Una secuencia o sucesión consiste en una enumeración o listado

Series
Prof. E. Dávila Adams
Cálculo II
SERIES
Sea Sn, la suma de los primeros n términos de una sucesión, llamamos a ésta la enésima suma parcial.
Para la sucesión infinita an , la enésima suma parcial es dada por
𝑺𝒏 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 = ∑∞
𝒏=𝟏 𝒂𝒏
► Una serie está definida como ∑∞
𝒏=𝟏 𝒂𝒏 .
CONVERGENCIA DE SERIES
 Prueba de Convergencia basada en el límite del enésimo término de la sucesión
Teoremas
► Si ∑∞
𝒏=𝟏 𝒂𝒏 converge, entonces 𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 = 𝟎
𝒏→∞
∑∞
𝒏=𝟏 𝒂𝒏 diverge.
► Si 𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 ≠ 𝟎, entonces
𝒏→∞
Resumen
+ Si
lim 𝑎𝑛 , no está definida o no existe entonces la sucesión diverge y la serie ∑∞
n=1 an diverge.
𝑛→∞
∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 , diverge.
+
Si lim 𝑎𝑛 = 𝐿, donde 𝐿 ≠ 0, entonces la sucesión converge a L, pero la serie
+
Si lim 𝑎𝑛 = 0, entonces la sucesión converge a cero y hay posibilidad de que la serie ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛
𝑛→∞
𝑛→∞
pueda converger . En este caso la prueba no es concluyente.
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
𝟏
∑∞
𝒏=𝟏 𝟐𝒏
 Prueba
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4
𝟏
∑∞
𝒏=𝟏 𝒏
𝑛
∑∞
𝑛=1 2
∑∞
𝒏=𝟏
𝒏!
𝒂𝒏!+𝟏
Límite de {𝑆𝑛 }
converge a S, entonces la serie ∑∞
𝒏=𝟏 𝒂𝒏
Si la sucesión de las sumas parciales S 1 , S 2 , S 3 ,......, S n ,
converge.
El límite S, es la suma de la serie infinita.
Si {𝑆𝑛 } diverge, entonces la serie diverge.
∞
Si el 𝐥𝐢𝐦 ∑𝒏=𝟏 𝒂𝒏 = 𝐥𝐢𝐦 𝑺𝒏 = 𝑺, entonces la serie converge a S.
𝒏→∞
EJEMPLO 1 Serie
EJEMPLO 2
∑∞
𝒏=𝟏
La serie
𝒏→∞
𝟏
𝟐𝒏
La enésima suma parcial 𝑆𝑛 = ∑𝒏𝟏
𝟏
𝒏
𝟏
∑∞
𝒏=𝟏 (
− 𝒏+𝟏)
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐𝒏
=
𝟐𝒏 −𝟏
𝟐𝒏
(Fracciones parciales)
𝟏
La enésima suma parcial 𝑆𝑛 = ∑𝒏𝟏 (𝒏 − 𝒏+𝟏) = 𝟏 − 𝒏+𝟏
Revisado AGOSTO 2013
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SUMA PARCIAL DE UNA SUCESIÓN ARITMÉTICA
𝑎𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑, es dada por:
La enésima suma parcial de la sucesión aritmética
𝑛
 𝑆𝑛= [2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑]
2

𝑆𝑛= 𝑛
(𝑎+𝑎𝑛 )
2
SUMA PARCIAL DE UNA SUCESIÓN GEOMÉTICA
𝒏
𝑺𝒏 = ∑
𝒌=𝟏
𝑎(𝑟 𝑘−1 ) = a + ar + ar2 +
ar3 + ⋯ + arn−1
𝑎𝑛 = 𝑎(𝑟 𝑛−1 ),donde 𝑟 ≠ 1 , es dada por:
La enésima suma parcial de la sucesión geométrica
𝑆𝑛= 𝑎
(1−𝑟 𝑛 )
(1−𝑟)
 Prueba del Integral para determinar convergencia o divergencia
Sea f >0, continua y decreciente para 𝑥 ≥ 1 y 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) , entonces
∑∞
𝒏=𝟏 𝒂𝒏 , y
∞
∫1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ,
convergen o ambas divergen.

EJEMPLO 1

n0
EJEMPLO 4
1 
 
 n 

2
∑∞
𝒏=𝟏
EJEMPLO 2

n0

n
EJEMPLO 3

n0
1
 
n
𝟏
𝒏𝟐 +𝟏
 Prueba de las Series Alternas
1.
2.
3.
Revisado AGOSTO 2013
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ambas

1.
Prueba de la Razón
∞
4 𝑛
∑( )
7
𝑛=1
2.
∞
5 𝑛
∑( )
3
𝑛=1
3.
 Prueba de la Raíz
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
SERIES ESPECIALES
Revisado AGOSTO 2013
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 Serie Geométrica
∞
∑ 𝒂𝒓𝒏 = 𝒂 + 𝒂𝒓 + 𝒂𝒓𝟐 + ⋯ … . +𝒂𝒓𝒏 + ⋯ .
𝒂≠𝟎
𝒏=𝟎
Convergencia
∞
∑ 𝒂𝒓𝒏
𝒏=𝟎
𝒔𝒊
|𝒓| ≥ 𝟏 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒓𝒊𝒆 𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆
𝒔𝒊
|𝒓| < 1 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑎
𝑠=
𝒂
𝟏−𝒓
Indica si la serie dada converge y a qué valor converge.

1.

n0

2.

n0

3.

 3
 
 2
3
 
5
n
n
2 1 . 5 
n
n0

4.

n0

5.

n0

6.

n0
1 n
 2
5
1 
4 
7 
n
 1
5  
 3
n
∑∞
𝒏=𝟏
 Serie – p
𝟏
𝒏𝒑
𝟏
𝟏
𝟏
= 𝟏𝒑 + 𝟐𝒑 + 𝟑𝒑 + ⋯.
Convergencia
 𝒔𝒊 𝒑 > 1, 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
 𝒔𝒊 𝟎 < 𝑝 ≤ 1, 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
EJEMPLOS Indica si converge o diverge.

1) 
n0
1 
 
 n 

2
2)


n
n0
3)

n0
1
 
n
 Serie Harmónica ( Caso especial de la Serie- p )
∑∞
𝒏=𝟏
𝟏
𝒏
=𝟏 +
Revisado AGOSTO 2013
𝟏
𝟐
𝟏
𝟑
+ + ⋯.
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 Serie Telescópica
∑∞
𝒏=𝟏(𝒃𝒏 − 𝒃𝒏+𝟏 )
Expande y observa los términos ∑𝟔𝟏(𝒃𝒏 − 𝒃𝒏+𝟏 )
𝑺𝒏 = 𝒃𝟏 − 𝒃𝒏+𝟏
, si esta serie converge la suma es
𝑺 = 𝒃𝟏 − 𝐥𝐢𝐦 𝒃𝒏+𝟏
𝒏→∞
Ejemplos

1

1)
n ( n  1)
n 1
∑∞
𝒏=𝟏
2)
𝟐
𝟒𝒏𝟐 −𝟏
Práctica

1.

n 1
1
n(n  2)

2.

n 1

3.

n 1

4.

n 1
1
( n  1 )( n  2 )
n 1
2n  1
1
1

(n  2)
n

5.

n 1
1
n (n  3)

6.

n2
1
n
2
1
Revisado AGOSTO 2013
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