Introducción a la electricidad

I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
CICLO FORMATIVO DE GRADO
SUPERIOR: TÉCNICO SUPERIOR EN
INDUSTRIA ALIMETARIA
INTRODUCCIÓN A LA ELECTRICIDAD
José Garrigós
01/09/2011
El presente documento pretende dar una introducción a la electricidad al alumnado del CFGS
de INA, a fin de permitirle abordar de manera más específica diversos contenidos del módulo
de Sistemas Automáticos de Producción
ELECTRICIDAD
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ÍNDICE
1. LA CORRIENTE ELÉCTRICA. .................................... 4
2. MATERI ALES ELÉCTRICOS Y SIMBOLOGÍA ................ 6
3. SÍMIL HIDRÁULICO ................................................. 6
4. CORRIENTE CONTINU A Y ALTERNA. ......................... 8
4.1. Corriente Continua. .............................................................. 8
4.2. Corriente alterna. ................................................................ 8
5. LEY DE OHM ........................................................ 10
6.LEYES DE KIRCHOFF. ............................................ 11
6.1.
1ª Ley de Kirchoff o Ley de los Nudos. ................................ 11
6.2.
2ª Ley de Kirchoff “Ley de la mallas” .................................. 11
7. ACOPLAMIENTO DE RECEPTORES EN SERIE. .......... 12
7.1. Introducción ...................................................................... 12
7.2. Acoplamiento de resistencias en serie .................................... 13
8.
ACOPL AMIEN TO DE RECEPTORES EN P AR ALE LO. .. 1 4
8.1. INTRODUCCIÓn ................................................................ 14
8.2. ACOPLAMIENTO DE RESISTENCIAS EN PARALELO. ............ 15
9. POTENCIA ELÉCTRICA. ......................................... 15
10. RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS SERIE Y PAR ALELO. .. 16
10.1. RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS SERIE. ................................ 16
11.
CIRCUITOS MIXTOS ............................................ 20
1 2 . R AZONES PAR A EL USO DE L A COR RIENTE AL TER N A
EN VEZ DE L A C ONTINU A. ......................................... 2 4
13. TOMA DE TIERRA ................................................ 25
13.1. DEFINICIÓN DE LA PUESTA A TIERRA.............................. 25
13.2. ELECTRODOS DE
PUESTA A TIERRA ................................ 26
1 4 .DISPOSITIVOS DE PROTECCIÓN DE LÍNE AS
ELÉCTRICAS . .......................................................... 27
2.1. GENERALIDADES. ............................................................. 27
14.2. INTERRUPTORES AUTOMÁTICOS MAGNETOTÉRMICOS. .... 27
14.3. INTERRUPTOR DIFERENCIAL. .......................................... 29
15. EFECTOS DE LA CORRIENTE SOBRE EL CUERPO
HUM ANO. ................................................................ 31
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15.1. INTENSIDAD DE LA CORRIENTE. ........................ 31
15.2. RESISTENCIA DEL SUJETO. ............................................. 33
15.3. DIFERENCIA DE POTENCIAL ............................................ 33
15.4. TIEMPO DE CONTACTO. .................................................. 33
15.5.TRAYECTO. ...................................................................... 34
16.- RECEPTORES EN CORRIENTE ALTERN A. .............. 34
16.1. INTRODUCCIÓN .............................................................. 34
17 RESPUESTA SENOIDAL DE LOS ELEMENTOS PASIVOS
BÁSICOS. ................................................................ 34
17.1. CIRCUITO RESISTIVO. ..................................................... 34
17.2. CIRCUITO INDUCTIVO. .................................................... 36
17.3. CIRCUITO CAPACITIVO. .................................................. 37
17.4. IMMITACIA COMPLEJA ................................................... 38
18. CIRCUITOS BÁSICOS R, L, C, EN RÉGIMEN
PERMANENTE SENOIDAL. ......................................... 40
18.1. CIRCUITO R, L, C EN SERIE ............................................. 40
18.2. CIRCUITOS R, L ,C EN PARALELO. ................................... 41
1 9 . DI AGR AM AS VECTORI ALES DE LOS CIRCUITO
BÁSICOS R, L , C. .................................................... 43
19.1. DIAGRAMAS VECTORIALES DE LA CONEXIÓN EN SERIE. .. 43
19.1.1. Circuito con impedancia inductiva.................................... 44
19.1.2. Circuito con impedancia capacitiva. ................................. 44
19.1.3. Circuito con comportamiento de resistencia pura ................. 45
19.2. DIAGRAMAS VECTORIALES DE LA CONEXIÓN EN PARALELO
.............................................................................................. 45
19.2.1. Circuito con admitancia capacitiva. .................................. 46
19.2.2. Circuito con admitancia inductiva. ................................... 46
19.2.3. Circuito con comportamiento de admitancia pura ................. 47
20. POTENCIA Y ENERGÍA EN RÉGIMEN PERMANENTE
SENOIDAL ............................................................... 47
20.1 INTRODUCCIÓN ............................................................... 47
20.2. RELACIONES DE POTENCIA Y ENERGIA DE LOS ELEMENTOS
PASIVOS BÁSICOS ................................................................... 48
20.2.1. Resistencia .................................................................. 48
20.2.2. Bobina ........................................................................ 50
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20.2.3. Condensador ................................................................ 52
20.3. POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE .................... 55
16.3.1. Teorema de Boucherot .................................................... 59
21. CIRCUITOS SENOIDALES TRIFÁSICOS ................... 59
21.1. INTRODUCCIÓN .............................................................. 59
21.2. GENERACIÓN DE TENSIONES TRIFÁSICAS ........................ 63
21.3. CONEXIÓN DE FUENTes EN estrella y triángulo .................. 67
21.3.1. Conexión estrella ........................................................... 67
21.3.2. Conexión triángulo ...................................................... 69
21.4. CONCEPTOS EN LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS ..................... 69
21.5. RELACIONES ENTRE LAS TENSIONES DE FASE Y DE LÍNEA
EN UN SISTEMA QUILIBRADO CONECTADO EN ESTRELLA. ....... 73
21.6. RELACIONES ENTRE LAS CORRIENTES DE FASE Y DE LÍNEA
EN UN SISTEMA QUILIBRADO CONECTADO EN TRIÁNGULO. ..... 75
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1. LA CORRIENTE ELÉCTRICA.
De todas las formas de energía que utilizamos hoy en día, la energía eléctrica es la
más versátil, cómoda y limpia en su consumo, aunque no en su
producción. La corriente eléctrica es fácil de manejar y se puede
transportar de un lugar a otro fácilmente por medio de conductores
eléctricos. No obstante, si en algo destaca la energía eléctrica, respecto a
otras, es en la
facilidad con que se transforma.
Existen múltiples
ejemplos de la transformación de energía eléctrica en la vida cotidiana,
entre las que destacan:
•
Transformación en energía calorífica a través de un radiador eléctrico.
•
Transformación en luz (radiación) a través de una lámpara.
•
Transformación en energía mecánica por medio de los motores.
•
Transformación en ondas sonoras por medio de los altavoces.
•
etc..
Fue Edison quién descubrió en 1879 la lámpara incandescente, lo que
supuso un cambio trascendental de la vida social.
Pero, ¿qué es la
electricidad?.
La materia está formada por átomos, los cuales a su
-
vez están constituidos por un núcleo, con protones
-
-
-
(partículas de carga positiva) y neutrones (partículas sin
carga), y la corteza donde están los electrones (partículas
-
de carga negativa) girando en órbitas alrededor del núcleo.
-
+
Normalmente, en los átomos existe equilibrio de cargas
positivas y negativas, lo que equivale a decir que el átomo
es neutro en cargas eléctricas.
-
-
+
+
+ +
+ +
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
+ + +
+ +
-
-
-
-
Hay que considerar él átomo como algo muy, muy
3
pequeño, tanto que en cada mm de cualquier material hay miles de millones de átomos.
Imaginemos un circuito eléctrico sencillo, formado por conductores de cobre, una
lámpara que actúa como receptor y un generador eléctrico.
L
+
G
-
Como es sabido, con el interruptor eléctrico abierto (posición que tiene en la figura
anterior) no circula corriente y la lámpara está apagada. Todos los materiales de los que está
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constituido el circuito, están constituidos por átomos y cada uno de ellos tiene electrones en
sus órbitas.
Si cerramos el interruptor, convencionalmente se adopta que el generador eléctrico
comenzará a aportar electrones al circuito, a través de su polo positivo, a los átomos más
próximos al terminal de dicho generador, de este modo, los átomos que reciben el electrón
pasan a estar cargados negativamente al haber recibido un electrón más, por lo que tienden a
desprenderse de ellos cediendo el electrón sobrante al átomo vecino, el cual, a su vez hará lo
propio con el que se encuentra a su lado y así consecutivamente; de esta forma se establece
un flujo de electrones a través de los conductores y la lámpara,
denominado corriente
eléctrica o intensidad.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
-
+ +
+ +
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
+ + +
+
-
-
-
-
+ +
+ +
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
+ + +
+
-
-
-
-
+
+
+ +
-
-
-
-
+
+
+ +
-
-
-
-
-
-
+
+
+ +
+ +
+ +
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
+ + +
-
-
-
-
-
El electrón del último átomo terminará en el terminal negativo del generador, con lo que
podemos enunciar una propiedad de los circuitos eléctricos: “Toda la corriente que sale del
polo positivo de un generador (alternador, batería, dinamo, fuente de alimentación etc…)
llega al polo negativo del generador de donde partió”
Ahora llega el turno de la pregunta de rigor: ¿entonces la energía del generador no se
consume?. La respuesta es que SI que se consume. Pensemos en una batería que actúa como
generador en nuestro circuito eléctrico, como es sabido, al cabo de un cierto tiempo la carga de
la batería, denominada en el argot eléctrico f.e.m. (fuerza electromotriz), ira disminuyendo y la
bombilla terminará por apagarse. Para poder aportar de nuevo electrones al circuito desde el
polo positivo habrá que ponerla a cargar, consumiendo así energía que después aportará en
forma de flujo de electrones. Si pensamos en el generador de una central hidroeléctrica, la
energía que se le aporta al generador para hacer circular los electrones a través de las líneas
eléctricas proceden de la energía del agua al hacer girar los alabes de la turbina conectada al
generador eléctrico.
En definitiva, podemos definir corriente eléctrica como el flujo de electrones que se
establece en un circuito eléctrico.
©J. Garrigós
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2. MATERIALES ELÉCTRICOS Y SIMBOLOGÍA
En función de la facilidad para conducir la electricidad, se clasifican los materiales en:
•
Aislantes
•
Conductores
Materiales aislantes.- Son aquellos que no conducen la electricidad, como el plástico, la
madera, el vidrio, la porcelana, el corcho etc..
Materiales conductores.- Son aquellos que conducen la electricidad, como el oro, la plata, el
cobre, el aluminio, el estaño, etc…
Hay que hacer la salvedad en este punto, que la práctica totalidad de los metales son
conductores de la electricidad. No obstante, aunque el hierro conduce la electricidad, opone
bastante dificultad al paso de la corriente a través de él, y de ahí, que no se utilice en los
circuitos eléctricos habitualmente.
A fin de dibujar los circuitos eléctricos y electrónicos con facilidad, se han establecido
unos símbolos para los distintos elementos eléctricos y electrónicos existentes, algunos de los
cuales se pueden observar en la siguiente tabla:
SIMBOLOGÍA ELÉCTRICA
Interruptor unipolar
+
-
Timbre o zumbador
Alarma o sirena
Interruptor bipolar
Resistencia LDR
+
Pila o batería
+
-
A
Amperímetro
V
Voltímetro
Fuente de alimentación
Fusible
Lámpara
Interruptor tripolar
Óhmetro u Ohmímetro
Piloto de señalización
G
Generador de corriente
alterna
W
Conmutador
Vatímetro
Relé electromagnético
Conmutador de cruce
Bobina
Pulsador NA (normalmente
abierto)
Bobina
Resistencia
Pulsador NC (normalmente
cerrado)
Final de carrera de roldana
G
Generador de corriente
continua
Transistor NPN
M
motor monofásico
Transistor PNP
Resistencia
Resistencia variable o
potenciómetro
Diodo semiconductor
M
Motor de corriente continua
Diodo LED
3. SÍMIL HIDRÁULICO
En la siguiente página se describen las similitudes existentes entre un circuito
hidráulico y uno eléctrico, las cuales, resultan de gran utilidad, para entender como se
relacionan las magnitudes eléctricas fundamentales.
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SIMIL HIDRÁULICO
Válvula
Entrada
SIMILITUDES ENTRE CIRCUITOS
CIRCUITO HIDRÁULICO
Válvula
Salida
Turbina
Diferencia de altura
DEPÓSITO SUPERIOR
CIRCUITO ELÉCTRICO
* Tuberías
* Conductores eléctricos
* Turbina
* Lámpara (Receptor)
* Depósito superior
* Polo positivo de la pila o batería
* Depósito Inferior.
* Polo negativo de la pila o batería.
* Válvulas
* Interruptores
* Caudal de agua
* Corriente eléctrica.
* Tamaño de la turbina (A mayor tamaño
mayor es la dificultad para moverla).
* Resistencia del filamento de la lámpara.
* Rozamiento del fluido en las tuberías
* Resistencia de los conductores eléctricos.
* Diferencia de altura.
* Diferencia de potencial (Tensión o d.d.p.)
* Cantidad de agua del depósito superior.
* Carga de la pila o batería ( f.e.m.)
* Bomba de impulsión.
* Cargador de la batería.
* Producto de la Fuerza del fluido por la
velocidad con que actúa sobre las paletas
de la turbina.
* Potencia eléctrica.
* Pérdida de carga.
* Caida de tensión.
Bomba de impulsión
Válvula
Válvula de
retención
DEPÓSITO INFERIOR
LÁMPARA
INTERRUPTOR
+
-
PILA O BATERÍA
- d.d.p.= Diferencia de potencial.
- f.e.m. = Fuerza electromotriz
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4. CORRIENTE CONTINUA Y ALTERNA.
4.1. CORRIENTE CONTINUA.
En electricidad existen dos tipos principales de corriente eléctrica: corriente continua
y corriente alterna.
La corriente continua es aquella cuyos valores instantáneos a lo largo del tiempo son
de la misma magnitud. Suele estar suministrado por pilas, baterías,
dinamos, fuentes de
alimentación de corriente continua etc...
Una
de
las
características
fundamentales de la corriente continua es
que
tiene
polaridad:
Uno
de
los
conductores es el positivo (de color rojo)
y el otro el negativo (de color negro),
también llamado éste último masa. Esto
implica
que
los
receptores
deben
conectarse de acuerdo a esa polaridad, de lo contrario podríamos obtener consecuencias no
deseadas, y en el mejor de los casos no funcionaran. Piensa por un momento en una radio,
un juguete, una cámara de fotos etc.., y seguro que caes en la cuenta que las pilas o fuentes
de alimentación de esos elementos sólo se pueden conectar de una determinada manera.
4.2. CORRIENTE ALTERNA.
Una corriente que cambie de sentido a intervalos de tiempo recibe el nombre de
corriente alterna.
La corriente que tenemos
en las bases de enchufe de casa
se denomina corriente alterna
1
senoidal .
La forma de la onda
senoidal es periódica, ya que se
reproduce
idénticamente
en
intervalos de tiempo iguales.
1
La corriente alterna senoidal es aquella cuyos valores absolutos instantáneos
son proporcionales a los que toma una función matemática denominada seno
entre 0 y 360º.
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Dentro de una corriente alterna senoidal se consideran los siguientes parámetros
fundamentales:
Frecuencia.
Período
Valor instantaneo.
Valor máximo.
Valor eficaz.
Valor medio.
Frecuencia.- Es el número de veces que la señal alterna se repite en un segundo. La unidad
de frecuencia es el hertzio (Hz), que equivale a un ciclo por segundo (c.p.s). Se representa por
la letra f.
En toda Europa la frecuencia de la corriente eléctrica de la red de alimentación a
viviendas e industrias es de 50 Hz. En América esta frecuencia es de 60 Hz.
Período.- Es el tiempo necesario para que una señal alterna se repita. (ver figura).
El período se mide en segundos y se representa por la letra T.
Nótese que período y frecuencia son
dos cantidades inversas ya que, si en un
segundo se repite f veces la señal, el tiempo
necesario para completarse una vez será:
T=
1
f
f =
1
T
Valor instantáneo.- Como se a dicho, una de las características de
la corriente alterna es tomar valores diferentes en cada instante de
tiempo. Así pues, valor instantáneo es aquel que toma la señal en
cada instante.
La unidad depende del valor instantáneo considerado:
tensión, intensidad, etc... Suele estar representado en minúsculas.
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Valor máximo.- De todos los valores instantáneos
comprendidos en un período, se denomina valor
máximo al mayor de ellos. También a este valor se le
denomina amplitud de la señal alterna y, otras veces,
valor de cresta.
Al igual que el valor instantáneo, su unidad
depende de la magnitud considerada.
Se suele representar por letras mayúsculas
seguidas del subíndice máx .
En las señales alternas senoidales, el valor máximo coincide, en valor absoluto, con el
valor mínimo. A cualquiera de estos valores se les designa también con el nombre de valor de
pico.
Interesante, a veces, en el tratamiento de la señal alterna, es el valor comprendido
entre dos picos consecutivos, denominado valor de pico a pico.
Valor eficaz.- Es el valor más importante a considerar en el tratamiento de las señales
alternas, para poder operar con ellas, pues con él se obtiene matemáticamente el mismo
resultado que operando con valores instantáneos continuamente variables.
1
A=
T
t 0 +T
∫f
2
(t )
dt
t0
Físicamente, el valor eficaz de una corriente alterna es aquél que produce los mismos
efectos caloríficos, a través de una resistencia, que una corriente continua del mismo valor.
El valor eficaz de una corriente alterna senoidal es igual al valor de pico dividido entre
la raíz cuadrada de dos.
V =
Vmax
2
5. LEY DE OHM
La ley de Ohm enuncia que la intensidad de un circuito es directamente proporcional a
la diferencia de potencial aplicada e inversamente proporcional a la resistencia del mismo:
I=
donde:
V
R
Ι = Intensidad de la corriente en amperios [A]
R= Resistencia en Ohmios [Ω]
V= Tensión, Voltaje o diferencia de potencial (d.d.p) en voltios
La interpretación de la resistencia eléctrica la podemos definir como la dificultad que
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ofrece un elemento al paso de la corriente a través de él.
Para el caso de la corriente eléctrica la podemos interpretar (en su analogía con la
corriente de agua) como el caudal o flujo de electrones que pasan por un determinado
elemento eléctrico.
6.LEYES DE KIRCHOFF.
6.1. 1ª LEY DE KIRCHOFF O LEY DE LOS NUDOS.
En los circuitos eléctricos hay que añadir, a la Ley de Ohm, las formulas de las
ecuaciones que se derivan de aplicarle las leyes de Kirchoff
Para entender las leyes de Kirchoff primero vamos a definir algunos términos:
Nudo.- Es el punto de la red en que hay unión eléctrica entre tres o más conductores.
Rama.- Es el tramo de circuito comprendido entre dos nudos.
Lazo - Es la parte del circuito que puede recorrerse sin pasar dos veces por el mismo punto, y
volviendo siempre al punto de partida. Una malla es un caso particular de un lazo en el cual no
existe ninguna rama en su interior.
Primera ley de Kirchoff
La suma de las intensidades o corrientes que entran en un nudo
es igual a la suma de las corrientes o intensidades que salen de él.
A título de ejemplo, en la figura se cumple que:
I1 + I 2 + I4 + I5 + = I3
6.2. 2ª LEY DE KIRCHOFF “LEY DE LA MALLAS”
Definición: La suma de cada una de las diferencias de potencial en cada uno de
los elementos que componen un circuito cerrado es igual a cero.
Convenios: A fin de adoptar un criterio para la aplicación de las distintas fórmulas en
los circuitos eléctricos, adoptaremos los siguientes criterios:
A.- La corriente circula del punto más positivo al más negativo.
B.- Para indicar la d.d.p. en bornes de un elemento del circuito, dibujaremos una flecha bajo el
elemento cuyo sentido será del punto más positivo al más negativo.
Ejemplo:
I
G
V3
H
V3 es la tensión que mediría un voltímetro conectado a los extremos del receptor
(bornes G y H), estando el polo positivo del voltímetro en el borne G (Punto por donde entra la
corriente al elemento), y el polo negativo en el borne H
©J. Garrigós
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El siguiente circuito muestra la aplicación práctica de lo indicado y las ecuaciones que
se pueden obtener de la aplicación de las dos leyes de Kirchoff.
Nudo M :
I = I1 + I 2
Nudo N:
I1 = I 3 + I 5
Nudo O:
I1 + I 3 = I 4
Nudo P:
I4 + I5 = I
Partiendo del nudo M, pasamos por R1, R4,R6, Pila
V1 + V4 + V6 − V = 0
Partiendo del nudo M, pasamos por R2, R3,R4,R6 Pila
V 2 + V 3 + V4 + V6 − V = 0
Partiendo del nudo N, pasamos por R3, R4 y R5.
V 3 + V4 − V5 = 0
7. ACOPLAMIENTO DE RECEPTORES EN SERIE.
7.1. INTRODUCCIÓN
R1
Se dice que dos o más receptores están
V1
R2
R3
V2
V3
acoplados en serie, cuando el final del primero se
conecta al principio del segundo, el final del
segundo
al
principio
del
tercero
y
así
sucesivamente.
-
+
V
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En una definición más científica, decimos que varios receptores están conectados
en serie, cuando por ellos circula la misma corriente (no confundir con una corriente del
mismo valor).
Atendiendo a la figura anterior en la cual se encuentran tres resistencias conectadas en
serie, se puede deducir las siguientes particularidades de un circuito serie:
•
Sólo existe una corriente que atraviesa todos los receptores, o si se quiere, dos
receptores están conectados en serie si la corriente que los atraviesa es la
misma.
•
En caso de que se interrumpa el circuito en cualquiera de sus puntos tanto la
corriente, como la tensión en bornes de receptores pasa a ser cero.
•
La suma de las tensiones (caídas de tensión) en bornes de los receptores es
igual a la suma del potencial de la alimentación del circuito.
7.2. ACOPLAMIENTO DE RESISTENCIAS EN SERIE
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito anterior obtenemos:
− V + V1 + V 2 + V 3 = 0
V = V1 + V2 + V3
La fórmula nos indica que la suma de las caídas de tensión en los receptores es
igual a la tensión de alimentación del circuito.
A efectos de cálculos, los circuitos eléctricos se suelen simplificar por otros más
sencillos, pero cuyo comportamiento global es idéntico al circuito sin simplificar.
En nuestro caso, vamos a calcular el valor que tendría una sola resistencia equivalente
(Req) que sustituya a las tres que están conectadas en serie en el circuito que nos ocupa. En
definitiva nuestro circuito a efectos de cálculo sería equivalente al de la siguiente figura:
A
R1
V1
R2
R3
V2
B
A
Req
B
V3
-
+
V
-
+
V
Lógicamente la corriente I y la tensión de alimentación V será la misma en ambos
circuitos.
Partiendo de la fórmula anterior y aplicando la ley de Ohm tendremos:
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
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V = V1 + V 2 + V 3
I * Re q = R1 * I + R 2 * I + R 3 * I
I * Re q = I * ( R1 + R 2 + R 3 )
Re q = R1 + R 2 + R 3
Con carácter general:
Re q = R1 + R2 + R3 + ..... + Rn
Es decir, en un circuito en serie la resistencia equivalente de varias
resistencias tendrá el valor resultante de la suma de los valores de cada una de ellas.
8. ACOPLAMIENTO DE RECEPTORES EN PARALELO.
8.1. INTRODUCCIÓN
Se dice que dos o más receptores están acoplados en paralelo cuando, todos los
principios están conectados a un mismo punto, y todos los finales lo están en otro.
Otra forma de definir la conexión en paralelo sería aquella en la que los receptores
se encuentran sometidas a la misma tensión o diferencia de potencial (d.d.p.)
R1
I1
V1
A
I2
R2
B
V2
I3
I
R3
V3
-
+
V
Atendiendo a la figura anterior en la cual se encuentran tres resistencias conectadas en
paralelo, se puede deducir las siguientes particularidades de este tipo de circuitos:
•
Las tensiones en bornes de cada uno de los receptores es la misma.
•
La corriente que atraviesa cada uno de los receptores es inversamente
proporcional a su resistencia ( a mayor resistencia menor corriente).
•
Si por alguna circunstancia anulamos uno de los receptores, el resto seguirá
funcionando correctamente.
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
14
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8.2. ACOPLAMIENTO DE RESISTENCIAS EN PARALELO.
Si aplicamos la primera ley de Kirchoff al circuito de la figura anterior, en el nudo A
I = I1 + I 2 + I 3
tendremos:
De la misma forma que en el circuito en serie, seguidamente vamos a calcular el valor
que tendría una resistencia equivalente que sustituya a todas las que están conectadas en
paralelo entre los nudos A y B.
Si aplicamos la segunda ley de Kirchoff al circuito anterior llegamos a la conclusión de
que la tensión en bornes de cada una de los receptores es la misma, y en este caso, igual a la
tensión de alimentación del circuito.
− V + V1 = 0 ;
V = V1
− V + V2 = 0 ;
V = V2
− V + V3 = 0 ;
V = V3
V = V1 = V 2 = V 3
Así aplicando la ley de Ohm a la fórmula anterior, y sustituyendo se obtiene:
V
V
V
V
=
+
+
Re q R1 R2 R3
Re q =
V*
 1
1
1
1 

= V * 
+
+
Re q
R
R
R
2
3 
 1
1
1
1
1
+
+
R1 R2 R3
Con carácter general:
Re q =
1
1
1
1
1
+
+
+ ......... +
R1 R2 R3
Rn
Es decir, en un circuito en paralelo la resistencia equivalente de varias
resistencias tendrá el valor resultante de la inversa de la suma de las inversas del
valor de cada una de ellas
NOTA: La resistencia equivalente de un circuito en paralelo siempre es menor que el valor más
pequeño de las resistencias que lo componen
9. POTENCIA ELÉCTRICA.
La potencia eléctrica (P) es la cantidad de trabajo o energía desarrollada por
unidad de tiempo.
P=
Energía V * I * t
=V *I ;
=
Tiempo
t
P =V *I
donde:
P= Potencia en vatios (W)
V= Tensión o diferencia de potencial en voltios (V)
I= Intensidad de la corriente en amperios (A)
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
15
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
Si consideramos la ley de Ohm, la potencia la podemos expresar de otras dos formas:
P = V * I
V V2
V2

;
P=
P = V * =
V
R
R
R
I=
R 
P = V * I
2
2
P = R * I * I = R * I ; P = R * I
V = R* I
NOTA: Si tomamos una lámpara incandescente estándar de las que utilizamos en casa, nos
suelen dar los siguientes datos: Tensión de alimentación (generalmente 220/230V), Potencia
(Por ejemplo: 100 W), Esto significa que si alimentamos la lámpara a 220 V la lámpara
consumirá 100 W y dará una iluminación proporcional a la potencia consumida. ¿Crees qué la
lámpara consumiría también 100 W si le aplicáramos una tensión de 110 V?, acaso, ¿consumiría
50 W? , o ninguna de las otras dos. Para dar respuesta a esta pregunta ten en cuenta que la única
magnitud eléctrica que se puede considerar que no “varía” es la resistencia.
10. RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS SERIE Y PARALELO.
10.1. RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS SERIE.
Procedimiento de cálculo
Cálculo de potencias
P1=V1.I
Resistencias en serie
P2=V2.I
P3=V3.I
Pg=Vg.I
Resistencia
equivalente
Cálculo de tensiones
V1=I.R1
V2=I.R2
V3=I.R3
I
Ley de Ohm
V=I.R
V
Cálculo de I
Req
I=
V
R
Veamos este procedimiento de cálculo con un ejemplo numérico:
R1= 3
V1
R2= 2
R3= 4
V2
V3
-
+
I
V = 12 V
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
16
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
1º) Cálculo de resistencia equivalente:
R1= 3
V1
R2= 2
R3= 4
V2
V3
Req= 9
Req= 9 Ω
Req = R1 + R2 + R3 = 3 + 2 + 4 = 9 Ω
Se obtiene así el circuito elemental
2º) Cálculo de I aplicando la ley de Ohm, al circuito elemental:
Req= 9
V 12
=
= 1,33 A
R
9
PT = V * I = 12 * 1,33 = 15,96 W
I=
+
I
3º) Cálculo de las tensiones a que se encuentran los receptores:
R1= 3
V1
R2= 2
R3= 4
V2
V3
-
V = I⋅R
V = 12 V
-
+
I
V = 12 V
V1 = I ⋅ R1 = 1,33 • 3 = 3,99 Ω
V 2 = I ⋅ R 2 = 1,33 • 2 = 2,66 Ω
V 3 = I . R 3 = 1,33 • 4 = 5,32 Ω
Obsérvese que se cumple la 2ª ley de las mallas de Kirchoff:
V = V1 + V 2 + V3 = 3,99 + 2,66 + 5,32 = 11,97 ≈ 12 V
4º) Cálculo de potencias consumidas por los receptores y suministrada por el generador.
PR 1 = V1 ⋅ I = 3,99 • 1,33 = 5,31 W
PR 2 = V 2 ⋅ I = 2,66 • 1,33 = 3,54 W
PR 3 = V 3 ⋅ I = 5,32 • 1,33 = 7,08 W
y la suministrada por el generador o pila ya calculada:
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I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
17
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
Pg = V g ⋅ I = 12 • 1,33 = 15,96 W
pudiéndose comprobar que la potencia suministrada por la pila debe consumirse en todos los
receptores:
Pg = PR1 + PR 2 + PR 3 = 5,31 + 3,54 + 7,08 = 15,93 ≈ 15,96 W
10.2. RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS EN PARALELO.
Procedimiento de cálculo
Cálculo de potencias
P1=V1.I
Resistencias en
paralelo
P2=V2.I
P3=V3.I
Pg=Vg.I
Resistencia
equivalente
Cálculo de corrientes
I1=V/R1
I2=V/R2
V
I3=V/R3
I
Ley de Ohm
V
V=I.R
Cálculo de I
Req
I=
V
R
Veamos este procedimiento de cálculo con un ejemplo numérico:
A
I1
R1= 3
I2
R2= 4
I3
B
R3= 2
V
-
+
I
V = 12 V
1º) Cálculo de la resistencia equivalente:
R1
R2
Req
R3
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
18
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
La resistencia equivalente se obtendrá del modo siguiente:
1
1
1
1
1 1 1 13
Ω ⇒
=
+
+
= + + =
Req
R1 R 2 R 3 3 2 4 12
R eq =
12
= 0,923 Ω
13
2º) Calculo de I aplicando la ley de Ohm, al circuito elemental:
V
12
=
= 13 A
R 0,923
pT = V * I = 12 * 13 = 156 W
I
+
I=
-
V = I⋅R
Req= 0,923
V = 12 V
3º) Calculo de las corrientes que atraviesan a cada receptor
Sabemos que cada uno de los receptores se encuentran a la misma tensión siendo ésta
la que proporciona el generador o pila.
Por tanto:
V = V1 = V2 = V3 = 12 V
siendo las intensidades que pasan por cada receptor:
I1 =
V1
V
12
=4A
=
=
R1 R1
3
I2 =
V2
V
12
=6A
=
=
R
R2
2
I3 =
V3
V
12
=3A
=
=
R3 R3
4
pudiendose comprobar que se cumple la ley de los nudos de Kirchoff:
I = I 1 + I 2 + I 3 = 4 + 6 + 3 = 13 A
4º) Cálculo de potencias consumidas por los receptores y suministrada por el generador.
P1 = V ⋅ I 1 = 12 • 4 = 48 W
P2 = V ⋅ I 2 = 12 • 6 = 72 W
P3 = V ⋅ I 3 = 12 • 3 = 36 W
pudiéndose comprobar que la potencia suministrada por la pila debe consumirse en todos los
receptores:
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I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
19
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
11. CIRCUITOS MIXTOS
Conceptos
básicos:
En este tipo de circuitos nos encontraremos receptores que están conectados en serie y
otros que están conectados en paralelo.
Por tanto el procedimiento será simplificar los receptores que están en paralelo
(obteniéndose su equivalente) y aquellos que estén en serie (obteniéndose su equivalente
también), y por último, se obtiene el circuito elemental (pila o generador, interruptor y receptor
cuya resistencia sea la equivalente a la de todos los receptores del circuito original)
Problema Tipo
I1
Dado un generador (pila) conectado a una
asociación de receptores en mixto (paralelo y serie, de
los cuales conocemos o podemos conocer su resistencia
eléctrica), se suele pedir:
A
I2
R3= 6
B
V1
I3
I
R4=20
+
V2
-
Intensidad de corriente eléctrica (I) que recorre el
circuito.
Intensidad de corriente eléctrica que atraviesa a cada
receptor (I1,I2,I3,I4)
Tensión a que están los bornes de cada receptor.
Potencia que consume cada receptor
Potencia que suministra el generador (pila)
R1= 2
R2= 30
V = 90 V
PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
Cálculo de
intensidades
Resistencias en
paralelo
I1=VBC/R1
Resistencia
equivalente
V
Resistencias en
serie
Resistencia
equivalente
A
I2=VBC./R2
Ig=VBC./R3
B
C
Cálculo de tensiones
VAB=I·R1
VBC=I·REQ
I
Ley de Ohm
V=I.R
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V
Cálculo de I
Req
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
I=
V
R
20
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
Veamos este procedimiento de cálculo con un ejemplo numérico:
R2= 30
I1
R1= 2
A
I2
R3= 6
B
V1
I3
I
R4=20
-
+
V2
V = 90 V
1º) Cálculo de la resistencia equivalente de las resistencias conectadas en paralelo:
R2= 30
A
R3= 6
R2,3,4
B
R4=20
La resistencia equivalente se obtendrá del modo siguiente:
R 2,3,4 =
1
1
=
=4Ω ⇒
1
1
1
1 1 1
+
+
+ +
R 2 R 3 R4
30 6 20
R 2 , 3 ,4 = 4 Ω
Dibujamos nuevamente el circuito y sustituiremos estas tres resistencias conectadas en
paralelo por la resistencia equivalente obtenida, tal como se muestra a continuación:
R1= 2
V2
+
V1
-
I
R2,3,4 = 4
V = 90 V
En el circuito anterior se observa que R1 y R2,3,4 están conectadas en serie, por lo que
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21
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
podemos obtener su resistencia equivalente:
Req = R1 + R 2 = 2 + 4 = 6 Ω
Req= 6
-
+
I
V = 90 V
2º) Calculo de I aplicando la ley de Ohm, al circuito elemental, y de la potencia total del
circuito simplificado:
V 90
=
= 15 A
R
6
PT = V * I = 90 * 15 = 1350 W
V = I⋅R
I=
3º) Cálculo de las tensiones en los bornes de las resistencias del circuito serie intermedio, R1 y
R2,3,4
R1= 2
V2
+
V1
-
I
R2,3,4 = 4
V = 90 V
Este cálculo se puede realizar por que conocemos la intensidad que atraviesa a estas
resistencias y también el valor en ohmios de éstas. Por tanto aplicaremos la ley de Ohm, que nos
dice que si conocemos la intensidad que atraviesa un receptor y la resistencia del mismo
podemos conocer la tensión en bornes de este receptor a través de la siguiente expresión:
V = I*R
Así pues:
V1 = R1 * I = 2 * 15 = 30 V
V 2 = R 2 * I = 4 * 15 = 60 V
Observación: La tensión de la fuente de alimentación se “reparte” o “cae” entre los
receptores serie. Por tanto la resistencia R1 está a una tensión entre bornes menor que la de la
fuente, o sea 30 V y todos los receptores en paralelo están a una tensión de 60 V, inferior
tambien a la de la fuente. Por tanto, es un error muy habitual considerar que en un circuito
mixto todas las resistencias están a la tensión de la fuente.
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
22
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
Observación: Se debe cumplir este reparto , tal que la tensión de la fuente debe ser igual a la
suma de las tensiones de las resistencias en serie:
90 V = 30 + 60
Observación: Los receptores que están en paralelo se encuentran a la misma tensión que la
resistencia equivalente de ellas, y por tanto lo que se ha calculado en este apartado es la
“tensión en bornes” de todos los receptores que estén en paralelo.
4º) Calculo de las corrientes que atraviesan a cada receptor
R2= 30
I1
R1= 2
A
I2
R3= 6
B
V1
I3
I
R4=20
-
+
V2
V = 90 V
Partimos ahora del circuito original; en este circuito conocemos ya las tensiones a las
que se encuentran todos los receptores y también sus resistencias. Por tanto aplicando la ley de
Ohm a cada receptor podremos obtener las intensidades que atraviesan a todos los receptores.
I1 =
V 2 60
=2A
=
R 2 30
I2 =
V 2 60
= 10 A
=
R3
6
I3 =
V 2 60
=3A
=
R4 20
Observación: La suma de las intensidades que se van por las ramas en paralelo debe ser igual
a la intensidad total que suministra la fuente de alimentación (¡los amperios no se pierden en
el camino y por tanto los amperios que salen del borne + de la fuente deben llegar al borne –
de la misma; todos, no se pierde ni uno!). Se debe verificar la 1ª Ley de Kirchoff
Es decir:
I = I1 + I 2 + I 3
15 = 2 + 10 + 3
5º) Cálculo de potencias consumidas por los receptores y suministrada por el generador.
Esta es otra magnitud que podemos calcular en este circuito a través de varias
expresiones matemáticas, pero todas ellas son derivadas de la ley de Ohm.
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23
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
La potencia consumida por un receptor siempre se podrá calcular si conocemos la
intensidad que lo atraviesa y la tensión entre sus bornes. Por tanto, todos estos datos los
conocemos ya (pues los hemos estado calculando con anterioridad a este apartado).
PR1 = V1 ⋅ I = 30 * 15 = 450 W
PR 2 = V 2 ⋅ I 1 = 60 * 2 = 120 W
PR 3 = V 2 ⋅ I 2 = 60 * 10 = 600 W
p R 4 = V 2 ⋅ I 3 = 60 * 3 = 180 W
SUMANDO= 1350 W
Observación: Comprobamos un hecho que parece entrar dentro de la lógica, y es que la
potencia que suministra la fuente de alimentación, se tendrá que “gastar” entre todos los
receptores:
PT = PR1 + PR 2 + PR 3 + PR 4
Observación: Esta ultima expresión es independiente de cómo estén conectados los receptores,
ya sea en serie, en paralelo o en mixto, o sea siempre se sumaran las potencias de los
receptores para obtener la total suministrada por la fuente de alimentación o generador.
Observación: La potencia eléctrica también puede calcularse mediante otras expresiones ya
estudiadas en el apartado 9.
12. RAZONES PARA EL USO DE LA CORRIENTE ALTERNA EN
VEZ DE LA CONTINUA.
Los principios de la corriente eléctrica fueron en corriente continua, pero en cuanto se
popularizo el uso de la electricidad y los consumos subieron, la corriente continua fue sustituida
por la alterna.
Se calcula que entre el 20 y 30 % de la energía generada en corriente alterna se
transforma en calor durante su transporte desde las centrales hasta los receptores de viviendas,
industrias, alumbrados públicos etc.. Si consideramos que el calor producido por una corriente
eléctrica viene dado por la ley de Joule:
C=0,24*R*I2*t
C = Calor producido por la corriente eléctrica en calorías.
R = Resistencia de la línea eléctrica de transporte en Ohmios (Ω)
I = Intensidad de la corriente eléctrica en amperios (A).
t = Tiempo en segundos.
Si consideramos que la resistencia óhmica de los conductores empleados en el
transporte es la misma para corriente alterna que para corriente continua, y que P=V*I , para
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
24
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
una determinada potencia a transportar nos interesa que la intensidad sea tan baja como sea
posible para evitar las pérdidas por efecto Joule. Así pues, si la potencia a transportar es grande
lo ideal sería subir mucho la tensión para obtener una corriente baja.
Una vez que queda claro que para una misma potencia eléctrica a transportar cuanto
mayor sea la tensión menor será la corriente. En la actualidad en España, las líneas de alta
tensión de corriente alterna están sometidas a una tensión de 400.000 voltios, tensión que
lógicamente no es utilizable a nivel de viviendas
o industrias, es por ello que se va
transformando en las cercanías de los centros de consumo a valores utilizables ( los 230 V o 400
V en la industria), mediante el empleo de transformadores que en la actualidad tienen
rendimientos cercanos a 99,9%. Dado que los transformadores son máquinas que funcionan por
inducción electromagnética y por tanto con corriente alterna, y no con continua, y al no existir
en la actualidad métodos tan sencillos y baratos para transformar los valores de tensión en
corriente continua, como se hace en corriente alterna, es por lo que en la actualidad se utiliza la
corriente alterna, puesto que de transportar grandes potencias desde los lugares de generación a
los de consumo, a la tensión de utilización de los receptores, implicaría grandes valores de
intensidad y por tanto enormes pérdidas de energía por efecto Joule.
13. TOMA DE TIERRA
La toma de tierra, o puesta de tierra, consiste en un sistema de protección eléctrica
contra derivaciones eléctricas, que previene de esta forma los riesgos de electrocuciones para
las personas y animales.
13.1. DEFINICIÓN DE LA PUESTA A TIERRA.
La denominación puesta a tierra comprende toda la ligazón metálica directa, sin fusibles
ni protección alguna, de sección suficiente entre determinadas partes de una instalación, y un
electrodo o grupo de electrodos enterrados en el suelo,
con objeto de conseguir que en el
conjunto de instalaciones, no existan diferencias de potencial peligrosas y que, al mismo tiempo
se permita el paso a tierra de las corrientes de falta o de descarga de origen atmosférico.
Este sistema de protección se basa principalmente en no permitir tensiones o diferencias
de tensión superiores a los 24 V, mediante una instalación conductora, capaz de enviar a tierra
cualquier corriente de fuga.
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25
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
13.2. ELECTRODOS DE
PUESTA A TIERR A.
Se entiende por electrodo de puesta a tierra, a las masas metálicas que se entierran en el
terreno con objeto de facilitar el paso a tierra de las corrientes derivadas en el circuito de puesta
a tierra de una instalación.
Al punto de
Puesta a Tierra
ESQUEMA DE CONEXION DEL CIRCUITO DE
TIERRA A LAS ESTRUCTURAS DE UN EDIFICIO
Lineas de enlace con la centralización
de contadores eléctricos del edificio
Pilares metálicos y de hormigón.
Anillo de conductor de 2
cobre desnudo de 35 mm
Soldadura aluminotérmica.
ANILLO DE TOMA DE TIERRA DE UN EDIFICIO
Los electrodos pueden ser:
Picas
clavadas
verticalmente en el terreno.
Placas
metálicas
enterradas verticalmente.
Anillos
cobre
de
desnudo
horizontalmente
cable
de
tendido
en
el
terreno.
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I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
26
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
Conductor aislado
TOMA DE TIERRA PROVISIONAL
EN LA FASE DE CONSTRUCCION.
14.DISPOSITIVOS DE PROTECCIÓN DE LÍNEAS ELÉCTRICAS .
2.1. GENERALIDADES.
De entre los innumerables dispositivos de protección eléctrica que existen en el
mercado, en esta apartado estudiaremos los que sin duda son más universales: El interruptor
magnetotérmico y el interruptor diferencial.
Antes de comenzar con la explicación de cada uno de ellos es necesario tener claro los
siguientes conceptos:
Sobrecarga.- Se entiende por sobrecarga el aumento de la corriente de un circuito o
receptor, por encima de sus valores nominales. Así decimos que un circuito o instalación está
sobrecargada, cuando la suma de la potencia de los aparatos que están a él conectados, es
superior a la potencia para la cual está diseñado el circuito o la instalación.
Cortocircuito.- Es la unión directa de dos conductores de distinta polaridad sin impedancia
alguna entre ellos. Las consecuencias de un cortocircuito es la elevación casi instantánea
(milésimas de segundo) de la intensidad con valores que pueden alcanzar cientos de veces la
nominal o asignada.
Contacto indirecto.- Es la puesta en tensión accidental de animales o personas a través de
elementos que normalmente no esta bajo tensión.
Contacto directo.- Puesta en tensión de personas o animales con una parte activa de la
instalación
14.2. INTERRUPTORES AUTOMÁTICOS MAGNETOTÉRMICOS.
Son dispositivos de protección contra sobrecargas y cortocircuitos que se instalan en los
cuadros de mando y protección de los circuitos.
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I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
27
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
Los interruptores automáticos magnetotérmicos son dispositivos provistos de dos
sistemas de protección:
Térmico.
Magnético.
El sistema de protección térmico está formado por una lámina bimetálica, a través de la cual
pasa la corriente del circuito. Cuando esté sobrecargado durante un determinado tiempo, el
calor desarrollado en el bimetal hace que éste se deforme y provoque la desconexión.
El sistema de protección magnético está compuesto por una bobina, a través de la cual pasa
la corriente del circuito. Cuando se produce una sobreintensidad, la bobina actúa creando un
campo magnético en el arrollamiento del interruptor que, al atraer un núcleo magnético, produce
el disparo del interruptor.
Cuando la sobreintensidad es debida a una sobrecarga, se dispara por efecto térmico.
Si la sobreintensidad es debida a un cortocircuito, se dispara por un efecto electromagnético.
©J. Garrigós
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28
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
UNIPOLAR
UNIPOLAR
MÁS
NEUTRO
BIPOLAR
Curva de disparo tipo B de un
Para la elección de un magnetotérmico hemos de tener en cuenta, al menos, los siguientes
parámetros:
Intensidad nominal normalizada ( 2,4,6,10,16,20,25,32,40,63 A etc..).
Número de polos (Unipolar, unipolar más neutro, bipolar, bipolar más neutro, tripolar,
tripolar más neutro, tetrapolar etc.....)
Poder de corte. Es la máxima corriente que es capaz de cortar ante un cortocircuito se mide
en kA (6,10,20,30,36, 40 kA etc )
En cuanto al número de polos aunque podríamos tomarlo unipolar es preferible unipolar
más neutro o bipolar adoptando este último como mejor sistema de protección.
14.3. INTERRUPTOR DIFERENCIAL.
Es un dispositivo automático encargado de proteger a personas y animales contra
contactos con partes en tensión.
Debe estar diseñado de tal forma que no permita el paso de intensidades de corriente
que pudieran ser perjudiciales para las personas.
El nombre de interruptor diferencial le viene, porque comprueba la diferencia entre las
corrientes entrantes y salientes de los circuitos que protege, y en caso de que el balance de tales
corrientes no sea nulo abrirá el circuito automáticamente.
Se denomina intensidad de sensibilidad (Ι∆n) la máxima diferencia, que el diferencial
permitirá, entre las corrientes entrantes y salientes sin abrir el circuito al que protege.
A la máxima corriente que puede atravesar el diferencial de forma ininterrumpida sin
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
29
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
que el calor generado pueda dañar alguno de los elementos del dispositivo se denomina
intensidad nominal o asignada.
Principio de funcionamiento del interruptor diferencial bipolar.
Cuando el circuito funciona
normalmente sin fugas a tierra, en los
bobinados 1 y 2 del transformador
toroidal, las corrientes Ι1 e Ι2 son
iguales, por lo cual ambas generarán
las mismas líneas de fuerza pero en
sentido
contrario
anulándose
la
circulación global alrededor del núcleo
magnético toroidal, con lo cual la
corriente generada en la bobina 3 será
cero.
En
estas
condiciones
el
interruptor diferencial funciona sin
disparar.
Si
accidental
por
se
un
contacto
provoca
una
derivación a tierra, la corriente Ι1
será
mayor
que
la
Ι2
generándose una circulación de
líneas de fuerza
en el núcleo
magnético que inducirán una
corriente en la bobina 3, la cual
aplicada al relé provocará la
apertura del circuito.
A fin de verificar el correcto funcionamiento del interruptor diferencial, estos dispositivos
disponen de un pulsador de prueba (T), que al ser accionado genera una corriente de fuga
equivalente a la de sensibilidad del diferencial que deberá hacer actuar al dispositivo.
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I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
30
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
En la actualidad existen cuatro clasificaciones principales en cuanto a intensidad de
sensibilidad se refiere:
Alta sensibilidad: Intensidad de sensibilidad de 10 o 30 mA
Media sensibilidad: Intensidad de sensibilidad de 300 mA
Baja sensibilidad: Intensidad de sensibilidad de 500 mA
Los valores normalizados de la intensidad nominal son 25, 40, 63, 100 A, etc ..
Además de la protección de electrocución de personas, los interruptores diferenciales
son muy eficaces contra incendios en la instalación, al limitar a
potencias muy bajas las eventuales fugas de energía eléctrica por
defectos de aislamiento en la instalación.
En las instalaciones de viviendas se deben emplear
interruptores diferenciales de alta sensibilidad ( 30 mA o menor), con
tiempos de respuesta menores a 20 milisegundos.
15. EFECTOS DE LA CORRIENTE SOBRE EL CUERPO
HUMANO.
Los efectos que la corriente eléctrica provoca sobre el cuerpo depende de 5 factores
diferentes:
Intensidad de la corriente
Resistencia del sujeto
Diferencia de potencial.
Tiempo de contacto.
Trayecto.
15.1. INTENSIDAD DE LA CORRIENTE.
Contrariamente a lo que se suele pensar, es la corriente la responsable de la muerte y no
el voltaje. Los efectos fisiológicos sobre el cuerpo humano debido al paso de corriente eléctrica
son los siguientes:
1 a 3 mA
Prácticamente imperceptibles. No hay riesgo
5 a 10 mA Contracciones involuntarias de músculos y pequeñas alteraciones del sistema
respiratorio.
10 a 15 mA Principio de tetanización muscular, contracciones violentas e incluso
permanente de las extremidades.
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I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
31
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
15 a 30 mA Contracciones violentas e incluso permanentes de la caja torácica. Alteración
del ritmo cardiaco.
>30 mA
Fibrilación cardiaca.
Todos estos valores y efectos se ven aumentados o disminuidos por el tiempo que dura el
paso de la corriente eléctrica.
Los valores máximos de intensidad y tiempo se pueden relacionar de la siguiente forma:
1.- Para duraciones inferiores a 150 ms, no hay riesgo, siempre que la intensidad de defecto
no supere los 300 mA.
2.- Para duraciones largas superiores a 150 ms, no hay riesgo siempre que la intensidad no
supere los 30 mA (de ahí, la necesidad de utilizar diferenciales de alta sensibilidad en las
viviendas).
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32
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
15.2. RESISTENCIA DEL SUJETO.
Dado que la intensidad que atraviesa el cuerpo es función del voltaje y de la resistencia,
sabemos por la ley de Ohm, que para un mismo voltaje la corriente será inversamente
proporcional al valor de la resistencia de contacto.
Así la resistencia del cuerpo humano puede variar de 1000 ohmios para la piel mojada a
10000 ohmios para la piel seca.
Otro factores a considerar en la resistencia que la corriente encuentra al atravesar el
cuerpo humano son:
La piel.- En cuanto a que un piel seca de un adulto tendrá un resistencia mucho mayor que
la de un bebe.
Vestiduras y calzados.- Según estén secos o mojados y en cuanto a la naturaleza y espesor
de la suela.
Estado de animo.- Pues está demostrado que la resistencia eléctrica del organismo baja con
las enfermedades, fatiga, cansancio etc..
Atención.- Se sabe que soportamos más una descarga eléctrica si la esperamos que si ocurre
de manera imprevista.
15.3. DIFERENCIA DE POTENCIAL
Es causa de muchos errores, a veces fatales, el creer que sólo las altas tensiones (más de
1000 voltios) son las peligrosas. Ya se ha indicado que la intensidad es la que mata, pues bien,
la tensión o diferencia de potencial es la que produce las quemaduras. Así pues, cuanto más alta
sea la tensión, más probabilidad de quemadura existe.
Como diferencia de potencial peligrosa se consideran valores de 24 V o superior en
ambiente húmedos para personas adultas. Los valores de las tensiones más peligrosas para el ser
humano están comprendidas entre 300 y 800 voltios, pues es en estos valores donde existen las
mayores posibilidades de que el corazón fibrile ( las fibras de corazón se contraen de modo
anárquico e independiente) y surja una parada cardiaca.
15.4. TIEMPO DE CONTACTO.
Cuanto mayor sea éste, mayores serán también las quemaduras. Lo
verdaderamente
peligroso es la fibrilación del corazón, y para que esta se produzca, la corriente eléctrica tiene
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
33
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
que pasar por una fase del movimiento del corazón que dura poquísimo, unas veinte milésimas
de segundo.
El tiempo de contacto es pues un factor fundamental a considerar en el riesgo y lesiones que
produce la corriente eléctrica, de forma que a mayor duración mayores serán las lesiones que
produce, creciendo estas últimas de manera exponencial para un mismo valor de la corriente.
15.5.TRAYECTO.
La corriente atraviesa el organismo desde su entrada a su salida por el camino más
corto.
Si el corazón está intercalado en este camino, la posibilidad de fibrilación y parada
cardiaca es máxima.
16.- RECEPTORES EN CORRIENTE ALTERNA.
16.1. INTRODUCCIÓN
Los receptores en corriente alterna pueden ser de tres tipos distintos, en base a los
efectos que estos producen, distinguiéndose entre: resistencia, inductancia (bobina),
capacidad (condensador).
Ahora bien el comportamiento de estos receptores en corriente alterna dista del que
tienen en corriente continua.
Para el estudio del comportamiento de los receptores en c.a. nos centraremos aquí en la
respuesta a funciones de carácter senoidal.
17 RESPUESTA SENOIDAL DE LOS ELEMENTOS PASIVOS
BÁSICOS.
17.1. CIRCUITO RESISTIVO.
Su comportamiento es el mismo en corriente alterna senoidal que en continua, no existiendo
desfase entre la tensión y la corriente, y por tanto su factor de potencia (cos ϕ) es igual a la
unidad.
Por convenio se adopta escribir las variables de corriente alterna en minúscula.
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
34
ELECTRICIDAD
Considerando
el
DEPARTAMENTO DE INA
criterio
de
signos
y
sentidos
adoptados
tendremos:
i
u
Ecuación temporal :
u = R*i
u = 2 * U * cos (ω t + ϕ )
i = 2 * I * cos (ω t + ϕ )
U0 = 2 *U
U = Valor eficaz de la tensión
I0 = 2 * I
I = Valor eficaz de de la corriente
La ecuación temporal anterior se puede expresar simbólicamente mediante ecuaciones
con complejos, de esta forma se puede enunciar:
La potencia absorbida por este tipo de receptores es igual:
P = V * I = (R * I) * I = R * I 2
P =V * I =V *
V V2
=
R
R
La potencia absorbida por los receptores resistivos se denomina potencia activa y se
mide en vatios.
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
35
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
17.2. CIRCUITO INDUCTIVO.
Es el circuito que se considera formado por una bobina o autoinducción pura, en él, se
produce un desfase de 90º de retraso de la corriente, con respecto a la tensión. Así pues, el
factor de potencia es cero. Cos ϕ =0
La representación de este circuito se indica en la siguiente figura.
La corriente a través del circuito toma el valor:
I=
V
XL
Al término XL se le llama reactancia inductiva o inductancia, y se halla por la expresión:
X L = L *ω = L * 2 *π * f
siendo:
XL = Reactancia inductiva en Ohmios.
L = Coeficiente de autoinducción henrios (H)
f = Frecuencia en Hertzios (Hz).
L
i
uL
Los valores reales de la tensión e intensidad se pueden obtener mediante la expresión
temporal indicada con solo sustituir las expresiones:
u = 2 * U * cos(ω t + ϕ
u
)
π
U
π


i = 2 * I * cos ω t + ϕ u −  = 2 *
* cos ω t + ϕ u − 
2
L
2
ω



©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
36
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
Este receptor absorberá una potencia:
Q L = V * I * sen ϕ = X L * I * I * 1 = X L * I 2
Esta potencia se denomina potencia reactiva de carácter inductivo, y por convenio se
toma como positiva.
17.3. CIRCUITO CAPACITIVO.
Es el circuito formado por un condensador, en él se produce un desfase de 90º de adelanto
de la corriente, con respecto a la tensión aplicada, así pues, el factor de potencia será cos ϕ= 0
La corriente que atraviesa el condensador viene dado por la expresión:
V
XC
I=
Al término Xc se le denomina reactancia capacitiva y se calcula por la expresión:
XC =
1
1
=
C *ω C * 2 *π * f
siendo:
XC = Reactancia capacitiva en Ohmios
C = Capacidad en faradios. (F)
F = Frecuencia en Hertzios
Los valores reales de la tensión e intensidad se pueden obtener mediante la expresión
temporal indicada con solo sustituir las expresiones:
u = 2 * U * cos(ω t + ϕ
u
)
π
π


i = 2 * I * cos ω t + ϕ u +  = 2 * U * ω C * cos ω t + ϕ u + 
2
2


©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
37
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
La potencia que absorbe este circuito viene dada por la expresión:
Qc = X C * I 2
Esta potencia se denomina potencia reactiva de carácter capacitivo, y por convenio se
toma como negativa.
17.4. IMMITACIA COMPLEJA
Se denomina impedancia compleja a la expresión:
Z = R + j X = Zϕ
donde:
R= Valor de la resistencia pura en Ohmios.
X = Reactancia en Ohmios.
ϕ = Ángulo de desfase de la tensión e intensidad ϕ=ϕu-ϕi
De la misma manera se denomina admitancia compleja a la expresión:
Y = G + jB = Y ψ
donde:
Y = Admitancia compleja en siemens [S]
G = Conductancia en siemens [S]
B = Susceptancia en siemens [S]
ψ = Ángulo de desfase de la tensión e intensidad ψ=ψu-ψi=ϕi-ϕu
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
38
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
Hendrik W.Bode2 quien acuño en 1945 el término IMMITANCIA (contracción de
impedancia y admitancia) como nombre genérico que sintetiza ambos conceptos. Ambas
expresiones son recíprocas cuando corresponden a un mismo elemento o configuración,
verificándose:
Z *Y = 1
Se verifican las siguientes relaciones entre la impedancia y admitancia:
Z = R2 + X 2
Y = G2 + B2
X
R
R = Z * cos ϕ
X = Z * sen ϕ
ψ = tg −1
B
G
G = Y * cos ψ
ϕ = tg −1
B = Y * sen ψ
Como Z * Y = 1 se verifica :
1
G − jB
R + jX =
= 2
;
G + jB G + B 2
de donde se deduce :
Z=
1
Y
R=
G
;
G + B2
2
puesto que Z * e jϕ =
ϕ = −ψ
X =−
B
G + B2
2
1
Y * e jψ
Considerando las distintas relaciones de los elementos pasivos podemos confeccionar
una tabla resumen de la impedancia y admitancia y ángulos de desfase para cada uno de ellos:
IMMITANCIA COMPLEJA
Z
Receptor
ϕ
R
X
Y
Y
ψ
G
B
R
0º
R
0
1
R
1
R
0º
1
R
0
ωL
90º
0
ωL
1
ωC
− 90º 0 −
Z
RESISTENCIA
R
BOBINA
j ωL
CONDENSADOR
2
−
j
ωC
1
ωC
−
j
1
− 90º
ωL ωL
j ωC
ωC
90º
0
0
−
1
ωL
ωC
Hendrik W .Bode. <<Nework Analysis and Feedback Amplifier Desing>>
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
39
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
18. CIRCUITOS BÁSICOS R, L, C, EN RÉGIMEN PERMANENTE
SENOIDAL.
18.1. CIRCUITO R, L, C EN SERIE
Dado el circuito eléctrico de la siguiente figura, vamos a obtener las distintas relaciones
eléctricas del mismo.
+
i(t)
e(t)
R
L
C
uR
uL
uC
u (t)
Para el régimen permanente senoidal se verifica:


1 
 * I =  R +
U =  R + jω L +
jω C 



1 
 * I
j  ω L −
ω C  

La impedancia compleja Z , suma de las impedancias correspondientes a cada elemento,
puede expresarse en la forma:

1 

Z = R + j ( X L + X C ) = R + j  ω L −
ω
C


Obsérvese que las reactancias inductiva (XL) y capacitiva (XC) son de signo opuesto,
siendo la reactancia total del circuito:
X=XL+XC
La reactancia del circuito será positiva si la impedancia del circuito tiene carácter
inductivo, es decir si
ω L>
1
ωC
en este caso la intensidad va en retraso de fase respecto a la tensión un ángulo ϕ.
Recíprocamente la impedancia tiene carácter capacitivo si X<0, cumpliéndose:
ω L<
1
ωC
en este caso la intensidad va en adelanto de fase respecto a la tensión un ángulo ϕ.
Si expresamos la impedancia en forma polar Z = Z ϕ , podemos obtener el valor del
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
40
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
módulo y argumento de la impedancia mediante las siguientes expresiones:

1 

R 2 +  ω L −
ω C 

1
ω L−
ωC
ϕ = tg −1
R
Z=
Módulo
Argumento
En resumen, a la excitación senoidal:
e( t ) = u( t ) = 2 * U * sen (ω t + ϕ u )
simbolizada por U = U ϕ u
responde este circuito, en el régimen permanente, con una
intensidad simbolizada por :
I=
U
Z
=
U ϕU
Z ϕ
=
U
Z
ϕu − ϕ = I ϕi
que tiene como expresión real : i ( t ) =
2*
E
sen (ω t + ϕ u − ϕ )
Z
En un circuito en serie, la impedancia compleja total es, como sabemos, la suma de la
impedancia de cada uno de los elementos. No ofrece pues dificultad determinar las ecuaciones
correspondientes al caso de un número cualquiera de elementos en serie.
18.2. CIRCUITOS R, L ,C EN PARALELO.
Antes de comenzar con el análisis del circuito en paralelo, recordamos que la
admitancia equivalente de varios elementos conectados en paralelo, es igual, a la suma de las
admitancias individuales de cada uno de dichos elementos.
Dado que es más sencillo de operar sumando admitancias que con la inversa de las
inversas de las impedancias de cada uno de los elementos del circuito R, L, C, optamos por
trabajar con admitancias; en todo caso, el resultado sería el mismo de trabajar con impedancias.
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
41
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
iR
i(t)
u (t)
iL
iC
C
R
L
Para el régimen permanente se verifica:


1 
 * U =  G +
I =  G + jω C +
jω L 



1 
 *U = Y *U
j  ω C −
ω L  

La admitancia compleja Y , suma de las correspondientes a cada elemento puede
escribirse de la forma:
Y = (G + j ( BC + B L ))
las susceptancias BC y BL son de signo opuesto, siendo la susceptancia total la resultante de:
B=BC+BL
será positiva si BC es mayor que BL, diciéndose entonces que la admitancia tiene carácter
capacitivo, cumpliéndose:
ωC >
1
ωL
en este caso la tensión la va en retraso de fase respecto de la intensidad, o lo que es lo
mismo la intensidad va adelantada un ángulo ψ a la tensión.
Recíprocamente, la admitancia tiene carácter inductivo (B<0) si:
ωC <
1
ωL
en este caso la tensión va en adelanto de fase a la intensidad, o lo que el lo mismo, la
intensidad va atrasada un ángulo ψ a la corriente.
Si expresamos la admitancia en forma polar Y = Y ψ
, podemos obtener el valor del
módulo y argumento de la impedancia mediante las siguientes expresiones:
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I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
42
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA

1 

Y = G 2 +  ω C −
L
ω


1
ωC −
ωL
Argumento ψ = tg −1
G
Módulo
En resumen, a la excitación senoidal:
i ( t ) = 2 * I * sen (ω t + ϕ i )
simbolizada por I = I ϕ i
responde a este circuito, en régimen permanente, simbolizada
por:
U=
I
Y
=
I
ϕi − ψ
Y
que tiene por expresión real: u( t ) =
2*
I
* sen(ω t + ϕ i − ψ )
Y
19. DIAGRAMAS VECTORIALES DE LOS CIRCUITO BÁSICOS
R, L , C.
A toda operación entre números complejos corresponde otra entre sus vectores
asociados. Por consiguiente, los circuitos se pueden estudiar también mediante operaciones con
vectores. Este procedimiento gráfico ofrece la ventaja, respecto al procedimiento algebraico, de
que las relaciones de fase y amplitud entre todas las tensiones e intensidades quedan expuestas
de forma muy clara e intuitiva.
Consideremos ahora los diagramas vectoriales correspondientes a los circuitos descritos
en el apartado anterior y cuyo conocimiento es fundamental antes de pasar a circuitos más
complejos.
19.1. DIAGRAMAS VECTORIALES DE LA CONEXIÓN EN SERIE.
+
i(t)
e(t)
©J. Garrigós
R
L
C
uR
uL
uC
u (t)
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43
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
19.1.1. Circuito con impedancia inductiva.
X=XL+ XC > 0
ω L>
o sea
1
ωC
La intensidad va retrasada un ángulo ϕ respecto
a
la
tensión.
Por
otro
lado,
observa
UC = jX C I
que:
U = UR + UL + UC
U=Z* I
U L = jXL I
I
UR = R*I
Así mismo, vemos que el anterior triangulo de
tensiones no es más que el triángulo de impedancias multiplicadas por la intensidad compleja.
-j X C = - j
Z
1
C
j XL = j L
R
19.1.2. Circuito con impedancia capacitiva.
X=XL+ XC > 0
o sea
©J. Garrigós
ω L<
1
ωC
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
44
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
U L = jX L I
UR = R*I
I
UC = jX CI
U=Z* I
En este caso la intensidad va adelantada respecto a la tensión un ángulo ϕ.
19.1.3. Circuito con comportamiento de resistencia pura
En este caso se cumple:
X=XL+ XC = 0
o sea
ω L=
1
ωC
U L = jX L I
UC = jX CI
U = UR = R*I
I
En este último caso la impedancia se reduce a una resistencia y la tensión y la
intensidad están en fase.
19.2. DIAGRAMAS VECTORIALES DE LA CONEXIÓN EN PARALELO
Aunque es arbitrario para la conexión paralelo, tomamos la tensión común a todos los
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
45
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
elementos como origen de fases.
iR
i(t)
u (t)
iL
iC
L
C
R
19.2.1. Circuito con admitancia capacitiva.
En este caso se cumple que: B = BC + BL > 0
o sea.
ωC >
1
ωL
I L = jBL U
I=Y* U
IC = jBC U
U
I R = G*U
La tensión va retrasada respecto a la intensidad un ángulo ψ. Obsérvese que:
I = I R + IC + IL
y que construido el diagrama de admitancias, basta multiplicar todos sus lados por I para
obtener el diagrama de tensiones de la figura anterior.
-j B L = - j
Y
1
L
j BC = j C
G
19.2.2. Circuito con admitancia inductiva.
Se produce cuando la admitancia inductiva es superior a la capacitiva, cumpliéndose: B
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
46
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
= BC + BL < 0
ωC <
por tanto:
1
ωL
I C = jBC U
I R = G*U
U
I L = jBL U
I=Y* U
Se puede apreciar que la tensión va adelantada un ángulo ψ respecto a la intensidad.
19.2.3. Circuito con comportamiento de admitancia pura
En este caso se cumple que: B = BC + BL = 0
Por lo tanto:
ωC =
1
ωL
correspondiéndose con el diagrama vectorial siguiente:
IC = jBC U
I L = jBL U
I = I R = G*U
U
En este caso la admitancia se reduce a una conductancia y la tensión y la intensidad
están en fase.
20. POTENCIA Y ENERGÍA EN RÉGIMEN PERMANENTE
SENOIDAL
20.1 INTRODUCCIÓN
Dado un dipolo con la referencias de tensión e intensidad que se marcan en la figura, la
potencia instantánea viene definida por la expresión:
©J. Garrigós
p(t)=u(t)*i(t)
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
47
ELECTRICIDAD
A
DEPARTAMENTO DE INA
Si la potencia es positiva p(t)> 0 la potencia está entrando
+
I
D
al dipolo, y si la potencia es negativa p(t)<0 la potencia esta
saliendo del dipolo, es decir, el dipolo está suministrando potencia
al circuito.
B
Siendo la potencia p(t) la derivada de la energía respecto al tiempo, se tiene:
p( t ) =
dw
dt
de donde deducimos:
dw = p( t )dt ;
t
t
to
to
t
∫ dw = ∫ p( t )dt;
w ( t ) = w ( to) +
∫ p( t )dt
to
20.2. RELACIONES DE POTENCIA Y ENERGIA DE LOS
ELEMENTOS PASIVOS BÁSICOS.
En adelante adoptaremos convenir en designar las variables
en función del tiempo en minúsculas, así:
p(t) =p
u(t) =u
i(t)=i
20.2.1. Resistencia
R
i
u
Tensión:
u = 2 * U * sen ω t = Uo * sen ω t
Intensidad:
i = 2 * I * sen ω t = Io * sen ω t
de donde
U = Valor eficaz de la tensión
I = Valor eficaz de la intensidad.
Uo = Valor de cresta o de pico de la tensión.
Io = Valor de cresta o de pico de la intensidad.
Siendo:
u = R*i ;
Uo * sen ω t = R * Io * sen ω t
Potencia instantanea
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
48
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
p = u * i = Uo * sen ω t * Io * sen ω t = 2 * U * sen ω t * 2 * I * sen ω t
p = 2 * U * I * sen 2 ω t
cos 2 A + sen 2 A = 1
dado
cos 2 A − sen 2 A = cos 2 A
que:
2 sen 2 A = 1 − cos 2 A
podemos expresar la potencia instantánea también de la forma:
p = U * I * (1 − cos 2ω t )
2UI
p
u
i
El
valor
medio
de
la
potencia
instantánea
extendida
a
un
periodo se denomina potencia activa P
Por tanto la potencia activa la podemos expresar como:
T
1
V2
P = ∫ U * I * (1 − cos 2ω t ) dt = U * I = R * I 2 =
= G *U 2
T 0
R
Energía
t
Sustituyendo en la expresión de la energía:
w ( t ) = w ( to) +
∫ p(t )dt
to
t
t
0
0
w ( t ) = w (0) + ∫ U * I * (1 − cos 2ω t ) dt = w (0) + U * I * ∫ (1 − cos 2ω t ) dt

sen 2 ω t 
U*I 
sen 2 ω t 
 = w (0) +
w ( t ) = w (0) + U * I *  t −
ω t −

ω 
2ω 
2


La función gráfica de la energía puede verse en la siguiente
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
49
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
figura, donde se observa que tiene forma senoidal con crecimiento
continuo.
ω(t)
t
20.2.2. Bobina
La tensión en una bobina viene dada por la expresión:
L
u
i
u = L*
di
dt
si la expresión temporal de la corriente que atraviesa la bobina es
i = I 0 * sen ( ω t + ϕ i ) ,
al
introducirla
en
la
fórmula
anterior
y
derivar
tenemos:
d (I 0 * sen (ω t + ϕ i )
;
u = L * I 0 *ω * cos ( ω t + ϕ i )
dt
como
U 0 = L *ω * I 0
y cos θ = sen ( θ + 90)
u = L*
u = U 0 * sen ( ω t + ϕ i + 90º )
Por tanto, la tensión en una bobina está adelantada 90º
respecto a la intensidad
Potencia instantanea
p = u*i
considerando i = I 0 * sen ω t y u = U 0 * cos ω t
p =U 0 * cos ω t * I 0 * sen ω t = U * 2 * cos ω t * I * 2 * sen ω t = U * I * 2 * sen ω t * cos ω t
p = U * I * sen 2ω t
De la expresión podemos de deducir:
La variación de la potencia instantánea con el tiempo p(t) ( o
simplemente p según la anotación que estamos utilizando) es
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
50
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
puramente
senoidal
de
frecuencia
doble
que
la
tensión
e
intensidad instantáneas.
El valor medio de la potencia p, o sea, la potencia activa es
cero.
Las gráficas de la tensión, intensidad y potencia instantáneas
de una bobina son:
U*Ι=ω*L*Ι2=U2/ω*L
p
u
i
Se
puede
apreciar
que
los
semiperiodos
positivos
de
la
potencia son idénticos a los negativos siendo su suma parcial. En
efecto,
si
calculamos
el
valor
medio
de
la
potencia
instantánea
extendida a un periodo obtendremos la potencia activa resultando
esta igual a cero:
T
Potencia activa P =
T
1
U*I
U * I * sen 2ω t dt =
sen 2ω t * 2ω * dt =
T 0
T * 2*ω 0
∫
∫
T
U*I
2π
 U*I



 T * 2 * ω * ( − cos 2ω t )  = − T * 2 * ω *  cos 2 * T * T − cos 2 * ω * 0  =

0


U*I
Potencia activa P = −
* (1 − 1) = 0
T * 2*ω
Las oscilaciones de la potencia instantánea tienen por
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
51
ELECTRICIDAD
amplitud:
DEPARTAMENTO DE INA
U * I = ω * L* I 2 =
U2
ω*L
Energía
Podemos
calcular
la
energía
almacenada
en
el
campo
magnético mediante la expresión:
t
w ( t ) = w ( to) +
∫ p(t )dt
to
t
U*I
w( t ) = U * I * sen 2ω t dt =
2ω
o
∫
t
∫ sen 2ω t
* 2ω dt =
0
1 U * L* I
*
* [− cos 2ω t ]0t
ωL
2
1
w( t ) = L * I 2 * (1 − cos 2ω t )
2
Concluyendo finalmente que la energía almacenada en una bobian en forma de campo
magnético está dada por la expresión :
w( t ) = w (o) +
1
L * I 2 * (1 − cos 2ω t )
2
la energía varía senoidalmente, con frecuencia doble de la de
i, con un valor de cresta L*Ι
2
2π
π
20.2.3. Condensador
La corriente en un condensador viene dada por la expresión:
C
i
i =C*
u
Si
viene
la
dada
expresión
por
temporal
de
la
du
dt
tensión
en
un
condensador
u = U 0 * sen ( ω t + ϕ u ) , s u s t i t u y e n d o e n l a f ó r m u l a
anterior y derivando:
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
52
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
d
(U 0 * sen ω t + ϕ u ) = Cω U 0 * cos ω t ;
dt
U0
π
π


i=
* sen  ω t + ϕ u +  = I 0 * sen  ω t + ϕ u + 
1
2
2


C *ω
i =C*
Por lo tanto la intensidad en un condensador alimentado
con tensión alterna senoidal, está adelantada 90º respecto a la
tensión.
Potencia instantánea
p = u* i
considerando
i = I 0 * cos ω t
u = U 0 * sen ω t
y
p =U 0 * sen ω t * I 0 * cos ω t = U * 2 * sen ω t * I * 2 * cos ω t = U * I * 2 * sen ω t * cos ω t
p = U * I * sen 2ω t
En la siguiente figura se puede apreciar como varían tensión,
intensidad y potencia instantánea en un condensador.
U*Ι=ω*L*U2=I2/ω*C
p
u
i
t
De la expresión, de la
potencia instantánea, podemos de deducir:
La variación de la potencia instantánea con el tiempo p(t) ( o
simplemente p según la anotación que estamos utilizando) es
puramente
senoidal
de
frecuencia
doble
que
la
tensión
e
intensidad instantáneas.
El valor medio de la potencia p, o sea, la potencia activa es
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
53
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
cero.
Las oscilaciones de la potencia instantánea tienen por
amplitud:
U * I = ω *C * I2 =
I2
ω *C
De forma similar al cálculo de la potencia activa de una bobina
el cálculo en un condensador es:
T
Potencia activa P =
T
U*I
1
U * I * sen 2ω t dt =
sen 2ω t * 2ω * dt =
∫
T 0
T * 2 * ω ∫0
U*I
2π
 U*I



 T * 2 * ω * ( − cos 2ω t )  = − T * 2 * ω *  cos 2 * T * T − cos 2 * ω * 0  =
0



U*I
Potencia activa P = −
* (1 − 1) = 0
T * 2*ω
T
Efectivamente, si observamos la gráfica podemos apreciar que
en
el
primer
cuarto
de
periodo
de
la
excitación,
la
tensión
o
intensidad, tienen igual signo, por lo que p>0 . Esto significa que la
fuente de tensión realiza un trabajo positivo y carga el condensador
con
una
energía
que
queda
almacenada
en
su
campo
eléctrico.
Durante el segundo cuarto de periodo, la tensión disminuye en valor
absoluto, el sentido de la corriente es contrario al de la tensión,
por lo que se descarga el condensador p<0, devolviendo así a la
fuente
la
energía
a
la
fuente
de
excitación
y
actuando
como
receptor. Al final de este segundo periodo, la energía almacenada
en el campo eléctrico asociado al condensador es nula.
La
energía
transferida
al
condensador
durante
el
primer
cuarto, y la devuelta por él a la fuente, durante el segundo cuarto
de periodo, son iguales entre sí.
Energía
Podemos
calcular
la
energía
almacenada
en
el
campo
magnético mediante la expresión:
t
w ( t ) = w ( to) +
∫ p(t )dt
to
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
54
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
t
t
U*I
1 U *C * I
t
* [− cos 2ω t ]0
w ( t ) = ∫ U * I * sen 2ω t dt =
sen 2ω t * 2ω dt = *
∫
2ω 0
2
ωC
o
1
C * U 2 * (1 − cos 2ω t )
2
Concluyendo finalmente que la energía almacenada en una bobian en forma de campo
eléctrico está dada por la expresión :
1
w ( t ) = w (o ) + C * U 2 * (1 − cos 2ω t )
2
w(t ) =
2π
π
20.3. POTENCIA ACTIV A, RE ACTIVA Y AP ARENTE.
En corriente continua la potencia se expresa por el producto
de U*I, siendo U e I constantes.
En
corriente
alterna,
y
en
el
caso
de
elemento
puramente
resistivos, la potencia activa se expresa igualmente por U* I, siendo
ahora U e I los valores eficaces de la tensión y corriente, que son
proporcionados por los instrumentos de medida.
Consideremos
el
triangulo
de
impedancias
de
un
circuito,
tomando la intensidad como origen de fases, y multiplicando todos
los lados del triángulo por I , obtenemos el triángulo de tensiones
que se representa en la figura, de donde podemos obtener que:
R* I=U*cos ϕ=Ua
X* I=U sen ϕ=Ur
Z* I=U
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
55
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
XL
X
Z
Z*I ϕ =U ϕ
jXI = jUsen ϕ = jUr
ϕ
XL-XC
R * I = U * cos ϕ = U a
ϕ
R
TRIÁNGULO DE IMPEDANCIAS
Si multiplicamos de nuevo los lados del último triángulo por I ,
obtenemos
el
triángulo
de
potencias
que
se
representa
a
continuación:
Z*I2 ϕ =U *I ϕ = S ϕ
jXI 2 = jUIsen ϕ = jQ
ϕ
R * I 2 = U * I * cos ϕ = P
El cateto horizontal representa la potencia absorbida por la
componente resistiva, o sea, lo que hemos denominado potencia
activa:
P=R*I =U*I*cos ϕ=P
2
La
potencia
activa
es
la
que
convierte
en
trabajo
útil
el
receptor, se mide con un instrumento denominado vatímetro y su
unidad el es el vatio [W].
El cateto vertical representa la amplitud de las oscilaciones
de
la
potencia
en
la
componente
reactiva
y
por
eso
se
llama
potencia reactiva, donde se cumplen las relaciones:
Q= U*I*sen ϕ=X*I
2
Esta es la parte de la potencia que los receptores con bobinas
o condensadores necesitan para funcionar, pero que no transforman
en trabajo útil, de alguna manera esta potencia no es aprovechada
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
56
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
por la máquina o receptor, aunque ha de absorberla de la red para
poder
funcionar.
medida
Esta
denominado
potencia
varímetro
se
y
mide
su
con
unidad
un
es
instrumento
el
de
voltiamperio
reactivo [Var]
La
hipotenusa
potencia
del
aparente,
la
triangulo
cual
de
resulta
potencias
de
la
suma
representa
vectorial
de
la
la
potencia activa y reactiva. Se cumple es esta potencia que:
2
Z*I =U*I=S
La potencia aparente se mide en voltiamperios y se obtiene
multiplicando
los
valores
obtenidos
con
un
voltímetro
y
un
amperímetro. Su unidad es el voltiamperio [VA].
Podemos dar, a la potencia aparente, la interpretación física
de
ser
la
potencia
que
transporta
la
red
de
alimentación
a
la
máquina o circuito objeto de estudio.
Observando el triángulo de potencias, podemos obtener las
relaciones:
S=
P2 + Q2
cos ϕ =
P
S
sen ϕ =
Q
S
tag ϕ =
Q
P
Trabajando con potencias complejas es fácilmente deducir que
se cumple que:
S = P + jQ = U * I * (cos ϕ + jsen ϕ ) = U * I * e jϕ
S = U * I*
y de ahí :
I * representa la conjugada de la intensidad.
donde
S = I2 *Z
S = U 2 *Y
Se debe tener
que el numero complejo que representa a la
potencia aparente
S , no es una cantidad que varíe senoidalmente,
por
de
el
contrario,
forma
análoga
a
Z
e
Y,
es
una
cantidad
constante, y su vector asociado está fijo, no es giratorio.
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
57
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
De forma similar al camino seguido a través del triángulo de
impedancias hasta llegar al triangulo de potencias, se obtienen las
relaciones
entre
potencias,
admitancia,
conductancia
y
susceptancia.
BC
Y ψ
BL
Y *U ψ = I ψ
j ( BC + B L )
jBU = jIsen ψ = − jIr
ψ
G * U = I * cos ψ = I a
ψ
G
TRIÁNGULO DE ADMITANCIAS
Y *U 2 ψ = U * I ψ = S ψ
jBU 2 = jUIsen ψ = − jQ
ψ
G * U 2 = U * I * cos ψ = P
Siendo números recíprocos la impedancia y la admitancia de
entrada a un dipolo, se verifica, como ya sabemos que:
ϕ = −ψ
Llamando a Ia a la componente activa de la corriente e Ir a su
componente reactiva, observando los triángulos anteriores podemos
obtener las siguientes relaciones:
G * U = I * cos ψ = I * cos ϕ = I a
B * U = I * sen ψ = − I * sen ϕ = − I r
G * U 2 = U * I * cosψ = U * I * cos ϕ = P
B * U 2 = U * I * sen ψ = −U * I * senϕ = −Q
De estas expresiones podemos obtener:
I r = −B * U
Q = −B * U 2
Obsérvese
que
los
triángulos
de
tensiones,
intensidades
y
potencias son semejantes entre sí, verificándose:
U 2 = U a2 + U r2
©J. Garrigós
I 2 = I a2 + I r2
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
58
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
16.3.1. Teorema de Boucherot
“Para
una
frecuencia
constante,
potencia activa por una parte
hay
conservación
de
la
y de la potencia reactiva por otra”
Demostración
Si tenemos en cuenta que:
En un circuito de corriente alterna senoidal se verifica la 2ª
Ley de Kirchoff para las tensiones complejas en cualquier lazo
del mismo:
∑U = 0
En un circuito de corriente alterna senoidal las intensidades
complejas verifican la 1ª Ley de Kirchoff para todo grupo de
corte del circuito:
∑I =0
De
igual
forma
también
se
verifica
esto
último
para
la
intensidades conjugadas:
∑I
*
=0
Teniendo en cuenta que en un circuito eléctrico la suma de
potencias es cero (Teorema de Tellegen):
n
∑U
n
* In = 0
1
De las expresiones anteriores obtenemos:
n
∑U
n
*In = 0
n
∑ Sn = 0 ⇒
1
U n * I * n = Sn
1
n
∑ Pn = 0
1
21.
n
∑ (Pn +
jQ n ) = 0
1
n
∑Q
n
⇒
n
n
1
1
∑ Pn + ∑ Q n = 0
=0
1
CIRCUITOS
SENOIDALES TRIFÁSICOS.
21.1. INTRODUCCIÓN
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
59
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
Michael Faraday (1791-1867)
dio a conocer en 1831 la Ley de
Faraday o Ley de Inducción electromagnética, la cual, enuncia
que
en
una
magnético,
bobina
que
atravesada
se
por
mueve
un
en
φ
flujo
el
interior
variable
en
de
el
un
campo
tiempo,
se
genera en ella una fuerza electromotriz dada por la expresión:
e = −N *
dφ
dt
donde:
e = Fuerza Electromotriz generada en la bobina en voltios
N = Número de vueltas o espiras de la bobina.
φ = Flujo del cam po m agnético en W eber [W b]
El signo menos de la ecuación es una expresión de la Ley de
Lenz.
Esta
establece
que
la
dirección
o
sentido
de
la
fuerza
electromotriz inducida en la bobina, es tal, que si sus extremos se
pusieran en cortocircuito, produciría una corriente que causaría un
flujo para oponerse al cambio del flujo original. Puesto que el flujo
inducido
se
opone
al
cambio
que
lo
causa,
se
incluye
el
signo
menos en la ecuación de la Ley de Faraday.
El esquema básico de generación de una onda senoidal es el
mostrado en la siguiente figura, y constituye la versión mas simple
de un alternador (generador de c.a). Se dispone de una espira de
superficie
2
S
(m )
girando
sobre
su
eje
a
una
velocidad
angular
ω (rad/s), dentro de un campo magnético uniforme
constante de
producido por un imán
o
en
general
electroimán,
por
con
densidad
del
magnético
B
un
una
flujo
(Teslas)
[T]. (El movimiento de
la espira se debe a un
medio mecánico exterior, en el caso de las centrales las Turbinas).
El flujo magnético que atraviesa la espira cuando los vectores S
(superficie) y B (inducción) forman un ángulo
cuenta
que
la
inducción
es
uniforme
en
todos
θ = ωt , t e n i e n d o e n
los
puntos
de
la
superficie de la espira, es:
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
60
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
φ = ∫ B ds =B * S * cos ω t
S
al variar este flujo con el tiempo, de acuerdo a la Ley de Faraday se
producirá una f.e.m. inducida de valor:
e=−
dφ
d
= − (B * S * cos ω t ) = B * S * ω * sen ω t
dt
dt
que responde a la forma general:
e( t ) = Em * sen ω t
donde
se
ha
denominado
Em
al
B * S * ω.
producto
La
expresión
anterior representa la forma instantánea (dependiente del tiempo)
engendrada en la bobina y cuya evolución con el tiempo, es como ya
sabemos, senoidal.
La generación de una onda senoidal se debe al movimiento de
una bobina en el interior de un campo magnético, si el número de
bobinas en el rotor se incrementa desplazándolas en el espacio, el
resultado es un generador polifásico que produce más de una onda
alterna en cada vuelta.
Aquí nos centraremos únicamente en
puesto
que
generación,
ventaja
de
son
los
que
transporte
los
con
más
y distribución
sistemas
trifásicos
los sistemas trifásicos,
frecuencia
de
la
se
energía
pueden
utilizan
en
la
eléctrica.
La
resumirse
en
las
siguientes propiedades:
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
61
ELECTRICIDAD
1. Para
DEPARTAMENTO DE INA
transportar
una
determinada
energía,
a
una
cierta
tensión, el sistema trifásico es más económico que el sistema
monofásico, a igualdad de potencia a transmitir e igualdad en
las pérdidas en el cobre de la línea, ya que se obtiene un
ahorro en el peso del cobre de 25%.
2. La potencia instantánea de un sistema trifásico es constante,
independiente
del
tiempo,
por
ello
los
motores
trifásicos
tienen un par uniforme, lo que evita vibraciones y esfuerzos
en el rotor comparándolos con los monofásicos.
3. Los
motores
embargo,
trifásicos
los
pueden
motores
arrancar
monofásicos
por
sí
mismos,
necesitan
sin
dispositivos
especiales para su arranque.
Existen
también
servomecanismos,
en
sistemas
aviones
bifásicos
y
barcos
que
para
se
emplean
detectar
y
en
corregir
señales de rumbo, indicación de alerones etc..; sin embargo, en la
mayoría de los casos, si se necesitan sistemas mono o bifásicos, se
consiguen
utilizando,
de
una
forma
adecuada,
los
sistemas
trifásicos. Las instalaciones domésticas o de pequeña potencia son
monofásicas,
pero
esto
no
supone
más
que
una
derivación
del
sistema trifásico.
El
número
de
tensiones
(fases)
que
pueden
producir
sistemas polifásicos no está limitado sin embargo a tres,
existen
algunos
sistemas
eléctricos
que
trabajan
los
y así
con
más
rendimiento si se aumentan el número de fases, este es el caso del
proceso
de
rectificación
emplean
sistemas
(conversión
hexafásicos
de
c.a
en
y dodecafásicos
c.c),
para
donde
obtener
se
una
salida de corriente continua de mejores prestaciones (con menos
rizado, es decir con menos componente de c.a). Como quiera, que
como
se
ha
indicado
la
generación
y
transporte
de
energía
se
realiza por medio de sistemas trifásicos, la forma de obtener 6 y 12
fases,
suele
ser
por
medio
de
conexiones
especiales
en
los
transformadores.
Para comprender el funcionamiento de los sistemas eléctricos
de potencia, es por tanto esencial, tener una buena formación en
circuitos trifásicos. Afortunadamente, las técnicas utilizadas en la
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
62
ELECTRICIDAD
resolución
de
DEPARTAMENTO DE INA
circuitos
monofásicos
estudiadas
anteriormente
pueden aplicarse directamente a los sistemas trifásicos. Es más, en
muchos casos, los circuitos trifásicos pueden reducirse a esquemas
monofásicos
equivalentes,
lo
que
facilita
extremadamente
los
cálculos prácticos.
2 1 .2. GENER ACI ÓN DE TENSIONES TRIF ÁSIC AS.
Consideremos el esquema de la siguiente figura, donde existe
un imán (polos Norte y Sur) y dentro de él un cilindro (rotor) que se
mueve a una velocidad angular ω (rad/s) accionado por un sistema
mecánico exterior. Este rotor tiene arrollado sobre él tres juegos de
bobinas, constituidas por los devanados aa’, bb’ y cc’ que están
desplazados entre sí 120º en el espacio (a,b y c representan los
principios de las bobinas y a’,b’ y c’ los finales correspondientes).
Como
quiera que las tres bobinas tienen el mismo número de espiras, y
c a d a u n a d e e l l a s g i r a a u n a v e l o c i d a d a n g u l a r ω, l a f . e . m . i n d u c i d a
en cada devanado, tendrá el mismo valor de pico, la misma forma y
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
63
ELECTRICIDAD
la
misma
DEPARTAMENTO DE INA
frecuencia.
Para
cada
arrollamiento,
se
obtendrá
una
onda, que como sabemos tendrá la forma senoidal, y de tal modo,
que las tres tensiones resultantes estarán desfasadas 120º en el
tiempo.
En
la
figura
anterior
se
han
representado
estas
tres
tensiones. Se ha supuesto que en el tiempo t=0 la tensión en la
bobina aa’ es máxima( lo que se correspondería con el caso en que
la superficie de la bobina aa’ es horizontal).
Las expresiones instantáneas de estas tres tensiones serán:
v aa ' ( t ) = 2 * V * cos ω t
v bb' ( t ) = 2 * V * cos (ω t − 120º )
v cc' ( t ) = 2 * V * cos (ω t − 240º ) = 2 * V * cos (ω t + 120º )
Cada devanado en el que se produce una tensión sonusoidal
se denomina FASE, y de ahí, que el sistema aquí estudiado se
denomina generador trifásico (no confundir la palabra fase, en el
sentido que aquí se indica, es decir como componente de una de las
tensiones generadoras, con ángulo de fase de una función senoidal,
que se denomina abreviadamente fase)
La representación fasorial de las tensiones anteriores es la
mostrada
en
la
siguiente
figura
que
se
corresponde
con
las
siguientes expresiones simbólicas:
Vcc'
V aa ' = V 0º
12
0°
120°
V bb' = V − 120º
V cc ' = V + 120º
Vaa'
0°
12
Vbb'
Este conjunto de tensiones constituye un sistema denominado
sim étrico, ya que esta form ado por tres tensiones senoidales del
mismo
valor
eficaz
V
(
o
valor
de
cresta
Vm = 2 * V ) ,
la
misma
frecuencia y desfasados 120º entre si.
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
64
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
Obsérvese que en cualquier instante t de tiempo se verifica:
v aa ' + v bb' + v cc ' = 0
es decir, la suma de los valores instantáneos de las tres tensiones
es, en cada momento igual a cero.
Lógicamente,
la
ecuación
anterior
también
se
verifica
en
valores fasoriales cuya notación simbólica es:
V aa ' + V bb' + V cc ' = 0
Los valores es el que se suceden los valores máximos de las
tensiones
de
cada
una
de
las
fases
del
generador
trifásico
se
denomina secuencia de fases. Con un rotor girando en el sentido
indicado en la figura, la secuencia de fases es a,b,c. Es evidente
que si se invierte el sentido de giro del generador, la secuencia de
fases
también
se
invertirá.
Como
quiera,
sin
embargo
que
los
generadores giran siempre en el mismo sentido, la secuencia de
fases será invariable y debe señalarse de una forma adecuada. Un
modo simple para determinar el sentido de sucesión de fases es
recurrir
a
la
representan
representación
los
vectores
fasorial.
En
giratorios
Vcc'
la
siguiente
(fasores)
figura
asociados
a
se
las
Vbb'
Vaa'
OBSERBADOR
0°
12
Vbb'
120°
12
0°
120°
12
0°
Vaa'
0°
12
OBSERBADOR
Vcc'
SECUENCIA DIRECTA
SECUENCIA INVERSA
tensiones de dos sistemas trifásicos. La figura cuyo orden de paso
por
el
observador
es
a,b,c.
se
denomina
secuencia
directa
o
positiva. Mientras tanto en la figura del lado derecho la sucesión
de fases es a,c,b
denominándose secuencia inversa o negativa.
La secuencia de fases es de vital importancia en los sistemas
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
65
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
de distribución de energía eléctrica, ya que determinan el sentido
de
rotación
de
los
motores
trifásicos.
Por
ejemplo,
si
se
intercambian dos tensiones de fase, se cambiará la secuencia, y
ello implicará el cambio del sentido de giro del motor.
Un
generador
trifásico
se
suele
representar
mediante
tres
fuentes de tensión, de tal manera, que cada uno de ellos se puede
u t i l i z a r p a r a a l i m e n t a r s e n d a s i m p e d a n c i a s d e c a r g a : Z a , Z b , Zc .
El circuito trifásico, de la siguiente figura, donde
cada fase
del generador está unida a un receptor independiente de los demás,
se denomina circuito
esta
disposición
trifásico
requiere
transmitir
la
energía
epígrafes
siguientes
del
se
independiente. Es
un
total
de
generador
analizarán
a
seis
los
evidente, que
conductores
receptores.
conexiones
para
En
específicas
los
que
reducen el número de conductores para unir el generador con la
carga,
haciendo
más
económico
de
este
modo
el
transporte
de
energía.
Ia
a
+
Za
Vaa'
a'
Ia,Ib,Ic
c'
Vcc'
b'
Zc
Vbb'
+
+ b
c
Zb
Ib
Ic
En el circuito de la figura existen tres mallas independientes,
y se verifica:
Ia =
Es
evidente
V aa '
Ib =
Za
que
si
el
V bb'
Ic =
Zb
sistema
de
V cc '
Zc
tensiones
generadoras
constituyen un sistema simétrico, y se cumple que las impedancias
de carga son iguales
©J. Garrigós
Z a = Z b = Zc = Z = Z ϕ , s e c u m p l i r á e n t o n c e s
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
66
ELECTRICIDAD
que
todas
las
desfasadas
un
DEPARTAMENTO DE INA
corrientes
mismo
serán
iguales
ϕ
ángulo
en
respecto
valor
a
absoluto
las
y
tensiones
correspondientes y por lo tanto separadas 120º entre sí.
Vcc'
Ic
Vaa'
Ib
OBSERBADOR
Ia
Vbb'
SECUENCIA DIRECTA CON CARÁCTER INDUCTIVO
21.3. CONEXIÓN DE FUENTES EN ESTRELLA Y TRIÁNGULO
21.3.1. CONEXIÓN ESTRELLA.
Partiendo de un sistema trifásico equilibrado de fuentes de
tensión como el de la figura.
U1=U 0°
+
a'
a
U2=U -120°
+
b'
b
U3=U 120°
+
c'
c
si unimos a un punto común los terminales a’.b’ y c’ obtenemos la
conexión
denominada
estrella.
Este
tipo
de
conexión
es
usual
representarla de las formas indicadas en las siguientes figuras. El
punto común de la estrella N, se le denomina punto neutro.
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
67
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
Ia
a
U1=U 0°
a
+
+
a'
UaN
Uab
U2=U -120°
b
+
N b'
a´
UcN
c'
N b'
+
+
c'
c
+
U3=U 120°
c
UbN
b
Uca
Ib
Ubc
Ic
de la observación
de la figura anterior, se pueden obtener, por
medio de la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff:
U ab = U aN − U bN
U bc = U bN − U cN
U ca = U cN − U aN
a
las
tensiones
compuestas
o
de
U ab , U bc y U ca
línea,
y
a
se
les
las
denomina
tensiones
tensiones
U aN , U bN y U cN
tensiones simples o de fase.
En la figura se representan los fasores de las tensiones fe
fase, tensiones de línea e intensidades
-UaN
UcN
Uab
Ic
-UbN
Uca
U aN
Ib
Ia
UbN
Ubc
-UcN
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
68
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
21.3.2. Conexión triángulo.
Tomando como punto de partida el
sistema de trifásico de
fuentes de tensión de la figura:
U1=U 0°
a
+
a'
U2=U -120°
b
+
b'
U3=U 120°
se obtiene
c
+
c'
la denominada conexión triángulo uniendo el final de la
primera fuente con el principio de la segunda, el final de la segunda
con el principio de la tercera y el final de la tercera con el principio
de
la
primera,
tal
y
como
se
puede
apreciar
en
las
siguientes
figuras:
Ia
c'
U1=U 0°
a
a
Ica
Uab
+
+
a'
Uaa'
Ucc'
U2=U -120°
+
b
+
b'
a'
c
+
c'
Iab
+
Ibc
Ib
b
b'
U3=U 120°
Uca
Ubb'
c
Ic
Ubc
En la conexión triángulo se verifica que las tensiones de fase
son iguales que las tensiones de línea.
U ab = U aa '
U bc = U bb'
U ca = U cc '
21.4. CONCEPTOS EN LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS
En un sistema n-fásico de fuentes de tensión puede utilizarse
para suministrar alimentación eléctrica a n cargas. En la práctica no
es usual la conexión de forma independiente de las cargas tal y
como
muestra
la
figura
siguiente,
puesto
que
este
sistema
de
conexión requiere de seis conductores. La conexión de las cargas
en estrella o triángulo permite reducir el número de conductores,
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
69
ELECTRICIDAD
consiguiendo
DEPARTAMENTO DE INA
abaratar
el
coste
económico
de
la
instalación
eléctrica.
Ia
a
+
Za
Vaa'
a'
Ia,Ib,Ic
c'
Vcc'
b'
Zc
Vbb'
+
+ b
c
Zb
Ib
Ic
En
los
sistemas
generalmente
están
de
distribución
conectados
en
eléctrica
estrella
o
(
los
triángulo)
cuales
podemos
encontrarnos las siguientes conexiones:
Conexión ESTRELLA-ESTRELLA (Y-Y)
a tres hilos.
Ia
a
a
Zga
+
UaN
Za
Uab
Uga
IN
UcN
N
Ugb
Zc
+
+
Zgb
c
Ugc
Zgc
Uca
b
UbN
Ubc
Ib
Zb
c
b
Ic
GENERADOR
Conexión
N
RECEPTOR
ESTRELLA-ESTRELLA (Y-Y)
a 4 hilos.
Ia
a
a
Zga
UaN
Za
Uab
+
Uga
IN
UcN
Ugb
Zb
+
N
+
Zgb
c
Zgc
Ugc
UbN
b
Ubc
Uca
Ib
Zc
c
Ic
GENERADOR
©J. Garrigós
b
N
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
RECEPTOR
70
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
Conexión ESTRELLA-TRIÁNGULO (Y-∆).
Ia
a
a
Zga
Iab
+
UaN
Uab
Uga
Za
Ugb
UcN
N
Ica
+
+
Zgb
c
Zc
Ugc
Zgc
Uca
b
UbN
Ubc
Ib
Zb
Ibc
b
c
Ic
GENERADOR
RECEPTOR
Conexión TRIÁNGULO-TRIÁNGULO (∆-∆)
Ia
a
a
+
Uga
Zgc
Iab
Uab
Za
Zc
Ugc
Zga
+
Ugb
Zgb
+
c
Ica
b
Uca
Ib
Ubc
c
Ic
GENERADOR
Zb
Ibc
b
RECEPTOR
Conexión TRIÁNGULO-ESTRELLA
Ia
a
a
+
Uga
Zgc
Za
Uab
Ugc
Zga
+
Zb
Ugb
Zgb
+
c
b
Ubc
Uca
Ib
Zc
c
Ic
GENERADOR
©J. Garrigós
b
N
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
RECEPTOR
71
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
Estudio de la conexión ESTRELLA-TRIÁNGULO
ZL1
a
Ia
a
Zga
Iab
UaN
Ua'b'
Uab
+
Uca
Uga
Zc
Ugb
N
Ica
+
UcN
+
Zgb
c
Za
Ugc
Zgc
UbN
b
Uc'a'
ZL2
Ib
Uca
Zb
Ibc
c
b
Ub'c'
ZL3
Ic
Ubc
GENERADOR
Tensiones de fase :
RECEPTOR
U aN , U bN , U cN
Tensiones de fase :
U ab , U bc , U ca
Tensiones de línea :
U a 'b' , U b'c ' , U c 'a '
Tensiones de línea :
U ab , U bc , U ca
Intensidad es de fase :
Ia , Ib , Ic
Intensidad es de fase :
I ab , I bc , I ca
Intensidad es de línea :
Ia , Ib , Ic
Intensidad es de línea :
Ia , Ib , Ic
GENER ADOR
RECEPTOR
En una conexión ESTRELLA se verifica :
En la conexión TRIÁNGULO se cumple :
U a 'b' = U aN − U bN
I a = I ab - I ca
U b'c ' = U bN − U cN
I b = I bc - I ab
U c 'a ' = U cN − U aN
I c = I ca - I bc
Ia + Ib + Ic = 0
Para que las tensiones o intensidades sean iguales en módulo
se requiere que el sistema sea equilibrado, para lo cual habrá de
cumplirse:
•
Que las tensiones generadas sean equilibradas.
•
Que las impedancias de las distintas fases del generador sean
iguales.
•
Que las impedancias de las líneas sean iguales.
•
Que las impedancias del receptor sean iguales.
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
72
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
21.5. RELACIONES ENTRE LAS TENSIONES DE FASE Y DE LÍNEA EN UN
SISTEMA QUILIBRADO CONECTADO EN ESTRELLA.
Teorema de Millman
Dado un circuito como el de la figura, la tensión
U AB v i e n e
dada por la expresión:
U AB =
Y 1 * U A1 + Y 2 * U A 2 + ............. + Y n * U An
Y 1 + Y 2 + ....... + Y n
Z1
U
A1
Z2
U
A
A2
Z3
U A3
B
UA
n
Zn
U AB
Dada
una
estrella
equilibrada
o
no
podemos
calcular
la
tensión de una determinada fase mediante la aplicación del teorema
de Millman.
En el caso particular que nos ocupa, entendemos que todas
las impedancias de la estrella son iguales y el sistema de tensiones
de
alimentación
es
equilibrado
en
secuencia
estudiaremos la relación de tensiones en una
directa,
por
tanto
estrella equilibrada:
a
Uca
12
0°
Za
120°
Uab
Zc
Uca
b
Ubc
n
Uab
0°
12
Zb
OBSERBADOR
c
Ubc
SECUENCIA DIRECTA
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
73
ELECTRICIDAD
1
U an
= Za
[U
Z
(
1
=
*0+
1
3
* U ab +
1
Zb
Zc
1
1
1
+
+
Za Zb Zc
+ − U ca
ab
DEPARTAMENTO DE INA
)]
=
(
* − U ca
)
U ab − 1 120º U ab
1
=
=
3
Z
*0+
1
* U ab +
1
Z
Z
1
1 1
+ +
Z
Z Z
1 + 1 − 60º
3
* U ab
(
* − U ca
)
=
1
3 
1+ − j
2
2 

=
U ab =
3
Z
3

 − j 3
2
2 

U ab =
=
3
3 − 30º
3
1
U ab =
3
− 30º U ab
Lo que demuestra que las tensiones de fases en un sistema
equilibrado, en secuencia directa, están desfasadas 30º
3 veces menores que las tensiones de línea.
y son
U an =
U bn =
U cn =
en retraso
1
3
1
3
1
3
Uca
− 30º * U ab
30°
Uc N
− 30º * U bc
Uab
30°
− 30º * U ca
Ub N
Ua N
30°
Ubc
Este resultado se puede comprobar aplicando la segunda Ley
de Kirchhoff a la estrella:
U bn = −U ab + U an = −U ab +

 1
− 30º * U ab =  − 1 + 
− 30º
3
 3

1

  * U ab =


1
 1
1 
1 
1
  * U ab =  − − j
 * U ab =
=  − 1 +  − j
− 150º * U ab =
2 3 
2 3
3
2
 2

1
1
=
− 150º * 1 120º U bc =
− 30º * U bc
3
3
Se
©J. Garrigós
propone
al
lector
que
compruebe
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
que
en
un
sistema
74
ELECTRICIDAD
equilibrado
en
DEPARTAMENTO DE INA
secuencia
inversa
las
tensiones
de
fase
están
3
adelantadas 30º a las de línea siendo el módulo de las primeras
veces menor que las tensiones de línea.
Una
forma
habitual
de
representar
vectorialmente
las
tensiones suele ser mediante los triángulos que se muestran en las
siguientes figuras:
Uab
Uan
30°
Ubn
30°
Uca
Ubc
30°
Ubc
Ucn
Ucn
Uca
Uan
30°
SECUENCIA DIRECTA
Ubn
Uab
SECUENCIA INVERSA
21.6. RELACIONES ENTRE LAS CORRIENTES DE FASE Y DE LÍNEA EN
UN SISTEMA QUILIBRADO CONECTADO EN TRIÁNGULO.
En un sistema trifásico equilibrado conectado en triángulo,
alimentado con tensiones
equilibradas en secuencia
a
Ia
a
directa, podemos obtener
Iab
las siguientes relaciones:
Uab
Uca
Las
tensiones
de
Z
Z
línea
Ica
son igual que las de fase,
siendo las tres iguales en
b
c
U ab = U bc = U ca
Ib
Ibc
Z
c
b
Ic
Ubc
módulo:
U ab = U L 0º
Las tensiones de fase ( en el caso de
U bc = U L − 12 0º
una conexión triángulo igual a las de línea)
U ca = U L 12 0º
van desfasadas un ángulo ϕ respecto a las
intensidades de fase.
Aplicando
©J. Garrigós
la
1ª
Ley
de
Kirchhoff
al
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
triángulo
de
la
figura
75
ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE INA
anterior podemos obtener las siguientes relaciones:
I a = I ab - I ca
I b = I bc - I ab
I c = I ca - I bc
Ia + Ib + Ic = 0
Si las relaciones anteriores las representamos vectorialmente
obtenemos el siguiente diagrama:
NOTA: Es coincidencia el
Uca
que Ib coincida con el eje
Ibc
horizontal en la figura.
Ica
Ia
30°
Uab
Ib
30° Ibc
Iab
Iab
30°
Ia
Ica
Ubc
Los valores de las intensidades de fase se pueden obtener:
I ab =
U ab
Z
I bc =
;
U bc
Z
I ca =
;
U ca
Z
LA relación existente entre las corrientes de fase y las de
línea
las
podemos
obtener
del
análisis
del
esquema
vectorial
anterior, de esta forma:
Iab
I L = 2 * I F * cos 30 º = 2 * I F *
Iab
3
= 3 * IF
2
30°
120°
IL
Ia
©J. Garrigós
por tanto en secuencia directa se cumple que:
Ica
IF
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
76
ELECTRICIDAD
1
I ab =
3
1
I bc =
3
1
I ca =
Es
30º * I a
30º * I b
30º * I c
3
decir,
alimentado
secuencia
DEPARTAMENTO DE INA
por
en
una
un
sistema
directa,
se
conexión
de
cumple
de
un
tensiones
que
las
triangulo
trifásica
equilibrado
equilibrada
corrientes
de
fase
y
de
van
adelantadas 30º a las de línea, siendo el valor , de estas corrientes
de fase,
3 veces menor que las de línea.
Al igual que ocurre en la conexión estrella para las tensiones,
se pude representar las corrientes de una conexión en triángulo
equilibrado mediante un triangulo equilátero :
Ia
Ica
30°
Iab
30°
Ic
Ibc
Ibc
Ic
Ib
Ica
Ib
30°
Iab
30°
Ia
SECUENCIA DIRECTA
SECUENCIA INVERSA
Por tanto en un triángulo equilibrado se obtiene:
•
EN
SECUENCIA
DIRECTA.-
Las
corrientes
de
fase
están
Las
corrientes
de
fase
están
adelantadas 30º a las de línea.
•
EN
SECUENCIA
INVERSA.-
atrasadas 30º a las de línea.
©J. Garrigós
I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA
77