Práctico correspondiente a Sucesiones en R

Práctico correspondiente a Sucesiones en R
1. Halla supremo, ı́nfimo, máximo y mı́nimo de cada uno de los siguientes subconjuntos de reales:
√
1
∗
a) [2, 4) ∪ (5, 30)
b) A = 2 − / n ∈ N
n
n
o
n
√ o
√
d) x/(x + 2)(x − 1)(x − 3) < 0
e) x/x ≤ 5 ∩ Q
c) A ∪ {2}
f)
1
/n ∈ N ∗
2n
2. Sea L = sup(A). Clasifica en verdaderas o falsas (justificando la respuesta):
(a) Si x ∈ A entonces x ≤ L.
(b) Si x ≤ c, ∀ x ∈ A entonces L ≤ c.
(c) Si H < L entonces ∃ a ∈ A / H ≤ a.
(d) ∀ǫ > 0, ∃ a ∈ A / L − ǫ < a ≤ L.
(e) ∀ǫ > 0, ∃ a ∈ A / L − ǫ < a < L.
(f) ∀ǫ > 0, (L − ǫ, L) ⊂ A.
3. Ejercicios 7.1.2 , 7.3.1 , 7.3.2 , 7.3.4 , 7.3.5 , 7.3.6 , 7.3.7 , 7.3.8 , 7.2.1 y 7.2.2.
En el ejercicio 7.3.7 hay una errata. Las sucesiones xn y an son la misma.
4. Sea la sucesión definida por a1 = 3 y la siguiente recurrencia:
an+1 =
3(1 + an )
3 + an
,
∀n ≥ 1
(a) Demostrar que an > 0 y que an ≥ 3 ∀n ≥ 1.
(b) Demostrar que (an ) es monótona decreciente.
(c) Demostrar que (an ) converge y calcular su lı́mite.
5. Consideremos la sucesión (An ) definida por:
n
X
1
1
1
An =
= 1+ + . . . . . . +
k
2
n
k=1
(a) Demuestra que es monótona creciente.
(b) Demuestra que para cada n ≥ 1 se cumple que A2n − An ≥
(c) Demuestra que lı́m(An ) = +∞.
1
2
6. Se dice que ((an ), (bn )) es un Par de Sucesiones Monótonas Convergentes si se cumple que:
i) an ≤ bn , ∀n ≥ 1. ii) (an ) es creciente y (bn ) es decreciente. iii) lı́m (bn − an ) = 0.
(a) Prueba que si ((an ), (bn )) es un P.S.M.C. entonces existe un único número real L con
an ≤ L ≤ bn , ∀n ≥ 1, tal que (an ) −→ L− y (bn ) −→ L+ .
2
(b) En cada uno de los siguientes casos, investiga si ((an ), (bn )) es un P.S.M.C.



2n−1
n−1
 an = 2 − n12
 an = n+2
 an = n+1

bn = 2 +
1
n2

bn =
6n+8
3n−1

bn =
n+1
n−1
7. Dados dos números positivos a y b con a < b consideremos las sucesiones (an ) y (bn ) definidas
por:


 a0 = a
 b0 = b

an+1 =
√
an bn , ∀n ≥ 0

bn+1 =
an +bn
2 ,
∀n ≥ 0
Prueba que ((an ), (bn )) es un Par de Sucesiones Monótonas Convergentes.