Resolver la ecuación diferencial ordinaria y # )y # +y , %$ 2/0 x

Resolver la ecuación diferencial ordinaria
y + 6y + 9y = 10 sin x
sujeta a las condiciones iniciales y (0) = 0 y y (0) = 0:
Solución:
Integración de la ecuación homogenea:
dyh
d 2 yh
+6
+ 9yh = 0
dx2
dx
Ecuación característica:
2
+6 +9=0
2
( + 3) = 0
Solución general de la ecuación homogenea:
yh = c1 e 3x + c2 xe 3x
Proponemos la solución particular:
yp = A cos x + B sin x
La sustituimos en la ecuación original no homogenea:
d2
d
(A cos x + B sin x) + 6 (A cos x + B sin x) + 9 (A cos x + B sin x) =
dx2
dx
= (8A + 6B) cos x + ( 6A + 8B) sin x = 10 sin x
8A + 6B = 0
6A + 8B = 10
8 6
A
0
=
6 8
B
10
1
0
3
1
A
8 6
0
C
B
=
= @ 45 A
B
6 8
10
5
Solución particular:
3
4
yp =
cos x + sin x
5
5
Solución general:
4
3
cos x + sin x
y (x) = c1 e 3x + c2 xe 3x
5
5
Debemos satisfacer ahora las condiciones iniciales:
3
y (0) = c1
=0
5
3
c1 =
5
3
3
4
y (x) = e 3x + c2 xe 3x
cos x + sin x
5
5
5
d 3 3x
3
4
4
3
9 3x
3x
e
+ c2 xe
cos x + sin x = cos x + sin x
e
+
dx 5
5
5
5
5
5
3x
3x
c2 e
3xc2 e
4 9
y (0) =
+ c2 = 0
5 5
c2 = 1
Solución …nal al problema de condiciones iniciales:
3
1
y (x) = x +
e 3x + (4 sin x 3 cos x)
5
5
1