinar mejor la línea
de aproximación cuando el error es la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores
de y en la línea de aproximación y los valores de y dados. Por tanto hay que encontrar
constantes a y b que reduzcan al mínimo error de los mínimos cuadrados.
El procedimiento consiste entonces en minimizar los residuos al cuadrado Ci²
Re emplazando
nos queda
La obtención de los valores de a y b que minimizan esta función es un problema que se puede
resolver recurriendo a la derivación parcial de la función en términos de a y b: llamemos G a la
función que se va a minimizar:
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Tomemos las derivadas parciales de G respecto de a y b que son las incógnitas y las igualamos
a cero; de esta forma se obtienen dos ecuaciones llamadas ecuaciones normales del modelo
que pueden ser resueltas por cualquier método ya sea igualación o matrices para obtener los
valores de a y b.
Con respecto a los parámetros a y b para que haya un mínimo, debemos tener:
………………….(β)
Estas ecuaciones se simplifican en las ecuaciones normales:
𝑎0 . 𝑛 + 𝑎1 ∑𝑥𝑖 = ∑𝑦𝑖
𝑦
𝑎0 ∑𝑥𝑖 + 𝑎𝑖 ∑𝑥𝑖2 = ∑𝑥𝑖 𝑦𝑖
donde la solución de este sistema de ecuación es:
𝐚𝟎 =
∑𝐱 𝟐 𝐢 ∑𝐲𝐢 − ∑𝐱 𝐢 𝐲𝐢 ∑𝐱 𝐢
𝐧(∑𝐱 𝟐 𝐢 ) − (∑𝐱 𝐢 )𝟐
𝐛𝟎 =
𝐧∑𝐱 𝐢 𝐲𝐢 − ∑𝐱 𝐢 ∑𝐲𝐢
𝐧(∑𝐱 𝐢𝟐 ) − (∑𝐱 𝐢 )𝟐
Derivamos parcialmente la ecuación (β) respecto de a.
………………. Primera ecuación normal
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Derivamos parcialmente la ecuación respecto de b
………………….Segunda ecuación normal
Los valores a y b también se pueden obtener de la siguiente forma: partiendo de las ecuaciones
normales tenemos.
..................................(1)
………………………..(2)
Si dividimos todos los términos de la ecuación (1) entre n nos queda:
Tenemos entonces que el primer término es
termino es la incógnita b multiplicada por
el segundo término es la incógnita a y el tercer
por tanto nos queda:
entonces:
Reemplazando a en la ecuación (2) tenemos
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Para obtener las estimaciones Minimo-Cuadraticas se tiene que resolver el sistema de
ecuaciones normales de la primera y segunda ecuación: Considerando que la recta de la
tendencia estimada es de la forma:
La solución para encontrar a y b en las SERIES DE TIEMPO para años consecutivos donde x es
el tiempo, se simplifican enormemente considerando el punto medio de la serie como origen, ya
que de esta manera se tiene que ∑𝑥 = 0, en consecuencia las ecuaciones normales se
convierten en:
∑y = n. a
∑xy = b∑x 2
De donde se obtiene:
Entonces, la ecuación de la línea de tendencia es:
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CAPITULO II
2.1
Error Estándar en la Estimación
El error estándar de la estimación designado por 𝑆𝑥𝑦 mide la disparidad "promedio"
entre los valores observados y los valores estimados de
.
Se utiliza la siguiente fórmula:
𝑺𝒙𝒚 = √
2.2
∑(𝒚 −
)
𝒏−𝟐
EJEMPLO:
Obtenga la línea de mínimos cuadrados que aproxima a estos datos.
𝒙𝒊
𝒙𝒊 𝟐
𝒚𝒊
1
1.3
2
3.5
3
1
Error
𝒙 𝒊 𝒚𝒊
1.3
1.18
0.0144
4
7.0
2.72
12.25
4.2
9
12.6
4.25
0.0025
4
5.0
16
20.0
5.79
0.6241
5
7.0
25
35.0
7.33
0.1089
6
8.8
36
52.8
8.87
0.0049
7
10.1
49
70.7
10.41
0.0961
8
12.2
64
100.0
11.94
0.0676
9
13.0
81
117.0
13.48
0.2304
10
15.6
100
156.0
15.02
0.3364
10
55
81.0
385
572.4
80.99
12.8844
Datos:
∑𝑦𝑖 = 81.0
∑𝑥𝑖 2 = 385
∑𝑥𝑖 𝑦𝑖 = 572.4
n=10
𝐚𝟎 =
∑𝐱 𝟐 𝐢 ∑𝐲𝐢 −∑𝐱𝐢 𝐲𝐢 ∑𝐱𝐢
𝐧(∑𝐱 𝟐 𝐢 )−(∑𝐱𝐢 )𝟐
𝐧∑𝐱 𝐲 −∑𝐱 ∑𝐲
𝐛𝟎 = 𝐧(∑𝐱𝐢 𝟐𝐢)−(∑𝐱𝐢 )𝟐𝐢
𝟑𝟖𝟓(𝟖𝟏)−𝟓𝟓(𝟓𝟕𝟐.𝟒)
𝐛=
𝐢
𝐢
𝐚=
𝟏𝟎(𝟑𝟖𝟓)−(𝟓𝟓)𝟐
𝟏𝟎(𝟓𝟕𝟐.𝟒)−𝟓𝟓(𝟖𝟏)
𝟏𝟎(𝟑𝟖𝟓)−(𝟓𝟓)𝟐
= −𝟎. 𝟑𝟔𝟎
= 𝟏. 𝟓𝟑𝟖
Por lo tanto la ecuación lineal con ajuste por mínimos cuadrados es:
= -0.360+1.538X
𝐄𝐫𝐫𝐨𝐫 = (yi − (a + bxi ))2
)2
𝐄𝐫𝐫𝐨𝐫 = (yi −
𝑺𝒙𝒚 = √
∑(𝒚−
𝒏−𝟐
)𝟐
𝟏𝟐.𝟖𝟖
= √𝟏𝟎−𝟐 = 𝟏. 𝟐𝟔𝟖𝟖𝟕𝟕𝟓𝟒
Como esta medida trata de resumir la disparidad entre lo observado y lo estimado, es decir, trata
de medir la diferencia promedio entre lo observado y lo estimado ó esperado de acuerdo al
modelo, puede considerarse como un indicador del grado de precisión con que la ecuación de
regresión, describe la relación entre las dos variables. Este error estándar se ve afectado por las
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unidades y sus cambios ya que es una medida absoluta, pues, se da en la misma unidad de
medida que esta dada la variable Y;
GRAFICA DE LOS VALORES REALES X e Y
y
18
16
14
12
y
10
Линейная (y)
8
Линейная (y)
6
Линейная (y)
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
GRAFICA DE LOS VALORES ESTIMADOS
y´
16,00
14,00
12,00
10,00
y´
8,00
Линейная (y´)
6,00
Линейная (y´)
4,00
2,00
0,00
0
2
4
6
8
10
12
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CAPITULO III
3.1 Ventajas adicionales
•
Es objetivo, sólo depende de los resultados experimentales.
•
Es reproducible, proporciona la misma ecuación no importa quién realice el
análisis.
•
Proporciona una estimación probabilística de la ecuación que representa a unos
datos experimentales.
•
Proporciona intervalos pequeños de error.
3.2 Restricciones
•
Sólo sirve para ajustar modelos lineales
•
Requiere tener, al menos, diez mediciones bajo las mismas circunstancias
experimentales.
•
Tales resultados deben estar descritos por una distribución de probabilidad
conocida. La más común es la distribución normal o gaussiana.
•
Se requiere de algún equipo de cálculo, de lo contrario, es muy engorroso.
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CAPITULO IV
4.1 Algoritmo del método por Mínimos Cuadrados:
•
Entrada: Número de datos n, datos (x,y)
•
1.- Hacer sumx, sumy, sumxy, sumx2 = 0
2.- Hacer i=0
3.- Mientras i<=n-1 hacer
•
4.- Hacer sumx=sumx+x(i)
5.- Hacer sumy=sumy+y(i)
6.- Hacer sumx2=sumx2+(x(i)*x(i))
7.- Hacer sumxy=sumxy+(x(i)*y(i))
8.- Hacer i=i+1
•
9.- Hacer Denominador=sumx*sumy-n*sumx2
10.- Hacer m=(sumx*sumy-n*sumxy)/Denominador
11.- Hacer b=(sumx*sumxy-sumx2*sumy)/Denominador
12.- Imprimir m y b
4.2 Matlab método por mínimos cuadrados:
x = [0.1, 0.4, 0.5, 0.7, 0.7, 0.9];
y = [0.61, 0.92, 0.99, 1.52, 1.47, 2.03];
c = polyfit(x,y,1)
c1 = x(1):0.1:x(length(x))
c2 = polyval(c,c1)
plot(c1,c2);hold on
plot(x,y,'x')
axis([0,1,0,2.1])
xlabel('x')
ylabel('y')
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CONCLUSIÓN
Mediante este método podemos obtener un ajuste objetivo de una línea recta a una serie
de datos.
Es un Método objetivo para encontrar la ecuación de un modelo lineal.
Solamente nos sirve para ajustar modelos lineales si este no es el caso, se debe buscar
otro método de ajuste.
Proporciona errores pequeños.
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BIBLIOGRAFIA
http://www.monografias.com/trabajos16/metodos-lineales/metodos-lineales.shtml
http://www.scribd.com/doc/5707214/Minimos-Cuadrados
http://www.zweigmedia.com/MundoReal/calctopic1/regression.html
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/regresion/regresion.htm
http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/div/forpear.html
http://www.hispasonic.com/comunidad/metodo-ajuste-por-minimos-cuadrados-t94047.html
http://html.rincondelvago.com/aproximacion-por-minimos-cuadrados.html
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%ADnimos_cuadrados
http://webdiee.cem.itesm.mx/web/servicios/archivo/tutoriales/metodos/algoritmos/aprox/minimos.
html
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