Modulación digital pasabanda

Sistemas de comunicación
Práctico
Modulación digital pasabanda
Cada ejercicio comienza con un sı́mbolo el cuál indica su dificultad de acuerdo a la siguiente
escala: F básica, H media, W avanzada, y Y difı́cil. Además puede tener un número, como 3.1-4
que indica el número de ejercicio del libro del curso, Communication Systems, 3th. edition.
Bruce A. Carlson.
F Ejercicio
1
Asuma que una lı́nea telefónica está ecualizada para permitir transmitir en el
rango de frecuencias de 600 a 3000 Hz con pulsos de Nyquist. Con esto, el ancho
de banda del canal es 2400 Hz, con frecuencia media en 1800 Hz. Los pulsos de
Nyquist tienen el siguiente espectro:
 1
|f | < r2s − β

rs




rs
rs
π
1
cos2 4β
|f | − r2s + β
P (f ) =
r
2 − β < |f | < 2 + β
s





0
|f | > r2s + β
El coeficiente de rolloff se define como
ρ=
2β
rs
(a) Diseñar un sistema QPSK de 2400 bit/seg. Mostrar que el ancho de banda
del canal es suficiente para esta señal con ρ = 1. Hallar el ancho de banda
de la señal.
(b) Repetir lo anterior para un PSK de 8 fases con una tasa de transferencia
de 4800 bit/seg.
W Ejercicio
2
Se quiere transmitir información digital, la que puede tomar N valores posibles en forma equiprobable e independiente de los sı́mbolos anteriores, ak =
0, 1, ..., N − 1.
El tiempo entre muestras es T segundos.
(a) Hallar la densidad espectral de la secuencia.
(b) Para la transmisión sobre un canal analógico los pulsos se conforman utilizando un pulso portador p(t). ¿En qué condiciones la señal transmitida
es un proceso ergódico? Hallar la expresión de la señal transmitida y de
su espectro.
1
xi(t)
cos wc(t)
a2 +k 1
conf
ak
serie
paralelo
a2 k
xc(t)
90º
conf
sin wc(t)
xq(t)
Figura 1: Sistema de modulación de portadoras en cuadratura.
En el caso particular en que p(t) = Π(t/T ), determinar el ancho de banda
necesario para detectar la información sin interferencia intersimbólica.
(c) Se quiere modular la señal obtenida en (b) en el caso particular del pulso
rectangular para lograr una mejor adaptación a las caracterı́sticas del canal
de trasmisión; en particular se quiere lograr una señal pasabanda.
1. Determinar el ancho de banda necesario de transmisión y el espectro
si se modula la amplitud de una sinusoide.
2. Hallar la información asociada a cada sı́mbolo ak y la entropı́a de la
fuente.
3. Se define eficiencia espectral de la modulación a la relación entre
la cadencia de información binaria y el ancho de banda de transmisión
(bps/Hz). Expresar como varı́a esta relación con N .
(d) Se considera el sistema de la Figura 1 en el que la señal considerada
en la parte (a) da lugar a dos señales que modulan dos portadoras en
cuadratura.
Hallar la expresión de la señal de salida del sistema, el espectro, el ancho
de banda y la eficiencia espectral.
W Ejercicio
3
Sea un sistema BPSK con P0 = P1 , s1 (t) = cos(ω0 t) y s0 (t) = − cos(ω0 t) y
tiempo de bit Tb .
La detección se realiza con un filtro acoplado derespuesta
al impulso:
t
hR (t) = cos (ω0 t + φ) Π
Tb
donde φ es un error de fase constante, y se puede asumir que ω0 Tb = n2π con
n ∈ IN .
(a) Calcular el valor de φ que aumenta la probabilidad de error del sistema de
2 × 10−3 a 3 × 10−3 correspondiente a que no exista error de fase para un
canal que introduce un ruido que se puede modelar como aditivo, blanco
y gaussiano, con densidad espectral de potencia η/2.
Observación : Notar que la fase φ se puede interpretar como un Error de
Sincronismo entre el Receptor y el Transmisor.
(b) Sugerir un sistema Transmisor-Receptor alternativo que sea inmune a un
error de sincronismo.
(c) Explicar el funcionamiento del sistema sugerido en la parte anterior.
2
W Ejercicio
4
Se tiene un sistema de modulación pasabanda 4-QAM que genera una señal
modulada de la forma
!
!
X
X
xc (t) =
Ac Ik pD (t − kD) cos(ωc t) −
Ac Qk pD (t − kD) sin(ωc t)
k
k
donde
pD (t) es un pulso rectangular de ancho D.
Ik , Qk = ±1 equiprobables. Además Ik y Qk son independientes. Los
sı́mbolos 4-arios se representan por los pares (Ik , Qk ).
ωc D = 2π n donde n ∈ IN y n 1.
Se supone que la señal pasabanda viaja a través de un canal que introduce ruido
n(t) aditivo, blanco y gaussiano de media nula, independiente de todos los demás
procesos estocásticos que aparecen en el problema, y de densidad espectral de
potencia Gn (f ) = η2 . El canal introduce una atenuación en potencia L.
Para la demodulación se utiliza el sistema de la figura.
0
cos(ωc t)
Ik
(k+1)D
xc(t)
+ n(t)
L
X i [k] + Ni [k]
kD
(k+1)D
X q [k] + Nq [k]
Qk
kD
−sen( ωc t)
0
(a) Dibuje la constelación usada por el sistema.
(b) Hallar la densidad espectral de potencia de xc (t). Notar que en el diagrama
del sistema no se han puesto las fases y retardos aleatorios que usualmente
se introducen en el sistema para hacer que las señales que aparecen sean
estacionarias.
(c) Estime el ancho de banda requerido para la transmisión de la información.
Explique su criterio.
(d) Explique el funcionamiento del sistema demodulador en forma concisa.
(e) Exprese las componentes de señal Xi [k] y Xq [k] en función de los demás
parámetros del problema, en particular, en función de Ik y Qk .
(f) Caracterice las componentes de ruido Ni [k] y Nq [k]. Se debe dar la autocorrelación de cada una de ellas, la correlación cruzada y las densidades
de probabilidad.
3
(g) Calcule en función de Ac , η, D y L, la probabilidad de detectar correctamente un sı́mbolo cualquiera (I, Q):
b k = Q}
P {Ibk = I} & {Q
Se debe justificar con detalle cada paso del razonamiento.
(h) Determine la probabilidad de error media del sistema, Pe . Justifique su
razonamiento.
(i) Determine una relación entre los parámetros del sistema tal que se cumpla
que Pe = 10−5 .
4