Serie compleja de Fourier

7. Serie compleja de Fourier
Teniendo en cuenta que la potencia, tensión y corriente senoidales, se pueden representar en forma exponencial o compleja, parece
conveniente desarrollar un método que permita desarrollar una función periódica en serie exponencial o compleja de Fourier.
e jω t + e − j ω t
2
e jω t − e − jω t
j2
Al ser:
cos ωt =
La serie trigonométrica de Fourier:
f (t ) = a0 + ∑ (an cos nω 1t + bn sen nω 1t ) = a0 + ∑ an cos nω 1t + ∑ bn sen nω 1t
sen ωt =
n=∞
n=∞
n =1
n =1
n=∞
f (t ) = a0 + ∑ an
se puede escribir en la forma:
e
jnω 1t
n =1
f (t ) = a 0 +
de donde:
n=∞
+e
2
− jnω 1t
n=∞
+ ∑ bn
n =1
e
jnω 1t
n =1
−e
j2
− jnω 1t
n =∞
n =∞
1
(a n − jbn )e jnω1t + 1 ∑ (a n + jbn )e − jnω1t
∑
2 n =1
2 n =1
Como los coeficientes an y bn vienen dados por las ecuaciones:
T

2
f (t ) cos nω 1tdt 
∫
T0


T
2
bn = ∫ f (t ) sen nω 1tdt 

T0
an =
a n ± jbn =
como:
cos nω 1t ± j sen nω 1t = e ± jnω 1t
se tiene:
a n ± jbn =
Sustituyendo en la ecuación de f(t), se obtiene:
2T
± jnω t
∫ f (t )e 1 dt
T0
n =∞
n =∞
12 T
12 T


f (t ) = a 0 + ∑  ∫ f (t )e − jnω 1t dt  e jnω 1t + ∑  ∫ f (t )e jnω 1t dt e − jnω 1t
2
2
T
T

 0

 0
n =1
n =1
f (t ) =
f (t ) =
Esta ecuación también se puede expresar como:
2T
∫ f (t )[cos nω 1t ± j sen nω 1t ]dt
T0
f (t ) =
n=∞
1
T
∑  T ∫ f (t )e
n=0
n=∞
− jnω 1t
0
1
T
∑  T ∫ f (t )e
n = −∞
− jnω 1t
0
n=∞
∑C e
n = −∞

1 T

dt e jnω 1t + ∑  ∫ f (t )e − jnω 1t dt  e jnω 1t


n = −1  T 0

dt  e jnω 1t

jnω 1t
n
n = −∞
1T
− jnω t
∫ f (t )e 1 dt
T0
Cn =
1 2 T
 1
− jnω t
∫ f (t )e 1 dt  = (a n − jbn )
2  T 0
 2
Observese que a0 se obtiene a partir de la ecuación anterior cuando n=0:
C0 =
1T
1T
0
∫ f (t )e dt = ∫ f (t )dt = a 0
T0
T0
donde:
Cn =
Si se conoce el valor de las amplitudes an y bn, resulta que la amplitud de cada armónico es:
Cn =
1 2
a + b n2
2 n
Si la función periodica ha sido desarrollada en serie exponencial o compleja de Fourier, el espectro de amplitudes existe solamente
para valores de ω=0, ±ω1, ±2ω1, ±3ω1, ±4ω1,... Como Cn es un número complejo:
Cn =
es necesario representar el espectro de la fase de Fourier:
(Hacer el ejercicio 13.4 y 13.5)
ϕ n = arctg
1
(a − jbn )
2 n
− bn
an