Corriente alterna Tensión alterna sinusoidal

Corriente alterna
• Existen generadores en los que la polaridad está
constantemente cambiando de signo por lo que el sentido
de la corriente es uno durante un intervalo de tiempo y es
de sentido contrario en el siguiente intervalo.
• En particular, son de interés las que son periódicas.
Tensión alterna sinusoidal
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Corriente alterna
•
•
•
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•
•
¿Por qué estudiar c.a?
Estandarización en el siglo XX.
La historia a fines del siglo XIX.
La exposición de Frankfurt de 1891.
Batalla entre c.c. y c.a.
Construcción de una planta (Niágara).
Steinmetz y su método simbólico para el cálculo
de c.a. estado estable usando números complejos
Fuentes senoidales
Símbolo
Circuito elemental
2
Fuentes senoidales
v f (t ) = Vm sen(ω t )
v f (t ) = v f (t + T ) = Vm sen ª¬ω ( t + T ) º¼
ωT = 2π Ÿ T =
2π
ω
1 2π
=
Ÿ ω = 2π f
ω
f
Desfase
• Dos registros de tensión de la red domiciliaria.
Formas de onda senoidales con T=20 ms.
• Los valores registrados no son iguales, dependen del
instante en que llegamos a registrar, al que llamamos
arbitrariamente t=0 s.
3
¿Cómo podemos representar la diferencia
entre vf1 y vf2?
v f 1 = Vm sen ( 2π 50t + φ1 )
v f 2 = Vm sen ( 2π 50t + φ2 )
• La diferencia en el ejemplo, es que φ1=0 y φ2=π/2.
• El ángulo φ se llama desfase y se puede escribir
una tensión sinusoidal en forma genérica
v f = Vm sen (ω t + φ )
Notar que si
π·
§
v f 2 = Vm sen ¨ 2π 50t + ¸
2¹
©
ª
§π ·
§ π ·º
v f 2 = Vm « sen ( 2π 50t ) cos ¨ ¸ + cos ( 2π 50t ) sen ¨ ¸ »
©2¹
© 2 ¹¼
¬
v f 2 = Vm cos ( 2π 50t )
• Se puede escribir vf2 usando base seno o coseno si se
emplea el desfase adecuado. Esto vale en general
π·
§
v f = Vm cos ¨ ω t + φ − ¸ = Vm sen (ω t + φ )
2¹
©
4
Resumen
• Se puede caracterizar una forma de onda
senoidal a través de los valores Vm, ω (2πf
o 2π/T) y φ.
• Además, está claro que se puede expresar la
misma forma de onda como seno o coseno
cambiando el desfase
v f = Vm cos(ω t + θ ) = Vm sen(ω t + φ )
θ =φ −
π
2
Resolución de circuitos lineales
Usando LVK (malla) y Ley de Ohm(sobre R)
v f − vR = v f − i R = 0
5
Corriente en el circuito
v f − vR = v f − i R = 0
Vm sen (ω t ) − i R = 0
i=
Vm
sen (ω t ) = I m sen (ω t )
R
Im =
Vm
R
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Resolución de circuitos lineales
Usando LVK (malla) y Ley de Faraday-Lenz
v f − vL = v f − L
di
=0
dt
Corriente en el circuito
di
=0
dt
di
Vm sen (ω t ) − L = 0
dt
V
i = − m cos (ω t )
ωL
v f − vL = v f − L
Im =
Vm
ωL
7
i=−
Vm
cos (ω t )
ωL
Im =
Vm
ωL
Usando –cos(ωt) =sen(ωt- π/2)
i=
Vm
π·
§
sen ¨ ω t − ¸
ωL
2¹
©
Im =
Vm
ωL
La corriente está desfasada y la amplitud máxima
depende de ω
8
Combinando R y L en serie
v f − vR − vL = 0
vf = L
diL
+ RiR
dt
Como R y L están en serie iL=iR=i
vf = L
di
+ Ri
dt
Hay que resolver la ecuación diferencial
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Ejemplo
i f = I m cos(ω t )
i f = iR + iC
Ÿ if =
dv
vR
+C C
R
dt
Como R y C están en paralelo vR=vC=v
if =
v
dv
+C
R
dt
Resolviendo
v=
RI m
1 + (ω RC )
2
cos(ω t − θ )
θ = arctan(ω RC )
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Circuitos lineales
• Muchos circuitos con los que trataremos en la
materia pueden ser modelados por redes
(combinación de elementos) con comportamiento
lineal (es decir, satisfacen el principio de
superposición) generando ecuaciones diferenciales
lineales a coeficientes constantes
• Si hay muchos elementos que almacenan energía
(L y C) esas ecuaciones pueden ser de alto orden.
Circuito R, L y C serie alimentado con tensión
senoidal
Vm
di 2
di 1
cos(ω t ) = L 2 + R + i
ω
dt
dt C
Las cosas se empiezan a complicar
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Métodos Operacionales
• Surgen durante el siglo XIX, pues no era
común encontrar computadoras y la
mayoría de los cálculos se hacían a mano.
• Metodología: Bajo ciertas condiciones se
transforman las ecuaciones diferenciales en
algebraicas, se resuelven y se regresa al
dominio original.
Supongamos excitamos con una tensión
exponencial compleja a un circuito serie R-L
y deseamos hallar la corriente
L
di
+ Ri = Vm e jω t
dt
Ensayamos como solución
i = Ae jω t
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( jω L + R ) Ae jωt = Vm e jωt
A=
Z=
Vm
V
= m e− jβ
( jω L + R ) Z
R 2 + (ω L ) 2
§ωL ·
β = arctan ¨
¸
© R ¹
Vm − j β jω t
i=
e e
Z
v f = Re Vme jωt
i = I m cos(ω t − β )
Ÿ i = Re
Im =
Vm − jβ jωt
e e
Z
Vm
Z
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Resumen
• Usamos un método operacional para resolver la
ecuación diferencial
• Si se considera un circuito modelado por una
ecuación diferencial lineal con coeficientes
constantes, excitado por una señal coseno (parte
real de la exponencial compleja) se puede
considerar como excitación a la exponencial
compleja y la parte real de la respuesta será la
respuesta del circuito.
• Vale para fuentes de tensión y fuentes de corriente
El Concepto de Fasor
• Asociado al método operacional anterior
aparece el concepto de Fasor
• Su aparición está ligada a los trabajos de
Steinmetz de fines del siglo XIX
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Repaso de lo desarrollado
1. Establecimos que una corriente o tensión sinusodidal
se puede caracterizar por ω, Vm o Im, φ.
2.
i = I m cos(ω t + φ − β ) = Re I m e
j (ω t +φ − β )
3. Usamos un método operacional para hallar la respuesta
a un circuito con elementos lineales.
• El caso anterior, puede ser generalizado para
cualquier sistema de ecuaciones diferenciales
(lineales a coeficientes constantes)
A cos(ω t + φ ) = Re Ae
j (ω t +φ )
•La cantidad compleja se denomina fasor y se
denota.
Ae
j (ω t +φ )
Ae jφ
Aφ
Diagrama fasorial. Se tratará más adelante
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El factor e jω t permanece inalterable a lo largo de
todo el cálculo.
Para especificar i(t) alcanza con saber que se tomará
la parte real de:
I me
j (ω t +φ − β )
Dada una tensión sinusoidal de pulsación ω en base
coseno, toda la información que necesito para
reconstruir la corriente es
I = I me
j (φ − β )
ya que con esa información reconstruimos
i = Re I m e
j (ω t +φ − β )
= I m cos(ω t + φ − β )
con ω la misma pulsación que la fuente
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Para operar se puede eliminar la información
redundante dada por Re y e jω t
y representar el fasor por
I = I me (
j φ −β )
= Im cos(φ − β ) + jIm sen(φ − β )
= Im φ − β
Resumen
• Introdujimos el fasor que es una
transformación que permite representar una
señal sinusoidal en base coseno por un
número complejo. El objetivo es simplificar
la forma de operar.
• Se podría desarrollar una teoría similar
considerando base seno y tomando la parte
imaginaria de la exponencial
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Trans. directa
­i = 5sen (100t + π / 3)
°
°i = 5cos (100t + π / 6 )
°
®
°i = Re 5e j (π / 6) e j (100t )
°
°
j (π / 6 )
= 5 30o
¯ I = 5e
Trans. inversa
­
V = 25 125o
°
j (125o ) j (ω t )
°
v
e
e
Re
25
=
®
°
° v = 25cos (ω t + 125o )
¯
Ejemplo
• Se desea calcular la corriente en estado estable
cuando vf=Vm cos(ω t) [V] y ω =100 rad/s, con
R=200 Ω y L=2 H.
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Resolución
di
+ Ri
( jω L + R ) I m e j (ωt + β ) = Vm e j (ωt +φ )
dt
( jω L + R ) I m e jβ = Vm e jφ
( jω L + R ) I = V
vf = L
I=
V
( jω L + R )
Vm 0o
I=
( j 200 + 200 )
i=
Vm 0o
I=
283 45o
Vm
cos(100t − 45o )
283
Vm −45o
I=
283
[ A]
Impedancia y Admitancia
V
= ( jω L + R)
I
V = IZ
Z=
Vm φ
Im β
V
=Z
I
Ley de Ohm en notación fasorial
Número complejo
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Z=
Vm φ
Im β
módulo
= Z φ−β
Z=
Vm
Im
argumento θ = φ − β
Z = Z θ = Z e jθ = R + jX
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