A y B

Dr. Francisco Javier Tapia Moreno
Octubre 14 de 2015.
Nuestra explicación anterior de intersecciones y uniones
indica que nos interesa calcular las probabilidades de
sucesos tales como “A y B” y “A o B”. Estos cálculos pueden
hacerse con ayuda de las 3 reglas básicas de la probabilidad.
La regla de la Suma se aplica para hallar la probabilidad “A o B”
(es decir se SUMA). Esta regla afirma que:
1. Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, habremos de
sumar la probabilidad de suceso A a la probabilidad del
suceso B.
𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷 𝑨 + 𝑷(𝑩)
2. Si A y B NO son eventos mutuamente excluyentes,
habremos de sumar la Probabilidad de suceso A a la
probabilidad del suceso B y restar la probabilidad conjunta de
los sucesos A y B.
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
Si A, B y C NO son eventos mutuamente excluyentes,
debemos sumar la probabilidad de suceso A a la probabilidad
del suceso B y a su vez sumársela a la probabilidad del suceso C,
restar después la probabilidad conjunta de los sucesos A y B, A y
C y de A y B y sumar la probabilidad conjunta de A, B y C.
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 + 𝑷 𝑪 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 − 𝑷𝑨 ∩ 𝑪) − 𝑷(𝑩 ∩ 𝑪) + 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪)
Ejemplo. De 274 personas encuestadas en una oficina se encontró que 81
leían el periódico El Imparcial (I), 62 leían Expreso (E), 80 leían Entorno
(N), 20 leían El Imparcial y el Expreso, 15 leían El Imparcial y Entorno, 7
leían Expreso y Entorno y 80 no leían ninguno de estos tres periódicos.
Determinar cuántas personas leen los tres periódicos.
Respuesta. El número de encuestados que leen al menos un periódico de
los tres es 274 − 80 = 194. Así que:
194 = 81 + 62 + 80 − 20 − 15 − 7 + 𝑛(𝐼 ∩ 𝐸 ∩ 𝑁). Resolviendo,
𝑛 𝐼 ∩ 𝐸 ∩ 𝑁 = 13
La probabilidad de que un evento B ocurra cuando se sabe que un
evento A ya ocurrió se llama probabilidad condicional y se indica
por 𝑃 𝐵 𝐴 que generalmente se lee “la probabilidad de que ocurra
B dado que ya ocurrió A”. Esta probabilidad se define como:
𝑷 𝑩 𝑨 =
𝑷(𝑩∩𝑨)
𝑷(𝑨)
con 𝑷(𝑨) > 𝟎
Por ejemplo, en el caso de los periódicos la probabilidad
de que una persona seleccionada al azar, lea el imparcial
sabiendo de antemano que lee Expreso es:
𝑃 𝐼 𝐸 =
𝑃(𝐼∩𝐸)
𝑃(𝐸)
=
20
274
62
274
=
20
62
=
10
31
= 0.32258
La regla de la multiplicación para hallar la probabilidad conjunta “A y B”
(es decir producto). Esta regla afirma que:
1.
Si A y B son sucesos independientes, debemos multiplicar la
probabilidad del suceso A por la probabilidad del suceso B.
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃(𝐵)
2. Si A y B son sucesos dependientes debemos multiplicar la probabilidad
del suceso A por la Probabilidad del suceso B siempre que A ya haya
ocurrido.
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃(𝐵 𝐴)
Definición 1. Dos eventos son independientes si el resultado del
segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento.
Definición 2. Dos eventos son dependientes si el resultado del
primer evento afecta el resultado del segundo evento así que la
probabilidad es cambiada.
De 𝑷 𝑩 𝑨 =
y de 𝑷 𝑨 𝑩 =
𝑷(𝑩∩𝑨)
𝑷(𝑨)
concluimos que 𝑷 𝑩 ∩ 𝑨 = 𝑷 𝑩 𝑨 ∗ 𝑷 𝑨 ,
𝑷(𝑨∩𝑩)
𝑷(𝑩)
concluimos que 𝑷 𝑩 ∩ 𝑨 = 𝑷 𝑨 𝑩 ∗ 𝑷(𝑩)
Igualando términos se tiene que
𝑷 𝑩 𝑨 ∗ 𝑷(𝑨) = 𝑷 𝑨 𝑩 ∗ 𝑷(𝑩)
Y concluimos que:
𝑷 𝑩 ∕ 𝑨 ∗ 𝑷(𝑨)
𝑷 𝑨 𝑩 =
𝑷(𝑩)
Esta última relación es lo que se conoce como el teorema de Bayes.
Thomas Bayes (1701-1761), fue un reverendo británico, que dio con
este teorema queriendo demostrar la existencia de Dios.
En una cierta planta de montaje, dos máquinas A y B ensamblan
respectivamente, el 45% y 55% de los productos. Se sabe por estudios
anteriores, que respectivamente el 2% y 2.5% de los productos
ensamblados por cada máquina presenta defectos. Si se selecciona
aleatoriamente un producto terminado y se encuentra defectuoso,
¿Qué probabilidad existe de que haya sido ensamblado por la
máquina B?
Resolución. Definición de eventos.
D = {artículo defectuoso}; A = {artículo ensamblado por la máquina
A}; B = {artículo ensamblado por la máquina B}
Datos del problema. 𝑷(𝑨) = 𝟎. 𝟒𝟓; 𝑷(𝑩) = 𝟎. 𝟓𝟓; 𝑷 𝑫 𝑨 = 𝟎. 𝟎𝟐; y
𝑷 𝑫/𝑩 =. 𝟎𝟐𝟓. Entonces, 𝑷 𝑩 𝑫 =
𝑷 𝑫∕𝑩 ∗𝑷(𝑩)
.
𝑷(𝑫)
La probabilidad de
que un artículo sea defectuoso es: 𝑷(𝑫) = (𝟎. 𝟒𝟓) ∗ (𝟎. 𝟎𝟐) + (𝟎. 𝟓𝟓) ∗
(𝟎. 𝟎𝟐𝟓) = 𝟎. 𝟎𝟐𝟐𝟕𝟓. Así que,
𝟎. 𝟎𝟐𝟓 ∗ (𝟎. 𝟓𝟓)
𝑷 𝑩/𝑫 =
= 𝟎. 𝟔𝟎𝟒𝟑𝟗
𝟎. 𝟎𝟐𝟐𝟕𝟓
Sea {A1, A2 ,..., Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente
excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de
cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso
cualquiera del que se conocen las probabilidades
condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B)
viene dada por la expresión: