Granero – Bola de nieve

Pauta para Examen N°1 ,
Elaborada por Addi Josué Elvir C. , para la Secciones 1601, 1701.
N°1 Una caja de peso Fg es empujada por una fuerza P sobre un piso horizontal. Si el coeficiente
de fricción estática es μs y P está dirigida a un ángulo θ debajo de la horizontal, muestre que el
valor mínimo de P que moverá la caja esta dado por:
ࡼ = ࣆ࢙ ࡲࢍ ࡿࢋࢉࣂሺ૚ − ࣆ࢙ ࢀࢇ࢔ࣂሻି૚
Situación
Diagrama de Cuerpo libre
Del diagrama, aplicando la primera Ley de Newton tenemos:
෍ ‫ܨ‬௫ = 0
෍ ‫ܨ‬௬ = 0
ܲ௫ − ݂௦ = 0
݊ − ܲ௬ − ‫ܨ‬௚ = 0
ܲ ܿ‫ ߠݏ݋‬− ߤ௦ ݊ = 0
݊ = ܲ ‫ ߠ݊݁ݏ‬+ ‫ܨ‬௚
ܲ ܿ‫ ߠݏ݋‬− ߤ௦ ሺܲ ‫ ߠ݊݁ݏ‬+ ‫ܨ‬௚ ሻ = 0
ܲ ܿ‫ ߠݏ݋‬− ߤ௦ ܲ ‫ ߠ݊݁ݏ‬− ߤ௦ ‫ܨ‬௚ = 0
Ahora dividamos toda la ecuación entre cos θ :
௉ ௖௢௦ఏ
௖௢௦ఏ
−
ఓೞ ௉ ௦௘௡ఏ
௖௢௦ఏ
−
ఓೞ ி೒
௖௢௦ఏ
ܲ − ߤ௦ ܲ ܶܽ݊ ߠ − ߤ௦ ‫ܨ‬௚ ‫ = ߠ ܿ݁ݏ‬0
=0
Sacando factor común P y acomodando la ecuación:
ܲ ሺ1 − ߤ௦ ܶܽ݊ ߠሻ = ߤ௦ ‫ܨ‬௚ ‫ߠܿ݁ݏ‬
Despejando para P :
ܲ = ߤ௦ ‫ܨ‬௚ ‫ ߠܿ݁ݏ‬ሺ1 − ߤ௦ ܶܽ݊ ߠሻିଵ
Hemos llegado a lo requerido.
N°2 Una bola de nieve rueda del techo de un granero con inclinación hacia debajo de 40°. El borde
del techo está a 14 m del suelo y la bola tiene una rapidez de 7 m/s al dejar el techo. a) ¿ A qué
distancia al borde del granero golpea la bola el piso si no golpea otra cosa al caer? b) Un hombre
de 1.9 m de estatura está parado a 4 m del granero. ¿ Lo golpeará la bola?
‫ݏ݋ݐܽܦ‬:
‫ = ݕ‬−14 ݉
‫ = ݒ‬7 ݉/‫ݏ‬
ߠ = 40°
‫?= ݔ‬
a) Empleando la ecuación de la trayectoria:
‫ ݔ ߠ݊ܽݐ = ݕ‬− ൬
݃
൰ ‫ݔ‬ଶ
2‫ݒ‬଴ ଶ ܿ‫ ݏ݋‬ଶ ߠ
La distancia que tenemos que encontrar nos obliga a resolver una cuadrática:
݃
−൬
൰ ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ ߠ݊ܽݐ‬− ‫ = ݕ‬0
ଶ
2‫ݒ‬଴ ܿ‫ ݏ݋‬ଶ ߠ
9.8 ݉/‫ ݏ‬ଶ
−ቈ
቉ ‫ ݔ‬ଶ + tanሺ−40°ሻ ‫ ݔ‬− ሺ−14 ݉ ሻ = 0
2ሺ7 ݉/‫ݏ‬ሻଶ ሺ‫ݏ݋ܥ‬ሺ−40°ሻሻଶ
−0.1704‫ ݔ‬ଶ − 0.839‫ ݔ‬+ 14 = 0
La solución cuadrática:
‫ݔ‬ଵ,ଶ =
0.839 ± ඥሺ0.389ሻଶ − 4ሺ−0.1704ሻሺ14ሻ
2ሺ−0.1704ሻ
Quedándonos las soluciones:
‫ݔ‬ଵ = −11.59
‫ݔ‬ଶ = 6.67 ݉
La distancia a la que llega la bola de nieve con respecto a la pared es 6.67 m.
b) Para éste segundo inciso tenemos que calcular la altura que desciende la bola exactamente
encima de la persona. Por lo que tenemos que trabajar con los 4 m a los que se encuentra ubicado
de la pared. Para que la bola le pegue tiene que descender (14 m – 1.9 m) = 12.1 m arriba de él.
9.8 ݉/‫ ݏ‬ଶ
‫ = ݕ‬tanሺ−40°ሻ ሺ4 ݉ ሻ − ቈ
቉ ሺ4݉ሻଶ
2ሺ7 ݉/‫ݏ‬ሻଶ ሺ‫ݏ݋ܥ‬ሺ−40°ሻሻଶ
‫ = ݕ‬−6.08 ݉ , dado éste valor la bola no le pega a la persona.
N°3 Una curva de 120m de radio en un camino horizontal tiene el peralte apropiado para una
rapidez de 20 m/s. Si un coche la toma a 30 m/s, ¿ Qué coeficiente mínimo de fricción estática
debe de haber entre las ruedas y el camino para no barrerse?
‫ݏ݋ݐܽܦ‬:
ܴ = 120 ݉
‫ݒ‬ଵ = 20 ݉/‫ݏ‬
‫ݒ‬ଶ = 30 ݉/‫ݏ‬
ߤ௦ = ?
Situación
Diagrama de cuerpo libre para cuando el auto va a 20 m/s ( No hay fricción):
Primera Ley :
෍ ‫ܨ‬௬ = 0
݊௬ − ‫ = ݓ‬0
݊ ܿ‫݃݉ = ߚݏ݋‬
݊=
௠௚
௖௢௦ఉ
ሺ1ሻ
En el eje “x” aplicamos segunda Ley:
෍ ‫ܨ‬௫ = ݉ܽ ௥
݊௫ = ݉ܽ ௥
݊ ‫ ܽ݉ = ߚ݊݁ݏ‬௥
Sustituyendo el despeje de la normal (1) en (2):
௠௚
௖௢௦ఉ
‫ݎ ܽ݉ = ߚ݊݁ݏ‬1
Cancelando las masas y sustituyendo la fórmula de aceleración Radial:
݃ܶܽ݊ߚ =
௩భ మ
ோ
(2)
Nos queda una fórmula para obtener el ángulo del peralte:
ߚ = ܶܽ݊ିଵ ሺ
௩భ మ
௚ோ
)
(3)
Ahora analizaremos cuando el coche va 30 m/s
En éste caso agregamos la fuerza de fricción estática que como vector iría en sentido contrario al
posible movimiento del coche, el cual tendería a salirse de la curva. Por lo que la fuerza de fricción
va hacia adentro al ras de la superficie inclinada.
Volvemos a aplicar las Leyes de Newton:
෍ ‫ܨ‬௫ = ݉ܽ௥ଶ
෍ ‫ܨ‬௬ = 0
݊௫ + ݂௦௫ = ݉ܽ௥ଶ
݊௬ − ݂௦௬ − ‫ = ݓ‬0
݊‫ ߚ݊݁ݏ‬+ ߤ௦ ݊ܿ‫ܽ݉ = ߚݏ݋‬௥ଶ
ሺ4ሻ
݊ܿ‫ ߚݏ݋‬− ߤ௦ ݊‫݃݉ = ߚ݊݁ݏ‬
ሺ5ሻ
Si dividimos la ecuación (4) entre la ecuación (5) :
௡௦௘௡ఉା ఓೞ ௡௖௢௦ఉ
௡௖௢௦ఉି ఓೞ ௡௦௘௡ఉ
=
௠௔ೝమ
௠௚
Del lado izquierdo de la ecuación podemos cancelar la normal y en el lado derecho la masa:
௦௘௡ఉା ఓೞ ௖௢௦ఉ
௖௢௦ఉି ఓೞ ௦௘௡ఉ
=
௔ೝమ
௚
Acomodando la ecuación:
݃ሺ‫ ߚ݊݁ݏ‬+ ߤ௦ ܿ‫ߚݏ݋‬ሻ = ܽ௥ଶ ሺܿ‫ ߚݏ݋‬− ߤ௦ ‫ߚ݊݁ݏ‬ሻ
݃ ߤ‫ ߚݏ݋ܿ ݏ‬+ ܽ‫ݎ‬2 ߤ‫ݎܽ = ߚ݊݁ݏ ݏ‬2 ܿ‫ ߚݏ݋‬− ݃‫ߚ݊݁ݏ‬
ߤ௦ ሺ݃ܿ‫ ߚݏ݋‬+ ܽ௥ଶ ‫ ߚ݊݁ݏ‬ሻ = ܽ௥ଶ ܿ‫ ߚݏ݋‬− ݃‫ߚ݊݁ݏ‬
Despejando para el coeficiente de fricción:
ߤ௦ =
௔ೝమ ௖௢௦ఉି௚௦௘௡ఉ
௚௖௢௦ఉ ା௔ೝమ ௦௘௡ఉ
Para que no tengamos tanto dato en la ecuación, vamos a calcular el ángulo con la ecuación (3) y
la aceleración radial:
ߚ = ܶܽ݊ିଵ ሺ
ܽ௥ଶ =
௩మ మ
ோ
=
௩భ మ
௚ோ
) =ܶܽ݊ିଵ [
ሺଷ଴ ௠/௦ሻమ
ଵଶ଴ ௠
ሺଷ଴ ௠/௦ሻమ
] = 18.79°
ሺଽ.଼ ௠/௦ మ ሻሺଵଶ଴௠ሻ
= 7.5 ݉/‫ ݏ‬ଶ
Sustituyendo estos resultados para encontrar el μs :
ߤ௦ =
ሺ7.5 ݉/‫ ݏ‬ଶ ሻcos ሺ18.79°ሻ − ሺ9.8 ݉/‫ ݏ‬ଶ ሻ‫݊݁ݏ‬ሺ18.79°ሻ
ሺ9.8 ݉/‫ ݏ‬ଶ ሻܿ‫ݏ݋‬ሺ18.79°ሻ + ሺ7.5 ݉/‫ ݏ‬ଶ ሻ‫݊݁ݏ‬ሺ18.79°ሻ
ߤ௦ = 0.34
N°4 Dos bloques conectados por un cordel que pasa por una polea pequeña sin fricción descansan
en un plano sin fricción.
a) ¿ Hacia dónde se moverá el sistema cuando los bloques se suelten del reposo?
b) ¿ Qué aceleración tienen los bloques?
c) ¿ Qué tensión hay en el cordel?
‫ݏ݋ݐܽܦ‬:
݉ଵ = 100 ݇݃
݉ଶ = 50 ݇݃
ߙ = 30°
ߠ = 53.1°
ܽ =?
ܶ =?
a) Asumimos que el movimiento es hacia la derecha debido a la diferencia de masas, aunque la
dirección real lo determinará el signo final de la aceleración.
Para m1 :
Para m2 :
Aplicando la Segunda Ley a ambos cuerpos:
෍ ‫ܨ‬௫ = ݉ଵ ܽ
‫ݓ‬ଵ௫ − ܶ = ݉ଵ ܽ
෍ ‫ܨ‬௫ = ݉ଶ ܽ
ܶ− ‫ݓ‬ଶ௫ = ݉ଶ ܽ
(1)
ܶ = ݉ଶ ܽ + ‫ݓ‬ଶ௫
(2)
Sustituyendo el despeje de T (2) en la ecuación (1) :
‫ݓ‬ଵ௫ − ሺ݉ଶ ܽ + ‫ݓ‬ଶ௫ ሻ = ݉ଵ ܽ
݉ଵ ݃ ‫ ߙ݊݁ݏ‬− ݉ଶ ܽ − ݉ଶ ݃ ‫݉ = ߠ݊݁ݏ‬ଵ ܽ
Agrupando la incógnita al lado derecho de la ecuación:
݉ଵ ݃ ‫ ߙ݊݁ݏ‬−݉ଶ ݃ ‫݉ = ߠ݊݁ݏ‬ଵ ܽ + ݉ଶ ܽ
݃ሺ ݉ଵ ‫ ߙ݊݁ݏ‬−݉ଶ ‫ ߠ݊݁ݏ‬ሻ = ܽ ሺ ݉ଵ + ݉ଶ ሻ
Despejando para la aceleración:
ܽ=
௚ሺ ௠భ ௦௘௡ఈ ି௠మ ௦௘௡ఏ ሻ
ሺ ௠భ ା௠మ ሻ
Sustituyendo los valores:
ܽ=
ሺଽ.଼ ௠/௦ మ ሻሺሺ ଵ଴଴ ௞௚ሻ௦௘௡ଷ଴°ିሺହ଴ ௞௚ሻ௦௘௡ହଷ.ଵ° ሻ
ଵ଴଴ ௞௚ାହ଴ ௞௚
ܽ = 0.65 ݉/‫ ݏ‬ଶ
Para la tensión utilizamos la ecuación (2) :
ܶ = ݉ଶ ܽ + ݉ଶ ݃‫ߠ݊݁ݏ‬
ܶ = ሺ50 ݇݃ ሻሺ0.65 ݉/‫ ݏ‬ଶ + 9.8 ݉/‫ ݏ‬ଶ )
ܶ = 424.35 ܰ
Ing. Addi Elvir