f (x) - Colombia Aprende

Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
FAE
Fortalecimiento Académico al Estudiante
Ejercicio n° 39)
(x 2 +7x-2)(4x 3 +6x+1)
f’(x) (2x+7) arc tg (x 4+3x 2+x-2)+
4
2
2
Ejercicio n° 40)
(x 4 +e x+1)(6x+1)
f’(x) (4x 3 +e x) arc tg (3x 2+x+5)+
2
2
Ejercicio n° 41)
(x 3 +4x+3)(2x+2e 2x)
f’(x) (3x 2 +4) arc tg (x 2 +e2x +1)+
2
2x
2
1+(x +3x +x-2)
1+(3x +x+5)
1+(x +e +1)
Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno
f’(x) arc sen (x 2 +2)+
Ejercicio n° 43)
f’(x) (2x+4) arc sen (x 4 +3x 2+1)+
Ejercicio n° 44)
f’(x) (3x 2+2e 2x) arc sen (3x 2 -2x+2)+
2
1-(x 2 +2)2
(x 2 +4x+2)(4x 3 +6x)
Ejercicio n° 45)
f’(x)
Ejercicio n° 46)
f’(x) (5x 4 -8x+3) arc sen (e2x+4 3x+2)+
En esta cartilla encontrarás guías, talleres y algunas técnicas que te
ayudarán a mejorar tu rendimiento académico en diferentes aéreas
tales como matemáticas, contabilidad, entre otras.
ENTRESALTOS
2x(x+3)
Ejercicio n° 42)
1-(x 4 +3x 2+1)2
(x 3 +e 2x +3)(6x-2)
1-(3x 2 -2x+2)2
(2e 2x+3•4 3x+1) arc sen (3x 2 -4x+1)+
(e 2x+4 3x+x+2)(6x-4)
1-(3x 2 -4x+1)2
(x 5 -4x 2 +3x+2)(2e2x +3•4 3x ln4)
1-(e 2x+4 3x+2) 2
59
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
Ejercicio n° 28)
f’(x) (8x -3)cos(3x 2-5)-6x(4x 2-3x+1)sen(3x 2 -5)
5
2
4
6
3
3
2
Ejercicio n° 29)
f’(x) (24x +3x +1)cos(x +7x)-(4x +x +x-2)(4x +3x +1)sen(x +7x)
Ejercicio n° 30)
f’(x) (-3x 2+2)cos(x 5 -3)-5x 4 (-x 3+2x-3)sen(x5 -3)
Ejercicio n° 31)
f’(x) (3-3•53x ln5)cos(4x 3 +2 4x )-(3x-5 3x)(4x 2+4•2 4x ln2)sen(4x 3+2 4x)
f’(x)
9
-2
3
Matemáticas I
3
-2(-40x-6 + 5 x 5)cos(8x-5+3x 5 )sen(8x -5+3x 5 )
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente
Ejercicio n° 32)
f’(x) 8xtg(4x6 +7)+24x5 (4x2 -5)[1+tg2 (4x6 +7)]
Ejercicio n° 33)
f’(x) tg(x2+3x+1)+(x+2)(2x+3)[1+tg2 (x2 +3x+1)]
Ejercicio n° 34)
f’(x) (5x4+3x2)tg(3x2+2x+1)+(x5+x3+2)(6x+2)[1+tg (3x2+2x+1)]
Ejercicio n° 35)
f’(x) (2x+8e4x )tg(x 3+3x+1)+(x2+2e 4x )(3x 2+3)[1+tg 2(x3+3x+1)]
Ejercicio n° 36)
f’(x) (12x +9e )tg(x -2x+3)+(2x +3e +2)(2x-2)[1+tg (x -2x+3)]
Ejercicio n° 38)
ENTRESALTOS
58
5
Cuadros mágicos. (Guía de trabajo No 1).
Cuadros mágicos. (Guía de trabajo No 2).
Reducción de términos semejantes. (Guía de trabajo no. 1).
Productos notables. (Guía de trabajo no. 1).
Factorización. (Guía de trabajo No 1).
Factorización. (Guía de trabajo No 2).
Simplificación de fracciones algebraicas. (Guía de trabajo no. 1).
6
9
10
1
14
18
20
Matemáticas II
5
3x
2
6
3x
Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente
Ejercicio n° 37)
Contenido de interés
4
3x 2(x 2 +1)
f’(x) (2x arc tg(x 3 +5)+
3
2
1+(x +5)
f’(x)
12x(x 3 +4x 2 -5)
(3x +8x) arc tg(6x +8)+
1+(6x 2+8) 2
2
2
2
21
Derivadas de 1er nivel.
Derivadas de 2do nivel.
Derivadas de 3er nivel.
Derivadas de 4to nivel.
22
26
29
32
Respuestas
36
Cuadros mágicos. (Guía de trabajo No 1).
Cuadros mágicos. (Guía de trabajo No 2).
Reducción de términos semejantes.(Guía de trabajo no. 1).
Productos notables. (Guía de trabajo no. 1).
Factorización. (Guía de trabajo No 1).
Factorización. (Guía de trabajo No 2).
Simplificación de fracciones algebraicas. (Guía de trabajo no. 1).
Derivadas de 1er nivel.
Derivadas de 2do nivel.
Derivadas de 3er nivel.
Derivadas de 4to nivel.
36
37
38
39
39
42
44
44
48
52
55
2
Bibliografía
60
3
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Ejercicio n° 14)
f’(x)
(x 4+ 3 x 2+ 2 x+6)3 4
4
5
ENTRESALTOS
(x + 43 x 2+ 52 x+6) 2 (4x 3+ 23 x+ 52 )
3e
(- 1 x4+6x3+ 7 x 2+8x-3) 5
7
3
Ejercicio n° 15)
f’(x) 5e
Ejercicio n° 16)
f’(x) e x (5x 6+2x)
(-
1 4
x +6x 3+ 37 x 2+8x-3)4
7
(- 47 x3+18x 2+ 14
x)
3
5
Derivada de una función exponencial con base distinta del número e
4
3
2
6
4
3
2
7
Ejercicio n° 17)
f’(x) 4 (8x +5x +2x +x+4) 6(8x4+5x 3+2x 2+x+1)5(32x3+15x2+4x+1)ln(4)
Ejercicio n° 18)
f’(x) 5 (2x +4x +3x +x+4) 7(2x4+4x 3+3x 2+x+4)6(8x 3+12x 2+6x+1)ln(5)
Ejercicio n° 19)
f’(x) 5 (2x +x +x
Ejercicio n° 20)
f’(x) 6 (-3x +x
Ejercicio n° 21)
f’(x)
5
4
6
2
-2
+2x+3)2
-6
+2)-3
(-4)(-3x6+x -6+2)-4(-18x 5-6x -7)ln(6)
( 2 x 5+4x 3+ 7 x-3)6
9
2(2x 5+x 4 +x -2+2x+3)7(10x4+4x 3 -2x-3 +2)ln(3)
5
6(-
2 5
x +4x 3+ 57
9
x -3)5 (- 10
x 4+12x 2+ 75 )ln(2)
9
Derivada de una función trigonométrica tipo seno
BIENVIENID@S al mejor espacio cognitivo y de esparcimiento
académico que te ofrece la Tecnológica FITEC. En esta sección
pondrás a prueba todos tus conocimientos sobre matemáticas
empleando el razonamiento lógico y deductivo de una manera
didáctica y divertida que te servirá para fortalecer tus conocimientos.
Adelante…
Ejercicio n° 22)
f’(x) 3sen(4x 2 +5)+8x(3x+4)cos(4x 2 +5)
Ejercicio n° 23)
f’(x) (12x 3 +1)sen(x 2+4x-1)+(3x 4 +x+2)(2x+4)cos(x 2 +4x-1)
Ejercicio n° 24)
f’(x) (3x 2 -4e2x)sen(3x 2 +3e4x)+(x 3 -2e 2x)(6x+12e4x)cos(3x 2 +3e4x)
Ejercicio n° 25)
f’(x) (10x 4 -6e2x)sen(4x 3 -5)+12x 2 (2x 5 -3e2x)cos sen(4x3 -5)
Ejercicio n° 26)
f’(x) (12x+3•23x ln 2)sen(2x 5 -3ex)+(6x 2 2 3x )(10x 4 -3e x)cos(2x 5-3e x )
Derivada de una función trigonométrica tipo coseno
Ejercicio n° 27)
ENTRESALTOS
4
f’(x) 14xcos(3x 4 -3)-12x 3 (7x 2 +12)sen(3x4 -3)
57
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
Ejercicio n° 4)
f’(x) 5(4x3+2x -2+3x+-4)-6(12x 2 -4x-3+3)
Ejercicio n° 5)
f’(x)
-7(-3x 6+4x -1+3x -6+-3)-8(-18x 5 -4x-2-18x -7)
Derivada de una función logarítmica
Ejercicio n° 6)
f’(x)
Ejercicio n° 7)
f’(x)
6(12x2+2x+3)
4x 3+x 2 +3x+5
5(12x 3 - 12x-14x-5)
7
3x4 -6x 4 + x -4 +6
2
7(21x 3 -
Ejercicio n° 8)
Ejercicio n° 9)
Ejercicio n° 10)
f’(x)
7x 3 +
f’(x)
f’(x)
3 -2
x -14x -3)
8
3 -1
x +7x -2+3
8
-5(15x 2 -6x -3+4)
5x 3 +3x -2 +4x-4
-2(-12x 3 -16x -3+48x)
-3x 4 +8x -2+24x 2 +6
Derivada de una función exponencial con base el número e
5
2
f’(x) 3e (x +x +x+8) (x 5+x2+x+8)2 (5x 4+2x+1)
Ejercicio n° 12)
f’(x) 5e (2x +4x +7x+4)(2x4-4x 2+7x+4) 4 (8x3 -8x+7)
Ejercicio n° 13)
f’(x) 2e (-5x +4x -3x-8) (-5x3+4x 2 -3x -8)(-15x 2+8x-3)
4
2
3
ENTRESALTOS
3
Ejercicio n° 11)
56
5
2
2
5
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
CUADROS MÁGICOS
Ejercicio nº 31)
f’(x)
(30x 4-1)(4x 5+2x 3+x+1)
(20x4+6x 2+1)ln(6x 5-x+8)+
6x 5-x+8
Ejercicio nº 32)
f’(x)
(-6x+10)ln(x 6+4x-5)+
Ejercicio nº 33)
f’(x) (7x6+21x 2+3)ln(4x 2-3x-1)+
GUÍA DE TRABAJO No. 1
Ø
¿Cuántos escribiste?
(-3x 2+10x-1)(6x 5+4)
x6 +4x-5
UN POCO DE HISTORIA
(x 7+7x 3+3x+1)(8x-3)
4x 2-3x-1
Derivada de una función exponencial con base e: forma compuesta
Ejercicio nº 34)
f’(x) 2e2x
Ejercicio nº 35)
f’(x) 7e7x
Ejercicio nº 36)
f’(x) (-1)e-x
Ejercicio nº 37)
f’(x) (-4)e-4x -4e -4x
Ejercicio nº 38)
Grabado del libro de Agrippa: Tabula Saturni
Ejercicio nº 49)
f’(x)
-e -x
2 e 2x3
3
4x
f’(x) 3 4e 4x 12e
Derivadas de 4to nivel
ü
1
ENTRESALTOS
6
Derivada de una función potencial
Ejercicio n° 1)
f’(x) 5(x3+x 2+x+5)4(3x 2+2x+1)
Ejercicio n° 2)
f’(x) 2(2x 4 -6x 2+ x -3+5)(8x 3 -12x-
Ejercicio n° 3)
2
2
f’(x) 8(8x 3 + x-1+7x-2+4) 7(24x 2 - x-2 -14x-3)
7
2
9
21 -4
x )
2
9
55
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
Practica:
Ejercicio nº 21)
f’(x)
-sen(x)
cos(x)
Ejercicio nº 22)
f’(x)
cos(x)
sen(x)
f’(x)
1
1+x 2
arc tg(x)
Ejercicio nº 23)
Ejercicio nº 24)
f’(x)
Ejercicio nº 25)
f’(x)
-tg(x)
ctg(x)
1.
Completa el siguiente cuadro mágico de 3x3 empleando los números de 1 a 9, de manera que
sus columnas, filas y diagonales sumen 15.
5
1
(1+x ) arc tg (x)
2
2
2.
-6x 2 +30x + cos(x)
-x 3 +15x 2+ sen(x)
Coloca nueve números consecutivos en un cuadrado de 3x3, de manera que la suma de las
filas y la de las columnas sea 24.
6x +4
3x2+4x
9
7
-3
Ejercicio nº 26)
Ejercicio nº 27)
Ejercicio nº 28)
Ejercicio nº 29)
f’(x)
-10x -sen(x)
-x -2+4 cos(x)
Otras variaciones de los cuadros mágicos, son:
3.
f’(x)
9x 2 -4x -5+e x
3x 3 +x -4+e x +1
f’(x)
20x 4 +6x 2+2x -3+3e x
4x 5 +3x 2 -x-2+3e x
f’(x) 1•ln(3x+5)+(x+4)
Escriba una letra diferente en cada casilla, de tal manera que:
Ø
En cada casilla, en cada fila y en cada columna no se repita letra.
Ø
En cada región demarcada de no se repita letra.
Así en la fila sombreada, de izquierda a derecha, se podrá completar una palabra.
3
3x+5
A
3(x+4)
ln(3x+5)+
3x+5
S
L
Ejercicio nº 30)
ENTRESALTOS
54
f’(x)
(3x 2 +2x+1)ln(5x 2 -7)+
10x(x 3 +x 2 +x+5)
5x 2 -7
4.
Ubique en cada casilla los números de: 1, 2, 3 o 4, cumpliendo las siguientes indicaciones:
Ø
En cada columna y en cada fila no debe repetirse número.
7
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
Ø
>
>
1
2
((
Ejercicio nº 12)
f(x)=-6ln x =-6
Ejercicio nº 13)
2
4
3
ln
x
f(x)= 5
((
ENTRESALTOS
1
ln(x)= -3ln(x)
2
4 2
8
ln(x)=
ln(x)
3
15
=5
-3
f’(x)
x
8
f’(x)
15x
>
>
Ejercicio nº 14)
Ejercicio nº 15)
Ejercicio nº 16)
3
((
3
f(x)=ln
( x(
f(x)=ln
( (
f(x)=ln
( x ( =ln ( x (= 53 ln(x)
3
3
=ln x 2
= 2 ln(x) f’(x)
2
3
((
2
2
x =ln x = ln(x) f’(x)
3
5
3
5
3
f’(x)
3
2x
2
3x
5
3x
2
16
3
2
13
9
10
11
8
5
6
7
12
4
15
14
1
5
4
((
( (
4
5
f(x)=4ln
Ejercicio nº 18)
3
f(x)= ln
4
( x(
Ejercicio nº 19)
f(x)= 4 ln
( 7x (
Ejercicio nº 20)
f’(x)
7
3
5
x =4ln x = 4 ln(x)=5ln(x) f’(x)
4
Ejercicio nº 17)
5
5
5
3
= ln x 7
4
( (=
f’(x)
3 5
15
ln(x)= ln(x)
4 7
28
5
x
f’(x)
15
28x
4
x
2
ENTRESALTOS
8
2
7x
53
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
CUADROS MÁGICOS
Derivadas de 3er nivel
GUÍA DE TRABAJO No. 2
Hola, apreciados estudiantes, en esta nueva sesión trabajaremos una variación de los cuadrados mágicos de
4x4 con un grado de dificultad algo mayor a la que veníamos desarrollando…diviértanse…
Noción logarítmica: forma compuesta simple
Primero recordemos cómo se elabora un cuadro mágico 3x3 o de orden 3.
Ejercicio nº 1)
f’(x) 2x2
1
Ejercicio nº 5)
x
f’(x)
4
5
4
5x
x
1. Para resolver estos tipos de problemas de un cuadrado de orden 3, utilizamos los dígitos desde
el 1 hasta el 9
a.
Ejercicio nº 2)
f’(x)
3
4
1
3x
x
b. ¿Cómo podemos utilizar esta suma para establecer la “suma mágica” en el cuadrado mágico 3x3?
3
3 7
2 7x
f’(x)
Ejercicio nº 6)
2x
c.
4
Ejercicio nº 3)
f’(x)
5
2
1
5x
x
Ejercicio nº 7)
2
-4 3
5 2x
3
f’(x)
2
Ejercicio nº 4)
f’(x)
3
1
3x
x
f’(x)
¿Cómo podemos utilizar la lista anterior para reconstruir el cuadrado mágico de orden 3?
¿Cuál es la relación entre la suma mágica y el número del centro del cuadrado?
-4
5x
2
x
2.
Ejercicio nº 9)
f(x)=ln(x -5) = -5ln(x)
Ejercicio nº 10)
f(x)=3ln(x 4 ) =3•4ln(x)=12ln(x)
f’(x)
-5x
-5
x
-5x
6
x
Utilizando los dígitos desde 1 hasta 9, haga una lista de todas las ternas de números diferentes cuya
suma es 15.
f(x)=ln(x 2 ) = 2ln(x)
Ejercicio nº 8)
-6
¿Cuál es la suma de los dígitos desde 1 hasta 9?
5
Ø
Se utilizan los números del 1 al 16.
Ø
La suma de los números en cada fila, en cada columna y en cada diagonales 34.
-5
x
f’(x) 12•
1
x
Completar el cuadro mágico de 4x4 teniendo en cuenta que:
Ø
El número pequeño que se encuentra en cada región sombreada y demarcada corresponden
a los números en dicha región.
12
7
19
x
15
Ejercicio n° 11)
ENTRESALTOS
52
((
f(x)=7ln x
2
5
=7• 2 ln(x)= 14 ln(x)
5
5
f’(x)
14
5x
10
14
15
16
9
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Ejercicio nº 33)
3
f’(x)
ENTRESALTOS
120x4+80x 3-78x2 -50x-5
La derivada de un cociente de funciones
Ejercicio nº 34)
f’(x)
6x2(4x 2+7)-(2x3+5)8x 24x4+42x2-16x4-40x
(4x2+7)2
(4x2+7)2
8x4+42x2-40x
(4x2+7)2
2x(4x 3+ 21x-20)
(4x2+7)2
Ejercicio nº 35)
f’(x) f(x)
(12x2 -10x)(3x2-4)-(4x3-5x2)6x 36x4-48x2-30x 3+40x-24x4+30x3 12x4-48x2-40x
(3x2-4) 2
(3x2-4)2
(3x2-4) 2
Ejercicio nº 36)
Ejercicio nº 37)
Ejercicio nº 38)
f’(x)
3x7+96x4+54x3-28x-18
x7(4x+3)2
f’(x)
-2(3x2-12x-7)
(3x2+7)2
f’(x)
x14+24x9 +2x7-18x2+1
(x7+1) 2
4x(3x3-12x+10)
(3x2-4) 2
Derivada de una función logarítmica: forma simple
ENTRESALTOS
10
Ejercicio nº 39)
f’(x)
Ejercicio nº 40)
f(x)
5
x
3
5x
51
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
La derivada de una suma de funciones
4
2
Ejercicio nº 22)
f’(x)
3x +2x+1
Ejercicio nº 23)
f’(x)
15x +6x+6
Ejercicio nº 24)
f’(x)
-6x +6x-6
Ejercicio nº 25)
f’(x)
-3x +2x-x
Ejercicio nº 26)
f’(x)
2
2
-4
-2
-1
-1
1 x2
2
8 x3
3
-6
9x
7
-7
1
2
15x 2
2
Ejercicio nº 27)
f’(x)
-20x
Ejercicio nº 28)
f’(x)
6 x2 1 x
5
5
2
f’(x)
32 x3 10 x 3
3
9
-1
Ejercicio nº 29)
2x
-7
5
La derivada de un producto de funciones
Ejercicio nº 30)
f’(x)
6x(2x2+1)+(3x2+3)4x=12x3+6x+12x 3+12x=24x 3+18x= 6x(4x2+3)
Ejercicio nº 31)
f’(x)
12x2(4x2+4)+(4x3 -6)8x=48x4+48x2+32x4-48x=
=80x4 +48x2-48x= 16x(5x3+3x-3)
Ejercicio nº 32)
f’(x)
(-2x+4)(4x4-3)+(-x2+4x+5)16x3= -8x5 +6x+16x4 -12-16x5+64x4 +80x3 =
= -24x5 +80x4+80x3 +6x-12)= -2(12x5 -40x4-40x3-3x+6)
4
ENTRESALTOS
50
Baldor, Aurelio (1990). Algebra de Baldor. Editorial Publicaciones Cultural. Bogotá.
11
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
9 -1
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
(x + 5)2
(x a+1 + y b-2)2
(8 - a) 2
(3x 4 -5y 2)2
(x a+1 - 4xa-2)2
(7x 2 - 12y 3)(7x 2 + 12y3)
(x + 4)3
(5x + 2y)3
(2x 2y + 4m)3
(1 - 4y) 3
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
(3a3 - 7xy 4)3
(2x a+4 - 8y a-1)3
(x + 5)(x + 3)
(a + 9)(a - 6)
(4ab2 + 6xy3)2
(y -12)(y - 7)
(4x 3+ 15)(4x 3+ 5)
(5y a+1 + 4)(5y a+1- 14)
(7a + b)2
(5a + 10b)(5a-10b)
COCIENTES NOTABLES
9 2
5• x
2
7
45 x 2
2
Ejercicio nº 7)
f’(x)
Ejercicio nº 8)
f’(x) 3(-6)x -7 -18x -7
-3 -1
Ejercicio nº 9)
f’(x)
-3 x7
4
7
4
-1
x 4x
-3 - 7
7
-12 x 7
7
45 x 7
2
-18
x7
-10
-12 x 7
7
-12
10
7
7x
f’(x) 4(-1)x -1-1 -4x -2
-12
7
x 10
7
-4
Ejercicio nº 10)
f(x)
Ejercicio nº 11)
f’(x)
-10
7 7 x9
Ejercicio nº 17)
f’(x)
-3
3
2 x
Ejercicio nº 12)
f’(x)
3
2 x
Ejercicio nº 18)
f’(x)
-5
7
6 x
Ejercicio nº 13)
f’(x)
-2
x
Ejercicio nº 19)
f’(x)
-3
3
2 x
Ejercicio nº 14)
f’(x)
x4
Ejercicio nº 20)
f’(x)
-8
5
7
5 x
Ejercicio nº 15)
f’(x)
Ejercicio nº 21)
f’(x)
-40
3
5
3 x
1. Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las
x2
cantidades. Factorizamos la diferencia de cuadrados en el numerador. Simplificamos.
2. Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de
las cantidades.Factorizamos la diferencia o la suma, según el caso, de cubos en el numerador.
Simplificamos.
3. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o
diferencia de las cantidades
3
5
5
5
5
x2
5
3
x4
Criterios de divisibilidad
a) Criterio 1: la diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible
por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:
Ejercicio nº 16)
ENTRESALTOS
12
f’(x)
6
6
3
49
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
a) Criterio 2: 1a diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la
sumacantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:
ENTRESALTOS
m
1
2
cos (x)
f’(x)
b) Criterio 3: la suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por lasuma
de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por :
Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno: forma simple
Ejercicio nº 40)
1
1-x 2
f’(x)
m
a -b
= am-1- am-2 b +... + abm-2- b m-1
a+b
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: forma simple
Ejercicio nº 39)
m
m
a +b
a+b
= am-1- am-2 b + ...+ a 2 bm-3- abm-2 + bm-1
c) Criterio 4 :
A) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni por
la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de la forma
Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente: forma simple
Ejercicio nº 41)
am + bm , donde m es par, no son exactos
1
1+x 2
f’(x)
B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de
las cantidades. Es decir, cocientes de la forma:
am - b m , donde m es impar, no son exactos
a+b
Derivadas de 2do nivel
Recuerda: se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es exacta,
esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero.
Derivada de una función potencial:forma simple
Ejercicio nº 1)
f’(x)
Ejercicio nº 2)
f’(x)
-5
Ejercicio nº 3)
f’(x)
2
5
Ejercicio nº 4)
Ejercicio nº 5)
Ejercicio nº 6)
ENTRESALTOS
48
ENTRESALTOS
2. EJERCICIOS PROPUESTOS
4
A continuación desarrolla los ejercicios en grupos colaborativos y orientados por el tutor.
f’(x)
f’(x)
f’(x)
a)
(x + y)2 – 100
(x + y) – 10
g)
b)
1 + x3
1+x
h) 25x2 - 49y 2
5x + 7y
c)
64x3 + 27y 3
4x + 3y
i)
4a 2 - 16x2y 4
2a + 4xy 2
d)
125a + 27b
5a + 3b
j)
9 - 36x
3 - 6x 2
e)
8a - 125b
2a4 - 5b 5
f)
729x y - 512z
2
3
9xy - 8z
2
8•3x
6
2•7x
2
24x 2
14x 6
3
12
3 6
3
2
a – 16
a+4
4
k) 16x 4 - 25y4
4x 2 - 5y 2
15
9
13
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
Derivada de una función logarítmica: forma simple
Ejercicio nº 30)
f’(x)
1
x
Derivada de una función exponencial con base e: forma simple
Ejercicio nº 31)
f’(x) ex
Derivada de una función exponencial con base distinta del número e: forma simple
Factorización por diferencia de cuadrados
a) Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo.
b) Se abren dos paréntesis.
c) En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las raíces halladas
en el paso 1.
x
Ejercicio nº 32)
f’(x)
9 1n 9
Ejercicio nº 33)
f’(x)
2 1n 2
x
x
f’(x)
7
7
1n
5
5
Ejercicio nº 35)
f’(x)
1
1
1n
2
2
Ejercicio nº 36)
f’(x)
0.25 1n(0.25)
Ejercicio nº 34)
x
1. −
a 2b 8 −
c2
2. −
25 x 2 y 4 −
121
3. −
49 x 2 y 6 z10 −
a12
1
4. −
4 x2n −
9
2
(
5. −
4x2 −
x+
y)
(
(
6. −
a+
x)
−
x+
2)
2
b12 x
7. −
49a −
81
1
8. −
a 2 nb 4 n −
25
10 n
ENTRESALTOS
14
x
Derivada de una función trigonométrica tipo seno
Ejercicio nº 37)
2
f’(x)
cos(x)
Derivada de una función trigonométrica tipo coseno
Ejercicio nº 38)
f’(x)
-sen(x)
47
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
Ejercicio nº 22)
f(x)
5
Ejercicio nº 23)
f(x)
4
Ejercicio nº 24)
f(x)
4
f(x)
Ejercicio nº 25)
Ejercicio nº 26)
f(x)
5
x4 x
5
x x
11
x
4
5
11
4
1
1
x
1
2
x
1
1
x
1
5
x
f’(x)
f’(x)
5 x4
4
f’(x)
11 x 4
4
5 -1
5
4
x
4 -1
5
4 x
5
11-1
-1
2
x
4 -5
5
4 x5
5
5 -4
4
5 x4
4
11 - 4
4
11 x 4
4
- 1 -1
1 x2
2
f’(x)
-1
5
f’(x)
x
1 x
5
-1
1
5
5 x
4
5 x4
4
5 x
4
7
4
11 x 4 11 4 x7
4
4
-3
11x x
4
3
-1
-1 x 2 -1
3
2
2x 2
-1 -5
5
4
4 x5 4
1
5
5
5x
2 x
3
6
1 x5
5
5
-1
5x
-1
6
5
5
5 x
-1
5x 5 x
6
Ejercicio nº 27)
f(x)
1
x3 x
Ejercicio nº 28)
Ejercicio nº 29)
ENTRESALTOS
1
46
3
2
-3
2
f’(x)
x
f(x)
f(x)
1
5
x
2
1
3
x7
3 x
2
f’(x)
f’(x)
- 3 -1
3
3 x2
2
2
5
2
2
3 x2
2
-3
2x
-3
5
2
2 x5
-3
2x 2 x
-2
3
3 x5
7 x
3
- 7 -1
3
7
7 x3
3
3
3
10
7 x3
3
-7
10
3
3x
-7
3 3 x10
-7
3x 3 3 x
15
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
Derivada de una función potencial: forma simple
5.
6.
7.
8.
9.
10.
a²+4ª+3
m²+5m-14
y²-9y+20
a²+42ª+432
m²-30m-675
y²+50y+336
Ejercicio nº 11)
f’(x)
6x 6-1
6x 5
Ejercicio nº 12)
f’(x)
3x 3-1
3x 2
Ejercicio nº 13)
f’(x)
5 52 -1 5 52
x
x
2
2
Ejercicio nº 14)
f’(x)
-7x
f’(x)
-4 -47 -1
x
7
Ejercicio nº 15)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
a?+a²+1
m?+m²n²+n?
x8+3x?+4
a?+2a²+9
a?-3a²b²+b?
x?-6x²+1
Factorar una expresión que es el cubo de un binomio.
El desarrollo del cubo de un binomio es:
-7-1
-1-1
Ejercicio nº 16)
f’(x)
1x
Ejercicio nº 17)
f(x)
1
x3
Ejercicio nº 18)
f(x)
1 x4
x-4
-7x
- 3 -1
3 x
2
0
-4 -117
x
7
7
7
f’(x)
-3x
f’(x)
4x
3 x
2
Ejercicio nº 20)
Ejercicio nº 21)
f’(x)
2
16
4-1
7x
f’(x)
1
2
1
5
4x
3 x
2
1 -1
x2
x
-3x
11
7
-4
-4
7 7 x11
7x x4
7
1 -1
5
1
2
1
5
2
1 - 2
2
x2
x
-3
x4
-4
3
-5
2
1
ENTRESALTOS
-3-1
-3 -2
f’(x) x x 2 f’(x)
x x
-4
1
f’(x)
1
5
5x x
2
-72
8
x
-8
Ejercicio nº 19)
5
5 x3
2
5 32
x
2
-4 -47
x
7
1x
x-3
2
2
2
1 - 5
5 5
5
2
-3
3
2x
1
2
1
5
2 x5
x
x
-1
2
-4
5
1
2x
1
5x
1
1
2
2 x
1
4
5
5 5 x4
45
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
3. Se observa si todos los signos son positivos o si se alternan positivo-negativo-positivo-negativo.
Simplificación de fracciones algebraicas (guía de trabajo no. 1).
1.
2.
3ab
2a(x+a)
7.
1
3(x-y)
8.
3
n-m
x+3
x+4
3.
2x
3y
9.
a² - 2ª+ 4
a+4
4.
x+1
10.
a+2
m-n
5.
x-2
5ª
6.
4. Se triplica el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto término y se
compara con el segundo término del cuadrinomio dado.
5. Se triplica la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del cuarto término y se
compara con el tercer término del cuadrinomio dado.
6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata del desarrollo del cubo de
un binomio y se factoriza como tal: dentro de un paréntesis se escriben las raíces cúbicas del
primero y cuarto términos del cuadrinomio y separadas por el signo más o por el signo menos,
según el caso; y se eleva al cubo el paréntesis.
7. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son negativas, no se trata del desarrollo del cubo
de un binomio y no se puede factorizar como tal.
3x+5
x-2
1. a³+3a²+3a+1
Derivadas de 1er nivel.
2. 27-27x+9x²-x³
Derivada de una constante
3. m³+3m²n+3mn²+n³
4. 1+3a²-3a-a³
ENTRESALTOS
Ejercicio nº 1)
f’(x)= 0
Ejercicio nº 6)
f’(x)= 0
Ejercicio nº 2)
f’(x)= 0
Ejercicio nº 7)
f’(x)= 0
Ejercicio nº 3)
f’(x)= 0
Ejercicio nº 8)
f’(x)= 0
Ejercicio nº 4)
f’(x)= 0
Ejercicio nº 9)
f’(x)= 0
Ejercicio nº 5)
f’(x)= 0
Ejercicio nº 10)
f’(x)= 0
44
5. 8+12a²+6a?+a6
6. 125x³+1+75x²+15x
17
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
FACTORIZACIÓN
Suma y diferencia de cubos
GUÍA DE TRABAJO No.2
Trinomios cuadrados perfectos
01)
02)
03)
04)
05)
06)
07)
08)
09)
10)
x 2 + 6x+9
16x 2 + 8x +1
y 2 + 10y + 25
2
4y - 24y + 36
49x 2 + 112x+ 64
81y 2 - 180y + 100
25x 2 + 30xy + 9y2
81z 2+108zw + 36w 2
64x 4y 2 + 176x2y +121w6
144x 8 - 24x 4y 5 + 5y 3
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
0.04x 2 - 4x + 100
400y 4 - 12y 2 + 0.09
a 2/4 + 4a + 16
2
x /9 - 16x/3 + 64
25x 2/4 + 20xy/3 + 16y2/9
x2 + 2x(a+b) + (a + b)2
9 - 6(x + y) + (x + y) 2
4(x + y)2 + 4(x + y)(x - y) + (x - y) 2
9(x - y) 2 + 12(x - y)(x + y) + 4(x + y)2
4(1 + a)2 - 4(1 + a)(b - 1) + (b - 1) 2
2
1)
xy - y w
11) - x - y + a(x + y)
2)
5xy 2 - 15y
12) (a + 5)(a + 1)- 2(a + 1)
3)
24a 3b2 - 12a 3b 3
13) (a + b - 2)(a 2 + 2) - a 2 - 2
4)
2
4xy - 8xy - 12xy
3
2
2
2
14) (3x + 8)(x + y- z) - (3x + 8)- (x + y - 4)(3x + 8)
5)
16a 4b5 - 20a 3b2 - 24a 2b6
6)
x
7)
36x 2ay b - 24xa + 1y b+1 + 12xay 2b
17) 1 + a + 8ab + 8b
8)
x(a + 7) - 5(a + 7)
18) 6ax - 2by - 2bx - 12a + 6ay + 4b
a+2
- 3x
a+3
- 5x
a
9) 2x(a - 1) - 3y(a - 1)
10) x(a + 9) - a - 9
15) xm - ym + xn - yn
2 2
2
2 2
16) a x - 8bx + a y - 8by
2 3
5
2 3 2
5
2
2
m2 - n 2
02)
2n 8n
09)
x b - 1/169
x - 100
10)
0.81a 6 - 1.21b 8
03)
25a 2 - 144b2
11)
1.69x 8y 10 - 2.25z 12
04)
9x2 y 4 - 121z 8
12)
a4nb6n - c12x /64
05)
400x 14 - 1
13)
(m - n)2 - (x + y)2
06)
1/4 - 16x 2
14)
(3x - 4) 2 - (2x - 6) 2
07)
1/16 - x4 /25
15)
(3a + 2b - c) 2 - (2a + 2b)2
08)
ENTRESALTOS
2
6
4
a /36 - 49b /100
18
2 3
5
19) a b - m + a b x - m x - 3a b x + 3m x
20) (x + 3)(x + 2)(x + 5) + (x + 2)(x + 5) + (x + 5)
Diferencia de cuadrados
01)
(1 + x)(1 - x + x2)
11) (5x3 y6 - 8z 9 )(25x6 y12 + 40x 3 y6 z9 + 64z18 )
2)
(x + 10)(x 2 - 10x + 100)
12) (6x4 - 9y7a )(36x 8 + 54x 4y 7a + 81y 14a)
3)
(3a + 5b)(9a 2 - 15ab + 25b 2 )
13) (7xa - 8y2b)(49x 2a + 56x ay 2b + 64y 4b)
4)
(4xy2 + 6z 3 )(16x2 y4 - 24xy 2 z3 + 36z 6 )
14) (x + 2)(x 2 + 10x + 28)
5)
(8x 2a + 9yb )(64x4a - 72x 2a yb + 81y 2b)
15) a(19a 2 + 3ab + 12b2 )
6)
(1/2 + 5x)(1 /4 - 5x/2 + 25x 2 )
16) (4 - 3a 2 )(9a4 + 21a2 + 31)
7)
(1/3 + x 2/6)(1/9 - x2 /18 + x 4 /36)
17) (x - 5y)(19x 2 - 10xy + 7y 2)
8)
(a 2/7 + 2b 4/10)(a 4 /49 - 2a2 b 4/70 + 4b 8 /100)
18) (0.3x - 0.2y 2)(0.09x 2 + 0.06xy 2 + 0.04y2 )
9)
(10 - m)(100 + 10m + m 2 )
19) (2/5x2 - 10z3 /4y4 )(4/25x 4 + x 2z3 /y 4 + 100z 6/16y 8 )
10)
(2a - 4b)(4a2 + 8ab + 16b 2 )
20) (7a - b)(13a2 - 14ab + 37b 2)
Trinomio de la forma x² + bx + c
Factor común por agrupación
2
1)
16)
25a
10
2
2
- (3a + 4)
01)
02)
03)
04)
05)
06)
07)
08)
( x + 5)(x + 3)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
09)
1
3
(y + ( (y + (
19) (w + 0.3)(w + 0.5)
10)
( x + 41 ( ( x
20) (x - 31)(x - 13)
(n + 5)(n - 4)
(m - 9)(m - 3)
(x - 6)(x + 4)
(x + 15)(x + 5)
(y + 20)(y - 4)
(x - 20)(x - 5)
(y - 12)(y + 6)
1
2
1
5
(
(x + 1.8)(x - 1.2)
(y - 1.5)(y + 1.3)
(x + 20)(x + 15)
(y + 30)(y - 20)
(z - 33)(z + 21)
(w - 45)(w - 24)
(xy + 30)(xy + 4)
(z - 1.4)(z - 0.9)
Trinomio de la forma ax² + bx + c
01)
02)
03)
04)
05)
06)
07)
08)
09)
10)
( 2x + 1)(x + 3)
(2y + 1)(y + 4)
(z - 5)(3z + 1)
(4x - 1)(x - 7)
(5x - 3)(x + 3)
(3y + 4)(2y + 3)
(x - 7)(7x + 3)
(4y + 16)(2y - 2)
(3x - 20)(3x - 2)
(5x + 9)(2x - 10
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
(5x - 4)(4x + 20)
(6b + 7)(4b + 5)
(5x + 30)(2x + 10)
(3y - 20)(2y + 30)
(5z + 77)(3z - 9)
(3w + 2)(0.5w + 1)
(2xy + 4)(xy + 0.5)
(0.5z - 2)(0.4z - 1)
(0.5w - 1)(0.2w + 3)
(11x - 20)(x - 10)
43
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
Suma y diferencia de cubos
01)
1 + x3
Factorización (guía de trabajo no. 2).
02)
Trinomios cuadrados perfectos
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
( x + 3)
2
(4x + 1)
(y - 5)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
2
2
(2y - 6)
2
(7x + 8)
2
(9y - 10) 2
(5x + 3y) 2
2
(9z - 6w)
2
3 2
(8x y + 11w )
10) (12x4 -
5 y5)2
=
(x + y)(a - 1)
=
(a + 1)(a + 3)
=
(a + 2)(a + b - 3)
=
=
(3x + 8)(3 - z)
(x - y)(m + n)
=
(x2 + y2)(a2 - 8b)
=
(a + 1)(8b + 1)
=
(6a - 2b)(x + y - 2)
=
(a b - m )(1- 3x + x )
=
(x + 5)(x + 3)
2
2
2 3
5
2
2
Factor común por agrupación
1)
2)
=y2 ( x - w )
=5xy( y - 3 )
3)
3 2
=12a b ( 2 - b )
4)
=4xy( 1 + 2y - 3y 2 )
5)
6)
7)
8)
9)
10)
=4a2 b 4 ( 4a2 b - 5a + 6b 2 )
=xa (x 2 + 3x 3 + 5)
=12x ayb ( 3x a - 2xy + y b )
=(a + 7)(x - 5)
=(a - 1)(2x - 3y)
=(a + 9)(x - 1)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
2
(0.2x - 10)
(20y 2 + 0.3) 2
(a/2 + 4) 2
(x/3 - 8)2
(5x/2 + 4y/3) 2
[x + (a + b)] 2
[3 - (x + y)]2
(x + y) 2
11)
125x 9y 18 - 512z 27
x + 1000
12)
216x
03)
27a 3 + 125b3
13)
343x 3a - 512y 6b
04)
64x 3y 6 + 216z9
14)
(x + 4)3 - 8
05)
512x + 729y
15)
(3a + 2b) - (2a + 2b)
06)
1/8 + 125x
16)
125 - (3a + 1)
07)
1/27 + x6/216
17)
27(x - y) 3 - 8(x + y)3
08)
a /343 +8b /1000
18)
0.027x - 0.008y
09)
1000 - m3
19)
8/125x 6 - 1000z 9/64y 12
10)
8a 3 - 64b 3
20)
64(a - b) 3 + 27(a + b)3
6a
3b
3
6
12
12
- 729y
21a
3
2
3
3
3
6
Trinomio de la forma x² + bx + c
01)
x 2 + 8x+ 15
11)
x2 + 0.6x- 2.16
02)
n 2 + n- 20
12)
y 2- 0.2y - 1.95
03)
m 2 - 12m + 27
13)
x2 + 35x + 300
04)
x 2 - 2x - 24
14)
y 2 + 10y - 600
05)
x 2 + 20x+ 75
15)
z + 12z - 693
06)
y 2 + 16y - 80
16)
w2 - 69w + 1080
07)
x 2 - 25x + 100
17)
x2y 2 + 34xy + 120
08)
y 2 - 6y - 72
y2 +5y +1
6 6
x2 + x - 1
20 20
18)
z2 - 2.3z + 1.26
19)
w2 + 0.8w + 0.15
20)
403 - 44x + x2
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
20x 2 + 84x- 80
24b 2 + 58b- 35
10x 2 + 110x + 300
6y 2 + 50y - 600
2
15z + 186z - 693
1.5w 2 + 4w + 2
2x 2y 2 + 5xy + 2
0.2z 2 - 1.3z + 2
0.1w 2 + 13w - 3
2
200 - 130x + 11x
09)
2
(5x - y)
(2a - b + 3) 2
3
10)
2
Trinomio de la forma ax² + bx + c
Diferencia de cuadrados
ENTRESALTOS
n 4n
1) =
2) =
(m + n)(m - n)
3) =
4) =
(5a + 12b)(5a - 12b)
5) =
6) =
(20x 7 + 1)(20x 7 - 1)
7) =
8) =
(1/4 + x /5)(1/4 - x /5)
42
9) = (x b + 1/13)(x b - 1/13)
10) = (0.9a 3 + 1.1b 4)(0.9a 3 - 1.1b 4 )
(x + 10)(x - 10)
(3xy2 + 11z 4)(3xy 2 - 11z 4 )
(1/2 + 4x)(1 /2 - 4x)
2
n 4n
2
(a3/6 + 7b2/10)(a3/6 - 7b2/10)
11) = (1.3x 4 y5 + 1.5z 6 )(1.3x 4 y5 - 1.5z 6)
12) = (a 2nb 3n + c 6x /8)(a2nb 3n - c6x /8)
13) = (m - n + x + y)(m - n - x + y)
14) = (5x - 10)(x + 2)
15) = (5a + 4b - c)(a - c)
01)
02)
03)
04)
05)
06)
07)
08)
09)
10)
2x2 + 7x+ 3
2y 2 + 9y + 4
3z2 - 14z - 5
4x2 - 29x + 7
2
5x + 12x- 9
6y 2 + 21y +12
7x2 - 46x - 21
8y 2 +24y - 32
9x2 - 66x + 40
2
10x - 32x - 90
19
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
6
Factorización por trinomio cuadrado perfecto
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1° Simplificación de monomios:
8 a 2b 5
2 ab
3
= 4ab 2
2° Simplificación de polinomios:
x2 +7 x +10 (x +2)(x +5) x + 2
=
=
Ejemplo 1
(x +5)(x - 5 ) x - 5
x 2 - 25
x 2 - 16
Ejemplo 2
2 x 2 +8 x
=
(x +4)(x - 4) x - 4
=
2 x(x +4 )
2x
No te olvides: PRIMERO FACTORIZAR....... LUEGO SIMPLIFICAR.
(a-b)²
(a+b)²
(x-1)²
(y²+1)²
(4+5x²)²
(a-5)²
(3-x²)²
Factorización de trinomios de la forma x 2 + bx + c
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
(x-3)(x-2)
(x+5)(x-2)
(x+5)(x+2)
(x+2)(x+1)
(a+3)(a+1)
(m+7)(m-2)
((y-5)(y-4)
(a+24)(a+18)
(m-45)(m+15)
(y+42)(y+8)
Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
5.
x²-4
5ax+10a
8.
3y – 6x
2mx-my-2nx+ny
xy
3x²y-3xy²
6.
3x²-4x -15
x²-5x+6
9.
8 - a³
a²+2a- 8
3. 2ax+4by
3ay+6by
7.
x² - x – 12
16 - x²
10.
1.
2.
3ab
2a²x+2a³
a² + a – 2
-an-m+am
4. x²-2x -3
x -3
6
SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS .Recuperado: Octubre 15 de 2009.
www.sectormatematica.cl
ENTRESALTOS
20
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(a²+a+1)( a²-a+1)
(m²+mn+n²)( m²-mn+n²)
(x4+x²+2) (x4-x²+2)
(a²+2ª+3)( a²-2ª+3)
(a²+ab-b²)( a²-ab-b²)
(a²+2a+3)( a²-2a+3)
Factorizar una expresión que es el cubo de un binomio
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(a+1)³
(3-x)³
(m+n)³
(1-a)³
(2+a²)³
(5x+1)³
41
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
d. 3 + 6x2
2
2
e. 4x + 5y
f. (x + y) + 10
g. 1 - x + x2
h. 16x2 - 12xy +9y2
i. 25a2 - 15ab + 9b2
8
4 5
10
j. 4a + 10a b + 25b
k. 81x2 y4 + 72xy2 z3 + 64z6
Derivadas
1er. Nivel
Factorización (guía de trabajo no. 1)
Factorización por factor común
1. 35m²(n³-2m)
2. x³(1+x²-4)
3. 3ª(3ª-4b+5a²b²-8b³)
4. 8x²y(2xy-1-3x²y-5y²)
5. 31a²x(3axy-2x²y²-4)
6. (x-2)(3x-2y)
7. (1-x)(1+2ª)
8. Ab(3ª+6-5a²b+8ax+4bm)
MATEMATICAS
II
Factorización por diferencia de cuadrados
Derivadas
2do. Nivel
1. (ab4+c)(ab4-c)
2. (5xy²+11)(5xy²-11)
3. 7xy³z5+a6)(7x³z5-a6)
1
4. (2x n + 3 )(2x n
Derivadas
3er. Nivel
1
)
3
5. (3x+y)(x-y)
6. (a+2x+2)(a-2)
ENTRESALTOS
40
7. (7a 5n +
b 6n
9
8. (an b2n +
1
5
)(7a 5n
) (an b2n
b 6n
)
9
1
5
)
21
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
Productos notables (guía de trabajo no. 1).
DERIVADAS
GUÍA DE TRABAJO No. 1. Derivadas de 1er Nivel
Derivada de una constante 7
Derivada de una función potencial:
Forma simple
a.
(x + 5)2
= x2 + 10x + 25
b.
(xa+1 + yb-2 )2
= x2a+2 + 2xa+1yb-2 + y2b-4
Tipo nº 2
c.
(8 - a)2
= 64 - 16a + a2
d.
(3x -5y )
= 9x - 30x y + 25y
e.
(xa+1 - 4xa -2 )2
= x2a+2 - 8x2a-1 + 16x2a-4
f.
(7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3 )
= 49x4 - 144y6
g.
(x + 4)3
= x3 + 12x2 + 48x + 64
h.
(5x + 2y)
= 125x + 150x y + 60xy + 8y
f(x)=x 3
i.
(2x2y + 4m)3
= 18x6 y3 + 48x4y2m + 96x2ym2 + 64m3
5
2
j.
(1 - 4y)3
= 1 - 12y + 48y2 -64y3
k.
(3a3 - 7xy4)3
l.
(2x
Tipo nº 1
x r = rx r-1
K =0
LA DERIVADA DE UNA
CONSTANTE es cero.
Ejercicio nº 1)
Ejercicio nº 2)
Ejercicio nº 3)
Ejercicio nº 4)
Ejercicio nº 5)
Ejercicio nº 6)
Ejercicio nº 7)
Ejercicio nº 8)
LA DERIVADA DE UNA
FUNCIÓN POTENCIAL
es igual al exponente por la variable
elevado a una unidad menos.
f(x)=7
Ejercicio nº 11)
f(x)=-4
Ejercicio nº 12)
f(x)=e
f(x)=
5
f(x)=
4
f (x)
8
f (x) 3 5
f (x)
Ejercicio nº 10)
f (x)
f (x)
f(x)=x 6
Ejercicio nº 13)
f(x)=x
Ejercicio nº 14)
f(x)=x -7
Ejercicio nº 15)
f(x)=x
Ejercicio nº 16)
f(x)=x
1
7
5
Ejercicio nº 9)
1. Ejercicios
3
7
e4
37
-4
7
4
2 2
3
a+4
8
4 2
4
3
a-1 3
- 8y )
2
2
3
27a9 - 189a6 xy4 + 441a3x2 y8 - 343x3 y12
3a+12
= 8x
- 96x
2a+8 a-1
y
a+4 3a-3
+ 384x y
m. (x + 5)(x + 3)
= x2 + 8x + 15
n.
(a + 9)(a - 6)
= a2 + 3a - 54
o.
(4ab2 + 6xy3)2
= 16a2 b4 + 48ab2xy3 + 36x 2y6
p.
(y - 12)(y - 7)
= y - 19y + 84
q.
(4x3 + 15)(4x3 + 5)
= 16x6 + 80x3 + 75
r.
(5ya+1 + 4)(5ya+1 - 14)
= 25y2a+2 - 50ya+1 - 56
s.
(7a + b)2
= 49a2 + 14ab + b2
t.
(5a + 10b)(5a - 10b)
= 25a - 100b
3a-3
- 512y
2
2
2
2. Ejercicios
a. a – 4
b. 5x - 7y
7
EJERCICIOS DE DERIVADAS I, II, III Y IV NIVEL. Recuperado: Diciembre 12 de 2009
ENTRESALTOS
22
c. 2a + 4xy2
39
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
Reducción de términos semejantes (guía de trabajo no. 1).
f (x)
1.
a.
a+b-c-b-c+2c-a=(a-a)+(b-b)+(-c+2c)
a+b-c-b-c+2c-a=0+0+c
Ø
a+b-c-b-c+2c-a=c
(agrupando por clases)
(reduciendo)
f (x)
f (x)
1
x
1
x
5x-11y-9+20x-1-y=(5x+20x)+(-11y-y)+(-9-1)
5x-11y-9+20x-1-y=(25x)+(-12y)+(-10)
Ø
(5x+20x)+(-11y-y)+(-9-1)=25x-12y-10
(agrupando por clases)
f (x)
3
2
f (x)
1
x
3
2
x
3
2
Ln(x)
x
Ejercicio nº 30)
(reduciendo)
f (x)
5
f (x)
5
x
x4
(agrupando por clases)
-81x+19y-30z+6y+80x+x-25y=(0)+(0)+(-30z)
Ø
(reduciendo)
-81x+19y-30z+6y+80x+x-25y=-30z
ex
15a 2 -6ab-8a 2 +20-5ab-31+a 2 -ab=(15a 2 -8a 2 +a 2)+(-6ab-5ab-ab)+(20-31)
Ø
2
x
x
1
x
f (x) ln(x)
ex
x5
f (x)
4
x11
Ejercicio nº 31)
1
Derivada de una función exponencial
con base distinta del número e: forma simple
f (x)
x
1
5
x
ax
f (x) e x
ax ln(a)
1
f (x)
f (x)
ENTRESALTOS
7
3
4
(agrupando por clases)
15a -6ab-8a 2 +20-5ab-31+a 2 -ab=(16a 2 -8a 2 )+(-12ab)+(-11)
(reduciendo)
15a 2 -6ab-8a 2 +20-5ab-31+a 2 -ab=8a 2 -12ab-11
x
7
f (x)
f (x)
d.
3
7
3
Derivada de una función exponencial
con base e: forma simple
-81x+19y-30z+6y+80x+x-25y=(-81x+80x+x)+(19y+6y-25y)+(-30z)
c.
f (x)
1
Derivada de una función logarítmica:
Forma simple
-4
1
x
b.
Ejercicio nº 29)
3
1
x3
Ejercicio nº 32)
f (x) 9x
1
5
x2
23
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
Cuadros mágicos (guía de trabajo no. 2).
Ejercicio nº 32)
Ejercicio nº 33)
Ejercicio nº 34)
Ejercicio nº 35)
Ejercicio nº 36)
f (x)
f (x)
9x
2
f (x)
()
f (x)
()
f (x)
7
5
1
2
1.
a. 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
x
“Somos pensadores
cuando pensamos
positivamente y actuamos
decididamente”.
Anónimo
x
b. Intercalando los dígitos:
c.
x
0.25
x
6
1
8
8
1
6
7
5
3
3
5
7
2
9
4
4
9
2
4
9
2
2
9
4
3
5
7
7
5
3
8
1
6
6
1
8
Derivada de una función trigonométrica tipo seno
sen(x)
Ejercicio nº 37)
f (x)
cos(x)
sen(x)
Derivada de una función trigonométrica tipo coseno
2.
cos(x)
-sen(x)
10
10
11
8
Ejercicio nº 38)
f (x)
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: forma simple
10
ENTRESALTOS
24
7
2
9
15
cos(x)
tg(x)
6
1
cos 2 (x)
4
5
14
1
15
12
3
16
13
37
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
Respuestas
Ejercicio nº 39)
f (x)
Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno: forma simple
Cuadros mágicos (guía de trabajo no. 1)
1. Suma 15
6
1
8
7
5
3
2
9
4
tg(x)
arcsen(x)
Ejercicio nº 40)
f (x)
1
1-x 2
arc sen(x)
Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente: forma simple
2. Suma 24.
12
8
4
5
10
9
7
6
11
arctg(x)
Ejercicio nº 41)
3.
L
O
S
A
O
S
A
L
S
A
L
O
A
L
O
S
1
4
3
2
2
3
1
4
4
1
2
3
3
2
4
1
f (x)
1
1+x 2
arc tg(x)
4.
ENTRESALTOS
36
25
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
DERIVADAS
Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno
GUÍA DETRABAJO No. 2. Derivadas de 2do Nivel
Regla nº 1
kf
kf
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN,
es igual a la constante por la derivada de la función.
Derivada de una función potencial: forma simple
Ejercicio nº 1)
f(x) 4x
Ejercicio nº 5)
f(x) 8x3
Ejercicio nº 2)
f(x) -5x
Ejercicio nº 6)
f(x) 2x7
Ejercicio nº 3)
f(x)
2
x
5
Ejercicio nº 7)
Ejercicio nº 4)
f(x)
2x
Ejercicio nº 8)
Ejercicio n° 42)
f(x)
(x+3)arc sen(x 2+2)
Ejercicio n° 43)
f(x)
(x 2+4x+2)arc sen(x 4+3x 2+1)
Ejercicio n° 44)
f(x)
(x 3+e2x +3)arc sen(3x 2 -2x +2)
Ejercicio n° 45)
f(x)
(e 2x+4 3x+x+2)arc sen(3x 2 -4x +1)
Ejercicio n° 46)
f(x)
(x 5-4x 2 +3x+2)arc sen(e2x +4 3x+2)
9
2
f(x) 5x
6
f(x) 3x
POTENCIAS
Sigue recordando:
a
b
c
c
ab
y
c
ENTRESALTOS
26
a
b
a
b
c
35
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
f(x) 52
Ejercicio nº 11)
f(x)
2
2
2
Ejercicio n° 28)
f(x)
Ejercicio n° 29)
f(x)
(4x + x + x -2 ) cos (x + 7x)
Ejercicio n° 31)
Ejercicio nº 12)
f(x) 3 x
Ejercicio nº 17)
f(x)
Ejercicio nº 13)
f(x) -4 x
Ejercicio nº 18)
f(x)
4
3
f(x) 3 5 x
Ejercicio nº 19)
f(x)
(-x + 2 x -3 ) cos (x -3e )
f(x)
3x
(3x - 5 ) cos (4 x +2 )
3
f(x) 2 5 x3
Ejercicio nº 15)
f(x)
Ejercicio n° 33)
f(x)
(x+2)tg(x +3x+1)
Ejercicio n° 34)
f(x)
(x 5+x 3+2)tg(3x2+2x+1)
Ejercicio n° 35)
f(x)
(x 2-3x +2e 4x)tg(x 3+4x 2+3x+1)
6
3x
2
(2x +3e +2)tg(x -2x +3)
(x 2+1)arc tg(x 3+5)
Ejercicio n° 38)
f(x)
(x3+4x 2-5)arc tg(6x 2+8)
Ejercicio n° 39)
f(x)
(x 2+7x -2)arc tg(x 4+3x 2 +x-2)
(x 4+e x+1)arc tg(3x2+x+5)
f+g
ENTRESALTOS
34
x5
4
Ejercicio nº 20)
f(x)
5
Ejercicio nº 21)
f(x)
3
x2
5
x8
3
2
2x
(x +4x+3)arc tg(x +e +1)
f +g
LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES, es igual a suma de las derivadas de las funciones
2
3
Ejercicio nº 22) f(x) x + x + x+ 5
2
3
Ejercicio nº 23)
f(x) 5x +3 x + 6x + 5
Ejercicio nº 24)
f(x)
Ejercicio nº 25)
f(x) x 3 + x2 + x 1 + 7
Ejercicio nº 26)
f(x) x + 4x + 7x + 3
1
Ejercicio nº 27)
f(x)
Ejercicio nº 29)
f(x)
2
5
8
3
1
x 3 + x 2+ 5x 3
4
2
-2
5 3
x 4 + x + 5x 5 -13
3
2
2
f(x)
Ejercicio nº 28)
2 x3 + 3 x2 6x + 8
3
3
f(x)
3
Regla nº 2
f(x)
Ejercicio n° 41)
x
2
Ejercicio n° 37)
f(x)
5
6
(4x 2-5)tg(x+7)
Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente
Ejercicio n° 40)
x
f(x)
4x
Ejercicio n° 32)
f(x)
3
2x
5
3
Ejercicio nº 14)
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente
Ejercicio n° 36)
f(x) 5 x
4
(4x + 3x+1) cos (3x - 5)
Ejercicio n° 30)
Ejercicio nº 16)
(7x +12) cos (3x - 3)
6
7
x7
Derivada de una función trigonométrica tipo coseno
Ejercicio n° 27)
3
5
5
4x + 6x 2 + 3x 2 + 3
27
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
Regla nº 3
ENTRESALTOS
fg
f g+ f g
LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de la primera función
por la segunda función menos la primera función por la derivada de la segunda función
f(x)
Ejercicio nº 30)
ENTRESALTOS
3
2
Ejercicio n° 13)
f(x)
e (-5x -4x -3x-8)
Ejercicio n° 14)
f(x)
e
2
(x4+ 3 x 2+ 2 x + 6)3
4
5
2
2
(3x +3) (2 x + 1)
3
2
Ejercicio nº 31)
f(x)
(4x
6)(4 x + 4)
Ejercicio nº 32)
f(x)
(
Ejercicio nº 33)
f(x)
(x + 5x + 6x ) (4x
x 2 + 4x + 5)(4x 4
3
2
3)
2
5)
(- 1 x 4+ 6x 4 + 7 x4 + 8x-3)5
7
3
Ejercicio n° 15)
f(x)
e
Ejercicio n° 16)
f(x)
x 2e
x5
Derivada de una función exponencial con base distinta del número e
Regla nº 4
f
g
f g f g
g2
LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES, es igual a la derivada de la función del numerador
por la función del denominador menos la función del numerador por la derivada de la función del
denominador, dividido todo ello por el denominador al cuadrado
Ejercicio nº 34)
f(x)
2x + 5
4 x2 + 7
f(x)
Ejercicio nº 36)
x 2 x4 6
f(x)
3 x3 4 x4
6
4
3
2
7
Ejercicio n° 18)
f(x)
5 (2x +4x +3x +x+4)
Ejercicio n° 19)
f(x)
3 (2x +x +x +2x+3)
Ejercicio n° 20)
f(x)
6 (-3x +x +2)
f(x)
5
4
6
-2
-6
3
-3
(- 2 x 5+ 4x 3 + 7 x-3) 6
9
5
2
3 x2 4
3 x2 2 x
3
Ejercicio nº 37)
f(x)
Ejercicio nº 38)
x 2 x5 6
f(x)
x4 x 3
28
2
4 (8x +5x +2x +x+4)
Derivada de una función trigonométrica tipo seno
4 x3 5 x2
Ejercicio nº 35)
ENTRESALTOS
3
f(x)
Ejercicio n° 21)
3
4
Ejercicio n° 17)
3x
2
7
Ejercicio n° 22)
f(x)
(3x+4)sen(4x 2+5)
Ejercicio n° 23)
f(x)
(3x 4+x+2)sen(x 2+4x-1)
Ejercicio n° 24)
f(x)
(x 3-2e 2x)sen(3x 2+3e 4x)
Ejercicio n° 25)
f(x)
(2x 5-3e 2x)sen(4x 3-5)
Ejercicio n° 26)
f(x)
(6x 2+2 3x)sen(2x 5-3e x)
33
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
DERIVADAS
DERIVADAS
GUÍA DE TRABAJO No. 4. Derivadas de 4to Nivel
GUÍA DE TRABAJO No. 3. Derivadas de 3er Nivel
Derivada de una función potencial
Ejercicio no 1)
f(x)
(x 3+x 2+x+5)5
Recuerda
En las fórmulas de las derivadas que aparecen a continuación, cuando ponemos la letra
u
lo que estamos representando es una función que depende de la variable x y que
f(x)
(2x 4-6x 2+ 7 x-3+5) 2
2
Ejercicio no 3)
f(x)
(8x + 2 x-1+7x-2+4)8
9
Ejercicio no 4)
f(x)
(4x 3+2x-2+3x-4)-5
Ejercicio no 5)
f(x)
(-3x 6+4x-1+3x -6 -3)-7
Ejercicio no 2)
Ejercicio no 7)
Ejercicio no 8)
f(x)
f(x)
f(x)
Ejercicio no 9)
f(x)
Ejercicio n° 10)
f(x)
u(x)
Derivada de una función logarítmica: forma compuesta simple
3
Derivada de una función logarítmica
Ejercicio no 6)
realmente se
Ln(4x3+x 2+3x+5) 6
Ln(3x 4-6x 2+ 7 x-4+6) 5
2
Ln(7x + 3 x-1+7x -2+3)7
8
Tipo nº 3
u
u
Ln(u)
LA DERIVADA DEL LOGARITMO NEPERIANO DE UNA FUNCIÓN DE x es igual
a la derivada de la función de x dividida entre dicha función
Ejercicio nº 1)
f(x) ln (2 x )
Ejercicio nº 2)
f(x) ln
Ejercicio nº 3)
f(x)
Ejercicio nº 4)
f(x) ln (3 x )
( )
ln ( )
3x
4
5x
2
Ejercicio nº 5)
f(x)
4ln(5x)
Ejercicio nº 6)
f(x)
3 ln (7x)
2
Ejercicio nº 7)
f(x)
-4 ln 2X
5
3
( )
3
Ln(5x3+3x -2+4x+4) -5
LOGARITMOS
-2
4
Ln(-3x +8x +24x+6) -2
Recuerda de la ESO:
Ln(a b ) = bLn(a)
Derivada de una función exponencial con base el número e
El LOGARITMO DE “a” ELEVADO A “b” es igual al exponente b multiplicado por el logaritmo de a
Ejercicio n° 11)
Ejercicio n° 12)
ENTRESALTOS
32
f(x)
f(x)
5
2
e (x +x +x+8)
4
2
3
e (2x -4x +7x+4)
Ejercicio nº 8)
f(x)
ln(x 2)
Ejercicio nº 9)
f(x)
ln(x -5)
Ejercicio nº 10)
f(x)
3ln(x4)
5
29
ENTRESALTOS
Institución de Educación Superior
Institución de Educación Superior
ENTRESALTOS
ENTRESALTOS
Ejercicio nº 11)
Ejercicio nº 12)
Ejercicio nº 13)
Ejercicio n° 14)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
2
5
(x )
7ln
Ejercicio nº 17)
1
2
(x )
6ln
4
ln
5
ln
Ejercicio nº 16)
Ejercicio nº 18)
2
3
(x )
Ejercicio nº 19)
(x)
Ejercicio nº 15)
f(x)
ln
f(x)
f(x)
f(x)
3
Ejercicio nº 20)
( )
3
x2
Ejercicio nº 21)
( )
4ln ( x )
3
ln
4 ( x )
4ln ( 7x )
2
ln 11 9x )
7 (
f(x) ln
f(x)
3
x5
4
5
2
x
-2
Ejercicio nº 28)
f(x) Ln(4x +3x - x +3e )
Ejercicio nº 29)
f(x) (x+4)1n(3x+5)
Ejercicio nº 30)
f(x) (x3+x 2+ x+5)1n(5x 2-7)
Ejercicio nº 31)
f(x) (4x 5+2x 3+ x+1)1n(6x 5-x+8)
Ejercicio nº 32)
f(x) (-3x 2+10x-1)1n(x6+4x-5)
Ejercicio nº 33)
f(x) (x 7+7x 3+3x+1)1n(4x2-3x-1)
5
7
5
3
5
4
5
Derivada de una función exponencial con base e: Forma compuesta
f(x) ln cos(x)
Tipo nº 5
eu
TRIGONOMETRÍA
eu u
Recuerda:
cos(x)
ctg(x)= sen(x)
LA COTANGENTE DE UN ÁNGULO, es igual al coseno de dicho ángulo dividido entre el senodel mismo.
LA DERIVADA DEL NÚMERO “e” ELEVADO A UNA FUNCIÓN DE x es igual
al número “e” elevado a dicha función de x multiplicado por la derivada de dicha función
Ejercicio nº 34)
f(x) e2x
Ejercicio nº 35)
f(x) e7x
Ejercicio nº 22)
f(x) ln sen(x)
Ejercicio nº 23)
f(x) ln arc tg(x)
Ejercicio nº 36)
f(x) e-x
Ejercicio nº 24)
f(x) ln (-x3 + 15x2+ sen(x))
Ejercicio nº 37)
f(x) e-4x
Ejercicio nº 25)
f(x) ln (3x 2+4x)
Ejercicio n° 26)
Ejercicio nº 27)
ENTRESALTOS
30
2x
3
Ejercicio nº 38)
f(x) e
Ejercicio nº 39)
f(x) 3e 4x
f(x) ln (5x -2+4cos(x))
f(x) ln (3x 3 +x -4+ e x+1)
31
ENTRESALTOS