Gu´ıa de Trabajos Prácticos de Análisis Matemático II A˜no 2015

Facultad de Ciencias Exactas, Fı́sicas y Naturales
Universidad Nacional de Córdoba
Guı́a de Trabajos Prácticos
de Análisis Matemático II
Año 2015
Recopilación realizada por Dra Claudia Egea
1
Capı́tulo 1
Funciones de Varias Variables
1.
Topologı́a
Sean p ∈ Rn y r ∈ R, r > 0.
Llamaremos Entorno al conjunto de puntos de Rn cuya distancia a p es menor que r, o sea,
Br (p) = {x ∈ Rn /d(x, p) < r}
Llamaremos Entorno Reducido al conjunto de puntos de Rn cuya distancia a p es menor que
r excluyendo al punto p, o sea,
Br (p) − p = {x ∈ Rn /0 < d(x, p) < r}
Ejercicios
1. Obtenga Br (p) y Br (p) − p en los siguientes casos. Interprete geométricamente.
a) En R, p = 2, r = 12
b) En R2 , p = (0, 2), r = 12
c) En R3 , p = (0, 2, 1), r = 21
Sean A ⊂ Rn y p ∈ Rn . Se dice que:
p es Punto Interior de A si existe un entorno de p contenido en A. O sea, si
∃r > 0/Br (p) ⊂ A.
p es un Punto Lı́mite o Punto de Acumulación de A si a todo entorno reducido de
p le pertenecen puntos de A. O sea, ∀r > 0(Br (p) − p) ∩ A 6= ∅.
p es Punto Frontera de A si a todo entorno de p le pertenecen puntos de A y del
complemento de A (denotado Ac ). O sea si ∀r > 0, Br (p) ∩ A 6= ∅ y Br (p) ∩ Ac 6= ∅.
p es Punto Aislado de A si p ∈ A y existe un entorno reducido de p incluı́do en Ac . O
sea ∃r > 0/Br (p) − p ⊂ Ac .
p es Punto Exterior de A si existe un entorno de p contenido en Ac . O sea, si
∃r > 0/Br (p) ⊂ Ac .
2
Ejercicios
1. Para cada uno de los siguientes conjuntos, caracterice los puntos de R2 diciendo si son
puntos interiores, exteriores, de acumulación, frontera o aislados.
a) A = {(x, y) ∈ R2 : 3 ≤ x ≤ 5}
b) B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 2} ∪ {(0, 2), (−1, 3)}
c) C = {(x, y) ∈ R2 : x + y ≤ 2}
d ) D = {(x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 2}
2. Para cada uno de los siguientes conjuntos, caracterice los puntos de R.
a) A = {x ∈ R : |x| < 2}
b) B = {x ∈ R : −1 < x < 23 }
c) C = {x ∈ R : |x − 2| < 1} ∪ {5}
3. Para cada uno de los siguientes conjuntos, caracterice los puntos de R3
a) A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 < 1} ∪ {(0, 2, 0)}
b) B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 9}
4. Dado el conjunto A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + 4y 2 +
puntos:
a) p1 = (0, 0, 2)
b) p2 = (1, 0, 0)
c) p3 = (0, 0, 72 )
z2
9
< 1}, caracterice los siguientes
Sea A ⊂ Rn , se dice que:
A es un conjunto Abierto si todo punto de A es un punto interior de A.
A es un conjunto Cerrado si todos los puntos frontera de A pertenecen a A.
Ejercicios
1. Decida si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados, ambas o ninguna de las dos
cosas.
a) A = {(x, y) ∈ R2 : ||(x, y) − (0, 1)|| ≤ 1}
b) B = {(x, y) ∈ R2 : 4x2 + 9y 2 = 36}
c) C = {(x, y) ∈ R2 : (x, y) 6= (2, 1)}
d ) D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 2}
e) E = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ 2x + 1}
f ) F = {(x, y, z) ∈ R3 : z < x + y}
3
2.
Dominio, gráficas y curvas de nivel
Ejercicios
1. Determine el dominio de las siguientes funciones:
a) f (x, y) = 2x3 + y 2 − xy
3x−y
b) f (x, y) = 2y−4x
p
e) f (x, y) = 4x2 + 9y 2 − 36
√
f ) f (x, y) = 3 xy
g) f (x, y) = x2xy
−y 2
c) f (x, y) = x2 ln(y − 2x)
d ) f (x, y) = sen−1 (x + y)
√
h) f (x, y) = 3x + 3y + ln(sen y)
√
Resolución: La expresión 3x + 3y + ln(sen y) tiene sentido siempre que la cantidad debajo de la raı́z sea no negativa y el argumento de ln sea positivo.
Es decir,
3x + 3y ≥ 0 y sen y > 0
Esto sucede cuando y ≥ −x e y ∈ (2kπ, (2k + 1)π) con k ∈ N. O sea,
Df = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ −x ∧ y ∈ (2kπ, (2k + 1)π), k ∈ N}
2. Esboce la gráfica de las siguientes funciones:
e) f (x, y) = 4 − x2 − y 2
f ) f (x, y) = y 2 − x2
1
g) f (x, y) = x2 +y
2
a) f (x, y) = sen x
b) f (x, y) = y 2
p
c) f (x, y) = 16 − x2 − 16y 2
d ) f (x, y) = sen(x2 + y 2 )
h) f (x, y) = 6 − x − 3y
Sea f : Rn → Rm una función, un conjunto de nivel es el conjunto de puntos x ∈ Rn tal que
su imagen por f es un punto fijo y0 ∈ Rm , es decir
{x ∈ Rn : x ∈ Df ∧
f (x) = y0 }
Ejercicios
1. Esquematice las curvas de nivel de las siguientes funciones:
d ) f (x, y) = x2 − y 2
e) f (x, y) = sen(x2 + y 2 )
a) f (x, y) = x − y
b) f (x, y) = x2 + 2y 2
c) f (x, y) = xy
f ) f (x, y) =
x2
y
Resolución: Calculemos las curvas de nivel para k = −2, 0, 1/2. Debemos calcular
los conjuntos de puntos (x, y) tales que y 6= 0 y f (x, y) = k. Es decir, x2 /y = k, o
4
bien
ky = x2
Éstas son parábolas con vértice en (0, 0) sin dicho vértice, excepto el caso k = 0. En
efecto,
k = −2 tenemos la parábola y = − 12 x2 sin el vértice.
k = 0 tenemos 0 = x2 , es decir la recta x = 0.
k = 1/2 tenemos la parábola y = 2x2 sin el vértice.
Una función f : Rn → Rm puede definir un conjunto S de diferentes maneras
Explı́citamente, si S es el grafo de f , es decir
S = {(x, f (x)) ∈ Rn+m : x ∈ dom(f ))}
Paramétricamente, si S es la imagen de f , o sea
S = {y ∈ Rm : y = f (x) para algún x ∈ dom(f ))}
Implı́citamente, si S es un conjunto de nivel de f , es decir
S = {x ∈ Rn : f (x) = y0 para algún y0 ∈ Rm }
Ejercicios
1. Identifique el conjunto S ∈ R2 definido
a) explı́citamente por f (x) = x2
b) paramétricamente por f (x) = (cos x, sen x)
c) implı́citamente por f (x, y) = x + y = 3
2. Identifique el conjunto S ∈ R3 definido
a) explı́citamente por f (x, y) = x2 + y 2
b) paramétricamente por f (x) = (cos x, sen x, x)
c) paramétricamente por f (x, y) = (x cos y, x sen y, x2 )
3.
Ejercicios Adicionales
1. Determine el dominio de las siguientes funciones:
a) f (x, y) =
3x−y 3
x2 +(y−1)2
2
p
18 − 3x2 − 4y 2
p
d ) f (x, y) = 3 x + 3y 2
c) f (x, y) =
b) f (x, y) = x ln(3y + 6x − 3)
2. Esboce la gráfica de las siguientes funciones:
p
p
c) f (x, y) = 1 − x2 + y 2
a) f (x, y) = 1 + x2 + y 2
√
b) f (x, y) = x2
d ) f (x, y) = 1 − 2x2
5
3. Esquematice las curvas de nivel de las siguientes funciones:
a) f (x, y) = x − y 2
b) f (x, y) = y − cos x
c) f (x, y) =
x
y
d ) f (x, y) = x2 + 9y 2
4. Identifique el conjunto S ∈ R2 definido
√
a) explı́citamente por f (x) = −2 1 − 9x2
b) paramétricamente por f (x) = (3 cos x, 2 sen x)
c) implı́citamente por f (x, y) = x2 + 4y 2 = 9
4.
Ejercicios de Aplicación
1. Una placa delgada de metal, localizada en el plano xy, tiene una temperatura T (x, y) en
el punto (x, y). Las curvas de nivel de T se llaman isotérmicas debido a que en todos los
puntos sobre una isotérmica, la temperatura es la misma. Dibuje algunas isotérmicas si
la función temperatura está dada por
100
T (x, y) =
1 + x2 + 2y 2
2. Si V (x, y) es el potencial eléctrico en un punto (x, y) del plano xy, entonces las curvas de
nivel de V se llaman curvas equipontenciales, ya que el potencial eléctrico de todos los
puntos
p sobre dicha curva es el mismo. Dibuje algunas curvas equipotenciales si V (x, y) =
c/ r2 − x2 − y 2 , donde c es una constante positiva.
5.
Autoevaluación
1. Defina punto lı́mite, frontera, aislado e interior.
2. Un punto puede ser lı́mite y frontera al mismo tiempo? o lı́mite y aislado? o frontera y
aislado?
3. Defina conjunto abierto y cerrado. Dé un subconjunto de R2 que no sea ni abierto ni
cerrado.
4. Cómo se puede definir un conjunto S explı́citamente? o para métricamente? o implı́citamente?
5. Sea S ⊂ R3 , determine las dimensiones de n y m tal que la función f : Rn → Rm defina
a S paramétricamente o explı́citamente o implı́citamente.
6. Siempre un conjunto S puede definirse de las tres formas?
7. Sea S una esfera centrada en el origen de radio 1, puede definirse explı́citamente?
8. Defina conjunto de nivel.
6
Capı́tulo 2
Lı́mites y Continuidad
1.
Lı́mites
Sean f : Rn → Rm una función, x0 un punto de acumulación del dom(f ) y L un punto de Rm .
Diremos que existe
lı́m f (x) = L
x→x0
sii dado un entorno cualquiera B(L, ) con centro en L, existe un entorno reducido
B(x0 , δ) − {x0 } de centro x0 tal que si x ∈ (B(x0 , δ) − {x0 }) ∩ domf entonces f (x) ∈ B(L, )
Es decir,
lı́m f (x) = L sii ∀ > 0∃δ > 0/x ∈ (B(x0 , δ) − {x0 }) ∩ domf =⇒ f (x) ∈ B(L, )
x→x0
Ejercicios
1. Calcule los siguientes lı́mites. Si no existen, explique por qué.
x2 + xy + y 2
(x,y)→(−2,1)
x2 − y 2
f)
lı́m xy + y 2
x−y
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
8x2 y 2
b)
lı́m
(x,y)→(0,0) x4 + y 4
2xy
c)
lı́m
2
(x,y)→(0,0) x + 2y 2
(x + y)2
d)
lı́m
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
a)
h)
lı́m
e)
lı́m
(x,y)→(1,2)
g)
x2 + y 2
(x,y)→(0,0)
y
lı́m
y3
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lı́m
Resolución: Calculemos primero los lı́mites iterados
y3
0
= lı́m 2 = 0
2
2
x→0 y→0 x + y
x→0 x
lı́m lı́m
Mientras que
y3
y3
=
lı́m
= lı́m y = 0
x→0 y 2
x→0
y→0 x→0 x2 + y 2
lı́m lı́m
7
La existencia de estos lı́mites no nos asegura que el lı́mite exista. Probemos ahora
aproximándonos al (0, 0) por las rectas y = mx,
m3 x
(mx)3
m 3 x3
=
lı́m
=
lı́m
=0
x→0 1 + m2
x→0 x2 + (mx)2
x→0 x2 (1 + m2 )
lı́m
Otro camino para calcular el lı́mite es hacer el siguiente cambio de coordenadas
x = r cos(θ)
y = r sen(θ)
Si (x, y) → (0, 0) entonces r → 0, luego
r3 sen3 (θ)
r3 sen3 (θ)
y3
=
lı́m
=
lı́m
= lı́m r sen3 (θ) = 0
r→0
r→0 r 2 cos2 (θ) + r 2 sen2 (θ)
r→0
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
r2
lı́m
Este último lı́mite es cero ya que | sen3 (θ)| ≤ 1 para cualquier valor del ángulo θ.
Nuestro candidato a lı́mite es L = 0. En efecto, ya que y 2 ≤ x2 + y 2 , tenemos que
0≤
|y 3 |
|y|y 2
|y|(x2 + y 2 )
=
≤
= |y|
x2 + y 2
x2 + y 2
x2 + y 2
Es decir
0≤
|y 3 |
≤ |y|
x2 + y 2
Tomando lı́mite en dicha desigualdad, ya que los extremos tienen lı́mite igual a cero,
y3
se cumple que lı́m
= 0.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
2. Calcule los lı́mites de las siguientes !
funciones vectoriales
2
y
xy
p
a)
lı́m
,p
2
2
2
(x,y)→(0,0)
x +y
x + y2
xy 3
, 2x + 1
b)
lı́m
(x,y)→(0,1)
x2 + y 2
c)
lı́m
(sen(xy), tan( xy ))
(x,y)→(3,2)
8
2.
Continuidad
Sean f : Rn → Rm una función y x0 un punto de acumulación del dom(f ), x0 ∈ domf
Diremos que f es continua en x0 sii dado un entorno cualquiera B(f (x0 ), ) con centro en
f (x0 ), existe un entorno B(x0 , δ) de centro x0 tal que si x ∈ B(x0 , δ) ∩ domf entonces f (x) ∈
B(f (x0 ), )
Es decir,
f es continua en x0 sii ∀ > 0∃δ > 0/x ∈ B(x0 , δ) ∩ domf =⇒ f (x) ∈ B(f (x0 ), )
Nota: Si x0 es un punto aislado del domf , la condición anterior se cumple trivialmente; luego
f es continua en todo punto aislado del dominio.
Ejercicios
1. Indique en que puntos las siguientes funciones NO son continuas.
2xy
x6 + x3 y 3 + y 6
c) f (x, y) =
x−y
x3 + y 3
2
2
x +y +1
d ) f (x, y) = sen−1 (x2 + y 2 )
f (x, y) = 2
x + y2 − 1

 2x2 − y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =
2x2 + y 2

0
si (x, y) = (0, 0)

 p xy
si (x, y) 6= (0, 0)
x2 + y 2
f (x, y) =

0
si (x, y) = (0, 0)
 2
3x2 y
xy

,−
si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =
x2 + y 2 x2 + y 2

(0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
x+y
f (x, y, z) = ln
x+z
a) f (x, y) =
b)
e)
f)
g)
h)
Resolución: Recordemos que la función logaritmo es continua en su dominio, es
x+y
> 0. Esto sucede si x + y y x + z
decir en aquellos puntos (x, y, z) tales que
x+z
tienen igual signo. O sea si x > −y y x > −z ó si x < −y y x < −z.
x2 + y 2 − x 3 y 3
, con (x, y) 6= (0, 0). Defina f (0, 0) de manera
x2 + y 2
que f sea continua en todo punto de R2 .
2. Dada la función f (x, y) =
9
3. Estudie la continuidad de las siguientes funciones:
a) f (x, y) = tan(xy)
1
b) f (x, y, z) = 2
x + y2 + z2
c) f (x, y) = exy sen(x + y)
d ) f (x, y) = 3x2 + 2y − sen(xy)

xy 2


 2
si (x, y) 6= (0, 0) ∧ (x, y) 6= (1, 1)

 x + y2
1
si (x, y) = (0, 0)
e) f (x, y) =




 1/4
si (x, y) = (1, 1)

xy

si |x| ≥ 1
 2
x + y2
f ) f (x, y) =


2/5
si (x, y) = ( 21 , 0)
3.
Ejercicios Adicionales
1. Calcule los siguientes lı́mites.
2x2 − xy
a)
lı́m
(x,y)→(1,2) 4x2 − y 2
x2 y 2
b)
lı́m
(x,y)→(0,0) x2 + y 4
xyz 2
c)
lı́m
(x,y,z)→(0,0,0) x2 + y 2 + z 2
x(y − 1)2
d)
lı́m p
(x,y)→(0,1)
x2 + (y − 1)2
!
xy 2
e)
lı́m sen p
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
x3 − y 3
(x 6= y) a lo largo de la recta x = y de manera que
x−y
la función resultante sea continua en todo punto.
2. Defina la función f (x, y) =
3. Estudie la continuidad
de las siguientes funciones:

4 5
x
y


si (x, y) 6= (0, 0)
 2
(x + y 2 )2
a) f (x, y) =



0
si (x, y) = (0, 0)
10
 2
x − y2



x−y
b) f (x, y) =


 x−y
si x 6= y
si x = y
c) f (x, y) = 3x2 + 2y − sen(xy)
4.
Autoevaluación
1. Cuando una función f : Rn → Rm es continua en un punto? Por qué se exige que x0 sea
un punto de acumulación? Que ocurre si x0 es un punto aislado?
2. Defina lı́mite de una función para x → x0 .
3. Si el lı́mite existe, es único?
4. Sea D ⊂ R4 un conjunto finito de puntos. Sea f : D → R2 una función, es f continua
en D?
11
Capı́tulo 3
Derivadas parciales y la diferencial
1.
Derivadas Parciales
Sean f : R2 → R una función y (a, b) un punto interior del dom(f ),
Diremos que f tiene derivada parcial con respecto a x en (a, b) si existe el siguiente lı́mite
∂f
f (a + h, b) − f (a, b)
(a, b) = lı́m
h→0
∂x
h
Similarmente, diremos que f tiene derivada parcial con respecto a y en (a, b) si existe el
siguiente lı́mite
∂f
f (a, b + h) − f (a, b)
(a, b) = lı́m
h→0
∂y
h
Si z = f (x, y), otras notaciones para las derivadas parciales son
∂f
∂z
= fx = f1 =
∂x
∂x
∂f
∂z
= fy = f2 =
∂y
∂y
Llamaremos Gradiente de f al siguiente vector
∇f (x0 ) = (fx (x0 ), fy (x0 ))
Ejercicios
1. Calcule las derivadas parciales de f , g y k en el punto (0, 0) usando la definición.

2x3 − y 3


 2
si (x, y) 6= (0, 0)
x + 3y 2
f (x, y) =



0
si (x, y) = (0, 0)

y4



si (x, y) 6= (0, 0)
2 + y2
x
g(x, y) =



0
si (x, y) = (0, 0)
(
k(x, y) =
x2
xy
+ y2
0
12
si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
Resolución: Debemos calcular el siguiente lı́mite
k(0 + h, 0) − k(0, 0)
∂k
(0, 0) = lı́m
h→0
∂x
h
Reemplazando con los valores de la función, tenemos que
∂k
(0, 0) = lı́m
h→0
∂x
(0+h)0
h2 +02
−0
h
0
= lı́m 0 = 0
h→0 h
h→0
= lı́m
De una manera similar se calcula la derivada respecto de y.
2. Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones y evalúelas en el punto indicado.
a) f (x, y) = 2x − 3y
en (3, 2)
b) f (x, y) = sen(x − y) en (3, 3)
p
c) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 en (0, 1, 2)
x−y
d ) f (x, y) =
en (1, 2)
x+y
3. Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones.
a) f (x, y) = xy ln(x + y)
s
b) f (s, t) = √
2
s + t2
c) z = arctan(y/x)
d ) f (x, y) = xy
4. Muestre que las siguientes funciones satisfacen la ecuación diferencial dada.
∂z
∂z
a) z = xey ,
x
=
∂x
∂y
x+y
∂z
∂z
b) z =
,
x
+y
=0
x−y
∂x
∂y
p
∂z
∂z
c) z = x2 + y 2 ,
x
+y
=z
∂x
∂y
2 2
d ) u = e−a k t sen kx,
ut = a2 uxx .
p
uxx + uyy + uzz
e) u = 1/ x2 + y 2 + z 2 ,
13
Sean f : Rn → Rm una función vectorial y x0 un punto interior de dom(f ).
Si f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x)) entonces
∂f1
∂fm
∂f
(x0 ) =
(x0 ), . . . ,
(x0 )
∂xi
∂xi
∂xi
Ejercicios
1. Encuentre las derivadas parciales de las siguientes funciones vectoriales y evalúelas en
los puntos indicados.
a) f (x, y) = (x2 y, xy , y x )
en (2, 3)
x2 y
b) f (x, y, z) = (tan(xz), e
, z cot(3y))
en (2, π, π/2)
2. Encuentre las derivadas parciales de las siguientes funciones vectoriales.
a) f (x, y, u, v) = (3xu − v 2 , 5y 4 uv)
b) f (u, v) = (u cos v, u sen v)
c) f (r, u, v) = (r cos u sen v, r sen u sen v, rcosv)
Sean f : R2 → R una función y (a, b) un punto interior de dom(f ).
Una ecuación del plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto
P = (a, b, c = f (a, b)) es
z − c = fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b)
Mientras que un vector normal al plano es N = (fx (a, b), fy (a, b), −1). Luego la ecuación
vectorial de la recta normal a la superficie en el punto P es
(x, y, z) = (a, b, c) + t(fx (a, b), fy (a, b), −1)
Ejercicios
1. Encuentre las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal al gráfico de las siguientes funciones en el punto dado.
a) f (x, y) = x2 + y 2 en (−2, 1)
b) f (x, y) = cos(x/y) en (π, 3)
c) f (x, y) = x2 en (2, 1)
d ) z = ln(2x + y) en (−1, 3)
2. Encuentre las coordenadas de todos los puntos de la superficie z = x4 − 4xy 3 − 24y 2 − 2
en los cuales el plano tangente a la superficie es horizontal.
14
Sean f : Rn → Rm una función y x0 ∈ Rn un punto interior de dom(f ). Si
f (x1 , . . . , xn ) = (f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 , . . . , xn ))
entonces llamaremos matriz Jacobiana o matriz derivada de f en x0 a la siguiente matriz
de tamaño m × n


∂f1
∂f1
 ∂x1 (x0 ) . . . ∂xn (x0 ) 


..
..

f 0 (x0 ) = 
.
.


 ∂fm

∂fm
(x0 ) . . .
(x0 )
∂x1
∂xn
Ejercicios
1. Obtenga la matriz jacobiana de las siguientes funciones
a) f (x, y, z) = (x2 y, ln(z 2 y 2 ), y/z, cos(xy))
b) f (x, y) = 3x2 + y 3 − 3
c) f (x, y) = (tan(3xy), ex
2 +y 2
)
d ) f (x) = (cos x, sen x, x)
2.
La diferencial
Sean f : Rn → Rm una función y x0 ∈ Rn un punto interior de dom(f ). La función f se dice
diferenciable si existe una función lineal L : Rn → Rm tal que
f (x) − f (x0 ) − L(x − x0 )
lı́m
=0
x→x0
||x − x0 ||
L se llama diferencial de f en x0 y se denota L = dx0 f .
Teoremas
Si f : Rn → Rm es una función diferenciable en x0 entonces dx0 f es única y su matriz
es la matriz jacobiana o derivada de f , o sea,
dx0 f (x) = f 0 (x0 ).x
Sean f : D ⊂ Rn → Rm una función y D un subconjunto abierto de Rn . Si todas las
derivadas parciales de f existen y son continuas en D entonces f es diferenciable en
todo punto de D. En tal caso se dice que f es continuamente diferenciable en D.
Si f : Rn → Rm es diferenciable en x0 entonces f es continua en x0
15
Ejercicios
1. Muestre que las siguientes funciones son continuamente diferenciables en su dominio.
a) f (x, y) = ex cos(xy)
x+y
b) f (x, y, z) =
y+z
c) f (x, y) = (2x3 − y, ln(y 2 ))
2. Utilize la diferencial de f en un punto adecuado para aproximar los valores de la función
en el punto dado.
a) f (x, y) = sen(πxy) + ln(y)
p
b) f (x, y) = 20 − x2 − 7y 2
)
c) f (x, y, z) = arctan( x+y
z
en (0,01; 1,05)
en (1,95; 1,08)
en (1,51; 1,48; 3,01)
3. Muestre que en (0, 0) la función

3x3


 2
x + y2
f (x, y) =



0
si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
es continua, tiene derivadas parciales pero NO es diferenciable.
Resolución: Dejaremos como ejercicio mostrar que f es continua en (0, 0).
Comencemos calculando las derivadas parciales
∂f
(0, 0) = lı́m
h→0
∂x
De la misma manera
3h3
h2 +02
h
−0
=3
3,03
∂f
2
2 − 0
(0, 0) = lı́m 0 +h
=0
h→0
∂y
h
Analicemos ahora si f es diferenciable. Debemos calcular el siguiente lı́mite
f (x, y) − f (0, 0) − 3x − 0y
p
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
lı́m
Reemplazando los valores de f tenemos que
lı́m
(x,y)→(0,0)
3x3
x2 +y 2
− 0 − 3x − 0y
3x3 − 3x(x2 + y 2 )
−3xy 2
p
p
p
= lı́m
= lı́m
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0) ( x2 + y 2 )3
x2 + y 2
( x2 + y 2 )3
Finalmente este último lı́mite no existe ya que si me aproximo al (0, 0) por diferentes
rectas y = mx obtengo diferentes valores para ese lı́mite.
16
4. Muestre que en (0, 0) la función




 (x2 + y 2 ) sen
f (x, y) =




1
!
p
x2 + y 2
0
si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
es diferenciable pero sus derivadas parciales NO son continuas.
5. Muestre que en (0, 0) la función f (x, y) =
p
x2 + y 2 es continua pero NO es diferenciable.
Sean f : Rn → R una función y x0 ∈ Rn un punto interior de dom(f ). Sea v ∈ Rn un
vector de norma 1, o sea ||v|| = 1. Se define la derivada de f en x0 en la dirección
de v como
∂f
f (x0 + tv) − f (x0 )
(x0 ) = lı́m
t→0
∂v
t
Si f es diferenciable en x0 entonces
∂f
(x0 ) = ∇f (x0 ).v
∂v
Ejercicios
a) Para cada una de las siguientes funciones calcule el vector gradiente en el punto
dado y la derivada direccional en la dirección del vector v.
√
1) f (x, y) = x − y en (5, 1), v = (12, 5)
2) f (x, y) = xexy
en (−3, 0), v = 2i + 3j
3) f (x, y, z) = x tan−1 ( yz )
en (1, 2, −2), v = i + j − k
b) Obtenga una ecuación de la recta tangente a la curva de nivel de f (x, y) = x2 − y 2
que pasa por el punto (2, −1).
c) Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie de nivel de la función
f (x, y, z) = cos(x + 2y + 3z) en el punto (π/2, π, π).
d ) Determine en que dirección se produce la máxima razón de cambio de f en el punto
dado
1) f (x, y) = ln(x2 + y 2 ),
2) f (x, y) = cos(3x + 2y),
3) f (x, y, z) = x + y/z,
en (1, 2)
en (π/6, −π/8)
en (4, 3, −1)
17
e) Mostrar que la función f definida por

 p |x|y
f (x, y) =
x2 + y 2

0
si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
tiene derivada direccional en todas direcciones en el punto (0, 0) pero no es diferenciable en ese punto.
3.
Función Compuesta - Regla de la Cadena
Sean f : Rn → Rm y g : Rm → Rr dos funciones. Se define la función compuesta
g ◦ f : Rn → Rp a la función definida por
g ◦ f (x) = g(f (x))
Ejercicios
a) Calcule la función compuesta en los siguientes ejemplos, en el orden adecuado.
x
, x, xy 2 y g(a, b, c) = (ln(a + b), b + c, c2 )
1) f (x, y) =
x+y
p
2) f (t) = (t2 + 3, cos t) y g(x, y) = 3 x + y 3
3) h(x, y, z) = x + 3y + ln(z + 1) y f (t) = (6t2 , t + 5, 8)
Teorema (Regla de la Cadena) Sean f : Rn → Rm y g : Rm → Rr dos funciones y sea
x0 en el dominio de f . Si f es diferenciable en x0 y g es diferenciable en f (x0 ) entonces
g ◦ f es diferenciable en x0 y se cumple que
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )).f 0 (x0 )
Ejercicios
a) Aplique la regla de la cadena a las funciones del ejercicio anterior.
18
Teorema (Regla de la Cadena para calcular derivadas parciales)
Caso 1 Sea z = f (x, y) una función derivable respecto de x e y. Supongamos que
x = g(t) e y = h(t) son funciones derivables respecto de t. Entonces,
dz
∂f dx ∂f dy
=
+
dt
∂x dt
∂y dt
Caso 2 Sea z = f (x, y) una función derivable respecto de x e y. Supongamos que
x = g(u, v) e y = h(u, v) son funciones derivables respecto de u y v. Entonces,
∂z
∂f ∂x ∂f ∂y
=
+
∂u
∂x ∂u ∂y ∂u
y
∂f ∂x ∂f ∂y
∂z
=
+
∂v
∂x ∂v
∂y ∂v
.
Dejamos como ejercicio para el lector dar la regla general.
Ejercicios
a) Derive usando la regla de la cadena
∂w
1) Calcule
sabiendo que w = f (x, y, z) e y = g(x, z)
∂x z
∂w
, si w = f (x, y), x = g(r, s), y = h(r, t), r = k(s, t) y s = n(t).
∂t
∂z ∂z
∂z
3) Calcule
,
y
si z = f (x, y) = f (g(u, v, w)).
∂u ∂v ∂w
2) Calcule
4) Obtenga
∂ 2z
∂ 2z ∂ 2z
,
y
si z = f (x, y) y x = 2s + 3t e y = 3s − 2t.
∂s2 ∂s∂t ∂t2
b) Derive usando la regla de la cadena y compare con el resultado que obtiene reemplazando las variables y derivando directamente.
p
∂u
1) Calcule
si u = x2 + y 2 y las variables son x = est e y = 1 + s2 cos t.
∂t
∂w
2) Hallar
si w = x2 + y 2 + z 2 y las variables son x = et cos t, y = et sen t y
∂t
z = et .
∂w
3) Hallar
si w = e2x+3y y las variables son x = ln t, y = ln(t − 11).
∂t
c) Sea u = u(η, ξ). Haciendo el cambio de variables ξ = x + ct y η = x pruebe que la
∂u
∂u
∂u
ecuación
=c
es equivalente a
= 0.
∂t
∂x
∂η
19
d ) Sea f una función de u y v. Si u = ln(x2 + y 2 ) y v = ln(x2 − y 2 ) transforme la
1 ∂f
1 ∂f
−
.
expresión
x ∂x y ∂y
Función Inversa
Definición: Sea F : Rn → Rn una función. Se dice que F es inversible si existe una
función G : Rn → Rn tal que F ◦ G = G ◦ F = Id.
Si F es biyectiva entonces tiene inversa.
Más aún, si F es diferencible en x0 y F 0 (x0 ) es una matriz inversible entonces G es
diferencible en F (x0 ) y G0 (F (x0 )) = (F 0 (x0 ))−1 .
Ejercicios
a) Calcule la función inversa en los siguientes casos.
1) F (x, y) = (x + 3y − 1, 2x + 4y + 2)
2) F (r, θ) = (r cos θ, r sen θ)
3) F (r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z)
b) Calcule la matriz jacobiana de las funciones inversas del ejercicio anterior.
Teorema de la función Implı́cita Sea F : D ⊂ R3 → R una función con derivadas Fx , Fy , Fz continuas en un entorno de (x0 , y0 , z0 ) y tal que F (x0 , y0 , z0 ) = 0 y
Fz (x0 , y0 , z0 ) 6= 0. Entonces, la ecuación F (x, y, z) = 0 define a z como función de x
e y en un entorno de (x0 , y0 , z0 ) y las derivadas parciales están dadas por las siguientes
ecuaciones,
∂F
∂F
∂z
∂z
= − ∂x
= − ∂x
∂F
∂F
∂x
∂y
∂z
∂z
Ejercicios
a) Derive implı́citamente suponiendo que y es función de x.
1) x2 − xy + y 3 = 8
√
2) 2y 2 + 3 xy = 3x2 + 17
b) Suponga que z depende de x e y y calcule sus derivadas parciales derivando implı́citamente
20
1) y 2 zex+y − sen(xyz) = 0
2) xy 2 z 3 + x3 y 2 z = x + y + z
4.
Extremos Libres y Ligados
Sean f : Rn → R una función
f tiene un máximo local en x0 si existe un entorno E de x0 tal que f (x) ≤ f (x0 ),
∀x ∈ N ∩ dom(f ).
f tiene un mı́nimo local en x0 si existe un entorno E de x0 tal que f (x) ≥ f (x0 ),
∀x ∈ N ∩ dom(f ).
Teorema Supongamos que f es diferenciable. Si f tiene extremo local en un punto
x0 del interior del dominio de f entonces ∇f (x0 ) = 0.
Un punto x0 del dominio de f se llama punto crı́tico si ∇f (x0 ) = 0.
Un punto crı́tico de f que no es ni máximo ni mı́nimo se llama punto silla.
Ejercicios
a) Encuentre y clasifique los puntos crı́ticos de las siguientes funciones.
1) f (x, y) = x3 + 3xy − 3x2 − 3y 2 + 4
2) f (x, y) = x2 + 2y 2 − 4x + 4y
3) f (x, y) = xy − x + y
4) f (x, y) =
x 8
+ −y
y x
5) f (x, y) = xye−x
2 −y 4
6) f (x, y) = e−x sen2 (y)
b) Encuentre los máximos y mı́nimos de las funciones dadas en los dominios indicados
1) f (x, y) = x − x2 + y 2 en el rectángulo cerrado 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1.
2) f (x, y) = x2 + 2xy + 3y 2 en el triángulo cerrado de vértices (−1, 1), (2, 1) y
(−1, −2).
3) f (x, y) = sen x cos y en el triángulo cerrado de vértices (0, 0), (0, 2π) y (2π, 0).
c) Use multiplicadores de Lagrange para obtener los extremos de las siguientes funciones sujetas a la condición dada.
21
1) f (x, y) = x3 y 5 con la condición x + y = 8.
2) f (x, y, z) = x + y − z para los puntos en la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1.
3) f (x, y, z) = x + 2y − 3z sobre el elipsoide x2 + 4y 2 + 9z 2 ≤ 108.
d ) Encuentre la distancia del origen al plano x + 2y + 2z = 3 de tres maneras:
1) Usando argumentos geométricos.
2) Reduciendo el problema a uno de dos variables sin restricciones.
3) Usando multiplicadores de Lagrange.
5.
Ejercicios Adicionales
a) Calcule las derivadas parciales y direccionales de las siguientes funciones en el punto
dado o justifique si no existen. De ser posible, dé la ecuación del plano tangente en
dicho punto.
1) z = ln(2x + y) en P = (−1, 3) en la dirección u = (1, 2).
2) f (x, y) = ex cos(xy) en P = (1/2, π) en la dirección u = (3/5, 4/5).
3)
 2
 x +1
f (x, y) =
x2 + y 2

0
si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
en P = (0, 0) en la dirección u = (1, 1).
4)


y2
f (x, y) =
x2 + y 2

1
si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
en P = (0, 0) en la dirección u = (1, 1).
b) Sea f (x, y, z) = |r|−n donde r = xi + yj + zk. Muestre que ∇f =
−nr
.
|r|n+2
c) Encuentre y clasifique los puntos crı́ticos de las siguientes funciones.
1) f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy
xy
2) f (x, y) =
2 + x2 + y 2
3) f (x, y) = xy − 2x en el rectángulo −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
22
d ) Encuentre la máxima y la mı́nima distancia del punto (2, 1, −2) a la esfera x2 + y 2 +
z 2 = 1.
e) Encuentre la menor distancia del punto (3, 0) a la parábola y = x2 de dos maneras:
1) transformando el problema en otro que dependa de una sola variable.
2) usando multiplicadores de Lagrange.
6.
Ejercicios de Aplicación
Derivadas Direccionales
a) La temperatura en los puntos del plano (x, y) está dada por T (x, y) = x2 − 2y 2 .
1) Dibuje algunas isotermas.
2) ¿En que dirección deberı́a moverse una hormiga situada en el punto P = (2, −1)
si desea refrescarse tan rápido como sea posible?
3) ¿A que tasa experimentará el descenso de temperatura la hormiga si se mueve
desde el punto P en la dirección (−1, −2).
b) La ley de los gases para una masa fija m de una gas ideal a la temperatura absoluta
T , a presión P y con volumen V es P V = mRT , donde R es la constante de gas.
Muestre que
∂P ∂V ∂T
=1
∂V ∂T ∂P
c) La energı́a cinética de un cuerpo de masa m y velocidad v es K = 12 mv 2 . Muestre
que
∂K ∂ 2 K
=K
∂m ∂v 2
Diferenciales
d ) Las aristas de una caja rectangular son medidas con un error máximo del 1 %. Use
diferenciales para estimar el error máximo porcentual al calcular el volumen de la
caja y el área de una cara de la caja.
e) Si R es la resistencia total de tres resistores R1 , R2 , R3 colocados en paralelo, entonces
1
1
1
1
=
+
+
R
R2 R2 R3
23
Si las resistencias se miden como R1 = 25 ohms, R2 = 40 ohms y R3 = 50 ohms, con
errores de a lo suma 0,5 % en cada caso, estime el error máximo en el valor calculado
de R.
Regla de la cadena
f ) Utilice diferenciales para calcular la cantidad de metal de una lata cilı́ndrica cerrada
de 10cm de alto y 4cm de diámetro, si el metal de la pared es de 0,05cm de espesor
mientras que el metal de la tapa y el fondo es de 0,1cm de espesor.
g) El radio de un cilindro circular recto decrece en una razón de 1,2cm/s, en tanto que
su altura aumenta a una tasa de 3cm/s. ¿A que tasa cambia el volumen del cilindro,
si el radio es de 80cm y la altura de 150cm.
h) La longitud l, el ancho w y la altura h de una caja cambian con el tiempo. En
un cierto tiempo, las dimensiones son l = 1m y w = h = 2m y además l y w se
incrementan a una tasa de 2m/s, en tanto que h disminuye a una tasa de 3m/s. En
ese instante, calcule las tasas de cambio de
1) El volumen.
2) El área de la superficie.
3) La longitud de una diagonal.
i ) El voltaje V en un circuito eléctrico simple disminuye lentamente conforme la baterı́a
de agota. La resistencia R aumenta lentamente conforme el resistor se calienta.
Utilice la Ley de Ohm, V = IR, para calcular cómo está cambiando la corriente I en
el momento cuando R = 400Ω, I = 0,08A, dV /dt = −0,01V /s y dR/dt = 0,03Ω/s.
Extremos
j ) Una caja de cartón, sin tapa, deberá tener un volumen de 32000cm3 . Calcule las
dimensiones que minimicen la cantidad de cartón a utilizar.
k ) La base de un acuario, de volumen V , está hecho de esquisto y sus lados de cristal.
Si el esquisto cuesta cinco veces más que el cristal (por unidad de área), determine
las dimensiones del acuario que minimicen el costo de los materiales.
7.
Autoevaluación
a) ¿Cuántas derivadas parciales de orden 4 tiene una función de 2 variables? ¿Y cuántas
de orden n?
b) Si estas derivadas paricales son continuas, ¿cuántas de ellas son distintas?
24
c) Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
1) Existe una función f (x, y) cuyas derivadas parciales son fx (x, y) = x + 4y y
fy (x, y) = 3x − y.
2) Si f (x, y) = ln y, entonces ∇f (x, y) = 1/y
3) Si existen fx (a, b) y fy (a, b) entonces f es diferenciable en (a, b).
4) Si f tiene un mı́nimo local y es diferenciable en (a, b) entonces ∇f (a, b) = 0.
p
d ) Utilice diferenciales para aproximar el número (1,98)3 (3,01)2 + (3,97)2 .
e) ¿Cómo se relacionan las derivadas direccionales y el gradiente de f (x, y)?
f ) ¿En qué dirección se produce la máxima derivada direccional de f (x, y)?
g) ¿En qué dirección se produce la mı́nima derivada direccional de f (x, y)?
h) ¿En qué dirección la derivada direccional de f (x, y) es 0?.
25
Capı́tulo 4
Integrales Múltiples
1.
Curvas y Superficies
1. Identifique y grafique las siguientes curvas en R2 .
a) y = 3x + 2
g) 2x − y + 3 = 0
b) x + y = 2
h) x2 − y 2 − 6y = 10
c) x = y 2 − 2y + 1
i) y 2 − 3x2 = 12
√
j) y = − x − 2
d ) 9x2 + 4y 2 = 36
e) 3x2 − 6x + 3y 2 = 6
p
f ) y = − 1 − (x + 2)2
2. Identifique y grafique las siguientes superficies en R3 .
a)
x−4
2
b) x =
=
y+5
4
y+2
2
=
=
z−1
−3
h) x2 + 4z 2 − y = 0
i ) z 2 = 3x2 + 4y 2 − 12
z+2
3
c) 4x2 + 9y 2 + 36z 2 = 36
j ) x2 + 6x + y 2 − 4z 2 + 8z = 19
d ) 4z 2 − x2 − y 2 = 1
k ) x2 − y 2 + 4y + z = 4
e) z = y 2
f ) x = y2 + z2
g) 2x2 + z 2 = 4
3. Dibuje la región acotada por las siguientes superficies.
p
a) z = x2 + y 2 y x2 + y 2 = 1 para 1 ≤ z ≤ 2.
b) z = x2 + y 2 y z = 2 − x2 − y 2 .
26
2.
Integrales Dobles
1. Calcule las siguientes integrales iteradas
R2R1
a) 0 0 x2 y 3 dydx
R2R1
b) 0 0 y2x+1 dydx
R3R1√
c) 0 0 x + ydxdy
R ln 2 R ln 5 2x−y
e
dxdy
d) 0
0
RπRx
e) 0 −x cos ydydx
2. Dibuje la región R de integración y calcule la integral doble
RR
a) R x sen ydA con R = {(x, y)/0 ≤ y ≤ π/2, 0 ≤ x ≤ cos x}
RR
b) R x1 dA con R = {(x, y)/0 ≤ y ≤ e, y 2 ≤ x ≤ y 4 }
RR
c) R ex+y dA con R acotada por las rectas y = 0, y = x, x = 1.
RR
d ) R yex dA con R la región triangular con vértices (0, 0), (2, 4) y (6, 0).
RR
e) R 4y 3 dA con R acotada por las curvas y = x − 6, y 2 = x.
3. Calcule el volumen de los siguientes sólidos usando integrales dobles
a) Bajo el paraboloide z = 3x2 +y 2 y encima de la región acotada por y = x y x = y 2 −y.
b) Acotado por el cilindro x2 + z 2 = 9 y los planos x = 0, y = 0, z = 0, x + 2y = 2 en
el primer octante.
c) Acotado por los planos x = 0, y = 0, z = 0 y x + y + z = 1.
4. Dibuje la región de integración y cambie el orden de integración. Resuelva cuando sea
posible.
R 1 R 2−y
a) 0 y2 f (x, y)dxdy
b)
R 1 R π/4
c)
R1R1 √
d)
R3R9
0
0
0
arctanx
√
y
y2
f (x, y)dxdy
x3 + 1dxdy
y cos(x2 )dxdy
27
Integrales mediante un Cambio de coordenadas.
Si T una función de Rn en Rn biyectiva y continua. Sea D un subconjunto del dominio de T .
Si f es continua y acotada en T (D) entonces
ZZ
ZZ
f (x, y)dA =
f ◦ T |detT 0 |dA
T (D)
D
Ejercicios
1. Sea R la región del primer cuadrante del plano xy acotada por las hipérbolas xy = 1,
xy = 9 y las rectas Ry R= x, y = 4x. Utilice la transformación x = uv , y = uv con u > 0,
v > 0, para escribir
dxdy como una integral sobre una región adecuada D del plano
R
uv. Calcule la integral obtenida.
2. Calcule la integral encerrada por las curvas x2 + 2y 2 = 1, x2 + 2y 2 = 4, y = 2x, y = 5x,
x ≤ 0, y ≤ 0 usando la transformación u = x2 + 2y 2 , v = xy
Cambio a coordenadas polares
Sea T : R2 → R2 la siguiente función biyectiva
T (r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ)) = (x, y)
Si f es continua en una región polar de la forma
D = {(r, θ)/α ≤ θ ≤ β, h1 (θ) ≤ r ≤ h2 (θ}
donde 0 ≤ β − α ≤ 2π, entonces
Z β Z h2 (θ)
ZZ
f (r cos θ, r sen θ))rdrdθ
f (x, y)dA =
T (D)
α
h1 (θ)
Observación: NO olvidar el factor adicional r en el término de la derecha.
Ejercicios
1. Cambie la integral dada a coordenadas polares y evalúela.
RR
a) R ydA, donde R es la región en el primer cuadrante acotada por el cı́rculo x2 +y 2 =
9 y las rectas y = 0, y = x.
RR
b) R xydA, donde R es la región en el primer cuadrante entre los cı́rculos x2 + y 2 = 4
y x2 + y 2 = 25.
RR
c) R √ 21 2 dA, donde R es la región que está dentro del cardioide r = 1 + sen θ y
x +y
fuera del cı́rculo r = 1.
28
d)
RR
xdA, donde R es la región en el primer cuadrante que está entre los cı́rculos
x + y 2 = 4 y x2 + y 2 = 2x.
R 1 R √1−x2 x2 +y2
dydx
e) 0 0
e
R 2 R √2x−x2 p
f) 0 0
x2 + y 2 dydx
2
R
3.
Integrales Triples
Ejercicios
1. Calcule las siguientes integrales iteradas en el orden adecuado.
RRR
a)
zdV , donde E está acotada por los planos x = 0, y = 0, z = 0, y + z = 1 y
E
x + z = 1.
RRR
b)
(x + 2y)dV , donde E está acotada por el cilindro parabólico y = x2 y los planos
E
z = x, y = x y z = 0.
RRR
c)
xdV donde E está acotada por el paraboloide x = 4y 2 + 4z 2 y el plano x = 4.
E
RRR
d)
sen(πy 3 )dV donde E es la pirámide con vértices los puntos (0, 0, 0), (0, 1, 0),
E
(1, 1, 0), (1, 1, 1) y (0, 1, 1).
Cambio a coordenadas cilı́ndricas
Sea T : R3 → R3 la siguiente función biyectiva
T (r, θ, z) = (r cos(θ), r sen(θ), z) = (x, y, z)
Si f es continua en la región
D = {(r, θ, z)/α ≤ θ ≤ β, h1 (θ) ≤ r ≤ h2 (θ), g1 (r, θ) ≤ z ≤ g2 (r, θ)}
donde 0 ≤ β − α ≤ 2π, entonces
ZZZ
Z
f (x, y, z)dV =
T (D)
β
α
Z
h2 (θ)
Z
g2 (r,θ)
f (r cos θ, r sen θ, z)rdzdrdθ
h1 (θ)
g1 (r,θ)
Observación: NO olvidar el factor adicional r en el término de la derecha.
Ejercicios
RRR
1. Calcule
ydV , donde E es el sólido que está entre los cilindros x2 + y 2 = 1 y
E
2
2
x + y = 4, encima del plano xy y debajo del plano z = x + 2.
2. Determine el volumen de la región E acotada por los paranoloides z = x2 + y 2 y z =
36 − 3x2 − 3y 2 .
29
RRR 2
3. Evalúe
x dV , donde E es el sólido que está entre el cilindro x2 + y 2 = 1 encima del
E
plano z = 0 y debajo del cono z 2 = 4x2 + 4y 2 .
Cambio a coordenadas esféricas
Sea T : R3 → R3 la siguiente función biyectiva
T (r, θ, φ) = (r cos(θ) sen(φ), r sen(θ) sen(φ), r cos(φ)) = (x, y, z)
Si f es continua en la región D
ZZZ
ZZZ
f (x, y, z)dV =
T (D)
f (r cos(θ) sen(φ), r sen(θ) sen(φ), r cos(φ))r sen(φ)drdθdφ
D
Observación: NO olvidar el factor adicional r sen(φ) en el término de la derecha.
Ejercicios
1. Describa todos los puntos (x, y, z) del espacio cuyas coordenadas esféricas satisfacen las
siguientes ecuaciones,
a) θ = π/2
b) φ = π/2
c) r = 3
d ) r = 2 cos(φ)
e) r = 2 cos(θ)
f ) φ = π/3
g) θ = π/6
RRR
(x2 + y 2 + z 2 )dV , donde E es la bola centrada en el origen de radio 3.
RRR
2
2
2 2
3. Encuentre
xe(x +y +z ) dV , donde E es el sólido que está entre las esferas x2 + y 2 +
E
z 2 = 1 y x2 + y 2 + z 2 = 4 en el primer octante.
RRR p
4. Evalúe
x2 + y 2 + z 2 dV , donde E es el sólido acotado debajo del cono φ = π/6 y
E
encima de la esfera r = 2.
2. Evalúe
E
5. Determine el volumen del sólido que está encima del cono φ = π/3 y debajo de la esfera
r = 4 cos(φ).
6. Escriba las siguientes integrales en a) coordenadas cartesianas, b) coordenadas cilı́ndricas y c) coordenadas esféricas. Elija las coordenadas más convenientes para calcular la
integral.
p
a) Determine el volumen del sólido que está arriba del cono z = x2 + y 2 y debajo de
la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1.
RRR 2
b)
x dV , donde E está entre las esferas r = 1 y r = 3 y encima del cono φ = π/4.
E
7. Elija coordenadas convenientes para calcular las siguientes integrales.
30
a)
R 1 R √1−x2 R 2−x2 −y2
b)
R 1 R √1−y2 R √x2 +y2
√
− 1−x2
−1
0
0
x2 +y 2
x2 +y 2
(x2 + y 2 )3/2 dzdydx
(xyz)dzdxdy
R 3 R √9−x2 R 9−x2 −y2 p
c) −3 −√9−x2 0
z (x2 + y 2 + z 2 )dzdydx
4.
Ejercicios Adicionales
1. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.
R6R2
R2 R6
a) −1 0 x2 sen(x − y)dxdy = 0 −1 x2 sen(x − y)dxdy
R1 R1 2 2
b) −1 0 ex +y sen ydxdy = 0
p
R 2π R 2 R 2
c) La integral 0 0 r dzdrdθ representa el volumen encerrado por el cono z = x2 + y 2
y el plano z = 2.
2. Describa la región cuya área esta dada por la siguiente integral
Z π Z 1+sen θ
rdrdθ
0
1
3. Describa el sólido cuyo volumen está dado por la siguiente integral
Z 2π Z π/6 Z 3
r2 sen φdrdφdθ
0
0
1
y evalúe dicha integral.
4. Calcule las siguientes integrales
RR
a) D xydA, donde D es la región acotada por y 2 = x3 y x = y.
RR
b) D (xy + 2x + 3y)dA, donde D es la región del primer cuadrante acotada por x =
1 − y 2 , y = 0 y x = 0.
RRR 2 2
c)
y z dV , donde E está acotada por el paraboloide x = 1 − y 2 − z 2 y el plano
E
x = 0.
RRR
d)
zdV , donde E está acotada por lod planos y = 0, z = 0, x + y = 2 y el cilindro
E
2
y + z 2 = 1 en el primer octante.
5.
Ejercicios de Aplicación
1. Si la función f (x, y) representa la densidad de masa (en unidades de masa por unidad de
área) de una lámina delgada, entonces la masa de la lámina en una región D está dada por
31
RR
la integral doble sobre la región D, es decir m =
f (x, y)dA. Además las coordenadas
D
del centro de masa están dadas por
ZZ
1
x=
xf (x, y)dA
m D
1
y=
m
ZZ
yf (x, y)dA
D
El significado fı́sico del centro de masa es que la lámina se comporta como si toda la
masa estuviera concentrada en ese punto.
Calcule la masa y las coordenadas del centro de masa de las siguientes láminas cuya
densidad es f (x, y) y que ocupan la región D,
a) f (x, y) = x + y y D es la región triangular con vértices (0, 0), (2, 1) y (0, 3).
b) f (x, y) = y y D es la región acotada por la parábola y = 9 − x2 y el eje x.
c) f (x, y) = xy y D es la región en el primer cuadrante acotada por la parábola y = x2
y la recta y = 1.
d ) D es la parte del disco x2 + y 2 ≤ 1 en el primer cuadrante y la densidad de masa es
proporcional al cuadrado de la distancia desde el origen, para cualquier punto.
e) D es la parte del disco x2 + y 2 ≤ 1 en el primer cuadrante y la densidad de masa es
proporcional al cuadrado de la distancia desde el eje x, para cualquier punto.
2. Si una carga eléctrica se distribuye en una región D y la densidad de carga (en unidades
de carga por unidad de área) está dada por una función f (x, y), entonces la carga total
Q se obtiene a através de la integral doble sobre la región D. Calcule la carga eléctrica
distribuı́da en las siguientes regiones D si la densidad de carga es f (x, y) (medida en
coulombs por metro cuadrado)
a) D es el rectángulo 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2 y f (x, y) = x2 + 3y 2 .
b) D es el disco unitario x2 + y 2 ≤ 1 y f (x, y) = 1 + x2 + y 2 .
3. El momento de Inercia de una lámina con función densidad de masa f (x, y) y que ocupa
una región D alrededor del eje x se puede calcular como
ZZ
Ix =
y 2 f (x, y)dA
D
De manera similar, el momento de Inercia alrededor del eje y es
ZZ
Iy =
x2 f (x, y)dA
D
32
Asimismo, se calcula el momento de inercia alrededor del origen o momento polar de
inercia a
ZZ
I0 =
(x2 + y 2 )f (x, y)dA
D
Observe que I0 = Ix + Iy .
Calcule los momentos de Inercia para las láminas del ejercicio 1.
4. Todas las aplicaciones mencionadas para integrales dobles pueden extenderse a integrales
triples. En efecto si un objeto sólido que
RRRocupa una región E tiene una densidad de masa
f (x, y, z) entonces su masa es m =
f (x, y, z)dV y las coordenadas del centro de
E
masa son
RRR
RRR
RRR
1
1
x = m1
xf
(x,
y,
z)dV
;
y
=
yf
(x,
y,
z)dV
;
z
=
zf (x, y, z)dV
m
m
E
E
E
Calcule la masa y las coordenadas del centro de masa para los siguientes objetos sólidos
que ocupan una región E y tienen una densidad de masa f (x, y, z)
a) E está acotado por el cilindro parabólico z = 1 − y 2 y los planos x + z = 1, x = 0 y
z = 0 y la densidad es constante.
b) E es el tetraedro acotado por los planos x = 0, y = 0, z = 0 y x + y + z = 1, con
f (x, y, z) = y.
5. Los momentos de Inercia alrededor de los ejes coordenados son
RRR
RRR
Ix = RRRE (y 2 + z 2 )f (x, y, z)dV ; Iy =
(x2 + z 2 )f (x, y, z)dV ;
E
2
2
Iz =
(x + y )f (x, y, z)dV
E
Calcule los momentos de Inercia de un ladrillo regular de dimensiones a, b y c con masa
M y densidad constante.
6.
Autoevaluación
1. Defina coordenadas polares y enuncie el teorema que permite calcular una integral doble
cartesiana en coordenadas a polares.
2. Defina coordenadas cilı́ndricas y enuncie el teorema que permite calcular una integral
triple cartesiana en coordenadas a cilı́ndricas.
3. Defina coordenadas esféricas y enuncie el teorema que permite calcular una integral
triple cartesiana en coordenadas a esféricas.
33
Capı́tulo 5
Curvas - Integral de Lı́nea
Una curva en Rn es una función γ : A ⊂ R → Rn continua.
Muchas veces suele llamarse curva a la imagen del conjunto A por γ, es decir a γ(A) ⊂ Rn y a
la función γ una parametización de la curva.
Ejercicios
1. Identifique las curvas dadas por las siguientes parametizaciones.
a) γ(t) = (sen t, 3, cos t)
b) γ(t) = (t2 , t, 2)
√
c) γ(t) = (sen t, sen t, 2 cos t), ayuda: muestre que la curva está contenida en el plano
x = y.
d ) γ(t) = (sen t, t, cos t), ayuda: muestre que la curva está contenida en el cilindro
x2 + z 2 = 1.
e) γ(t) = (t cos t, t sen t, t), ayuda: muestre que la curva está contenida en el cono
z 2 = x2 + y 2 .
2. Muestre que la curva γ(t) = (sen t, cos t, sen2 t) es la curva intersección de las superficies
z = x2 y x2 + y 2 = 1. Use este hecho para realizar la gráfica de la curva.
3. Parametrice las curvas del ejercicio 1 de la sección 1 del capı́tulo anterior.
Una curva γ : A ⊂ R → Rn se dice suave si γ(t) 6= 0 para todo t ∈ A.
Dada una curva γ : A ⊂ R → R3 suave, se define:
0 (t)
Vector Tangente Unitario a T (t) = |γγ 0 (t)|
Vector Normal principal a N (t) =
T 0 (t)
|T 0 (t)|
Vector Binormal a B(t) = T (t) × N (t)
La Curvatura κ(t) =
|T 0 (t)|
|γ 0 (t)|
=
|γ 0 (t)×γ 00 (t)|
|γ 0 (t)|3
34
Dada una curva γ : A ⊂ R → R3 suave, se define:
La Torsión es una función τ (t) tal que B 0 (t) = −τ (t)N (t)|γ 0 (t)|
Los vectores T y N determinan un plano que pasa por el punto γ(t) llamado plano
osculador.
Ejercicios
1. Calcule los vectores Tangente, Normal y Binormal, la curvatura, la torsión y el plano
osculador de las curvas del ejercicio 1.
2. Calcule la longitud de las curvas del ejercicio 1, tomando en cada caso un dominio
adecuado.
3. Encuentre la parametización por longitud de arco de las curvas del ejercicio 1.
Sea γ : [a, b] → Rn una curva suave y sea f : D ⊂ Rn → R una función continua cuyo dominio
contiene a la curva. Se llama Integral de lı́nea de f a lo largo de la curva γ a
Z
Z b
f dγ =
f (γ(t))|γ 0 (t)|dt
γ
a
Ejercicios
1. Calcule las siguientes integrales sobre la curva γ dada.
R
a) γ xy 4 dγ, donde γ es la mitad derecha del cı́rculo x2 + y 2 = 16.
√
R
b) γ xzdγ, donde γ(t) = (6t, 3 2t2 , 2t3 ) con 0 ≤ t ≤ 1.
R
c) γ xyzdγ, donde γ(t) = (2t, 3 sen t, 3 cos t) con 0 ≤ t ≤ π/2.
R
d ) γ x2 zdγ, donde γ(t) = (sen 2t, 3t, cos 2t) con 0 ≤ t ≤ π/4.
R
e) γ xy 2 zdγ, donde γ es el segmento de recta desde el punto (1, 0, 1) hasta (0, 3, 6).
35
Sea γ : [a, b] → Rn una curva suave y sea F : D ⊂ Rn → Rn una función continua cuyo dominio
contiene a la curva. Se llama Integral de lı́nea del campo vectorial F a lo largo de la
curva γ a
Z b
Z
F · dγ =
F(γ(t)) · γ 0 (t)dt
γ
a
Observación: Si tenemos un campo vectorial en R3 tal que F (x, y, z)
(P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) entonces una notación alternativa para esta integral es,
Z
Z
F · dγ = P dx + Qdy + Rdz
γ
γ
Ejercicios
1. Calcule las integrales vectoriales del campo F a lo largo de la curva γ dada.
a) F (x, y) = x2 yi − xyj y γ(t) = (t3 , t4 ), con 0 ≤ t ≤ 1.
b) F (x, y, z) = (y + z)i − x2 j − 4y 2 k y γ(t) = (t, t2 , t4 ), con 0 ≤ t ≤ 1.
c) F (x, y, z) = sen xi + cos yj + xzk y γ(t) = (t3 , −t2 , t), con 0 ≤ t ≤ 1.
d ) F (x, y) = ex−1 i + xyj y γ(t) = (t2 , t3 ), con 0 ≤ t ≤ 1.
2. Calcule
R
γ
x2 ydx + (x2 − y 2 )dy para las siguientes curvas γ
a) el segmento de recta desde (1, 1) hasta (2, 4).
b) el segmento de parábola y = x2 desde (1, 1) hasta (2, 4).
3. Calcule
R
γ
(x − y)dx + (y − x)dy para las siguientes curvas γ
a) el segmento de recta desde (1, 0) hasta (0, 1).
b) el arco sobre el cı́rculo x2 + y 2 = 1 desde (1, 0) hasta (0, 1).
1.
Aplicaciones
1. Análogamente a las aplicaciones de integrales dobles y triples, podemos decir que si la
función integrando representa la densidad de masa de un alambre en forma de la curva
γ, entonces la masa m del alambre está dada por la integral de la función escalar f a
lo largo de la curva.
Por otro lado, las coordenadas del centro de masa están dadas por
R
R
x = m1 γ xf (x, y)dγ; y = m1 γ yf (x, y)dγ
En los siguientes casos, calcule la masa del alambre γ y las coordenadas del centro
de masa, si su densidad de masa es f .
36
=
a) γ la parte del cı́rculo x2 + y 2 = 4 con x ≥ 0 y la densidad f es constante.
b) γ es la hélice γ(t) = (t, cos t, sen t) con 0 ≤ t ≤ 2π y la densidad en cualquier punto
es igual al cuadrado de su distancia al origen.
c) γ la parte del cı́rculo x2 + y 2 = r2 con x ≥ 0, y ≥ 0 y la densidad es f (x, y) = x + y.
2. Si un alambre que tiene densidad lineal f está a lo largo de una curva plana γ, sus
momentos de Inercia alrededor de los ejes x e y se definen como
R
R
Ix = γ y 2 f (x, y)dγ; Iy = γ x2 f (x, y)dγ
Determine los momentos de inercia para un alambre que tiene la forma de una hélice
γ(t) = (2 sen t, 2 cos t, 3t) con 0 ≤ t ≤ 2π con densidad constante.
3. Supongamos que el campo vectorial F representa un campo de fuerza continuo de R3
(por ejemplo un campo gravitacional o el campo de fuerza eléctrico), entonces la integral
vectorial de F a lo largo de una curva γ representa el trabajo realizado por dicha fuerza
al mover una partı́cula a lo largo de la curva γ.
Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerza F sobre una partı́cula que se
mueve a lo largo de la curva γ.
a) F (x, y) = (x2 , xy) y γ es el cı́rculo x2 + y 2 = 4 orientado en dirección contraria al
movimiento de las agujas del reloj.
b) F (x, y) = (x, y + 2) y γ(t) = (t − sen t, 1 − cos t) con 0 ≤ t ≤ 2π.
c) F (x, y) = (x sen y, y) y γ es el trozo de parábola y = x2 desde el punto (−1, 1) hasta
(2, 4).
d ) Un hombre que pesa 160 libras carga un bote de pintura de 25 libras por una escalera
de caracol que rodea a un silo que tiene un radio de 20 pies. Si el silo tiene una altura
de 90 pies y el hombre le da exactamente 3 vueltas completas, ¿que tanto trabajo
llevó a cabo el hombre respecto a la fuerza de gravedad al subir hasta la parte más
alta?
2.
Autoevaluación
1. La integral de lı́nea de un campo vectorial, depende de la trayectoria? o sólo de los
puntos inicial y final de dicha trayectoria?
2. Si la curva γ es cerrada (es decir, el punto final e inicial coinciden), puede decir cuanto
vale la integral a lo largo de γ de un campo vectorial F cualquiera?
3. Defina curva suave.
37
Capı́tulo 6
Superficies - Integrales de Superficie
Una superficie en Rn es una función S : D ⊂ R2 → Rn continua.
Suele llamarse superficie a la imagen de D por S, es decir S(D) ⊂ Rn , mientras que a la función
S se le llama una parametización de S.
Ejercicios
1. Identifique las superficies dadas por las siguientes parametizaciones.
a) f (u, v) = (3 sen u cos v, 2 sen u sen v, cos u)
p
b) f (u, v) = (u, v, 4 − x2 − y 2 )
c) f (u, v) = (3 sen u cos v, 3 sen u sen v, 3 cos u)
d ) f (u, v) = (u2 , v, u)
e) f (u, v) = (u cos v, u sen v, u)
√
f ) f (u, v) = (u, v, 1 + u2 + v 2 )
2. Parametrice las superficies del ejercicio 2 de la sección 1 del capı́tulo 4 (Integrales Múltiples).
3. Calcule el área de las superficies del ejercicio 1 definidas en un dominio adecuado.
Sea f : Df ⊂ Rn → R una función continua y sea S : D ⊂ R2 → Rn una superficie cuya
imagen está contenida en el dominio de f .
Se llama Integral de superficie de f sobre S a
ZZ
ZZ
f dS =
f (S(u, v))||Su × Sv ||dudv
S
D
Ejercicios
1. Calcule la integral de superficie planteada.
RR
a) S xzdS con S el triángulo de vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1).
RR
b) S (y 2 + z 2 )dS con S la parte del paraboloide x = 4 − y 2 − z 2 tal que x ≤ 0.
38
c)
RR
xyzdS con S la parte de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 que está arriba del cono
p
z = x2 + y 2 .
S
Sea un campo vectorial F : R3 → R3 continuo y sea S : D ⊂ R2 → Rn una superficie orientable
con vector normal unitario n.
Se llama Integral vectorial de superficie de F sobre S a
ZZ
ZZ
ZZ
F · dS =
F · ndS =
F (S(u, v)) · Su × Sv dudv
S
S
D
A esta integral se le llama también flujo de F a través de S.
Ejercicios
1. Calcule el flujo del campo vectorial F a través de S.
a) F (x, y, z) = (x, xy, xz) y S es el plano 3x + 2y + z = 6 en el primer octante con
orientación hacia arriba.
b) F (x, y, z) = (x2 y, −3xy 2 , 4y 3 ) y S es la parte del paraboloide elı́ptico z = x2 + y 2 − 9
que está debajo del cuadrado 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 y que tiene orientación hacia
abajo.
p
c) F (x, y, z) = (−x, −y, z 2 ) y S es la parte del cono z = x2 + y 2 que está entre los
planos z = 1 y z = 2, con orientación hacia arriba.
d ) F (x, y, z) = sen(xyz)i + x2 yj + x2 ex/5 k y S es la parte del cilindro 4y 2 + z 2 = 4 que
está encima del plano xy entre los planos x = −2 y x = 2 y que tiene orientación
hacia arriba.
1.
Aplicaciones
1. Las integrales de superficie tienen aplicaciones similares a las consideradas en los capı́tulos previos. Por ejemplo, si una lámina delgada tiene la forma de la superficie S y la
densidad de masa está representada por la función escalar f , entonces la masa m de la
lámina se obtiene de la siguiente manera
ZZ
m=
f (x, y, z)dS
S
y el centro de masa tiene coordenadas
x=
1
m
RR
S
xf (x, y, z)dS; y =
1
m
RR
S
yf (x, y, z)dS; z =
39
1
m
RR
S
zf (x, y, z)dS
a) Calcule la masa
p y las coordenadas del centro de masa de un embudo delgado de forma
del cono z = x2 + y 2 , con 1 ≤ z ≤ 4 si la función densidad es f (x, y, z) = 10 − z.
b) Determine el centro de masa del hemisferio x2 +y 2 +z 2 = a2 , z ≥ 0, si tiene densidad
constante.
2. Los momentos de inercia pueden definirse como en los capı́tulos previos.
a) Establezca una expresión integral para el momento de inercia Iz alrededor del eje z
de una lámina delgada que tiene la forma de una superficie S, si la función densidad
es f .
b) Determine el momento de inercia alrededor del eje z del cono dado en el apartado
a) del ejercicio anterior.
3. La superficie cónica z 2 = x2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ a tiene una densidad constante. Calcule las
coordenadas del centro de masa y el momento de inercia alrededor del eje z.
4. Si el campo vectorial F representa el campo de
RRvelocidad que describe un flujo de fluı́do
con densidad constante, entonces la integral S F · ndS representa la razón de flujo a
través de la superficie S dada en unidades de masa por unidades de tiempo.
Un fluı́do con densidad 1200 fluye con una velocidad v = yi + j + zk. Determine
la razón de fluido hacia arriba a través del paraboloide z = 9 − (x2 + y 2 )/4, tal que
x2 + y 2 ≤ 36.
5. El concepto de flujo también surge en otras situaciones fı́sicas. Por ejemplo, si F = E
es un campo eléctrico entonces la integral vectorial de superficie se conoce como flujo
eléctrico de E a través de la superficie S.
Una de las leyes importantes de la electrostática es la Ley de Gauss, que establece
que la carga neta encerrada en una superficie cerrada S es
ZZ
Q = ε0
E · dS
S
donde ε0 es una constante llamada la permisividad del espacio libre.
Utilice la ley de Gauss para calcular la carga eléctrica contenida en el cubo cuyos
vértices son (±1, ±1, ±1), si el campo eléctrico es E(x, y, z) = xi + yj + zk.
6. Otra aplicación tiene que ver con el flujo de calor. Suponga que la temperatura en el
punto (x, y, z) de un cuerpo es u(x, y, z), entonces el flujo de calor está definido como el
siguiente campo vectorial
F = −K∇u
donde K es una constante conocida como la conductividad de una sustancia. La razón
del flujo de calor a lo largo de la superficie S está dado por
ZZ
ZZ
F · dS = −K
∇u · dS
S
S
40
a) La temperatura en el punto (x, y, z) de una sustancia de conductividad K = 6, 5 es
u(x, y, z) = 2y 2 + 2z 2 . Determine la razón de flujo de calor hacia adentro, a través
de la superficie cilı́ndrica y 2 + z 2 = 6 con 0 ≤ x ≤ 4.
b) La temperatura en un punto sobre la esfera que tiene conductividad K es inversamente
p proporcional a la distancia desde el centro de la esfera, es decir u(x, y, z) =
1/ x2 + y 2 + z 2 . Calcule la razón de flujo de calor hacia afuera de la esfera.
41
Capı́tulo 7
Teorı́a de Campos Vectoriales
Teorema de Green
Sea γ una curva simple y cerrada en R2 , supondremos que γ es suave a trozos y orientada
positivamente y sea D la región acotada por γ. Sean P , Q funciones escalares definidas en R2
con derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a D, entonces
Z
ZZ ∂Q ∂P
−
dA
P dx + Qdy =
∂x
∂y
γ
D
Ejercicios
1. Compruebe el teorema de Green en los siguientes ejercicios.
R
a) γ xdx + x2 y 2 dy, con γ el triángulo de vértices (0, 0), (1, 1) y (0, 1).
R
b) γ (x + 2y)dx + (x − 2y)dy, donde γ consiste del arco de parábola y = x2 del punto
(0, 0) al (1, 1), seguido del segmento de recta desde (1, 1) hasta (0, 0).
R
c) γ (x2 + y 2 )dx + 2xydy, donde γ consiste del arco de parábola y = x2 del punto (0, 0)
al (2, 4) y de los segmentos de recta que van desde (2, 4) hasta (0, 4) y desde (0, 4)
hasta (0, 0).
2. Utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de lı́nea planteada.
√
R
a) γ (y + e x )dx + (2x + cos y 2 )dy, donde γ es la frontera de la región encerrada por
las parábolas y = x2 y x = y 2 .
R
b) γ x2 ydx − 3y 2 dy, donde γ es el cı́rculo x2 + y 2 = 1.
R
c) γ 2xydx + x2 dy, donde γ es el cartoide con ecuación en coordenadas polares es
r = 1 + cos θ.
3. Con la ayuda del teorema de Green, muestre que si D es una región que cumple las
hipótesis de ese teorema, entonces su área se puede calcular de la siguiente manera:
Z
1
−ydx + xdy
A(D) =
2 γ
donde γ es la curva frontera de D.
4. Usando el apartado anterior, calcule las siguientes áreas.
42
a) D es la región acotada por el hipocicloide γ(t) = (cos3 t, sen3 t) con 0 ≤ t ≤ 2π.
b) D = {(x, y) ∈ R2 :
x2
a2
+
y2
b2
≤ 1}
Teorema de Gauss o de la Divergencia
Sea E una región simple sólida en R3 cuya superficie frontera S tiene una orientación positiva
hacia afuera. Sea F un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales
continuas sobre una región abierta que contiene a E, entonces
ZZ
ZZZ
F · dS =
div(F )dV
S
E
Ejercicios
1. Verifique el teorema de Gauss en los siguientes casos.
a) F (x, y, z) = xzi + yzj + 3z 2 k y E es el sólido acotado por el paraboloide z = x2 + y 2
y el plano z = 1.
b) F (x, y, z) = 2xi + y 2 j + z 2 k y E es la región dada por x2 + y 2 + z 2 ≤ 1.
2. Utilice el teorema de la divergencia para calcular el flujo de F a través de S.
2
a) F (x, y, z) = yez i + y 2 j + exy k y S es la superficie frontera del sólido acotado por el
cilindro x2 + y 2 = 9 y los planos z = 0 y z = y − 3.
b) F (x, y, z) = (x3 + y sen z)i + (y 3 + z sen
px)j + 3zk y S es la
p superficie frontera del
sólido acotado por los hemisferios z = 4 − x2 − y 2 , z = 1 − x2 − y 2 y el plano
z = 0.
c) F (x, y, z) = 3xyi + y 2 j − x2 y 4 k y S es la superficie frontera del tetraedro con vértices
(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1).
Teorema de Stokes
Sea S una superficie orientada suave a pedazos, cuya frontera es una curva γ suave a pedazos,
cerrada y simple con orientación positiva. Sea F un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta de R3 que contiene a S,
entonces
Z
ZZ
F · dγ =
rot(F ) · dS
γ
S
Ejercicios
1. Compruebe el teorema de Stokes en los siguientes casos.
a) F (x, y, z) = 3yi + 4zj − 6xk y S es la parte del paraboloide z = 9 − x2 − y 2 que
está encima del plano xy, orientado hacia arriba.
43
b) F (x, y, z) = yi + zj + xk y S es la parte del plano x + y + z = 1 que está en el primer
octante, orientado hacia arriba.
2. Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral de superficie.
a) F (x, y, z) = yz 3 i + sen(xyz)j + x3 k y S es la parte del paraboloide y = 1 − x2 − z 2
que está a la derecha del plano xy, orientado hacia adelante del plano xz.
b) F (x, y, z) = xyzi + xj + exy cos zk y S es el hemisferio x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≤ 0
orientado hacia arriba.
p
c) F (x, y, z) = xi + y 2 zj + zk y S es el hemisferio x = 9 − y 2 − z 2 que está dentro
del cilindro y 2 + z 2 = 4, que está orientado en la dirección del eje x positivo.
3. Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral curvilı́nea, donde γ está orientada
en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, si se mira la curva desde
arriba.
a) F (x, y, z) = 2zi + 4xj + 5yk y γ es la curva intersección del plano z = x + 4 y el
cilindro y 2 + x2 = 4.
b) F (x, y, z) = xzi + 2xyj + 3xyk y γ es la frontera de la parte del plano 3x + y + z = 3
que está en el primer octante.
1.
Independencia del camino de integración
Sea F : D ⊂ Rn → Rn (n = 2 ó 3) una función vectorial con derivadas parciales continuas sobre
D un conjunto simplemente conexo. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
R
F · dγ es independiente de la trayectoria.
γ
F es un campo conservativo, es decir F = ∇f , para alguna función f : D ⊂ R3 → R
si n = 2,
∂F2
∂x
=
∂F1
∂y
ó si n = 3, rot(F ) = ∇ × F = 0
Ejercicios
1. Determine si F es o no un campo conservativo. En caso afirmativo encuentre f tal que
F = ∇f
a) F (x, y) = (e2x + x sen y)i + x2 cos yj
b) F (x, y) = (yexy + 4x3 y)i + (xexy + x4 )j
c) F (x, y) = (x2 + y)i + x2 j
d ) F (x, y, z) = 2xy 3 z 4 i + 3x2 y 2 z 4 j + 4x2 y 3 z 3 k
44
2. En los casos en que el campo es conservativo, calcule la integral sobre una curva cualquiera γ que une los puntos A = (0, 0) y B = (1, π/2), si F depende de dos variables. O
entre A = (0, 0, 0) y B = (2, 4, 8) si F depende de tres variables.
2.
Autoevaluación
1. Pruebe e interprete las siguientes afirmaciones
a) Si f : R3 → R, entonces rot(gradf ) = 0.
b) Si f : R3 → R3 , entonces div(rotF ) = 0.
c) Si f : R3 → R, entonces div(gradf ) =
45
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
Capı́tulo 8
Ecuaciones diferenciales ordinarias
La siguiente ecuación diferenciable de primer orden
dy
= F (x, y)
dx
g(x)
se dice separable si F (x, y) =
.
h(y)
Para resolverla, la reescribimos de la siguiente manera
h(y)dy = g(x)dx
Integrando en ambos miembros, tenemos
Z
Z
h(y)dy = g(x)dx
Ésta última igualdad define a y implı́citamente.
Ejercicios
1. Resuelva las siguientes ecuaciones separables.
a)
xy
dy
= 2
dx
x +1
dy
lnx
=
dx
xy + xy 3
√
x x2 + 1
0
c) y =
yey
b)
2. Resuelva las siguientes ecuaciones con problema de valor inicial.
a) y 0 = ex−y , y(0) = 1.
b)
dy
ty + 3t
= 2
, y(2) = 2.
dt
t +1
46
La ecuación diferenciable de primer orden
dy
= F (x, y)
dx
se dice homogénea si al hacer el cambio de variable y = xv, obtenemos la ecuación separable
g(v) − v
v0 =
x
Ejercicios
1. Diga si las siguientes escuaciones son homogéneas
a) x2 + 1 + 2xyy 0 = 0
p
b) x2 + y 2 dx + ydy = 0 con x > 0.
c) y 0 = ln(y) − ln(x)
2. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas.
a) (x − y)y 0 = x + y
b) xy 0 = y + xey/x
c)
dy
dx
=
y 2 −x2
2xy
1.
Ecuaciones Lineales de primer orden
Una ecuación diferencial lineal es aquella que puede escribirse de la siguiente manera
dy
+ P (x)y = Q(x)
dx
donde P y Q son funciones continuas sobre un intervalo.
Para resolver esta ecuación se multiplica por el factor integrante
I(x) = e
R
P (x)dx
e integramos ambos miembros de la igualdad.
Ejercicios
1. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales de primer orden.
a) y 0 − 3y = ex
b) xy 0 + 2y = ex
2
47
c) y 0 cos x = y sen x + sen 2x, −π/2 < x < pi/2
d)
dy
dx
+ 2xy = x2
e) xy 0 + xy + y = e−x , x > 0
2. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales de primer orden con problema de valor inicial.
a) y 0 + y = x + ex , y(0) = 0
2
b) y 0 − 2xy = 2xex , y(0) = 3
dy
c) x2 dx
+ 2xy = cos x y(π) = 0
Una ecuación diferencial de primer orden de la forma
dy
P (x, y) + Q(x, y)
=0
dx
se llama exacta si existe una función f (x, y) tal que
fx (x, y) = P (x, y)
y
fy (x, y) = Q(x, y)
Si el dominio de P y Q es simplemente conexo entonces la ecuación es exacta si y sólo si
∂P
∂Q
=
∂y
∂x
En este caso la solución está dada implı́citamente por f (x, y) = C
Ejercicios
1. Determine si la ecuación diferencial es exacta. Si lo es, resuélvala.
a) 2x + y + (x + 2y)y 0 = 0
b) sen y + (1 + x cos y)y 0 = 0
c) 3xy − 2 + (3y 2 − x2 )y 0 = 0
d)
1
y
+
2y
x3
= ( yx2 +
1 dy
)
x2 dx
e) xlnydx − (x + ylnx)dy = 0
f ) (2x3 y 2 − 12 e2y )dx + (x4 y − xe2y )dy = 0
48
2.
Ecuaciones Lineales de Segundo Grado
Una ecuación diferencial lineal de segundo orden Homogénea tiene la forma
d2 y
dy
P (x) 2 + Q(x) + R(x)y = 0
dx
dx
Si P (x) = a, Q(x) = b y R(x) = c son funciones CONSTANTES, proponemos y = erx como
solución, donde r es una constante, y obtenemos la siguiente ecuación auxiliar
ar2 + br + c = 0
La solución está dada según el siguiente cuadro:
Raı́ces de r2 + br + c = 0
Solución general
r1 , r2 soluciones reales distintas
y = c1 er1 x + c2 er2 x
r1 , r2 = r única solución
y = c1 erx + c2 xerx
r1 = α + iβ, r2 = α − iβ, soluciones complejas y = eαx (c1 cos βx + ic2 sen βx)
Ejercicios
1. Resuelva las ecuaciones direfenciales homogéneas
a) 3y 00 − 8y 0 − 3y = 0
b) y 00 = y
c) y 00 − y 0 + 2y = 0
d ) y 00 = −5y
e) 2y 00 + y 0 + 3y = 0
2. Resuelva los problemas con valor en la frontera, si esto es posible.
a) y 00 + 4y 0 + 4y = 0, y(0) = 0, y(1) = 3
b) y 00 + 5y 0 − 6y = 0, y(0) = 0, y(2) = 1
c) y 00 + 9y = 0, y(0) = 1, y(π/2) = 0
3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales no homogéneas con el método de los
coeficientes indeterminados.
a) y 00 + 2y 0 + 2y = x3 − 1
b) y 00 − 4y 0 + 4y = e−x
49
c) y 00 − 7y 0 + 12y = sen x − cos x
4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales no homogéneas con el método de variación de los parámetros.
a) y 00 − 3y 0 + 2y = sen x
b) y 00 − 2y 0 + y = e2x
c) y 00 − y = 1/x
d ) y 00 − 3y 0 + 2y =
1
1 + e−x
3.
Aplicaciones
En cada uno de los siguientes problemas, identifique la ecuación diferencial a resolver y
obtenga la solución requerida.
Ecuaciones de Primer Orden
1. Una barra metálica que tiene una temperatura de 1000 C, se coloca en un cuarto a 00
C. Luego de transcurridos 20 minutos, la temperatura de la barra es de 500 C, hallar:
a) La temperatura de la barra luego de transcurridos 10 minutos.
b) El tiempo necesario para que la barra tenga 250 C .
c) Resolver los puntos anteriores considerando que la temperatura ambiente es de 250
C.
2. Un cuerpo con una temperatura inicial de T C = 500 C se coloca en un cuarto a T m =
1000 C. Si a los cinco minutos T C = 600 C, calcule:
a) T C a los 10 minutos.
b) El tiempo que debe transcurrir para que T C = 900 C.
3. Si se coloca en un medio de cultivo lı́quido adecuado a 370 C (originalmente transparente)
una colonia de cierto tipo de bacterias y al cabo de 4 hs se observa por turbidimetrı́a un
crecimiento equivalente a 10 colonias, ¿cuál será el número de colonias estimado después
de un dı́a de cultivo?. Suponga crecimiento exponencial.
4. En una ciudad se inició un censo poblacional y se censaron Q0 habitantes. Al cabo de 10
años se repitió el censo arrojando una cifra de 3280 habitantes y a los 15 años la cifra fue
de 4715 habitantes. Asumiendo crecimiento exponencial de la población, calcule cuántos
habitantes se estima para los próximos censos a los 20 y 40 años del primero.
5. La velocidad de desintegración del Radio es directamente proporcional a su masa en
cada instante. Determinar la ley de variación de masa del Radio en función del tiempo,
si para t = 0, la masa es Q0 y para t = 10 años, la masa Q(t) = 0,99561Q0 .
50
6. Una sustancia A se transforma por desintegración en otra sustancia B, también radioactiva. Si A y B son las respectivas constantes de desintegración, hallar la variación de
B en función del tiempo. Suponer que B0 = 0.
7. Se observó que una bolita de naftalina de 1 cm de diámetro se evapora de forma tal
que, luego de 6 meses, su radio disminuyó a 0,25 cm. Encuentre una expresión para la
variación del radio en función del tiempo.
8. La población de un cierto tipo de bacterias se duplica al cabo de 2 hs y a las 3 hs es
de 86 colonias. Hallar el nmero de colonias que hubo a t = 0, considerando crecimiento
exponencial.
9. Un cuerpo de masa 0,4 kg se suelta (con v0 = 0) desde una altura de 2 m. Teniendo en
cuenta la resistencia con el aire, su velocidad lı́mite es de vl = 7,84m/s.
a) Encuentre una expresión para la velocidad del cuerpo en cada instante.
b) Encuentre una expresión para la posición del cuerpo en cada instante.
10. Una reacción quı́mica de segundo orden asume la colisión entre dos cuerpos (moléculas)
A y B para formar un tercer cuerpo C. Suponiendo que a0 y b0 son las concentraciones
iniciales de A y B, respectivamente y c(t) la concentración de C en el instante t. Entonces
a0 − c(t) y b0 − c(t) son las concentraciones de A y B en el tiempo t y la velocidad de
reacción viene dada por la ecuación:
dc(t)
= κ[a0 − c(t)][b0 − c(t)]
dt
donde κ es la constante especı́fica de velocidad. Encontrar c(t) sabiendo que c(0) = 0,
considerando los casos a0 = b0 y a0 6= b0 .
11. Particularice el caso anterior considerando que se necesitan 2g de A y 1g de B para
formar 3g de C. Si se colocan originalmente 10g de A y 20g de B, a los 20 minutos se
formaron 10g de C. Encuentre c(t) y los parámetros que aparezcan en la ecuación.
12. Un tanque contiene 160 L de agua pura. Una solución salina de 100g de sal/L entra en
el tanque a razón de medio litro por minuto, se mezcla bien en el interior y sale a la
misma velocidad.
a) Encontrar una expresión que describa la cantidad de sal en el tanque en función del
tiempo.
b) Verifique que la concentración de sal en el tanque tiende a 100g sal/L, cuando t
tiende a infinito.
13. Un circuito RL tiene los siguientes parámetros:
a) V (f em) = 5[V ]; R = 50[Ω]; L = 1[henry]; I0 = 0[A].
b) V (f em) = 3sen2t[V ]; R = 10[Ω]; L = 5[henry]; I0 = 6[A].
51
En ambos casos calcule la corriente I(t) en el circuito en el instante t.
14. Un circuito RC tiene los siguientes parámetros V (f em) = 400cost[V ]; R = 100[Ω];
C = 10−2 [f arad]; Q0 = 0[C]. Determine la corriente en el circuito en el instante t.
Ecuaciones de Segundo Orden
1. Una bola de acero de 128N, est suspendida de un resorte que, como consecuencia del
peso de la bola, sufre un estiramiento de 2.5 cm de su longitud natural. Se pone la
bola en movimiento con v(0) = 0, desplazándola a 6 cm de su posición de equilibrio.
Despreciando la resistencia del aire, determine:
a) La posición de la bola a t = π/2 segundos.
b) La frecuencia natural de oscilación.
c) El perı́odo de oscilación.
2. Una masa de 4N se encuentra suspendida de un resorte el cual se distiende a 1.1 cm de
su posición original. Se pone la masa en movimiento a partir de su posición de equilibrio,
con una v(0) = 4m/s hacia abajo. Determine el movimiento posterior de la masa, si la
resistencia del aire es igual a −2ẋN .
3. Una masa se encuentra suspendida de un resorte cuya constante de fuerza es k =
140N/m. Se pone en movimiento a partir de la posición de equilibrio con una v(0) =
1m/s hacia arriba, con una fuerza externa aplicada de F = 5 sen t. Determine el movimiento posterior de la masa si la resistencia del aire es −90ẋN .
4. Un circuito RLC tiene: R = 180[Ω]; L = 20[henry]; C = 1/280[f arad] y un voltaje
aplicado de E(t) = 10 sen t[V ]. Suponiendo que no hay carga inicial en el capacitor,
Q0 = 0, pero I(0) = 1[A] cuando se aplica inicialmente el voltaje, determine la carga
del capacitor a tiempo t.
5. Un circuito RLC tiene: R = 10[Ω]; L = 1/2[henry]; C = 10−2 [f arad] y un voltaje aplicado de E(t) = 12[V ]. Suponiendo que: Q0 = 0, I(0) = 0 cuando se aplica inicialmente
el voltaje:
a) Determine la corriente del circuito a tiempo t.
b) Resuelva el problema anterior determinando primero la carga en el capacitor.
52
Bibliografı́a
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