01 n 02 eft.

Boletin de Matematicas
(1981) pags.
Vol. XV, No.1
1 - 16
LA CONVERGENCIA EN LA TOPOLOGIA DE LOS
CO~~LE~ffiNTARIOSFINITOS
Manuel MORENO VALENCIA.
1. DEFINICION
Sea
X
de subconjuntos de
,
conjunto8
l.a.
0
,
,
X
de
¢
y
u
x- u
°
°i -
s
°2
(X - 01)
y
(X - 02)
mos que
X -
0
todos
108
e 8 finito
8ub-
.
f{.
n (x-a.)
iEI
f{,
es finito •
en-
Luego
~
X - (01
elementos de
n
01
n
02
J{,
entoncas
son conjuntos finitos •
O2)
X - (01 ~ 02) - (X - 01)
10 tanto
y
Ef{.
i
°1
Sean
X, ¢
la coleccion
una familia de elementos de
lEI
iEI
:f{
X •
son elementos de
tonces
sea
tales que
es una topologia sobre
Sea f 0i f iEI
iii.
formada por
:f{
X
,
un conjunto
X
es finito
u
Vea-
.
(X - O2)
as finito,
por
eft.
1
�
llama la topologia
y La notamoe
ni toe
l.b.
~
finitoa de
DEFINICION
D
Bon
J'\cf
¢
X,
y los
X.
DE VALOR COUSTANTE
DE UNA SUCESION
Sea
X,
na sucesion de un oonjunto
to de
X
se dice que
es un valor oonstante
solo ai,
8a la suc8sion constanta
1.
Sea
S'
de valor
SIN
de
S
S
S
ai y
tal que
S'
x.
~ R
una suc8sion definida
por :
Sen)
Luego ,
3.
n
oonverge a
de
ee par
ai
n
ea impar
DE CONVERGENCIA
x e X
si y solo a1
S
el oonjunto
I
In
de la sucesion
,
de un oonjunto
X
para, toda v80indad
V
S
esta. oasi toda en
Sen)
S •
DE SUCESIONES EN UN ESPACIO
Se dioe que una euce.ion
x , se tiene que
oir "
2
n
es un valor oonstanta
CRITERIOS
3.a.
-{:
ai
¢V
f es finito
V
•
•
u
elemen-
x
de la suceaion
existe una Bubeuo8aion
Ejemplo
fi-
� of •
Loa conJ'untoa cerradoB de
auboonjuntos
2.
de los oomplementarios
es de-
3.b.
ai
a
Si una auoesi6n
S'
S
de
es una aubaucesi6n de
converge a
S
x E X
Y
S'
converge
entonces
x •
3.0.
Demostrarem08
a continuacion una serie de proposici£
ne s sobre La convergencia
PROPOSICION
1.
x,
converge a
todo
y,
tante de
(x , f{cf)
en
S
Sea
S
X
X,
elemento de
X,
elemento de
(X, -~ cf ) •
una sucesion en
Y
I
Y Bolo si
si
x,
y
para
no ea un valor cons
S.
DEMOSTRACION.
i.
para
y
I
Demostremos que si
y
x
S
no es valor constante de
Entonces existe una aubaucesi6n
(donde
Sy
o
A
Supongarnos
S'
tal que
S'
•
Sy
y)
•
0
A
8S
ea un elemento de
S-l(A 0 ) no ea finito •
En efeoto,
S.
ea la sucesi6n constante de valor
Probaremos que si
tonoea
entonces
es valor constante de
tal que ,
que exiote
x
converge a
sea
tante entonoes
,
Y
o
E
S-l(
X
o
e L complemento de Iy I
f{cf
0
tal que
Por 10 tanto
,
A • A° J
oomo
I Yo I) c S-l(Ao)
S
x E A
S.
en
Y
no converge a
x.
es valor cons
y .po r 10 tanto
3
ii.
que
Y
Demostremos
qua si paratodo
no es un valor constanta de
Sean
A E :f{
of'
Como
A
pongamos que tiene
Entonces
S,
f
x
se tiene
antonces
S
x.
converge a
fini to.
Y
E
x EA.
elementos
-1(
s-1( f Y1 f ),
S
fY2
f
S.
)"'.,
Por 10
es
es fini to.
Y sean ~stos
todos finitos ya que ninguno de los
es valor constanta de
0
A
:f{cf' entonoes
p
S-l (A 0)
Ve amoe qua
s-1(
Y
Su-
Y1' Y2, •••,Yp'
'Yp
f )
Bon
i - 1,2, •••
i
P
tanto,
...
es finito Y por 10 tanto
S
oonverge a
x.
4. CLASIFICACION DE LA CONVERGENCIA POR EL CARDINAL DEL
(X, :f{Of)
CONJUNTO DE VALORES CONSTANTES EN
Sean
na suoesi6n de
constantes
de
(X , f{ of )
Y
31
converge a todo elemento de
4
e 1 oonjurrt
o de valoree
2.
a)
31
u
S.
PROPOSICION
b)
H
S
oard. H • 1
oard H • 0
entonoee
S
X.
ent.oncee
8
oonverge a1 unioo
valor perteneciente
c)
gUn
Si
valor de
a
H •
card H > 1
entonces
de
a).
Sea
S
no converge a nin-
X.
Damostracion
tal que
S
S
una euceaion de
no tiene valoree constantes,
X
es decir
card H • 0 •
Sea
Sean
S
y
A E
x EX.
Demostremos
:f{ cf' , x
C
E A ,
S-l( Iy I)
eeta en
AC
es finito y como
Por
A,
10
tanto,
sato es,
S
converge
][.
Demostracion
de
b).
S
Sea
un solo valor oonstante
moe que para todo
a
x.
converge a
entonces para todo
e s finito.
S
S
luego,
E A
no tiene valoree constantes,
ye que casi toda
&
que
Y E X
una sucesion de
es decir
x
f
s
o
H· Ix f •
o
X
con
Vea-
no puede conver~r
y.
Sea
X E AO.
o
A=
Ahora
Lxi.
o
Lue go , A
o
f
aomo
x e H
E
:f{ of '
yEA,
entonces
0'
5
no es finito y ,
- xo
que
S
no converge a
Demostraoi6n
y
de
para todo
y
I
x
o
c).
Sean
H,
existen
S' - Sx
Xl E
1
y
S'
S"
y
Al•
Claramente
ya que
elementos de
subsucesionea de
Stale
Sea
tal que
se ve que
seria infinito
S
no converge a
Veamos ahora que
s que
xl'
•
En la misma forma se demuestra que
a
por tanto,
.
S
S. no oonverge a
no converge
y
para todo
y eX_
Como
y eX
y
I
xl ' y
X
un abierto de
I
x2'
basta tomar para todo
que contenga a
De 10 anterior concluimos qua
ningUn valor de
5-
S
y,
pero no a
no oonverge a
X_
VALOR DE ADHEH.ENCIA
Definioi6n
Sea
6
S
una Bucesi6n en un eapaoio
X,
un elemento
6i existe
e
de
S'
Denotaremoa
es un valor de adherencia de
eubsuceaion de
por
de la suoesi6n
6.
X
E
que converge a
e •
el conjunto de valores de adherencia
S.
RELACIO~ES
ENTRE VALOR CONSTANTE
CIA Y VALOR LIMI'fE
6.a.
S,
S
Si
, VALOR DE ADHEREN-
es una suce si Sn en
S
or) •
(X,:p"
DE UNA SUCESION
(X,
:f{Cf)
entoncea
Hc E •
Damostracion
Sea
casi6n de
S
y por tanto
x
H
se tiene que
S
se tiene que si
E¢H
S
¢ .
:z
de
X
S1
subau-
S' converge a
x,
basta tomar una suoesion
Por la proposicion
2,
converge a todo punto de
s'
x
entonoes
X
es una Bubsucasion de
oonverge a todo valor da
6.b.
luego
S'
E •
E
para la eual
entonces existe
S'. Sx
tal que
Para ver que
S'
x E H
X
y,
parte
,
S
,
por tanto,
Y por
La demostraoi6n
E
a,
3. b.
entonoes
E,. X •
as un valor limite de una suoesion
x
S
,
E •
8e obtiene usanao
3.b.
7
El reciproco de esta proposioi6n
H
que sf,
2,
oi6n
tiene dos valores,
parte
mitee es vacio
6.c.
E.
tonces
no ee tiene,
puesto
entonoes por la proposi-
0,
se tiene que el conjunto de valoree
s
oonverge a
It
•
Si
x
o
y
S
no es
Sx
en-
o
X •
Demostracion
Como
Bucesion de
S'
cion
o
no es
(por 3.b.) ,
y ~ x
o
Existe
o
S'
sub
Ahora
o
oomo
entonces por la proposl
S.
es valor constante de
S"
d8
S'
se tiene que
de donde el conjunto de valoree oonstantes de
es vac!o
xo
(porque tampoco
Por la proposici6n
2,
oonjunto de valores
l!mites de
6.d.
finito,
Sx
S'cX-'x'
para toda subsuceei6n
S" ~ Sy,
s'
x
ning{tn punto
1,
Luego,
tal que
S
converge a
S
parte
a,
S'
ee valor constante)
aplicada a
8S
el
X.
Si el conjunto de valoree l!mites de
entonoee
S'
•
S
es
¢ .
H ~
Demostraoi6n
S1
parte
8
ase
H.
¢
entono8S por proposici6n
tiene que el oonjunto de valores
ltmites de
2,
S
as
X,
e1 eual no es finito •
6.s_
.~
Slon
Si a1 eonjunto de valores 1imites de una Buce
x
es
S
entonces
o
!x 1 •
o
II
Demostracion
De acuerdo con 1a propoaiei6n
S as
convergente
card
0,
6.d. ,
te,
H
y,
=
linieamente pueden dares dos casas s
6
0,
oard II = 1.
como se supone que
Se tiene nece sarLamante q e
H - !y
J
con
y
I
x
S
de ac erdo con
tiene un solo valor limi
Par consiguiente
card II ::: 1 •
En cas a
e
11egariamos a una contradicoion
o
ap1icando 1a proposicion
7.
Pero,
queda excluido el primer caBO.
que
como
2,
1.
En consecuencia ,
H,.!xl.
o
TEOREMA FUNDAMENTAL
Con base en las proposiciones
2.b.
y
6.0. ,
hemos
dernostrado el siguiente teorama s
Las dos pro:posiciones siguientes son equivalentes
ra una eucesion
a)
S
en
(x,
b)
S
en
X
p~
I
El oonjunto de valoree lfmites de una sueesi6n
j{
of
) as un
El oonjunto
8010
H
pun t o
•
de valores oonstantes de
S
en
(x,
:f{Of) tiene un solo punto
8.
SOBRE OTRA NOCION DE VALORES DE ADHERENCIA EN (x,:f{or)
Como una suossi6n
caci6n
S
I
ra. no t ado
X,
~~
S(n).
n
o
•
de puntos de
el valor de
S
X
K
x
si en
n
dena tar! ,
es una apli-
en el entero
El conjunto de valores
sera denotado por
logia , K
S
x
n,
se
fS(p)1 p\~'rd
se oonsidera una top~
como de costumbre ,
au adherenoia
p ra esa topologla •
Definici6n
Sea
S
fmos eI conjunto de
II
as"
oi
n
K.
n >
K
0
n
una auoeedSn en
(x,
f{Of).
Defi
valoree adherenoia de 1 filtro aac--
por
,donde
PROPOSICION
K
n
• fS(n), S(n+l), S(n+2), ••• f
3.
Demostraoi6n
r) •
Sea
de
10
S
x e E,
tal que
S'
Demostraremos
es deoir,
oonverge a
existe
x.
E c: K •
que
S'
eubsuoesi6n
Sea
x
,
V
existe
entonces .
una veoindad de
tal que
n.
1.
,
,
x.
para todo
1.
est~ cas t toda en
I¢
se obhene
que
V n K
para todo
n.
En oonolusion ,
a)
K
dado que
K
x
i
K
n
(pero
S'
Entonoes existe
x E K
3 •b.,
Si
x
E
x E K
n
primer entero tal que
Sea
p(2)
y ,
x • S(p(2»
p(3)
x • S(p(3»
PIN
n •
1.
x E K
0
n
i
x
S,
X,
,
p)
e st o
oourre,
10 cua I as
n • Kn
K
y
n
Kn).
x E
tal que
S'
no
2, parte
Por la proposioion
en particular
a.
x
a
E •
para todo
n,
x - S (p(l))
llamamos
oomo
p(2)+1
y as! sucesivaments
es inyeotiva.
En .Inissis para cada
n,
pel)
el
x E Kp(l)+l
•
pel) + 1 ~ p(2) ,
En la misma forma como
el primer entero,
~ N
1.
para todo
p
el primer entero que oumple
•
n. > n.
Luego
ya qua ai
converge a cualquier punto de
por
s1
E.
Kc
subsuceaion de
tiene valores oonstantes.
y,
•
( Porque por hip6tesis
•
,
De 10 anterior
es cerrado se obtendri.a K
n
converge a
xEnK-K.
n
n > 0
no I;mede eer finito
n
oontradictorio
S'
V
para todo
Demostraremos que
S1
entonces
n
S'
n.
0
S'
ii) .
Como
x E
< p(3)
Kp(2)+1 '
tal que
•
S.p.
Sx •
llamamos
S(p(n»
sl
11
primer elemento de
K
tomarnos S' = S.p
constanta
x,
01uye que
K c E •
tal que
n
S(p(n))
una aubauceai6n de
luego
x
E
De
E.
x ,
=
(a)
e s decir
de valor
S
y
(b)
se con-
Nota ,
La igualdad anterior se ournple en un espacio
X
9-
con una topologla
C MPACIDAD DE
a)
1 - Contable •
ftcf)
(X,
Definicion,
Un e apac i.o
(X, j{)
~
compacto,
familia de abiertos cuya reunion es
X
ai para toda
(oubrimiento abier
existe un nlimero finito de ellos cuya reunion es
to) ,
t.arn b i.e n
X.
b)
4.
PROPOSICION
(x, ftof)
es compaoto •
Demostracion
U=
Sea
Sea
U.
1.
U,
un elemento de
IU.
1.
I
iel
entonces
o
Supongamos que tiene
p
elementoB,
X - U
x
I
- Ix
i
o
-12
x
1'2'···'
p
•
un cubrimiento de
x-
U
i
e8
o
es decir ,
Existen abiertos ,
x.
finito.
Ui
'
U
i
1
1, 2,
en
, ••• U.
2
3,
... p
• Luego
brimiento finito de
c)
tales que
11,
x. e U.
1.
J
l.p
I U.
1
1
X.
P
Por 10 tanto
X
86
compacto •
De f i.n i o i Sn
(X, f{)
En un espacio
propiedad de las interaecciones finitaa,
se cumple la
ai cuando para
I C. I. I ' en La que todo numel. 1e
toda familia de cerradoa
se veri
ro finito de ellos tiene interseccion no vacia
fica que
n
¢.
C. ~
1
ieI
d)
•
I es un cu-
1
1
j
J
, U. ,..., u.
0
,
5.
PROPOSICION
(X,
:f{cf) cumple La p r-op i edad
de interaecciones finitas •
Demostraci6n
IC
Sea
i
I
ieI
una fami lia de cerra-
dos tal que cualquier numero finito de el10s tieno interSupongamos que
seccion no vaoia •
oes
•to
de
X
X,
ieI
- X - rsn r C.
1
para todo
como
,fX
i
X
n c.1
S8
u
ieI
(X - Ci)
- C. I
l. ieI
Como
-
¢
X-C.
,
1
entone a abier
es un cubrimiento abierto
oompaoto exists
IX - C , X - C , ••• , X - Cn'
l
2
un Buboubrimiento finito de
13
x,
entonces
I
n
X
=
n
U (x - c.)
iel
n
- X -
iel
1
n
n
10 cual es absurdo ya que
C. ~
1
iel
Ci
¢,
se cump1e la propiedad de intersecciones
e)
P OPOSICION
finitas
•
6.
Sea
S
una suce ei Sn en
flof)
(X,
e L conjunto de sus valores de adherencia
entonces,
X
por tanto en
Th~ no
es vacio •
Demostracion
n
:E=K=
Como
n >
y,
como en
X
ae oump1
, n
finitas , entonoe
n>
f)
ROP SICION
i
E'"
fx !
o
0
K , KI
0
n
es oerrado ,
n
la propie ad de intersecciones
Kn I ¢ •
7.
Sea
S
a tonces
x
una suoe sian en
o
(X,
fl of) •
as un valor limite de
Demostracion
Sea
A e Ref
e a cerrado y
ce s
n
n :>
(AO
0
n Kn ) -
AO
tal qua
X
o
E
A ,
anton
es cerrado para todo
n (n
n >
K,) - AO n
n
0
Ix
1_
0
¢ .
n •
Como en
S.
X
se cumple la propiedad de interseooiones finitas,
hecho nos dice que hay un nUmero finito de los
ouya interseooi6n es vacia.
K
nl
f1
A
o
, •••
, K
-Kn
n
este
Ac ,
Sean ~stOB
Los indices los tornarnosde tal rna
n
p
nera que
Entonces
o
(A
f1 K n ) '"
p
¢
Luego
K
cA.
n
Concluimos entonces que
S
K
n
cA.
p
converge a
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Por tanto
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Kasriel, R. H., Undergraduate Topology. W.B Saunders
Company
1971.
15
Manuel MORENO VALENCIA
Seccion
de Matern!ticas
Universidad
Innca de Colombia
Bogota - Colombia
16
•