apuntes de física - Antunez Software Blog

APUNTES DE FÍSICA
NEFTALÍ ANTÚNEZ H.
ciencia. La ciencia hizo sus mayores
progresos en el siglo XVI, cuando se
descubrió que era posible describir la
naturaleza por medio de las matemáticas.
Cuando se expresan las ideas de la ciencia
en
términos
matemáticos
no
hay
ambigüedad, es mas fácil verificarlos o
refutarlos por medio del experimento.
FÍSICA
INTRODUCCIÓN
Los adelantos de la ciencia han provocado
muchos cambios en el mundo. Por ejemplo,
desde Aristóteles en el 350 AC y hasta hace
500 años se creía que la Tierra era plana y
que estaba en el centro del universo, hace
70 años no se conocía la televisión, los
aviones Jet ni la forma de prevenir las
picaduras dentales, hace pocos años se
descubrió la clonación de seres vivos,
recientemente se descifró el código del
genoma humano. La ciencia no es nueva,
data de la prehistoria. El ser humano ha
estado sobre la Tierra desde hace seis mil
años y desde entonces ha empezado a
hacer ciencia. Por ejemplo, en el comienzo
se descubrieron las primeras regularidades y
relaciones en la naturaleza. Una de las
regularidades era la forma de los patrones
de las estrellas que aparecían en el cielo
nocturno. Otra evidente era el ciclo del
clima a lo largo del año, distinguiéndose
claramente el comienzo de la temporada de
lluvias o la de calor. La gente aprendió a
usar estos ciclos para hacer predicciones y
surgieron los primeros pronósticos del
tiempo.De este modo fueron aprendiendo
mas y mas acerca del comportamiento de la
naturaleza. Todos estos conocimientos
forman parte de la ciencia, pero la parte
principal esta formada por los métodos que
se usan para adquirir esos conocimientos. La
ciencia es una actividad humana, formada
por un conjunto de conocimientos.
La ciencia contemporánea se divide en el
estudio de los seres vivos y el estudio de los
objetos sin vida, es decir, en ciencias de la
vida y en ciencias físicas. Las ciencias de la
vida se dividen en áreas como la biología,
zoología y la botánica. Las ciencias físicas se
dividen en áreas como la física, geología,
astronomía y química.
La física es mas que una rama de las ciencias
físicas: es la más fundamental de las ciencias.
Estudia la naturaleza de realidades básicas
como el movimiento, las fuerzas, energía,
materia, calor, sonido, luz y el interior de los
átomos. La química estudia la manera en
que esta integrada la materia, la manera en
que los átomos se combinan para formar
moléculas y la manera en que las moléculas
se combinan para formar los diversos tipos
de materia que nos rodea. La biología es
aún mas compleja, pues trata de la materia
viva. Así, tras la biología esta la química y
tras la química esta la física. Las ideas de la
física se extienden a estas ciencias mas
complicadas, por eso la física es la mas
fundamental de las ciencias. Podemos
entender mejor la ciencia en general si antes
entendemos algo de física ¡que es lo que
vamos a aprender en este curso!
En este capítulo se da una breve explicación
de algunas definiciones de conceptos
usados en el curso. Se hace una descripción
de los sistemas de unidades de medida, de
las magnitudes físicas fundamentales y
derivadas, se definen los múltiplos,
submúltiplos y los prefijos. Se hace notar la
necesidad de expresar los valores numéricos
La ciencia es el equivalente contemporáneo
de lo que se llamaba filosofía natural. La
filosofía natural era el estudio de las
preguntas acerca de la naturaleza que aún
no tenían respuesta. A medida que se iban
encontrando esas respuestas, pasaban a
formar parte de lo que hoy llamamos
1
de las magnitudes en ciencias en notación
científica, se explica como expresar los
valores numéricos dando sólo su orden de
magnitud o haciendo una estimación de su
valor. Se dan reglas de análisis dimensional,
lo que proporciona un método para
determinar la forma funcional de las leyes
físicas y permite verificar si está bien
planteada.
¿Por qué se utilizan tantas matemáticas?
La primera razón de la irrupción de las
matemáticas en la Física, en los inicios de
ambas, es la necesidad de incluir mediciones
cuantitativas, además de las cualitativas,
para permitir mejorar la capacidad de
predicción de las primeras teorías. En un
primer momento, tan sólo se utilizaron las
operaciones con números más elementales
de la aritmética. Desde los tiempos de
Newton, sin embargo, se vio la gran utilidad
de partes de la matemática más abstractas,
como la teoría de funciones y el cálculo
infinitesimal.
¿Qué es la física?
La física puede definirse como la ciencia que
investiga los conceptos fundamentales de la
materia, la energía y el espacio, y las
relaciones entre ellos.
Hoy los físicos trabajan en todas las ramas
de la ciencia y de la ingenieria . El
conocimiento de la física es sumamente útil
cuando
investigan
los
aspectos
fundamentales de esas áreas.
Posteriormente, se observó que esta
progresiva formalización de la Física tenia
otra ventaja de gran importancia, tanta o
más como la comentada en el párrafo
anterior. Ésta se deriva de la propia
naturaleza de las matemáticas, que consiste
en el estudio de los sistemas formales: es
decir, se establecen un conjunto de
principios (axiomas) que son elegidos ad
hoc, y se extraen todas las consecuencias
(proposiciones, lemas, teoremas, etc.) que se
pueden deducir de ellos a partir de
procedimientos lógicos. De esta forma, las
teorías matemáticas (que no son más que
sistemas formales diseñados para afrontar
problemas concretos) son internamente
coherentes y consistentes.
¿Es difícil la física?
Puede serlo si no se sabe estudiarla. La física
no es un conjunto de hechos y reglas a
memorizar. Por el contrario, si hay que
aprender unas cuantas reglas simples (las
leyes de la física) y tratar de entender su
significado total aplicandolas al universo
que nos rodea. Pero no puede aprenderse a
base de memorización ni de mecanizaciones
para los exámenes. La física solo puede
aprenderse resolviendo problemas al igual
que las matemáticas. Aprender física es
como aprender a jugar un juego. Primero se
aprenden algunas reglas del juego y luego
se aplican a situaciones que ocurren
mientras se juega. Mientras mas se practique
el juego, más destreza se adquiere en el.
Pero no podemos ser físicos expertos con
solo leer libros de fisica, como no podemos
ser buenos jugadores de ajedrez o futbol
con solo leer libros, tenemos que practicar
mucho, en nuestro caso resolviendo
muchos problemas.
La coherencia interna de la teoría es una de
las tres condiciones básicas que debe
cumplir toda teoría Física. Hemos visto que
las otras dos condiciones, robustez y
correspondencia,
se
mejoran
progresivamente a medida que progresa la
investigación,
pero
no
habíamos
comentado como se asegura la coherencia
de la teoría. Ésto se hace, pues, convirtiendo
desde un principio la teoría Física en un
sistema formal matemático. Así, pues, el
progreso en la Física Teórica se reduce a la
2
fenómenos físicos se debe tener una
apropiada formación en matemáticas, en
este curso basta un nivel básico de
matemáticas.
búsqueda del conjunto de axiomas (que
llamamos Principios) que generan el sistema
formal a partir del cual podemos obtener
consecuencias
(predicciones)
que
correspondan con la realidad medible y que,
además, se pueda aplicar a una gran
cantidad de fenómenos (es decir, que sea
robusto).
Teoría científica: Síntesis de una gran
cantidad de información que abarca
diversas hipótesis probadas y verificables de
ciertos aspectos del mundo natural. Ningún
experimento resulta aceptable a menos que
sea reproducible, es decir que produzca un
resultado idéntico independientemente de
cuando, donde y por quien sea realizado.
Los resultados de los distintos experimentos
se reúnen para formar una teoría. Una
teoría es la síntesis de todas las
observaciones
realizadas
en
los
experimentos, que debería hacer posible
predecir
el
resultado
de
nuevos
experimentos antes de que se realicen. Pero
no se debe esperar que una teoría explique
ciertos fenómenos de una vez por todas,
sino mas bien los coordine dentro de un
conjunto sistemático de conocimientos. La
validez de una teoría puede probarse
únicamente con el experimento.
En algunas ocasiones, se ha encontrado útil
aprovechar alguna teoría matemática
previamente existente para fundamentar
parte de la teoría Física. Un ejemplo de ésto
es la utilización de la geometría diferencial
(o geometría de Riemman) en la Teoría de la
Relatividad General de Einstein. Sin
embargo, ésto es cada vez menos frecuente,
dado que el interés de los matemáticos
suele estar lejos de la Física y, por lo tanto,
los físicos deben encargarse de dessarrollar
nuevos sistemas formales des de el principio.
Un ejemplo de esto es el cálculo infinitesimal
(en época de Newton y Leibnitz); y más
recientemente, la integral de Feynman.
DEFINICIONES
Una teoría científica no debe contener
elemento alguno metafísico o mitológico, se
deben eliminar los mitos y prejuicios. Hoy en
día se debe tener especial cuidado, puesto
que nuestro mitos contemporáneos gustan
de ataviarse con ropajes científicos,
pretendiendo con ello alcanzar gran
respetabilidad. Los charlatanes siempre
buscan mencionar el nombre de algún gran
científico en un intento por hacer creíbles
sus charlatanerías.
En esta sección se dan las definiciones de
algunos términos usados en ciencias y de
temas relacionados, que usaremos durante
el curso, sin pretender profundizar en el
contenido teórico del concepto definido.
Física: es una ciencia fundamental que
estudia y describe el comportamiento de los
fenómenos naturales que ocurren en
nuestro universo. Es una ciencia basada en
observaciones
experimentales
y
en
mediciones. Su objetivo es desarrollar teorías
físicas basadas en leyes fundamentales, que
permitan describir el mayor número posible
de fenómenos naturales con el menor
número posible de leyes físicas. Estas leyes
físicas se expresan en lenguaje matemático,
por lo que para entender sin inconvenientes
el tratamiento del formalismo teórico de los
Mecánica. Es una rama de la física. Su
objetivo es describir (con la cinemática) y
explicar (con la dinámica) el movimiento de
los cuerpos.
Cinemática. Describe el movimiento de los
cuerpos sin preocuparse de las causas que
lo producen.
3
realidad física y debe tener en cuenta dos
aspectos conflictivos entre sí: a) tiene que
ser lo bastante simple para como para ser
elaborado con métodos matemáticamente
rigurosos, b) debe ser realista para que los
resultados obtenidos sean aplicables al
problema considerado. La sencillez del
modelo, su belleza matemática, es
incompatible con la fidelidad al problema
real. Lo bello raramente es fiel y lo fiel
raramente es bello.
Dinámica. Describe el movimiento de los
cuerpos considerando las causas que lo
producen, y las causas del movimiento son
las fuerzas.
La física también se relaciona con el estudio
del calor, la luz, el sonido, la electricidad y la
estructura atómica.
Hipótesis: Suposición bien fundamentada,
considerada como un hecho cuando se
Matemáticas: Es el lenguaje de las ciencias,
demuestra experimentalmente.
es lo que establece una conexión entre la
teoría y el experimento. Las leyes Físicas se
expresan en lenguaje matemático, en
general de nivel muy avanzado.
Hecho:
Acuerdo entre observadores
competentes
sobre
una
serie
de
observaciones de un fenómeno particular.
Ley: Comprobación de una hipótesis sin
ninguna contradicción. Una ley física se
considera como tal cuando todos los
experimentos obedecen esa ley, si en algún
caso no se cumple, deja de ser ley física.
¿Son las leyes terrestres válidas en todo el
Universo? Hay que usarlas y después
evaluar su resultado. No se debe pretender
buscar una nueva ley para explicar algún
fenómeno en el cual las leyes ya existentes
no parecen encajar satisfactoriamente,
porque esto conduce al caos lógico.
Aunque se debe estar dispuesto a aceptar
nuevas leyes naturales si su adopción
demuestra ser necesaria.
EL MÉTODO CIENTÍFICO
Es un método efectivo para adquirir,
organizar y aplicar nuevos conocimientos.
Su principal fundador fue Galileo (15641642). Consta de los siguientes pasos.
1. Identificar el problema.
2. Plantear una hipótesis acerca de la posible
respuesta.
3. Predecir las consecuencias de la hipótesis
4. Experimentar para comprobar las
predicciones.
5. Formular una regla o ley física mas simple,
que organice los conceptos principales:
hipótesis, predicción y resultados.
Ciencia: Método para dar respuestas a
Este método no siempre ha sido la clave de
los descubrimientos, en muchos casos gran
parte del progreso de la ciencia se ha
debido a resultados obtenidos por error o
por casualidad.
preguntas teóricas. La ciencia descubre
hechos y formula teorías.
Tecnología:
Método
para
resolver
problemas prácticos, usa técnicas y
procedimientos
para
aplicar
los
descubrimientos de la ciencia.
SISTEMAS DE MAGNITUDES Y
UNIDADES.
Modelo: Concepto introducido por los
Medir una magnitud consiste en compararla
con una cantidad arbitraria fija de la
magnitud. Una medición se expresa con un
científicos para ayudarse a visualizar
posibles procesos dentro de un sistema
físico. Un modelo se usa para representar la
4
número seguida de un símbolo de la unidad
usada. Existen medidas directas e indirectas,
por ejemplo el largo y el ancho de una sala
son medidas directas, pero la superficie de la
sala es una medida indirecta. Gran parte de
la Física tiene que ver con la medida de
cantidades físicas tales como distancia,
tiempo, volumen, masa, temperatura, etc.
Las leyes Físicas se expresan en términos de
cantidades básicas que requieren una
definición clara, llamadas magnitudes físicas
fundamentales. En mecánica las magnitudes
físicas fundamentales son tres: longitud,
tiempo y masa. Se llaman magnitudes físicas
fundamentales porque están definidas en
forma independiente de cualquier otra
magnitud física. Para que sean útiles deben
ser invariables y reproducibles y se debe
definir una unidad de medida única para la
magnitud física, llamada patrón de medida.
Unidades básicas
Magnitud
Longitud
Nombre
metro
Símbolo
Masa
kilogramo kg
Tiempo
segundo
s
Intensidad
de corriente eléctrica
Temperatura
termodinámica
Cantidad de
sustancia
Intensidad luminosa
ampere
A
kelvin
K
mol
mol
candela
cd
m
En ciencias se usan muchas otras
magnitudes físicas, que se obtienen como
una combinación de las magnitudes físicas
fundamentales. Se llaman magnitudes físicas
derivadas, porque se derivan de las
magnitudes físicas fundamentales.
El Sistema Internacional (SI) de unidades
determina el conjunto de patrones de
medida.. El SI es el que se usa
mayoritariamente en todas las áreas de las
ciencias.
Por ejemplo:
área = longitud por longitud, se mide en m2
aceleración = longitud/tiempo al cuadrado,
se mide en m/s2
fuerza = masa por aceleración, se mide en
Newton, N = kg m/s2
densidad = masa/volumen, se mide en
kg/m3, etc.
La observación de un fenómeno es en
general incompleta a menos que dé lugar a
una información cuantitativa. Para obtener
dicha información se requiere la medición
de una propiedad física. Así, la medición
constituye una buena parte de la rutina
diaria del físico experimental.
La medición es la técnica por medio de la
cual asignamos un número a una propiedad
física, como resultado de una comparación
de dicha propiedad con otra similar tomada
como patrón, la cual se ha adoptado como
unidad.
Las magnitudes fundamentales o basicas de
la Física, son siete en total, están indicadas
en la tabla siguiente:
5
Unidad de longitud: metro El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz
(m)
durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo. De paso esta
definición establece que la rapidez de la luz en el vacío es de 299
792 458 m/s.
Unidad de masa
El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del
kilogramo
Unidad de tiempo
El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la
radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles
hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.
Unidad de intensidad de El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que
corriente eléctrica
manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de
longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una
distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza
igual a 2·10-7 newton por metro de longitud.
Unidad de temperatura El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la fracción
termodinámica
1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del
agua.
Observación: Además de la temperatura termodinámica (símbolo T)
expresada en kelvins, se utiliza también la temperatura Celsius
(símbolo t) definida por la ecuación t = T - T0 donde T0 = 273,15 K
por definición.
Unidad de cantidad de El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene
sustancia
tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos
de carbono 12.
Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades
elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u
otras partículas o grupos especificados de tales partículas.
Unidad
de
intensidad La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de
luminosa
una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia
540·1012 hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es
1/683 watt por estereorradián.
Unidades derivadas sin dimensión.
Símbolo Expresión en unidades
SI básicas
Ángulo plano Radián
rad
mm-1= 1
Ángulo sólido Estereorradián sr
m2m-2= 1
Magnitud
Unidad de ángulo plano
Unidad de ángulo sólido
Nombre
El radián (rad) es el ángulo plano comprendido entre dos radios
de un círculo que, sobre la circunferencia de dicho círculo,
interceptan un arco de longitud igual a la del radio.
El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, teniendo su
vértice en el centro de una esfera, intercepta sobre la superficie
de dicha esfera un área igual a la de un cuadrado que tenga
por lado el radio de la esfera.
6
Unidades SI derivadas
Las unidades SI derivadas se definen de forma que sean coherentes con las unidades básicas y
suplementarias, es decir, se definen por expresiones algebraicas bajo la forma de productos de
potencias de las unidades SI básicas y/o suplementarias con un factor numérico igual 1.
Varias de estas unidades SI derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades SI básicas
y suplementarias. Otras han recibido un nombre especial y un símbolo particular.
Si una unidad SI derivada puede expresarse de varias formas equivalentes utilizando, bien
nombres de unidades básicas y suplementarias, o bien nombres especiales de otras unidades SI
derivadas, se admite el empleo preferencial de ciertas combinaciones o de ciertos nombres
especiales, con el fin de facilitar la distinción entre magnitudes que tengan las mismas
dimensiones. Por ejemplo, el hertz se emplea para la frecuencia, con preferencia al segundo a la
potencia menos uno, y para el momento de fuerza, se prefiere el newton metro al joule.
Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades básicas y suplementarias.
Magnitud
Superficie
Volumen
Velocidad
Aceleración
Número de ondas
Masa en volumen
Velocidad angular
Aceleración angular
Nombre
metro cuadrado
metro cúbico
metro por segundo
metro por segundo cuadrado
metro a la potencia menos uno
kilogramo por metro cúbico
radián por segundo
radián por segundo cuadrado
Símbolo
m2
m3
m/s
m/s2
m-1
kg/m3
rad/s
rad/s2
Unidad de velocidad
Un metro por segundo (m/s o m·s-1) es la velocidad de un cuerpo que, con
movimiento uniforme, recorre, una longitud de un metro en 1 segundo
Unidad de aceleración
Un metro por segundo cuadrado (m/s2 o m·s-2) es la aceleración de un
cuerpo, animado de movimiento uniformemente variado, cuya
velocidad varía cada segundo, 1 m/s.
Unidad de número de ondas Un metro a la potencia menos uno (m-1) es el número de ondas de una
radiación monocromática cuya longitud de onda es igual a 1 metro.
Unidad
angular
Unidad
angular
de
de
velocidad Un radián por segundo (rad/s o rad·s-1) es la velocidad de un cuerpo que,
con una rotación uniforme alrededor de un eje fijo, gira en 1 segundo, 1
radián.
aceleración Un radián por segundo cuadrado (rad/s2 o rad·s-2) es la
aceleración angular de un cuerpo animado de una rotación
7
uniformemente variada alrededor de un eje fijo, cuya velocidad
angular, varía 1 radián por segundo, en 1 segundo.
Unidades SI derivadas con nombres y símbolos especiales.
Magnitud
Nombre
Frecuencia
Fuerza
Presión
Energía,
trabajo,
cantidad de calor
Potencia
Cantidad
de
electricidad
carga eléctrica
Potencial
eléctrico
fuerza electromotriz
Resistencia eléctrica
Capacidad eléctrica
Flujo magnético
Inducción magnética
Inductancia
hertz
newton
pascal
joule
Unidad de frecuencia
Unidad de fuerza
Unidad de presión
Unidad de energía,
trabajo, cantidad de
calor
Unidad de potencia,
flujo radiante
Unidad de cantidad de
electricidad,
carga
eléctrica
Unidad de potencial
eléctrico,
fuerza
electromotriz
Símbolo Expresión en otras unidades Expresión en
SI
unidades
básicas
Hz
s-1
N
m·kg·s-2
Pa
N·m-2
m-1·kg·s-2
J
N·m
m2·kg·s-2
watt
W
coulomb C
J·s-1
m2·kg·s-3
s·A
volt
V
W·A-1
m2·kg·s-3·A-1
ohm
farad
weber
tesla
henry
Ω
F
Wb
T
H
V·A-1
C·V-1
V·s
Wb·m-2
Wb·A-1
m2·kg·s-3·A-2
m-2·kg-1·s4·A2
m2·kg·s-2·A-1
kg·s-2·A-1
m2·kg s-2·A-2
Un hertz (Hz) es la frecuencia de un fenómeno periódico cuyo periodo
es 1 segundo.
Un newton (N) es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una
masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por
segundo cuadrado.
Un pascal (Pa) es la presión uniforme que, actuando sobre una
superficie plana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a
esta superficie una fuerza total de 1 newton.
Un joule (J) es el trabajo producido por una fuerza de 1 newton, cuyo
punto de aplicación se desplaza 1 metro en la dirección de la fuerza.
Un watt (W) es la potencia que da lugar a una producción de energía
igual a 1 joule por segundo.
Un coulomb (C) es la cantidad de electricidad transportada en 1
segundo por una corriente de intensidad 1 ampere.
Un volt (V) es la diferencia de potencial eléctrico que existe entre dos
puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de
intensidad constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre
estos puntos es igual a 1 watt.
Unidad de resistencia Un ohm ( ) es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos de un
8
SI
eléctrica
Unidad de capacidad
eléctrica
Unidad
de
magnético
flujo
Unidad de inducción
magnética
Unidad de inductancia
conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt
aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una
corriente de intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza
electromotriz en el conductor.
Un farad (F) es la capacidad de un condensador eléctrico que entre
sus armaduras aparece una diferencia de potencial eléctrico de 1 volt,
cuando está cargado con una cantidad de electricidad igual a 1
coulomb.
Un weber (Wb) es el flujo magnético que, al atravesar un circuito de
una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt
si se anula dicho flujo en un segundo por decaimiento uniforme.
Una tesla (T) es la inducción magnética uniforme que, repartida
normalmente sobre una superficie de 1 metro cuadrado, produce a
través de esta superficie un flujo magnético total de 1 weber.
Un henry (H) es la inductancia eléctrica de un circuito cerrado en el
que se produce una fuerza electromotriz de 1 volt, cuando la corriente
eléctrica que recorre el circuito varía uniformemente a razón de un
ampere por segundo.
Unidades SI derivadas expresadas a partir de las que tienen nombres especiales
Magnitud
Nombre
Símbolo
Viscosidad dinámica
Entropía
Capacidad térmica másica
pascal segundo
joule por kelvin
joule por kilogramo
kelvin
Conductividad térmica
watt por metro kelvin
Intensidad del campo volt por metro
eléctrico
Pa·s
J/K
J/(kg·K)
Expresión en
unidades SI
básicas
m-1·kg·s-1
m2·kg·s-2·K-1
m2·s-2·K-1
W/(m·K)
V/m
m·kg·s-3·K-1
m·kg·s-3·A-1
Unidad de viscosidad dinámica Un pascal segundo (Pa·s) es la viscosidad dinámica de un fluido
homogéneo, en el cual, el movimiento rectilíneo y uniforme de
una superficie plana de 1 metro cuadrado, da lugar a una
fuerza retardatriz de 1 newton, cuando hay una diferencia de
velocidad de 1 metro por segundo entre dos planos paralelos
separados por 1 metro de distancia.
Unidad de entropía
Un joule por kelvin (J/K) es el aumento de entropía de un
sistema que recibe una cantidad de calor de 1 joule, a la
temperatura termodinámica constante de 1 kelvin, siempre que
en el sistema no tenga lugar ninguna transformación
irreversible.
Unidad de capacidad térmica Un joule por kilogramo kelvin (J/(kg·K) es la capacidad térmica
másica
másica de un cuerpo homogéneo de una masa de 1 kilogramo,
en el que el aporte de una cantidad de calor de un joule,
produce una elevación de temperatura termodinámica de 1
9
kelvin.
Unidad
de
conductividad Un watt por metro kelvin (W·m/K) es la conductividad térmica
térmica
de un cuerpo homogéneo isótropo, en la que una diferencia de
temperatura de 1 kelvin entre dos planos paralelos, de área 1
metro cuadrado y distantes 1 metro, produce entre estos
planos un flujo térmico de 1 watt.
Unidad de intensidad del Un volt por metro (V/m) es la intensidad de un campo eléctrico,
campo eléctrico
que ejerce una fuerza de 1 newton sobre un cuerpo cargado
con una cantidad de electricidad de 1 coulomb.
Nombres y símbolos especiales de múltiplos y submúltiplos decimales de unidades SI autorizados
Magnitud
Volumen
Masa
Presión
tensión
Nombre
litro
tonelada
y bar
Símbolo
loL
t
bar
Relación
1 dm3=10-3 m3
103 kg
105 Pa
Unidades definidas a partir de las unidades SI, pero que no son múltiplos o submúltiplos
decimales de dichas unidades.
Magnitud
Ángulo plano
Tiempo
Nombre
Revolución o vuelta
grado
minuto de ángulo
segundo de ángulo
minuto
hora
día
Símbolo
rev
º
'
"
min
h
d
Relación
1 vuelta= 2π rad
(π /180) rad
(π /10800) rad
(π /648000) rad
60 s
3600 s
86400 s
Unidades en uso con el Sistema Internacional cuyo valor en unidades SI se ha obtenido
experimentalmente.
Magnitud Nombre
Símbolo Valor en unidades SI
Masa
unidad de masa atómica u
1,6605402 10-27 kg
Energía
electronvolt
eV
1,60217733 10-19 J
Múltiplos y submúltiplos decimales
Factor
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
Prefijo
yotta
zeta
exa
peta
tera
giga
mega
Símbolo
Y
Z
E
P
T
G
M
Factor
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10
Prefijo
deci
centi
mili
micro
nano
pico
femto
Símbolo
d
c
m
μ
n
p
f
103
102
101
kilo
hecto
deca
k
h
da
10-18
10-21
10-24
atto
zepto
yocto
A
Z
Y
Si el exponente de la potencia de 10 es positivo (o negativo) el valor de la magnitud física es un
múltiplo (o submúltiplo). Para medir magnitudes muy grandes o muy pequeñas se expresan los
valores en potencias de 10 y se usan los prefijos del SI que es el nombre que se le da a la potencia
de 10. Existen algunas unidades de medición que tienen nombres especiales, como por ejemplo
el año luz que es la distancia que recorre la luz en un año, igual a 9.45 x 1015 m, o el Angstrom
que es igual a 10-10 m.
Escritura de los símbolos
Los símbolos de las Unidades SI, con raras excepciones como el caso del ohm (Ω), se expresan en
caracteres romanos, en general, con minúsculas; sin embargo, si dichos símbolos corresponden a
unidades derivadas de nombres propios, su letra inicial es mayúscula. Ejemplo, A de ampere, J de
joule.
Los símbolos no van seguidos de punto, ni toman la s para el plural. Por ejemplo, se escribe 5 kg,
no 5 kgs
Cuando el símbolo de un múltiplo o de un submúltiplo de una unidad lleva exponente, ésta
afecta no solamente a la parte del símbolo que designa la unidad, sino al conjunto del símbolo.
Por ejemplo, km2 significa (km)2, área de un cuadrado que tiene un km de lado, o sea 106 metros
cuadrados y nunca k(m2), lo que correspondería a 1000 metros cuadrados.
El símbolo de la unidad sigue al símbolo del prefijo, sin espacio. Por ejemplo, cm, mm, etc.
El producto de los símbolos de de dos o más unidades se indica con preferencia por medio de un
punto, como símbolo de multiplicación. Por ejemplo, newton-metro se puede escribir N·m Nm,
nunca mN, que significa milinewton.
Cuando una unidad derivada sea el cociente de otras dos, se puede utilizar la barra oblicua (/), la
barra horizontal o bien potencias negativas, para evitar el denominador.
No se debe introducir en una misma línea más de una barra oblicua, a menos que se añadan
paréntesis, a fin de evitar toda ambigüedad. En los casos complejos pueden utilizarse paréntesis o
potencias negativas. m/s2 o bien m·s-2 pero no m/s/s. (Pa·s)/(kg/m3) pero no Pa·s/kg/m3
Los nombres de las unidades debidos a nombres propios de científicos eminentes deben de
escribirse con idéntica ortografía que el nombre de éstos, pero con minúscula inicial. No
obstante, serán igualmente aceptables sus denominaciones castellanizadas de uso habitual,
siempre que estén reconocidas por la Real Academia de la Lengua. Por ejemplo, amperio, voltio,
faradio, culombio, julio, ohmio, voltio, watio, weberio.
Los nombres de las unidades toman una s en el plural (ejemplo 10 newtons) excepto las que
terminan en s, x o z.
11
En los números, la coma se utiliza solamente para separar la parte entera de la decimal, Para
facilitar la lectura, los números pueden estar divididos en grupos de tres cifras (a partir de la
coma, si hay alguna) estos grupos no se separan por puntos ni comas. Las separación en grupos
no se utiliza para los números de cuatro cifras que designan un año.
Cinemática
Magnitud
física
tiempo
posición
Símbolo Unidad SI
t
x
s
m
velocidad
aceleración
ángulo plano
velocidad
angular
aceleración
angular
radio
longitud
de
arco
área
v
a
θ
ω
m s-1
m s-2
rad
rad/s
α
rad·s-2
r
s
m
m
A, S
m2
volumen
ángulo sólido
frecuencia
frecuencia
angular (=2πf)
V
ω
m3
sr
Hz
s-1, rad s-1
Magnitud física
masa
momento lineal
fuerza
momento de una fuerza
momento de inercia
momento angular
energía
energía potencial
Símbolo
m
p
F
Μ
I
L
E
Ep , V
Unidad SI
kg
kg m s-1
N (= kg m s-2)
N·m
kg m2
kg m2 s-1 rad (= J s)
J
J
energía cinética
Ek
J
trabajo
W
J
potencia
densidad (masa)
presión
P
ρ
p
W
kg m-3
Pa
Ω
f
Dinámica
12
Conversión de unidades
Muchos cálculos en Física requieren convertir unidades de un sistema a otro. Las unidades
pueden convertirse sustituyéndolas por cantidades equivalentes. En toda respuesta numérica de
los problemas siempre debe escribirse las unidades en el resultado final.
Para realizar la conversión usamos la propiedad a x 1 x 1x … x 1 = a. Esto significa que si
multiplicamos por una fracción cuyo numerador sea equivalente al denominador, la magnitud
original no se altera, pero si se transforma. Para cambiar las magnitudes originales, debemos
colocarlas en el lado opuesto de donde están, de manera tal que se cancelen y queden las
nuevas unidades a las cuales deseamos convertirlas. Multiplicamos todos los numeradores y
luego todos los denominadores, después realizamos la división y el resultado serán las unidades
convertidas.
El método se ilustra con los ejemplos siguientes, en los cuales debes observar como se cancelan
las unidades originales, pues no se muestra dicha cancelacion, quedando solo las unidades
convertidas.
Ejemplo 1. Transformar 18 km/hora a m/s.
2. Una cancha de futbol soccer tiene 100 m de largo y 60 m de ancho.¿Cual es su largo y ancho
en pies ?
⎛ 100 cm ⎞ ⎛ 1 pulg ⎞ ⎛ 1 pie ⎞
(100 m) ⎜
⎟ = 328 pies L = 328 pies
⎟⎜
⎟⎜
⎝ 1 m ⎠ ⎝ 2.54 cm ⎠ ⎝ 12 pulg ⎠
⎛ 100 cm ⎞ ⎛ 1 pulg ⎞ ⎛ 1 pie ⎞
(60 m) ⎜
⎟ = 197 pies W = 197 pies
⎟⎜
⎟⎜
⎝ 1 m ⎠ ⎝ 2.54 cm ⎠ ⎝ 12 pulg ⎠
3. Un guante es de 8 pulgadas de largo. ¿Cuál es su longitud en centimetros?
⎛ 2.54 cm ⎞
(8 pulg) ⎜
⎟ = 20.3 cm L = 20.3 cm
⎝ 1 pulg ⎠
4. Un monitor de computadora de 19 pulgadas tiene una área visible de 18 pulgadas
diagonalmente. Expresar esta distancia en en metrosy centímetros.
⎛ 2.54 cm ⎞ ⎛ 1 m ⎞
100 cm
. (18 pulg) ⎜
) = 45.7 cm L = 0.457 m = 45.7 cm
⎟⎜
⎟ = 0.457 m(
1m
⎝ 1 pulg ⎠ ⎝ 100 cm ⎠
5. La longitud de un cuaderno es de 234.5 mm y su ancho es de 158.4 mm. Exprese su
superficie en metros cuadrados.
⎛ 1 m ⎞⎛ 1 m ⎞
Area = (234.5 mm)(158.4 mm) ⎜
A = 0.0371 m2
⎟⎜
⎟ = 0.037
⎝ 1000 mm ⎠⎝ 1000 mm ⎠
6.
Un cubo tiene un lado de 5 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del cubo en unidades SI y en
unidades inglesas?
.
13
3
⎛ 2.54 cm ⎞ ⎛ 1 m ⎞
3
V = (5 pulg) = (125 pulg ) ⎜
⎟ ⎜
⎟ = 0.00205 m
⎝ 1 pulg ⎠ ⎝ 100 cm ⎠
3
3
3
V = 0.00205 m3
3
⎛ 1 pie ⎞
3
V = (125 pulg ) ⎜
V = 0.0723 pie3
⎟ = 0.0723 pie
⎝ 12 pulg ⎠
7. La velocidad límite de la Autopista es de 75 MPH. (a) ¿Cuál es la velocidad en KPH? (b) ¿Cuál
es la velocidad en pies/seg?
milla ⎛ 1.609 km ⎞
milla ⎛ 1 h ⎞ ⎛ 5280 pies ⎞
(a) 75
121 km/h (b) 75
⎜
⎟=
⎜
⎟⎜
⎟ = 110 pie/s
h ⎝ 1 milla ⎠
h ⎝ 3600 s ⎠ ⎝ 1 milla ⎠
8. Un motor Nissan tiene un desplazamiento de piston de 1600 cm3 and diameter de cilindro de
84 mm. Exprese estas medidas en pulgadas cubicas y pulgadas.
3
3
⎛ 1 pulg ⎞
⎛ 1 pulg ⎞
97.6 pulg3
(b) 84 mm = ⎜
(a) 1600 cm ⎜
⎟ = 3.31 pulg
⎟ =
⎝ 25.4 mm ⎠
⎝ 2.54 cm ⎠
9. Un electricista debe instalar un cable subterraneo a una autopista hasta una casa situada a
1.20 millas. ¿Cuántos rollos de cable de 330 pies se necesitarán?
(
3
)
6340 pies
⎛ 5280 ft ⎞
1.2 millas ⎜
) = 19.21 rollos L = 19.21 z20 rollos
⎟ = 6340 pies=(
330 pies x rollo
⎝ 1 millas ⎠
10. Un galón U.S. tiene un volumen equivalente a 231 pulg3. ¿Cuántos galones son necesarios
para llenar un tanque de 18 pulgadas de largo, 16 de ancho y 12 de alto?
V = (18 pulg)(16 pulg)(12 pulg) = 3456 pulg3
⎛ 1 gal ⎞
V = (3456 pulg 3 ) ⎜
= 15.0 gal
3 ⎟
⎝ 231 pulg ⎠
V = 15.0 gal
11. La densidad del latón es de 8.89 g/cm3. ¿Cuál es densidad en kg/m3?
g ⎞ ⎛ 1 kg ⎞ ⎛ 100 cm ⎞
kg
⎛
⎟⎜
⎜ 8.89 3 ⎟ ⎜
⎟ = 8890 3
cm ⎠ ⎝ 1000 g ⎠ ⎝ 1 m ⎠
m
⎝
3
ρ = 8890 kg/m3
Análisis Dimensional
Se usa para verificar que todos los términos de una ecuación tengan las mismas dimensiones, lo
que garantiza que la ecuación está planteada en forma correcta. Cuando se hace el análisis
dimensional, sustituimos las unidades que le corresponden a cada elemento que compone la
fórmula, con las dimensiones se realizan las operaciones indicadas por la fórmula y si las
dimensiones de ambos lados del igual son iguales, entonces la formula es dimensionalmente
correcta y válida. Debemos tomar en cuenta que los términos no se operan como en el álgebra
corriente, por ejemplo las unidades de medida no se suman o restan, solo se comparan sus
unidades entre términos de la ecuación a dimensionar, generalmente se usa [ ] en cada término
al hacer el análisis.
Ejemplo 2. Hacer el análisis dimensional para el siguiente modelo físico v2 = v02 + 2ax, donde v se
mide en m/s, x en m y a en m/s2.
Solución:
14
Por lo tanto la expresión es dimensionalmente consistente.
CONCEPTOS BÁSICOS DE VECTORES.
Las magnitudes físicas con las que trataremos en el curso pueden ser escalares o vectoriales. Las
magnitudes físicas escalares quedan completamente definidas mediante un número y sus
respectivas unidades de medida, por ejemplo la densidad del agua de 1 gr/cm3 o la temperatura
del aire de 20º C, son un escalar. Para las magnitudes físicas vectoriales debe especificarse su
magnitud (un número con sus unidades de medida), su dirección (un número que es un ángulo)
y su sentido (que indica hacia adonde se dirige o apunta el vector), por ejemplo, una velocidad
de 80 km/h hacia el noreste. Un vector se representa gráficamente como una recta dirigida
(flecha) y se simboliza mediante letras mayúsculas o minúsculas, con una flecha sobre la letra o
escrita en negrita, como A o a. La longitud de la flecha indica la magnitud relativa del vector, el
punto desde donde se comienza a dibujar el vector se llama origen o punto de aplicación (El
punto O), la dirección (ángulo α ) se mide desde el eje positivo de las X, el sentido esta dado por
la punta de la flecha y la recta sobre la cual se ubica el vector se llama línea de acción.
El vector es una magnitud vectorial y posee magnitud, dirección y sentido.
La longitud del vector depende del valor de su magnitud. La dirección es el ángulo que el vector
forma con ele eje positivo de las X. El sentido es la punta de flecha y nos indica la forma de actuar
del vector.
Una magnitud escalar se especifica totalmente por su magnitud, que consta de
un número y una unidad de medida. Por ejemplo: la longitud, el área, el volumen, la rapidez, etc.
Una magnitud vectorial se especifica totalmente por una magnitud, una dirección y un sentido.
Se define mediante su dirección, el sentido y su magnitud formada por un número y una unidad
de medida. Son ejemplos de magnitudes vectoriales: el desplazamiento, la velocidad, la
aceleración, la fuerza, etc.
15
Igualdad de vectores.
Dos o más vectores son iguales si: a) apuntan en la misma dirección, b) si sus magnitudes son
iguales. Los vectores a y b son iguales, lo mismo que c y d.
Multiplicación de un vector por un escalar.
El resultado de multiplicar un vector por un escalar k es un vector, de magnitud distinta y de
dirección igual (o contraria si kM0) al vector original. En la figura siguiente B = 2b y D = - 2/3 d.
Vectores especiales.
• Vector nulo: es un vector de magnitud igual a cero (0).
• Vector unitario: vector de magnitud igual a uno (1).
Adición de vectores y algunas de sus propiedades.
Los vectores se pueden sumar en forma geométrica por diversos métodos, tales como el método
a) del polígono o b) del paralelogramo, que se muestran en la figura siguiente
16
.
Además los vectores cumplen con las siguientes propiedades del álgebra.
• Conmutatividad de la suma: a + b = a + b.
• Asociatividad de la suma: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c).
• Distributividad de la multiplicación por un escalar en la suma de vectores.
• Conmutatividad del producto: a · b = b · a , a · a = a2.
• Asociatividad del producto: a · ( b + c) = a · b +a · c
• Inverso aditivo: si a + b = 0, entonces b es el inverso aditivo de a y se escribe b = -a.
• La resta de vectores es un caso especial de adición, donde el vector restando se suma con su
inverso aditivo: a - b = a +(- b).
• La división entre vectores no está definida.
Suma o adición de vectores por métodos gráficos
MÉTODO DEL POLIGONO
Elija una escala y determine la longitud de las
flechas que corresponden a cada vector. La escala
se elige de manera tal que el dibujo entre en la
hoja.
Dibuje a escala una flecha que represente la
magnitud y dirección del primer vector. Podemos
empezar con cualquier vector como incial
Dibuje la flecha del segundo vector de modo que
su
origen
coincida
con
la
punta
de la flecha del primer vector.
Continúe el proceso de unir el origen del vector
siguiente con el final del vector anterior, hasta que
todos los vectores se hallan colocado, respetando
su magnitud, dirección y sentido.
Dibuje el vector resultante uniendo el origen del
primer vector con la flecha del último vector.
Mida con regla y transportador para determinar la
magnitud
y
dirección
del vector resultante. Multiplica por la escala para
hallar la magnitud real de la Resultante.
17
Ejemplos de Suma de vectores por el método gráfico
Una mujer camina 4 km al Este y después 8 km hacia el Norte. (a) Use el método del poligono
para hallar su desplazamiento.
R
8 Km
θ
4 Km
Sea 1 cm = 1 km; Entonces:
R = 8.94 km, θ = 63.40
2. Un explorador se mueve una distancia de 38 m en un ángulo de 1800. Después gira y se
mueve una distancia de 66 m en un ángulo de 2700. ¿Cuál es su desplazamiento desde su
posición inicial?
Seleccionando una escala, e.g., 1 cm = 10 m
38 m, 1800
Dibujando cada vector a escala, como se muestra:
Midiendo R = 7.62 cm o
R = 76.2 m
67 m
Midiendo el ángulo φ = 60.10 SurOeste
θ = 1800 + 60.10 = 240.10
60.
R = 76.2 m, 240.10
3.
Un Topografo inicia en la esquina sureste de un terreno y al hacer el recorrido perimetral y
medir obtiene los desplazamientos siguientes: A = 600 m, N; B = 400 m, O; C = 200 m, S; and D =
100 m, E. ¿Cuál es el desplazmiento neto desde su posición inicial?
Escogiendo una escala, 1 cm = 100 m
Dibujando cada vector uniendo la flecha del anterior con el origen del siguiente, hasta que todos
estén dibujados.
B
Midiendo se obtiene:
R = 500 m, φ = 53.10 NE o θ = 1800 - φ = 126.90.
C
A
D
R
φ
18
4. Una fuerza de 200 N dirigida hacia abajo actúa simultaneamente con una fuerza de 500-N
dirigida a la izquierda. Use el método del poligono para hallar la fuerza resultante.
Seleccionando la escala, dibujando y luego midiendo se obtiene:
R = 539 N, φ = 21.80 SE.
500 N
φ
200 N
R
5. Las tres fuerzas mostradas actuan simultáneamente en el mismo objeto. A = 300 N, 300 NE; B =
600 N, 2700; and C = 100 N dirigida al Este. Hallar la fuerza resultante.
A
Usando el método del poligono.
Seleccionando la escala, dibujando y luego midiendo, obtenemos:
R
φ
R = 576 N, φ = 51.40 SE
B
C
6. Un bote viaja una distancia de 200 m al oeste, después 400 m al norte, y finalmente 100 m en
la dirección de 300 SE. ¿Cuál es su desplazamiento total?
C
Seleccionando la escala(1 cm = 100 N), dibujando y luego midiendo
R
B
Obtenemos:
R = 368 N, θ = 108.00
θ
A
7. Dos cuerdas A y B están unidas a un bote de manera tal que existe un ángulo de 600 entre las
dos cuerdas. La tensión en la cuerda A es de 80 lb y la tensión en la cuerda B es de 120 lb. Use el
método del paralelogramo para hallar la resultante sobre el bote.
Seleccionando la escala, dibujando y luego midiendo
R
B
R = 174 lb
A
8. Dos fuerzas A y F actuan sobre el mismo objeto produciendo una fuerza resultante de 50 lb
en la direccion 36.90 Noroeste. Si la fuerza A = 40 lb dirigida al Oeste. Hallar la magnitud y
dirección de la fuerza F
40 lb
Dibujamos R primero y luego la fuerza A
F = 30 lb, 900
R
36.90
19
F
COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR
Cuando los vectores están inclinados u oblicuos, para poderlos sumar necesitamos
descomponerlos en sus componentes horizontal en X y vertical en el eje Y. Para ello utilizamos las
fórmulas siguientes:
Para hallar la componente horizontal en X, simplemente multiplicamos la magnitud del vector
por el coseno del ángulo que forma con el eje de las X (el positivo o el negativo, pero siempre
respecto a X). Para hallar la componente vertical en Y, usamos los mismos valores que para la
componente en X, la única diferencia es que usamos seno en vez de coseno.
El método de componentes para la suma o adición de vectores
Dibuje cada vector a partir de los ejes coordenados X e Y.
Colocando el origen de cada vector en el origen de
coordenadas.
Encuentre los componentes en X y en Y de cada vector.
Halle la suma de fuerzas en X de la resultante sumando
algebraicamente las componentes Y de todos los vectores.
Halle la suma de fuerzas en Y de la resultante sumando
algebraicamente las componentes Y de todos los vectores.
20
Determine la magnitud y dirección de la resultante.
El vector resultante, llamado simplemente RESULTANTE, se obtiene de la forma siguiente:
21
Por ejmplo, para el problema de la figura su diagrama de cuerpo libre es:
Figura del Problema
Diagrama de Cuerpo Libre
22
EQUILIBRIO
23
EJEMPLOS
DE
RECTANGULARES
SUMA
DE
VECTORES
POR
COMPONENTES
1. Hallar las componentes en X y Y de los vectores siguientes: (a) Un desplazamiento de 200 km,
a 340. (b) Una velocidad de km/h, a 1200; y (c) Una fuerza de 50 N a 330o.
(a) Dx = 200 cos 340 = 166 km
Dy = 200 sen 340 = 112 km
300
(b) vx = -40 cos 600 = -20.0 km/h
vy = 40 sen 600 = +34.6 km/h
340
(c) Fx = 50 cos 300 = 43.3 N;
Fy = - 50 sen 300 = -25.0 N
(a)
600
(c)
(b)
Las componentes horizontales son positivas a la derecha y negativas cuando apuntan a la
izquierda. Las componentes verticales son positivas hacia arriba y negativas cuando apuntan
hacia abajo.
2. Un trineo es arrastrado con una fuerza de 540 N formando un ángulo de 400 con la
horizontal. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de esta fuerza?
540 N
Fx = 540 cos 400 = 414 N
Fy = 540 sen 400 = 347 N
400
(a)
3. El martillo aplica una fuerza de 260 N formando un ángulo de 150 con la vertical. ¿Cuál es la
componente vertical de la fuerza?
El ángulo a utilizar es el que forma con el eje -x, es decir = 90º - 15º = 75º
Fy = 251 N.
F = 260 lb, φ = 750; Fy = 260 sen 750
F
φ
4. Un corredor corre 2.0 millas al Oeste y después 6.0 millas al Norte. Hallar la magnitud y
dirección del desplazamiento resultante.
R = (2) 2 + (6) 2 = 6.32 millas tanφ =
6
;
2
R
φ = 71.60 NO
φ
24
5. Un rio fluye hacia el Sur con una velocidad de 20 km/h. Un bote tiene una velocidad maxima
de 50 km/h en aguas tranquilas. En el rio, a aceleración maxima, el bote se dirige hacia el Oeste.
¿Cuál es la velocidad resultante del bote y su dirección?
R
R = (50) 2 + (20) 2 = 53.9 km/h;
20 km/h
20
0
tanφ= ; φ = 21.80 SO R = 53.9 km/h, 21.8
50
50 km/h
6. Una cuerda que forma un ángulo de 300 con la horizontal, arrastra una caja por el piso. ¿Cuál
debe ser la tensión en la cuerda, si se necesita una fuerza horizontal de 40 lb para arrastrar la
caja?
0
Fx = F cos 30 ;
F
40 lb
Fx
F=
=
; F = 46.2 N
0
cos30
cos300
300
Fx
7. Hallar la resulta de las siguientes fuerzas: (a) 400 N, 00; (b) 820 N, 2700; and (b) 500 N, 900.
Sus componentes rectangulares son:
Ax = +400 N; Bx = 0; Cx = 0:
Rx = +400 N
Ay = 0; By = -820 N; Cy = +500 N;
Ry = 0 – 820 N + 500 N = -320 N
A
φ
R
Noten que una fuerza horizontal solo tiene componente en X pero en Y es cero.
Noten que una fuerza vertical solo tiene componente en Y pero en X es cero.
−320
2
2
R = ( 400 ) + ( −320 ) ; tan φ =
; R = 512 N, 38.70 SE
400
B
C
8. Cuatro fuerzas A, B, C Y D actuan en un anillo formando ángulos rectos. Hallar la resultante de
las fuerzas sobre el anillo si sus magnitudes y direcciones son: A = 40 lb, E; B = 80 lb, N; C = 70
lb, O; and D = 20 lb, S.
Ax = +40 lb; Bx = 0; Cx = -70 lb Dx = 0:
Rx = +40 lb – 70 lb = -30 lb
Ay = 0; By = +80 lb; Cy = 0; Dy = -20 lb ;
Ry = 0 + 80 lb - 20 lb = +60 lb
60
2
2
R = ( −30 ) + ( 60 ) ; tan φ =
;
−30
R = 67.1 N, 116.60
B
C
A = 40 lb, E
D
9. Determinar la fuerza resultante producida por las fuerzas siguientes: A = 200 N, 300; B = 300
N, 3300; and C = 400 N, 2500. Use los ángulos que el vector forma con el eje X.
25
Ax = 200 cos 300 = 173 N; Bx = 300 cos 300 = 260 N
Cx = -400 cos 700 = -137 N; Rx = ΣFx = 296 N
Ay = 200 sen 300 = 100 N; By = 300 sen 300 = -150 N
Cy = -400 sen 700 = -376 N; Ry = ΣFy = -430 N
−426
R = (296) 2 + (−430) 2 ;
tan φ =
;
296
R = 519 N, 55.20 SE
A
300
300
700
B
C
10. Tres fuerzas actuan como se muestra en la figura. Hallar la resultante de estas tres fuerzas.
Ax = 420 cos 600 = +210 N; Cx = -500 cos 400 = -383 N
Bx = 0; Rx = 210 N + 0 –383 N; Rx = -173 N
Ay = 420 sen 600 = 364 N; By = 150;
420 N
Cy = 500 sen 400 = 321 N Ry = ΣFy = 835 N;
A
500 N
150 N
835
R = ( −173) 2 + (835) 2 ;
tan φ =
;
C
−173
B
R = 853 N, 78.30 NO
400
600
11. Hallar las componentes horizontal y vertical de cada uno de los vectores siguientes: A = 400
N, 370; B = 90 m, 3200; and C = 70 km/h, 1500.
400 N
70 N
Ax = 400 cos 370 = 319 N; Ay = 400 sen 370 = 241 N
Bx = 90 cos 400 = 68.9 N;
By = 90 sen 400 = 57.9 N
A
0
C
Cx = -70 cos 30 = -60.6 N; Cy = 70 sen 300 = 25.0 N
370
300
400
B
90 N
12. Un semáforo está colgado en el punto medio de una cuerda, de manera tal que cada
segmento forma un ángulo de 100 con la horizontal. La tensión en cada segmento de la cuerda
es de 200 N. Si la fuerza resultante en el punto medio es cero, ¿Cuál debe ser el peso del
semáforo?
T
T
Rx = ΣFx = 0; T sen 100 + T sen 100 – W = 0;
2(200) sen 100 = W:
W = 69.5 N
W
26
13. Determinar la resultante de las fuerzas mostradas en la figura:
B = 200 lb
Rx = 420 N – 200 cos 700 – 410 cos 530 = 105 lb
Ry = 0 + 200 sen 700 – 410 sen 700 = -139.5 lb
R = 175 lb; θ = 306.90
R = Rx2 + Ry2
A = 420 lb
700
530
C = 410 lb
14. Determinar la resultante de las fuerzas mostradas en la figura:
Rx = 200 cos 300 – 300 cos 450 – 155 cos 550 = 128 N
Ry = 0 + 200 sen 700 – 410 sen 700 = -185 N;
B = 300 N
A = 200 N
450
R = Rx2 + Ry2
R = 225 N; θ = 124.60
300
550
C = 155 N
15. Un bloque de 200 N descansa en un plano inclinado 300. Si el peso del bloque actúa
verticalmente hacia abajo. ¿Cuáles son las componentes del peso a lo largo del plano y
perpendicular al plano?
Escogemos el eje x a lo largo del plano y el eje y perpendicular al plano inclinado.
Wx = 200 sen 300; Wx = 173 N, hacia abajo del plano
Wy = 200 sen 600; Wx = 100 N, normal al plano.
300
300
W
16. Hallar la resultante de los tres desplazamientos siguientes: A = 220 m, 600; B = 125 m, 2100;
and C = 175 m, 3400.
Ax = 220 cos 600 = 110 m;
A
Ay = 220 sen 600 = 190.5 m
Bx = 125 cos 2100 = -108 m;
600
0
By = 125 sen 210 = -62.5 m
300
0
Cx = 175 cos 340 = 164.4 m;
200
B
0
Cy = 175 sen 340 = -59.9 m
Rx = 110 m –108 m + 164.4 m;
Ry = 190.5 m – 62.5 m – 59.9 m ;
27
C
Rx = 166.4 m; Ry = 68.1 m
R = (166.4) 2 + (681
. ) 2 = 180 m
tan θ =
681
.
; θ = 22.30 ;
166.4
R = 180 m, θ = 22.30
17.
Que tercer fuerza F debe agregarse a las siguientes dos fuerza de manera tal que su
resultante sea cero.: A = 120 N, 1100 and B = 60 N, 2000?
Componentes de A: Ax = 120 Cos 1100 = -40.0 N; Ay = 120 Sen 1100 = 113 N
Componentes de B: Bx = 60 Cos 2000 = -56.4 N; By = 60 Sen 2000 = -20.5 N
Rx = 0; Rx = Ax + Bx + Fx = 0; Rx = -40.0 N –56.4 N + Fx = 0;
Ry = 0; Ry = Ay + By + Fy = 0; Ry = 113 N – 20.5 N + Fy = 0;
−92.2
F = (97.4) 2 + ( −92.2) 2 = 131 N
tan φ =
; φ = −43.30
97.4
Esto es, la fuerza debe tener una magnitud y dirección de:
o Fx = +97.4 N
o Fy = -92.2 N
y θ = 3600 – 43.40
F = 134 N, θ = 316.60
18. Un aeroplano necsita una dirección resultante hacia el Oeste. La velocidad del avion en aire
tranquilo es de 600 km/hr. Si la velocidad del viento tiene una velocidad de 40 km/h y sopla en la
dirección de 300 SO, ¿En que dirección debe dirigirse al avion y cual será su velocidad relativa a la
tierra?
De el diagrama, la resultante debe ser horizontal, por lo tanto su componente vertical debe ser
cero, esto es: Rx = R, Ry = 0, So that Ay + By = 0.
A = 600 km/h
Ay = 600 sen φ; Βy = -40 sen 300 = -20 km/h
600 sen φ - 20 = 0; 600 sen φ = 20
φ
20
0
sin φ =
; φ = 191
. NO
R
600
300
(dirección a la que debe dirigirse el avion)
Note que R = Rx y que Ax +Bx = Rx,
B = 40 km/h
Necesitamos solo sumar las componentes X
Ax = -600 cos 1.910 = 599.7 km/h; Βx = 40 Cos 300 = -34.6 km/h
R = -599.7 km/h –34.6 km/h; R = -634 km/h. Esto es, la velocidad del avion relativa a la tierra es
de 634 km/h, 00; y debe estar dirigido en la dirección 1.910 NO
19. Cual es la magnitud F y la dirección θ de la fuerza necesaria para mover el coche hacia el
Este con una fuerza resultante de 400 lb?
F
Rx = 400 lb y Ry = 0; Rx = Ax + Fx = 400 lb
0
200 Cos 20 + Fx = 400 lb
φ
E
Fx = 400 lb – 200 Cos 200 = 212 lb
0
20
Ry = 0 = Ay + Fy; Ay = -200 sen 200 = -68.4 lb
Fy = -Ay = +68.4 lb; So, Fx = 212 lb y Fy = +68.4 lb
A = 200 lb
68.4
F = (212) 2 + (68.4) 2 ; tanθ =
;
R = 223 lb, 17.90 N E
212
28
Movimiento uniformemente acelerado
Es cuando un movimiento recorre distancias iguales en tiempos iguales.
En todo movimiento implica una distancia recorrida y un x tiempo para recorrer esa distancia.
Se puede calcular la velocidad media usando la siguiente formula:
V=d/t donde:
V = velocidad
d = distancia
t = tiempo
Cuando se conoce la velocidad y se desconoce la distancia se aplica la siguiente formula: d=v*t
Y cuando se va a calcular el tiempo se emplea la formula:
t=d/v
Aceleración. Al aumento o disminución de la velocidad se le llama aceleración. La velocidad de
un móvil generalmente varia conforme pase el tiempo.
Al aumentar o disminuir la velocidad, decimos se aceleró, entonces podemos decir que la
aceleración es la rapidez con que varia la velocidad en un tiempo dado. Para determinar la
aceleración se requiere de una dirección y sentido. Esta se calcula relacionando la velocidad
inicial y la final que alcanza el cuerpo con el tiempo empleado de lo cual se deduce la formula de
aceleración:
A = (Vf – Vo)/t donde:
a = aceleración, Vf = velocidad final
t = tiempo
29
Vo = velocidad inicial
30
31
Convención de signos en problemas de aceleración
Velocidad (v) es positiva o negativa dependiendo si la dirección del movimiento está a favor o en
contra de la dirección elegida como positiva.
Aceleración (a) es positiva o negativa, dependiendo si la fuerza resultante está a favor o en
contra de la dirección elegida como positiva.
Desplazamiento (s) es positivo o negativo dependiendo de la posición o ubicación del objeto en
relación con su posición cero.
La aceleración debida a la gravedad (g) es constante en muchas aplicaciones prácticas. A menos
que se establezca lo contrario, el valor se refiere al nivel del mar en el planeta Tierra donde: g =
32 pies/s2 o g = 9.8 m/s2
32
33
34
Ejemplos:
1. Un carro viaja una distancia de 86 km a una velocidad promedio de 8 m/s. ¿Cuántas horas
duró el viaje?
86, 000 m
⎛ 1h ⎞
s = vt
t=
t = 2.99 h
= 10, 750 s ⎜
⎟
8 m/s
⎝ 3600 s ⎠
2. El sonido viaja a una velocidad promedio de 340 m/s. El relámpago de un trueno es visto casi
inmediatamente. Si el sonido del trueno nos alcanza 3 s más tarde. ¿Qué tan lejos está la
tormenta?
20 m
s
t = 58.8 ms
t= =
= 0.0588 s
t 340 m / s
3. Un cohete pequeño es lanzado de su base y viaja una distancia verticalmente hacia arriba de
40 m, si regresa a la tierra a los 5 s después de que fue lanzado, ¿Cuál fue la velocidad promedio
del viaje?
La distancia recorrida es de 40 m cuando sube y 40 m cuando baja.
s 40 m + 40 m 80 m
v= =
=
v = 16.0 m/s
5s
5s
t
4. Un carro viaja a lo largo de una curva en forma de U una distancia de 400 m en 30 s. Su
posición final, sin embargo, está a solo 40 m desde su posición incial. ¿Cuál es su rapidez
promedio y cual es la velocidad promedio?
D = 40 m
s 400 m
=
v = 13.3 m/s
30 s
t
D 40 m
Velocidad promedio: v = =
v = 1.33 m/s, E
t
30 s
Rapidez promedio:
v=
s = 400 m
La rapidez es un escalar y se considera toda la distancia mientras que la velocidad es vectorial y
solo considera el desplazamiento.
5. Una mujer camina por 4 min directamente al norte a una velocidad promedio de 6 km/h; Despues ella
camina hacia el este a 4 km/h durante 10 min. ¿Cual es la rapidez promedio del viaje?
t1 = 4 min = 0.0667 h; t2 = 10 min = 0.167 h
4 km/h, 10 min C
s1 = v1t1 = (6 km/h)(0.0667 h) = 0.400 km
B
s1 = v2t2 = (4 km/h)(0.167 h) = 0.667 km
s2
θ
s1 + s2 0.4 km + 0.667 km
v=
=
v = 4.57 km/h
6 km/h,
s1
t1 + t 2 0.0667 h + 0.167 h
4 min
D
A
35
θ
E
6. ¿Cual es la velocidad promedio para el viaje completo del problema anterior?
0.4 km
D = (0.667 km) 2 + (0.400 km) 2 ;
tan θ =
D = 0.778 km, 31.00
0.667 km
0.778 km
v = 3.33 km/h, 31.00
v=
= 3.33 km / h
0.0667 h + 0.167 h
7 ¿Cuanto tiempo tomará viajar una distancia de 400 km si la rapidez promedio es de 90 km/h?
400 km
s
t= =
t = 4.44 h
t 90 km / h
8. Una canica es lanzada sobre un plano inclinado y rueda hacia arriba una distancia de 5 m, despues se
detiene y retorna quedando a 5 más abajo de su posicion incial. El viaje completo tomó solamente 2 s.
Cual es su rapidez y su velocidad promedio?
(s1 = 5 m, s2 = -10 m)
5 m + 10 m
s2
rapidez =
v = 7.50 m/s
2s
s1
D 5 m - 10 m
velocidad =
v = – 2.5 m/s, hacia abajo.
=
2s
t
D
Problemas de Movimiento Uniformemente Acelerado
9. El extremo del brazo de un robot se está moviendo a la derecha a 8 m/s. Cuatro segundos más tarde, se
está moviendo a la izquierda a 2 m/s. ¿Cual es el cambio en velocidad y cual es su aceleracion?
Δv = vf - vo = (–2 m/s) – (8 m/s)
Δv = –10 m/s
Δv −10 m / s
a=
=
a = –2.50 m/s2
4s
t
10. Una flecha acelera desde 0 hasta 40 m/s en los 0.5 s de su contacto con el arco. ¿Cual es su
aceleracion promedio?
v f − vo 40 m / s - 0
a=
=
a = 80.0 m/s2
t
0.5 s
11. Un carro viajando inicialmente a 50 km/h acelera a razon de 4 m/s2 durante 3 s. ¿Cual es su rapidez
final?
vo = 50 km/h = 13.9 m/s;
vf = vo + at
2
vf = (13.9 m/s) + (4 m/s )(3 s) = 25.9 m/s;
vf = 25.9 m/s
12. Un camión viajando a 60 millas/h frena para detenerse en 180 pies. ¿Cual fue la aceleracion promedio
y el tiempo de frenado?
vo = 60 millas/h = 88.0 pies/s
2as = vf2 – vo2
v 2f − vo2 0 − (88.0 ft/s)2
=
a = – 21.5 pies/s2
a=
2s
2(180 ft)
⎛ v0 + v f ⎞
2x
⎛ 2(180 ft) ⎞
t = 4.09 s
x=⎜
t=
=⎜
⎟ t;
⎟
v0 + v f ⎝ 88.0 ft/s + 0 ⎠
⎝ 2 ⎠
36
13. Un aeroplano se detiene en 1.5 s. Si la aceleracion promedio fue de 49 m/s2. ¿Cual fue la distancia de
frenado? ¿Cual era su velocidad inicial?
vf = vo + at;
0 = vo + (– 49 m/s2)(1.5 s);
vo = 73.5 m/s
2
2
s = vf t - ½at ;
s = (0)(1.5 s) – ½(-49 m/s )(1.5 s)2;
s = 55.1 m
14. En una prueba de frenado, un carro viajando a 60 km/h es detenido en un tiempo de 3 s. ¿Cual fue la
aceleracion y la distancia de frenado? ( vo = 60 km/h = 16.7 m/s)
vf = vo + at; (0) = (16.7 m/s) + a (3 s); a = – 5.56 m/s2
v0 + v f
⎛ 16.6 m/s + 0 ⎞
s=
t =⎜
s = 25.0 m
⎟ (3 s ) ;
2
2
⎝
⎠
15. Una balla deja el barril de un rifle de 28-pulg a 2700 pies/s. ¿Cual fue su aceleracion y el tiempo en el
barril? (s = 28 pulg = 2.33 pies)
v 2f − v02 (2700 ft / s) 2 − 0
2as = vo2 - vf2 ;
a=
=
;
a = 1.56 x 106 m/s2
2s
2(2.33 ft)
v0 + v f
2s
2(2.33 ft)
;
s=
t; t =
=
t = 1.73 ms
2
v0 + v f 0 + 2700 ft / s
16. Un tren monoriel está viajando a 80 km/h y debe ser detenido en una distancia de 40 m. ¿Cual debe ser
la aceleracion promedio requeria y en que tiempo se detiene?
( vo = 80 km/h = 22.2 m/s)
v 2f − v02 0 − (22.2 m / s) 2
2as = vo2 - vf2; a =
=
;
a = -6.17 m/s2
2s
2(40 m)
v0 + v f
2s
2(40 m)
; t = 3.60 m/s
s=
t; t =
=
2
v0 + v f 22.2 m / s + 0
Problemas de Gravedad y de Cuerpos en Caída Libre (Tiro Vertical)
17. Una pelota se deja caer desde el reposo (velocidad inicial = vo = 0) y cae durante 5 s. ¿Cual es su
posicion y su velocidad?
s = vot + ½at2;
s = (0)(5 s) + ½(-9.8 m/s2)(5 s)2 ;
s = -122.5 m
vf = vo + at = 0 + (-9.8 m/s2)(5 s);
v = -49.0 m/s
18. Una roca se deja caer desde el reposo (velocidad inicial = vo = 0). ¿Cuando alcanzará un
desplazamiento de 18 m abajo de su punto de lanzamiento? ¿Cual es su velocidad en ese momento?
s = vot + ½at2;
(-18 m) = (0)(t) + ½(-9.8 m/s2)t2 ;
vf = vo + at = 0 + (-9.8 m/s2)(1.92 s);
t = 1.92 s
vf = -18.8 m/s
19. Una mujer deja caer un peso desde la parte alta de un puente, mientras un amigo abajo mide el tiempo
que tarda en golpear el agua. ¿Cual es la altura del puente si el tiempo medido fue de 3 s?
s = vot + ½at2 = (0) + ½(-9.8 m/s2)(3 s)2;
s = -44.1 m
37
20. Un ladrillo se deja caer con una velocidad inicial hacia abajo de 6 m/s. ¿Cual será su velocidad final
cuando haya caído una distancia de 40 m?
2as = vo2 - vf2 ;
v f = v02 + 2as = (-6 m / s) 2 + 2(-9.8 m / s2 )( −40 m) ;
v = ±28.6 m/s;
dado que su velocidad es hacia abajo,
v = - 28.6 m/s
21. Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba y retorna a su posicion inicial en 5 s. ¿Cual fue su
velocidad inicial y que tan alto subió?
s = vot + ½at2; 0 = vo(5 s) + ½(-9.8 m/s2)(5 s)2 ;
Sube hasta que vf = 0;
2as = vo2 - vf2 ;
s=
vo = 24.5 m/s
0 − (24.5 m / s) 2
; s = 30.6 m
2(-9.8 m / s2 )
22. Una flecha es disparada verticalemnte hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies/s. ¿Cual es la
maxima altura que alcanza? (En la máxima altura, vf = 0; a = g = -32 pies/s2)
v 2f − v02 0 - (80 ft / s) 2
2
2
2as = vo - vf ;
s=
=
;
s = 100 pies
2a
2(-32 ft / s2 )
23. En el problema anterior ¿Cual es la posición y velocidad de la flecha a los 2 s y a los 6 s?
s = vot + ½at2 = (80 pies/s)(2 s) + ½(-32 pies/s2)(2 s)2 ;
vf = vo + at = (80 pies/s) + (-32 pies/s2)(2 s);
s = 96 pies
vf = 16 pies/s
s = vot + ½at2 = (80 pies/s)(6 s) + ½(-32 pies/s2)(6 s)2 ;
vf = vo + at = (80 pies/s) + (-32 pies/s2)(6 s);
s = -96 pies
vf = -112 pies/s
24. Un martillo es lanzado verticalemnte hacia arriba hasta la parte superior de un techo de 16 m de altura.
¿Cual es la velocidad inicial minima requerida?
2as = vo2 - vf2 ;
v0 = v 2f − 2as = (0) 2 − 2(-9.8 m / s2 )(16 m) ;
vo = 17.7 m/s
Problemas de Proyeccción Horizontal (Tiro Horizontal)
25. Una bola de beisbol deja un bat con una velocidad horizontal de 20 m/s. En un tiempo de 0.25 s, ¿Que
distancia ha viajado horizontalmente y que tanto ha caido verticalmente?
x = vox t = (20 m/s)(2.5 s) ; x = 50.0 m
y = voy + ½gt2 = (0)(2.5 s) + ½(-9.8 m/s2)(0.25 s)2
y = -0.306 m
26. Un aeroplano viajando a 70 m/s deja caer una caja de comestibles. ¿Que distancia horizontal recorrerá
la caja antes de golpear la tierra a 340 m más abajo?
Primero encontramos el tiempo de caida:
0
2y
2( −340 m)
y = voy t + ½gt2 t =
=
g
−9.8 m / s2
38
t = 8.33 s ;
x = vox t = (70 m/s)(8.33 s) ;
x = 583 m
27. Una bala deja el barril de una arma con una velocidad inicial horizontal de 400 m/s. Hallar su
desplazamiento horizontal y vertical despues de 3 s.
x = vox t = (400 m/s)(3 s) ;
x = 1200 m
y = voy + ½gt2 = (0)(3 s) + ½(-9.8 m/s2)(3 s)2
y = -44.1 m
28. Un proyectil tiene una velocidad horizontal de 40 m/s en la parte superior de un techo. Encontrar las
componentes horiontal y vertical de su velocidad al cabo de 3 s.
vy = voy t + gt = 0 + (-9.8 m/s2)(3s);
vx = vox = 40 m/s
vy = -29.4 m/s
El Problema General de las Trayectorias (Tiro Parabólico)
29. A una piedra se le da una velocidad inicial de 20 m/s at an angle of 580.
desplazamientos horizontal y vertical al cabo de 3 s?
¿Cual son sus
vox = (20 m/s) cos 580 = 10.6 m/s; voy = (20 m/s) sen 580 = 17.0 m/s
x = voxt = (10.6 m/s)(3 s);
x = 31.8 m
y = voyt + ½gt2 = (17.0 m/s)(3 s) +½(-9.8 m/s2)(3 s)2; y = 6.78 m
30. Una bola de beisbol deja un bat con una velocidad de 30 m/s a un angulo de 300. ¿Cual son sus
desplazamientos horizontal y vertical al cabo de 3 s?
vox = (30 m/s) cos 300 = 26.0 m/s; voy = (30 m/s) sen 300 = 15.0 m/s
vx = vox = 26.0 m/s ;
vx = 26.0 m/s
vy = voy + gt = (15 m/s) + (-9.8 m/s2)(3 s) ;
vy = -14.4 m/s
31. Para el problema anterior, ¿Cual es la máxima altura alcanzada y la distancia horizontal recorrida
(Rango)?
ymax ocurre cuando vy = 0, o cuando: vy = voy + gt = 0 y t = - voy/g
t=
− voy
g
=
−30 sin 300
;
−9.8 m / s
t = 153
. s ; Ahora hallamos ymax usando este tiempo.
ymax = voyt + ½gt2 = (15 m/s)(1.53 s) + ½(-9.8 m/s2)(1.53 s)2;
ymax = 11.5 m
la distancia horizontal recorrida (R) ocurre al doble del tiempo: t’ = 2(1.53 s) o t’ = 3.06 s,
Esto es: R = voxt’= (30 m/s) cos 300 (3.06 s);
R = 79.5 m
39
32. Una bola de golf deja el palo con una velocidad de 40 m/s a 650. Si aterriza en un hoyo localizado a 10
m más alto de su lanzamiento, ¿Cual fue el tiempo de vuelo y cual es la distancia horizontal hasta el hoyo?
vox = (40 m/s) cos 650 = 16.9 m/s; voy = (40 m/s) sen 650 = 36.25 m/s
y = voyt + ½gt2: 10 pies = (36.25 m/s) t + ½(-9.8 m/s2)t2
Resolviendo la ecuación cuadrática: (4.9t2 – 36.25t + 10 = 0) resulta: t1 = 0.287 s y t2 = 7.11 s.
Hay dos momentos cuando la bola está a 10 m de altura, la primera vez es a 0.287 s cuando está
subiendo y la segunda es a 7.11 s cuando cae al hoyo.
Entonces el tiempo es: t = 7.11 s
La distancia horizontal recorrida es: x = voxt = (16.9 m/s)(7.11 s);
x = 120 m
33. Un objeto A es proyectado horizontalmente a 20 m/s. Al mismo tiempo, otro objeto B localizado a 12
m de A se deja caer desde el reposo. ¿Cuando chocarán y que tan lejos estarán del punto de liberacion?
A: vox = 20 m/s, voy = 0; B: vox = voy = 0
B
A
El objeto B tiene que caer la distancia y al mismo
tiempo t que el objeto A. Así,
y
x = voxt y (20 m/s)t = 12 m; t = 0.600 s
y = ½at2 = ½(-9.8 m/s2)(0.6 s)2 ;
12 m
y = -1.76 m
34. Un auto está viajando inicialmente hacia el norte a 20 m/s. Al cabo de viajar una distancia de
6 m, el auto pasa el punto A donde su velocidad es todavia hacia el norte pero se ha reducido a 5
m/s.
(a) ¿Cual es la magnitud y direccion de la aceleracion del auto? (b) ¿Que tiempo fue
requerido? (c) Si la aceleracion se mantiene constante, ¿Cual será la velocidad del carro cuando
retorne en el punto A?
(a) vo = 20 m/s, vf = 5 m/s, x = 6 m
v 2f − v02 (5 m/s) 2 − (20 m/s) 2
=
;
2as = vo2 - vf2; a =
2s
2(6 m)
a = -31.2 m/s2
(b) s =
v0 + v f
2
t;
t=
x=6m
A v = 5 m/s
x=0
v=20 m/s
2s
2(6 m)
⎡
⎤
;
=⎢
v0 + v f ⎣ 20 m/s + 5 m/s ⎥⎦
t = 0.480 s
(c) Inicia en A con vo = + 5 m/s entonces retorna a A con un desplazamiento neto de cero (s = 0):
2as = vo2 - vf2; 0 = (5 m/s)2 – vf2;
v f = (5 m / s) 2 = ±5 m / s ;
vf = - 5 m/s
35. Una bola moviendose hacia arriba de un plano inclinado esta inicialmente localizada a 6 m
desde el fondo del plano y tiene una velocidad de 4 m/s. Cinco segundos mas tarde, esta
40
localizado a 3 m desde el fondo del plano. Asumiendo una aceleración constante ¿Cuál es su
velocidad promedio? ¿Cuál es el significado de una velocidad promedio negativa? ¿Cuál es la
aceleración promedio y su velocidad final?
6m
vo = + 4 m/s; s = -3 m; t = 5 s Hallar vavg
4 m/s
3m
s = vavg t; v =
−3 m
; vavg = -0.600 m/s
5s
s=0
La velocidad promedio negativa significa que la velocidad siempre fue hacia abajo del plano la
mayor parte del tiempo.
s = vot + ½at2; -3 m = (4 m/s)(5 s) + ½a (5 s)2;
vf = vo + at = 4 m/s + (-1.84 m/s2)(5 s);
a = -1.84 m/s2
vf = -5.20 m/s
36. Considere las dos bolas A y B mostradas. La bola A tiene una aceleracion constante de 4 m/s2
dirigida a la derecha, y una bola B tiene una aceleración constante de 2 m/s2 dirigida a la
izquierda. La bola A está inicialmente viajando a la izquierda a 2 m/s, mientras la bola B está
viajando inicialmente a la izquierda a 5 m/s. Hallar el tiempo t en el cual las bolas chocan.
Tambien, asumiendo que x = 0 es la posición inicial de la bola A, ¿Cuál es el desplazamiento
común cuando ellas chocan?
aa = +4 m/s2
ab = -2 m/s2
Las ecuaciones de desplazmiento de A y B:
s = so + vot + ½at2 (observa los signos)
v = - 2 m/s
A
v = - 5 m/s
B
Para A: sA = 0 + (-2 m/s)t + ½(+4 m/s2) t2
Para B: sB = 18 m + (-5 m/s)t + ½(-2 m/s2) t2;
x=0
+
x = 18 m
Simplificamos y hacemos sA = sB
- 2t + 2t2 = 18 – 5t - t2 → 3t2 + 3t – 18 = 0 →
t1 = - 3 s,
t2 = +2 s
Aceptando t = +3 s como la respuesta significativa y sustituyendo en cualquiera, ya sea en sA o
en sB:
sA = -2(2 s) + 2(2 s)2;
x=+4m
37. Inicialmente, un camion con una velocidad de 40 pies/s y está localizado a una distancia de
500 pies a la derecha de un auto. Si el auto inicia desde el reposo y acelera a 10 pies/s2, ¿Cuándo
se adelantará al camión? ¿Qué tan lejos estará desde la posición inicial?
Las ecuaciones de desplazamiento para el auto y el camión son:
v = 40 ft/s
2
v=0
s = so + vot + ½at (observe los signos)
+
s=0
41
s = 500 ft
Para el auto: sC = 0 + ½(+10 pies/s2) t2 ;
Camión: sT = 500 pies + (40 pies/s)t + 0;
Establecemos: sC = sT
5t2 = 500 + 40t or t2 – 8t –100 = 0; t1 = -6.77 s;
Resolviendo en cualquiera de las dos: sC = ½(10 pies/s2)(14.8 s)2;
t2 = +14.8 s
s = 1092 pies
38. Una bola se deja caer desde el reposo desde un edificio de 100-m de alto. Al mismo tiempo
una segunda bola es lanzada hacia arriba desde la base del edificiocon una velocidad inicial de
50 m/s. ¿Cuando chocaran las bolas y a que distancia estarán desde la base del edificio?
s = 100 m
Para A: sA = 100 m + v0At + ½gt2 = 100 m + 0 + ½(-9.8 m/s2) t2
A
Para B: sB = 0 + (50 m/s)t + ½(-9.8 m/s2) t2
Haciendo sA = sB
100 – 4.9 t2 = 50 t – 4.9 t2;
50 t = 100;
t = 2.00 s
Resolviendo para s: sA = 100 m – (4.9 m/s2)(2 s)2;
B
s = 80.4 m
s=0
39. Una flecha es disparada hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. Tres segundos más tarde,
otra flecha es disparada hacia arriba con una velocidad de 60 m/s. ¿En cuanto tiempo y en que
posicion se encontrarán?
Sea t1 = t el tiempo para la primera flecha,
entonces t2 = t - 3 para la 2a flecha.
s1 = (40 m/s)t1 + ½(-9.8 m/s2)t12 ;
s1 = 40t – 4.9t2
s2 = (60 m/s)t2 + ½(-9.8 m/s2)t22 ;
s2 = 60(t – 3) - 4.9(t – 3)2
60 m/s
s1 = s2
s1 = s2; 40t – 4.9t2 = 60t – 180 – 4.9(t2 – 6t + 9)
La solucion para t da:
40 m/s
t = 4.54 s
La posicion es: s1 = s2 = (40 m/s)(4.54 s) – (4.9 m/s2)(4.54 s)2;
s = 80.6 m
40. Un cerdo salvaje corre directamente hacia un cazador con una velocidad de 60 pies/s. En el
instante que el cerdo está a 100 yardas de lejos, el cazador dispara una flecha a 300 con la tierra.
¿Cual debe ser la velocidad de la flecha para que golpee al cerdo?
y = 0 = (v0 sen 300)t + ½(-32 pies/s2)t2; Resolviendo para t
0.5(2)v0
t=
= 0.03125v0 ; t = 0.03125 vo
32
s1 =( v0 cos 300) t = (0.866 vo)(0.03125 vo);
vo
0
30
s=0
s1 = 0.0271 vo2
42
v = -60 ft/s
s1 = s2
s = 300 ft
s1 = 0.0271 vo2 ;
t = 0.03125 vo
vB = - 60 pies/s; soB = 300 pies
s2 = soB + vBt = 300 pies + (-60 pies/s)t
s2 = 300 – 60 (0.03125 vo) = 300 – 1.875 vo
0.0271 vo2 = 300 – 1.875 vo
or
Ahora, Haciendo s1 = s2 y resolviendo para vo
:
vo2 + 69.2 vo – 11,070 = 0
La solucion de la ecuacion cuadratica resulta:
vo = 76.2 pies/s
Primera ley de Newton
Un cuerpo permanece en estado de reposo o de movimillasento rectilíneo uniforme, a menos
que una fuerza externa no equilibrada actúe sobre él.
Aplicación de la segunda ley de Newton a problemas de un solo cuerpo
Problema
¿Qué aceleración ejercerá una fuerza conocida en un cuerpo con masa conocida?
Fórmula
F
a=
m
¿Qué fuerza se requiere para acelerar un cuerpo de masa conocida a un F = ma
determillasnado nivel de aceleración?
43
¿Cuál es la masa de un cuerpo que se somete a una aceleración conocida por una
fuerza determillasnada?
Relación entre peso y masa
La masa es una constante universal igual a la relación del peso de
un cuerpo con la aceleración gravitavcional debida a su peso.
El peso es la fuerza de atracción gravitacional y varía
dependiendo de la aceleración de la gravedad.
El peso y la fuerza tienen las mismas unidades.
SI: Newtons
Inglés: libras
44
m= W
g
W = mg
m=
F
a
Tercera ley de Newton
Para cada acción debe haber una reacción igual y opuesta.
Ejemplos:
1.
Una masa de 4-kg recibe una fuerza resultante de (a) 4 N, (b) 8 N, y (c) 12 N. ¿Cuáles son
las aceleraciones resultantes?
4N
8N
12N
(a) a =
= 1 m/s2
(b) a =
= 2 m/s2
(c) a =
= 3 m/s2
4 kg
4 kg
4 kg
2.
Una fuerza constante de 20 N actúa sobre una masa de (a) 2 kg, (b) 4 kg, y (c) 6 kg.
¿Cuáles son las aceleraciones resultantes?
20N
20N
20N
(a) a =
= 10 m/s2 (b) a =
= 5 m/s2
(c) a =
= 3.33 m/s2
2 kg
4 kg
6 kg
3. Una fuerza constante de 60 lb actúa en cada uno de tres objetos, produciendo aceleraciones
de 4, 8, and 12 pies/s2. ¿Cuáles son sus masas?
60 lb
60 lb
60 lb
m=
= 15 slugs m =
= 7.5 slugs
m=
= 5 slugs
2
2
4 pie/s
8 pie/s
12 pie/s 2
4. Que fuerza resultante es necesaria para producirle a un martillo de 4-kg hammer una
aceleración de 6 m/s2?
F = ma = (4 kg)(6 m/s2); F = 24 N
5.
Si se determinó que una fuerza resultante de 60 N le produce a un vagón una aceleración
de 10 m/s2. ¿Qué fuerza es requerida para darle al vagón una aceleración de solo 2 m/s2?
60 N
m=
= 6 slugs ; F = ma = (6 slugs)(2 m/s2); F = 12 N
2
10 m / s
6. Un auto de 1000-kg se mueve hacia el norte a 100 km/h y aplica los frenos para detenerse en
50 m. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza?
45
Conviriendo at unidades SI: 100 km/h = 27.8 m/s
v 2f − vo2 (0) 2 − (27.8 m / s) 2
2as = v 2f − vo2 ;
a=
=
;
2s
2(50 m)
F = ma = (1000 kg)(7.72 m/s2);
a = 7.72 m / s2
F = 772 N, Sur.
Relaciones entre masa y peso
7. ¿Cuál es el peso de un paquete que tiene una masa de 4.8 kg? ¿Cuál es la masa de un tanque
de 40-N ?
40 N
W = (4.8 kg)(9.8 m/s2) = 47.0 N ; m =
= 4.08 kg
9.8 m / s2
8. ¿Cuál es la masa de un niño de 60-lb? ¿Cuál es el peso de un hombre con una masa de 7slugs?
60 lb
m=
= 1.88 slugs ; W = (7 slugs)(32 pies/s2) = 224 lb
2
32 ft / s
9. Una mujer pesa 180 lb en la tierra. Cuando ella camina en la luna, ella pesa solo 30 lb. ¿Cuál
es la aceleración debida a la gravedad de la luna y cual es su masa en la luna y en la tierra?
Su masa es la misma en la luna como en la tierra, así que primero encontramos la masa
constante:
180 lb
mm = me = 5.62 slugs ;
me =
= 5.625 slugs;
32 ft / s2
30 lb
Wm = mmgm
gm =
; gm = 5.33 pies/s2
5.625 slugs
10. Hallar la masa y peso de un cuerpo si una fuerza resultante de 400 N provoca que su
velocidad disminuya en 4 m/s en 3 s.
Δv −4 m / s
−400 N
a=
=
; a = −133
. m / s2 ;
m=
; m = 300 kg
3s
−133
. m / s2
t
W = mg = (300 kg)(9.8 m/s2); W = 2940 N
11. Que fuerza horizontal es necesaria para arrastrar un trineo de 6-kg con una aceleración de 4
m/s2 si una fuerza de friccion de 20 N se opone al movimiento?
6 kg
2
P
P – 20 N = (6 kg)(4 m/s );
P = 44.0 N
20 N
12. Un automóvil de 2500-lb se esta moviendo a 55 millas/h. ¿Cuál es la fuerza resultante es
requerida para detener el carro en 200 pies a nivel del camino?. ¿Cuál debe ser el coeficiente de
friccion cinetica?
Primero encontramos la masa y después la aceleración: (55 millas/h = 80.7 m/s)
46
2500 lb
= 78.1 slugs; Recordando que: 2as = vf2 − v02
2
32 ft/s
v f2 − v 02 (0) − (80.7 ft/s) 2
a=
; y
a = - 16.3 m/s 2
=
2s
2(200 ft)
F = ma = (78.1 slugs)(-16.3 pies/s2);
F = -1270 lb
1270 lb
;
Fk = μ k N ; μ k =
μk = 0.508
2500 lb
m=
13. Una masa de 10-kg es levantada hacia arriba por un cable ligero. ¿Cuál es la tensión en en el
cable si la aceleración es (a) cero, (b) 6 m/s2 hacia arriba, y (c) 6 m/s2 hacia abajo?
Note que hacia arriba es positivo y W = (10 kg)(9.8 m/s2) = 98 N.
+
T
(a) T – 98 N = (10 kg)(0 m/s2) y
T = 98 N
(b) T – 98 N = (10 kg)(6 m/s2) y
T = 60 N + 98 N
or
(c) T – 98 N = (10 kg)(-6 m/s2) y T = - 60 N + 98 N or
T = 158 N
T = 38.0 N
10 kg
W = mg
14. Asumiendo que no existe fuerza de friccion en el sistema. ¿Cuál es la aceleración del sistema?
¿Cuál es la tensión T en la cuerda que une los bloques?
6 kg
2
kg
80 N
Fuerza resultante = masa total x aceleración
T
80 N = (2 kg + 6 kg)a;
a = 10 m/s2
Para hallar T, aplicamos F = ma al bloque de 6-kg unicamente:
80 N – T = (6 kg)(10 m/s2); Τ = 20 Ν
47
48
49
Conservación de la energía mecánica:
En la ausencia de resistencia del aire o de otras fuerzas disipativas, la suma de las energías
potenciales y cinéticas es una constante, siempre que no se añada ninguna otra energía al
sistema.
Energía total = Ep + Ek = constante
Ejemplos de Trabajo y Energía
1. ¿Cuál es el trabajo hecho por una fuerza de 20 N actuando a través de una distancia paralela
de 8 m? ¿Qué fuerza se requiere para hacer el mismo trabajo en una distancia de 4 m?
Trabajo = (20 N)(8 m) = 160 J ; F (4 m) = 160 J;
F = 40.0 N
2. Un trabajador levanta un peso de 40 lb durante una altura de 10 pies. ¿Cuántos metros debe
ser levantado un bloque de 10-kg para producir la misma cantidad de trabajo?
⎛ 1.356 J ⎞
Work = (20 lb)(10 pies) = 200 lb-pies; Trabajo = 200 lb-pie ⎜
⎟ = 271 J
⎝ 1 ft ⋅ lb ⎠
Work
271 J
s=
Work = Fs = mgs;
=
;
s = 2.77 m
mg
(10 kg)(9.8 m/s 2 )
50
3. Un bote remolcador ejerce una fuerza constante de 4000 N sobre un barco, desplazandolo
una distancia de 15 m. ¿Qué trabajo es hecho?
Trabajo = (4000 N)(15 m);
Trabajo = 60,000 J
4. Un martillo de 5-kg es levantado a una altura de 3 m. ¿Cuál es el trabajo realizado?
Trabajo = Fs = (5 kg)(9.8 m/s2)(3 m);
Trabajo = 147 J
5. Una fuerza de empuje de 30 lb es aplicada a lo largo de la manija de una cortadora de césped,
produciendo un desplazamiento horizontal de 40 pies. Si la manija forma un ángulo de 300 con
la tierra, ¿Qué trabajo es hecho por la fuerza de 30-lb?
s = 40 ft
0
N
Trabajo = (F cos θ)s = (30 lb) cos 30 (40 pies)
Fk
Trabajo = 1040 lb-pies
300
W
P
6. El tronco es arrastrado una distancia horizontal de 24 m por una cuerda que forma un ángulo
θ con el piso. Si la tensión en la cuerda es de 8 N, ¿Qué trabajo es hecho cuando la cuerda forma
los siguientes angulos: 00, 300, 600, 900?
8N
θ
Trabajo = (F cos θ)s = (8 N) cos 00 (24 m) = 192 J
Trabajo = (8 N) cos 300 (24 m) = 166 J ; Trabajo60 = 96 J ; Trabajo90 = 0 J
7. Una fuerza horizontal empuja un trineo de 10-kg a lo largo de un camino por una distancia de
40 m. Si el coeficiente de friccion cinetico es de 0.2, ¿Qué trabajo es realizado por la fuerza de
friccion?
Trabajo = (F cos θ)s = (F) (cos 1800)s = - F s; but
F = μkN = μk mg
Trabajo = μkmg s = (0.2)(10 kg)(9.8 m/s2)(40 m);
Trabajo = –784 J
8. Aun trineo es arrastrado una distancia de 12.0 m por una cuerda bajo una tensión constante
de 140 N. La tarea requiere de 1200 J de trabajo. ¿Qué ángulo debe formar la cuerda con la
tierra?
140 N
Trabajo = (F cos θ)s;
12 m
θ
51
cos θ =
Trabajo
1200 J
=
(140 N)(12 m)
Fs
cos θ = 0.714;
θ = 44.40
Trabajo Resultante
Una fuerza promedio de 40 N comprime un resorte helicoidal una distancia de 6 cm. ¿Cuál es el
trabajo hecho por la fuerza de 40-N? ¿Qué trabajo es hecho por el resorte?
40 N
¿Cuál es el trabajo resultante?
Trabajo40 = (40 N)(0.06 m) = 2.40 J, (trabajo positivo)
Trabajoresorte = (-40 N)(0.06 m) = -2.40 J, (Trabajo negativo)
Trabajo resultante = Σ(trabajos) = 2.4 J – 2.4 J = 0 J
0.06 m
El trabajo es positivo cuando la fuerza coincide con el desplazamiento y negativo cuando es
contra el desplazamiento.
10. Una fuerza horizontal de 20 N arrastra un pequeño trineo 42 m a través del hielo a una
rapidez constante. Encuentre el trabajo hecho por la fuerza de arrastre y por la fuerza de friccion.
¿Cuál es el trabajo resultante?
42 m
20 N
Trabajo20 = (20 N)(42 m) = 840 J, (trabajo positivo)
F = 0.2(20 N) = 4 N
F = μkN
Trabajofriccion = (-4 N)(42 m) = - 168 J, (trabajo negativo)
F
Fuerza resultante = 20 N – 4 N = 16 N
Trabajo resultante = Σ(trabajos) = 840 J – 168 J = 672 J = (16 N)(42 m) = 672 N
11. Una bloque de 10 kg es arrastrado por una fuerza horizontal de 26 N. Si μk = 0.2 encuentre
el trabajo hecho por la fuerza de arrastre y por la fuerza de friccion. ¿Cuál es la fuerza resultante?
¿Cuál es la aceleración resultante?
20 m
26 N
.
F = μkN = μkmg F = 0.2(10 kg)(9.8 m/s2) = 19.6 N
F
Trabajo = FR s = (P – F)s; Trabajo = (26 N – 19.6 N)(20 m)
Trabajo = 128 J
FR = (26 N – 19.6 N) = 6.40 N;
a=
F 6.4 N
=
;
m 10 kg
52
a = 0.640 m/s2
12. Una cuerda formando un ángulo de 350 arrastra una caja de 10-kg una distancia horizontal
de 20 m. La tensión en la cuerda es de 60 N y la fuerza de friccion constante es de 30 N. ¿Cuál es
el trabajo hecho por la cuerda? ¿Cuál es el trabajo hecho por la friccion? ¿Cuál es el trabajo
resultante?
N
60 N
20 m
350
F
(Trabajo)CUERDA = (60 N) cos 350 (20 m); (Trabajo)r = 983 J
(Trabajo)FRICCION = (-30 N)(20 m) = -600 J;
Trabajo = Σ(Trabajo) = 983 J – 600 J;
(Trabajo)F = -600 J
Trabajo Resultante = 383 J
53
mg