clase 7 Regularidades Numéricas

CLASE Nº7
Patrones, series y
regularidades numéricas
Patrón numérico en la naturaleza
Regularidades numéricas
Patrones
Espiral con triángulos rectángulos
Series numéricas
REGULARIDADES NUMÉRICAS
• Son series o sucesiones de elementos que
tienen un patrón de formación o regla de
formación que permite definir o determinar cada
elemento de la sucesión. En los ejercicios de
regularidades numéricas se debe, mediante un
análisis de los elementos, encontrar el patrón o
regla de formación de la sucesión.
Patrón o regularidad
• ¿Qué es un Patrón? “Un patrón es una propiedad,
una regularidad, una cualidad invariante que
expresa una relación estructural entre los elementos
de una determinada configuración, disposición,
composición, etc”.
• Dentro de un ámbito matemático. Los patrones
permiten observar y analizar detalladamente una
situación de variación, por ende el estudiante
evidencia qué cambia y qué permanece invariante.
“El análisis cuidadoso de patrones y regularidades
permite establecer generalizaciones”
Identificando patrones
Ayudarte a identificar patrones y regularidades no basta, es
importante además que los puedas describir y representar a
través de diversos sistemas como: la representación escrita
para poder comunicar las conclusiones que se establezcan
de las observaciones, las representaciones pictóricas que te
permiten mostrar lo que sucede en diversos momentos de la
situación de cambio, representación tabular útil en los
procesos aritméticos y la construcción de fórmulas y
finalmente la representación algebraica para condensar la
información. Estos tipos de representaciones te ayudaran
para que finalmente puedan modelar una situación
matemática a través de la captación de las propiedades
antes mencionadas.
Ejemplo 1: En la siguiente sucesión, la figura 1 está formada por 3 fósforos,
la figura 2 está formada por 5 fósforos, la 3 por 7 fósforos y así sucesivamente.
¿Cuántos fósforos se necesitan para formar la figura 23?
Análisis de la secuencia
En la figura 1 se necesitan 3 fósforos, pero 3 = 2 . 1 + 1
En la figura 2 se necesitan 5 fósforos, pero 5 = 2 . 2 + 1
En la figura 3 se necesitan 7 fósforos, pero 7 = 2 . 3 + 1
Por lo tanto, para la figura 23 se necesitarán 2 . 23 + 1= 47 fósforos.
Ejemplo 2:
Dadas las siguientes igualdades:
2
2
.
3 =1 +4 1+4
2
2
.
4 =2 +4 2+4
5 = +4.3+4
2
Entonces ¿Cuál es la operación que corresponde a 100 ?
Análisis de la secuencia: Según las igualdades dadas a la derecha aparece el
cuadrado de un número que tiene 2 unidades menos que la base de la potencia
2
cuadrática de la izquierda, por lo tanto, nuestro resultado debe empezar con 98 ; a
continuación viene la multiplicación de 4 con el mismo número obtenido anteriormente
.
(es decir: 4 98) y finalmente le agregamos el número 4, por lo tanto:
2
2
.
100 = 98 + 4 98 + 4
Tipos de sucesiones
Sucesiones convergentes
Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.
Cálculo del término general de una sucesión
Límite = 0
Cálculo del término general de una sucesión
Límite = 1
Tipos de sucesiones
Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.
sucesión
Límite = ∞
Sucesiones oscilantes
Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos
alternan de mayor a menor o viceversa.
1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, ...
Tipos de sucesiones
Sucesiones alternadas
Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos.
Pueden ser:
Convergentes
1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..
Tanto los términos pares como los impares tienen de límite 0.
Divergentes
1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...
Tantos los términos pares como los impares :enen de límite +∞.
Oscilantes
−1, 2, −3, 4 ,−5, ...,
. n
Ejemplos
Calcular la suma de los números enteros de 1 al 100.
Para sumar los términos de una progresión aritmética, el algoritmo consiste en
escribir los números en dos ecuaciones, una en orden normal (ecuación a ) y la otra
en orden inverso (ecuación b), estas dos ecuaciones se suman, formando una tercera
ecuación (ecuación c) de la que se deriva el siguiente resultado:
(ecuación a)
S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100
(ecuación b)
S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 +
1 Sumando ambas
(ecuación c)
2S = 101 + 101 + 101 + ...+ 101 + 101 + 101
Podemos observar que en todos los términos da como resultado 101 y podemos
concluir que en los 100 términos es el mismo resultado así que tenemos lo siguiente:
Término genérico de la sucesión
Encontrar la suma de la progresión 50, 57, 64, 71,
Puedes comprobar el resultado si sumas cada uno de los términos.
Podemos generalizar estos dos ejemplos utilizando el siguiente modelo matemático (un
modelo matemático es la generalización de una situación a través de una fórmula).
Donde:
S es la suma de la progresión
n número de términos de la progresión
a primer término de la progresión u último término de la progresión
d diferencia común
Importancia de la comprensión de encontrar
patrones
La investigación sobre la dificultad en la solución de sucesiones al no
identificar patrones y regularidades, las enmarca dentro del desarrollo del
pensamiento variacional, definiéndolo como aquel que tiene “que ver con
el reconocimiento, la percepción, la identificación y la caracterización de
la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con su
descripción, modelación y representación en distintos sistemas o registros
simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos. Uno de los
propósitos de cultivar el pensamiento variacional es construir desde la
Educación Básica Primaria distintos caminos y acercamientos significativos
para la comprensión y uso de los conceptos y procedimientos de las
funciones y sus sistemas analíticos, para el aprendizaje con sentido del
cálculo numérico y algebraico […]Este pensamiento cumple un papel
preponderante en la resolución de problemas sustentados en el estudio de
la variación y el cambio, y en la modelación de procesos de la vida
cotidiana, las ciencias naturales y sociales y las matemáticas mismas.”
El pensamiento variacional
“El pensamiento variacional no es aprenderse las fórmulas de áreas y
volúmenes como: área de un círculo Á= o volumen de un cubo V =
con a= arista
, o las de los modelos matemáticos de la física, como f= m . a
Más aún, esos modelos, entendidos sólo como fórmulas para remplazar
valores en ellas, obstaculizan el pensamiento variacional, que primero trata de
captar qué varía
Entonces debemos de entender con qué y cómo, antes de escribir nada y,
mucho menos, antes de memorizar fórmulas”.
Queremos ayudarte desarrollar adecuadamente tu pensamiento variacional
lo que implica poner en acción tus conocimientos previos, para este caso en
particular, apoyarse en el pensamiento numérico fijando la atención en la
forma como varían los números y así poder captar patrones y regularidades
que se repiten en las diversas sucesiones propuestas en la fase de
intervención.
Ejercicios
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Taller
Bibliografía
Páginas de Internet
Proyecto Colombiano para ENSEÑANZA DE SUCESIONES NUMÉRICAS PARA POTENCIAR EL DESARROLLO
DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL EN ESTUDIANTES DE GRADO CUARTO DE BÁSICA PRIMARIA
Lina Janet Velásquez Naranjo
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Medellín, Colombia
2012
Lina Janet Velásquez Naranjo