Tema 10 - Introducción a las ecuaciones en diferencias

Sucesiones y series numéricas
Sucesión
Se llama sucesión a una función f : N → R que a cada natural n
∞
asocia un número real an . Se denota por {an }∞
n=1 o (an )n=1 , o
{a1 , a2 , . . . , an , . . . }.
Ejemplos
4 9 16
n2
1, , , , . . . , n
,...
3 7 15
2 −1
{0.3, 0.33, 0.333, . . . }
an = 2n para n ∈ N
{1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, . . . , 1 + 2 + · · · + n, . . . }
a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + an−2 ,
de forma recurrente o inductiva.
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 1
n ≥ 3. Sucesión definida
Sucesiones y series numéricas
Se dice que {an } es creciente si an ≤ an+1 para todo n, y
estrictamente creciente si an < an+1 para todo n.
Análogamente, se dice que {an } es decreciente si an ≥ an+1
para todo n, y estrictamente decreciente si an > an+1 para
todo n.
En estos casos, se dice que {an } es monótona.
an+1
≥ 1 sucesión creciente si an > 0
an
an+1
≤ 1 sucesión decreciente si an > 0
an
Ejemplos
an =
3n
n2 + 3
(−1)n
, an =
, an =
n
3n + 2
n2
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 2
Sucesiones y series numéricas
Se dice que {an } es acotada superiormente
(inferiormente) si existe K ∈ R tal que an ≤ K (an ≥ K ) para
todo n ∈ N.
Decimos que {an } está acotada si lo está superior e
inferiormente, es decir, si existen K1 , K2 ∈ R tales que
K1 ≤ an ≤ K2 para todo n ∈ N; o equivalentemente, si existe
A > 0 tal que |an | ≤ A para todo n ∈ N.
Ejemplos
an = n, an =
1
n
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 3
Sucesiones y series numéricas
Definición de sucesión convergente
Una sucesión {an }∞
n=1 es convergente si existe un valor l al cual la
sucesión se va acercando cada vez más.
Definición de sucesión convergente
Se dice que {an }∞
n=1 converge a l si, dado ε > 0, existe N0 ∈ N
tal que si n ≥ N0 entonces an ∈]l − ε, l + ε[, es decir |an − l| < ε.
Otra definición equivalente
{an }∞
n=1 converge a l si, dado ε > 0, todos salvo un número
finito de los términos de la sucesión (es decir {a1 , . . . , aN0 −1 })
están dentro de la banda horizontal dada por las rectas y = l − ε,
y = l + ε.
Ejemplo
1 ∞
n n=1
converge a 0.
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 4
Si an converge a a, se escribe lı́m an = a, y se dice que a es el
n→∞
lı́mite de an .
Sucesión divergente
Se dice que una sucesión {an } diverge si no converge. Hay varias
posibilidades, la sucesión puede ser
divergente a +∞ (∀M > 0 ∃n0 / an > M ∀n > n0 )
divergente a −∞
finitamente oscilante (acotada pero no convergente)
infinitamente oscilante (no acotada, pero no diverge a +∞
ni a −∞)
Proposición
i) Si {an } es una sucesión (de números reales) convergente,
entonces el lı́mite es único.
ii) Si {an } converge, entonces está acotada.
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 5
Sucesiones y series numéricas
Propiedades de los lı́mites
Supongamos que {an } converge a l y {bn } converge a t (donde
l, t ∈ R). Entonces se cumple:
Si α, β ∈ R, entonces αan + β bn converge a αl + β t.
|an | converge a |l|.
an bn converge a lt.
l
an
converge (bn 6= 0).
Si t 6= 0, entonces
bn
t
Si an > 0 y l > 0, entonces an bn converge l t .
Si an > 0 y l > 0, entonces logb (an ) converge logb l.
Si l = 1 y bn tiende a ±∞, entonces
lı́m bn (an − 1)
lı́m an bn = e n→∞
.
n→∞
Si an < bn , y an → a, bn → b entonces a ≤ b.
Si an → a, bn → b y a < b, entonces existe N0 tal que an < bn
para todo n ≥ N0 .
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 6
Sucesiones y series numéricas
Propiedades de los lı́mites
Si an > 0, an tiende a +∞ y bn tiende a 0, entonces
lı́m (an )bn = lı́m ebn ln an
n→∞
n→∞
Si an > 0, an tiende a 0 y bn tiende a 0, entonces
lı́m (an )bn = lı́m ebn ln an
n→∞
n→∞
Criterio del Emparedado
Sean {an }, {bn } y {cn } tres sucesiones con an ≤ bn ≤ cn para todo
n ∈ N. Si lı́m an = lı́m cn = l ∈ R, entonces lı́m bn = l.
n→∞
n→∞
n→∞
Ejemplos
√
n
c = 1, c > 0
√
lı́m n n = 1
lı́m
n→∞
n→∞
lı́m b n = 0, 0 < b < 1
n→∞
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 7
Sucesiones y series numéricas
Propiedades de los lı́mites
Si an = f (xn ) y bn = g (xn ), y lı́m
n→∞
an
es una indeterminación
bn
0 ∞
del tipo o , la indeterminación se puede resolver
0 ∞
aplicando la regla de L’Hôpital.
Se dice que {an } es un infinitésimo si lı́m an = 0. En tal caso, los
siguiente son equivalentes (es decir, su cociente tiende a 1):
an ∼ ln(1 + an ) ∼ sen an ∼ tan an ∼ ean −1
1 − cos an =
an2
2
Diremos que {an } es un infinito si lı́m an = ∞. Por ejemplo,
an = n, an = nn , an = n!.
√
Fórmula de Stirling: n! ∼ nn e−n 2πn
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 8
Sucesiones y series numéricas
n√
|n!−nn e −n 2∗π n|
n!
1
101
201
301
401
501
0.079
0.00082
0.00041
0.00028
0.00021
0.00017
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 9
Sucesiones y series numéricas
Ejemplos
√
n2 − 3
lı́m √
n→∞ 3 n3 + 1
√
√ lı́m
5n + 3 − 3n
n→∞
p
p
3
3
lı́m
n3 + n2 − n3 − n2
n→∞
n2 + 1
n2
ln(n + 1) n ln n
ln n
n2
! 3n−1
r
1 + 3n
5 + 3n
lı́m
n→∞
lı́m
n→∞
lı́m
n→∞
2n3
n+1
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 10
Sucesiones y series numéricas
Ejemplos
s
lı́m n ln
n→∞
lı́m
n→∞
1 + n1
1 − n1
n!
nn
1
lı́m 5n3 + 4n − 1 ln(n2 +7n−5)
n→∞
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 11
Teorema la convergencia monótona
Una sucesión {an } monótona de números reales es convergente si y
sólo si es acotada. Además:
a) Si {an } es una sucesión creciente acotada, entonces
lı́m an = sup{an }.
n→∞
b) Si {an } es una sucesión decreciente acotada, entonces
lı́m an = inf{an }.
n→∞
a) Si {an } es creciente y no acotada, entonces lı́m an = +∞.
n→∞
b) Si {an } es decreciente y no acotada, entonces lı́m an = −∞.
n→∞
Ejemplos
1
an = √
n
1
an = ln
n
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Tema 1 12
Sea {an } sucesión tal que lı́m |an | = 0, entonces lı́m an = 0.
n→∞
n→∞
Sean {an } y {bn } dos sucesiones tales que lı́m an = +∞ y
n→∞
{bn } está acotada. Entonces lı́m an + bn = +∞
n→∞
Sean {an } y {bn } dos sucesiones tales que lı́m an = +∞ y
n→∞
existe un n0 ∈ N tal que an ≤ bn para todo n ≥ n0 , entonces
lı́m bn = +∞.
n→∞
Sea {an } una sucesión tal que lı́m an = +∞ y sea {bn } una
n→∞
sucesión tal que existe un α > 0 y existe n0 ∈ N tal que
α ≤ bn para todo n ≥ n0 , entonces lı́m an bn = +∞.
n→∞
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 13
Sucesiones y series numéricas
Criterios
Criterio de Stolz del cociente: Si
lı́m an = lı́m bn = 0 y {bn } es estrictamente monótona ó
n→∞
n→∞
la sucesión {bn } es monótona divergente
an − an−1
an
= l ⇒ lı́m
=l
n→∞
bn − bn−1
bn
la media aritmética:
a1 + a2 + · · · + an
lı́m an = l ⇒ lı́m
= l.
n→∞
n→∞
n
la media geométrica:
√
lı́m an = l ⇒ lı́m n a1 a2 . . . an = lı́m an .
si lı́m
n→∞
Criterio de
si
Criterio de
si
n→∞
n→∞
n→∞
Criterio de la raı́z:
√
an
si an > 0 y lı́m
= l ⇒ lı́m n an = l.
n→∞ an−1
n→∞
Criterio de Stolz de la raı́z: Si an > 0 bn es monótona
creciente y divergente r
√
an+1
si lı́m bn+1 −bn
= l ⇒ lı́m bn an = l.
n→∞
n→∞
an
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 14
Sucesiones y series numéricas
Serie
Si {an }∞
n=1 es una sucesión en R, la serie numérica (ó serie )
generada por {an } es la sucesión Sn definida por
S1 = a1
S2 = a1 + a2 = S1 + a2
..
.
Sn = a1 + · · · + an = Sn−1 + an
an términos general de la serie
Sn sumas parciales
La serie es convergente (divergente) si la sucesión {Sn }∞
n=1 es
convergente (divergente).
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 15
Sucesiones y series numéricas
Ejemplos
1
n
an = r n (serie geométrica)
∞
1
∑ 2n
n=1
an =
Teorema
∞
La serie geométrica
∑ r n converge si y sólo si −1 < r < 1.
n=
Proposición
∞
Si
lı́m an = 0.
∑ an converge entonces n→∞
n=1
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 16
Sucesiones y series numéricas
Series de términos no negativos
Sea {an }∞
n=1 una sucesión de números reales con an ≥ 0. Entonces
{Sn }, la sucesión de sumas parciales, es monótona creciente. Por
tanto, estudiar si {Sn } converge equivale a estudiar si está acotada.
Criterio de Comparación
Si an ≥ 0, bn > 0 para todo n ∈ N:
∞
Si existe n0 tal que an ≤ bn para todo n ≥ n0 y
∑ bn es
n=1
∞
convergente, entonces
Si existe el lı́mite lı́m
n→∞
∑ an es convergente.
n=1
an
bn
= L, entonces:
Si L = 0, la convergencia de
∞
∞
∑ bn implica la de ∑ an .
n=1 ∞
Si L = +∞, la convergencia de
n=1
Si L > 0, las dos series tienen el mismo carácter.
José Vicente Romero Bauset
n=1∞
∑ an implica la de
Tema 1 17
∑ bn .
n=1
Sucesiones y series numéricas
Ejemplos
∞
1
∑ np ,
p<1
n=1
sen √1n
∑ √n
n=1
∞
∞
El caracter de la serie
∑ an no cambia si se modifican un número
n=0
finito de términos
Criterio de condensación de cauchy
Sea an > 0 para todo n ∈ N y {an }decreciente. Entonces la serie
∞
∞
n=1
n=1
∑ an es convergente si, y sólo si, la serie ∑ 2n a2
n
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 18
es convergente.
Sucesiones y series numéricas
Ejemplos
1
Serie armónica generalizada
np
1
an =
n (ln n)p
∞ sen 1
∑ nn
n=1
an =
Criterio del cociente o de D’alambert
Sea an > 0 para todo n ∈ N. Entonces:
an+1
Si
> c ≥ 1 ∀n ≥ no , entonces
an
Si
an+1
≤ c < 1 ∀n ≥ no , entonces
an
José Vicente Romero Bauset
∞
∑ an diverge.
n=1
∞
∑ an converge.
n=1
Tema 1 19
Sucesiones y series numéricas
Corolario
Sea an > 0 para todo n ∈ N. Entonces
∞
an+1
si lı́m
> 1, entonces ∑ an diverge.
n→∞ an
n=1
∞
an+1
< 1, entonces ∑ an converge.
n→∞ an
n=1
an+1
lı́m
= 1 no se puede afirmar nada.
n→∞ an
si lı́m
Ejemplos
∞
∞
1
1
(n!)2 3n
n=1 (2n)!
∞
∑ √n , ∑ n2 , ∑
n=1
∞
∑
n=1
xn
n!
,
n=1
∞
xn
∑ nα
n=1
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 20
Sucesiones y series numéricas
Criterio de la raı́z o de Cauchy
Sea an > 0 para todo n ∈ N. Entonces:
√
Si an ≥ c > 1 ∀n ≥ no , entonces
Si
√
an ≤ c < 1 ∀n ≥ no , entonces
∞
∑ an diverge.
n=1
∞
∑ an converge.
n=1
Corolario
Sea an > 0 para todo n ∈ N. Entonces
∞
√
si lı́m n an > 1, entonces ∑ an diverge.
n→∞
√
si lı́m n an < 1, entonces
n→∞
lı́m
n→∞
n=1
∞
∑ an converge.
n=1
√
n
an = 1 no se puede afirmar nada.
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 21
Sucesiones y series numéricas
Ejemplos
∞
∞
1
1
∑ √n , ∑ n2
n=1
∞
n=1
2
∞
3n
∑ n4 e−n , ∑ n3
n=1
∞
∑r
n=1
n=1
√
n+ n
∞
, r >0 ,∑
n
√
n
n−1
n=1
Series telescópicas
∞
Sea an ∈ R para n ∈ N. Se dice que la serie
∑ an es telescópica si
n=1
existe una sucesión {bn }∞
n=1 de números reales tal que, o bien
1
an = bn − bn+1 ∀ n ∈ N, o bien
2
an = bn+1 − bn ∀ n ∈ N
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 22
Sucesiones y series numéricas
Series telescópicas (tipo 1)
Sn =
a1
+
a2
+ ··· +
an
=
= (b1 − b2 ) + (b2 − b3 ) + · · · + (bn − bn+1 ) =
= b1 − bn+1
∞
lı́m Sn = lı́m (b1 − bn+1 ) = b1 − lı́m bn
∑ an = n→∞
n→∞
n→∞
n=1
Series telescópicas (tipo 2)
∞
lı́m Sn = lı́m (bn+1 − b1 ) = lı́m bn − b1
∑ an = n→∞
n→∞
n→∞
n=1
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 23
Sucesiones y series numéricas
Ejemplos
∞ √
√ n
+
1
−
n ,
∑
n=1
∞
n+1 !
1
1 n
− 1+
1+
n
n+1
∞
∑
n=1
1
∑ 4n2 − 1
n=1
∞
∞
2n + 3
1
∑ n(n + 1)3n , ∑ n(n + 1)(n + 2)
n=1
∞
n=1
1
∑ (m + n)(m + n + 1)
n=1
∞
1
∑ n(n + k)
n=1
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 24
Sucesiones y series numéricas
Nota
Algunas series se pueden sumar haciendo una descomposición en
fracciones simples.
Ejemplos
∞
n + 12
∑ n3 + 5n2 + 6n
n=1
∞
1
∑ (2n + 1)(2n + 3)
n=1
∞
5n − 6
∑ n3 − 3n2 + 2n
n=3
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 25
Descomposición en fracciones simples
p(x)
el cociente de dos polinomios tales que δ p < δ q. Si
q(x)
γ1 , . . . , γk raı́ces reales de q(x) = 0 con multiplicidad m1 , . . . , mk
α1 ± β1 i, . . . , αl ± βl i raı́ces complejas con multiplicidad n1 , . . . , nl
(m1 + · · · + mk + 2(n1 + · · · + nl ) = δ q)
p(x)
entonces,
se puede descomponer en suma de fracciones simples:
q(x)
Sea
p(x)
q(x)
=
A1m1
A11
A12
+
+···+
2
x − γ1 (x − γ1 )
(x − γ1 )m1
..
.
+
Akmk
Ak1
Ak2
+
+
·
·
·
+
x − γk (x − γk )2
(x − γk )mk
Bn11 x + Cn11
B11 x + C11
n
+···+ 2
2
(x − α1 ) + β1
(x − α1 )2 + β12 1
..
.
Bnl l x + Cnl l
B1l x + C1l
n
+
+
·
·
·
+
(x − αl )2 + βl2
(x − αl )2 + βl2 l
+
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 26
Sucesiones y series numéricas
Convergencia absoluta
Sea {an }∞
n=1 una sucesión de números reales. Se dice que la serie
∞
∞
∑ an es absolutamente convergente si la serie
n=1
convergente.
∑ |an | es
n=1
Teorema
Si una serie converge absolutamente, entonces converge.
Series alternadas
∞
Se dice que la serie
∑ an es alternada
si an an+1 < 0. Las series
n=1
alternadas se pueden escribir de la forma an = (−1)n bn o
an = (−1)n+1 bn , con bn > 0.
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 27
Sucesiones y series numéricas
Criterio de Leibniz
∞
Supongamos que la serie
∑ an es alternada con an = (−1)n bn ,
n=1
siendo {bn } monótona decreciente y que tiende a cero. Entonces la
∞
serie
∑ an converge.
n=1
Criterio de Abel (no examen)
∞
Si la serie
∑ an converge y la sucesión {bn } es monótona acotada,
n=1
entonces la serie ∑∞
n=1 an bn converge.
José Vicente Romero Bauset
Tema 1 28