Resumen de criterios de convergencia para series

Resumen de criterios de convergencia para series numéricas
Criterio
Serie
Converge si
∞
No se evalúa
convergencia
𝑥𝑛
Término enésimo
Diverge si
𝑛=1
Comentarios
lim 𝑥𝑛
𝑛 →∞
Ninguno
∞
𝑎 𝑟𝑛
Serie geométrica
𝑟 <1
𝑟 ≥1
Suma: 𝑆 =
𝑛=1
∞
lim 𝑥𝑛 𝑏𝑛 = 𝐿
(𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1 )
Serie telescópica
𝑛→∞
Nunca diverge
𝑛=1
∞
Serie P
𝑛=1
∞
𝑝>1
∞
−1
Series alternadas
1
𝑛𝑝
𝑛
𝑥𝑛 ó
𝑛=1
−1
𝑛+1
𝑥𝑛+1 < 𝑥𝑛 y
lim 𝑥𝑛 = 0
𝑥𝑛
𝑛→∞
𝑛=1
𝑝≤1
No se cumplen las
condiciones de
convergencia.
𝑎
1−𝑟
Suma:
𝑆 = 𝑏1 − 𝐿
Ninguno
Resto:
𝑅𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1
∞
Integral (con f continua, positiva,
decreciente)
𝑥𝑛
𝑛=1
𝑥𝑛 = 𝑓(𝑥) ≥ 0
∞
Resto:
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 converge
1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 diverge
1
∞
𝑥𝑛
Raíz
lim
𝑛
𝑛→∞
|𝑥𝑛 | < 1
𝑛
lim
𝑛 →∞
|𝑥𝑛 | > 1
𝑛=1
0 < 𝑥𝑛 ≤ 𝑦𝑛 y
∞
𝑥𝑛
Comparación directa
𝑛=1
𝑥𝑛
>0y
𝑛→∞ 𝑦𝑛
∞
𝑥𝑛 diverge.
𝑥𝑛
> 0y
𝑛→∞ 𝑦𝑛
𝑛=1
Ninguno
lim
∞
𝑦𝑛 diverge.
𝑛=1
𝑛
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
1
𝑥𝑛 = 1
no se puede concluir nada.
∞
𝑦𝑛 converge.
𝑛=1
𝑛 →∞
𝑛=1
lim
𝑥𝑛
Si lim
0 < 𝑥𝑛 ≤ 𝑦𝑛 y
𝑦𝑛 converge.
𝑛 =1
∞
Comparación al límite
∞
∞
0 < 𝑅𝑛 <
Ninguno