Variable aleatoria discreta_1y2

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. BACHILLERATO. TEORÍA Y EJERCICIOS
1
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Concepto de variable aleatoria.
Se llama variable aleatoria a toda aplicación que asocia a cada elemento del espacio
muestral de un experimento, un número real.
Ejemplo:
Sea el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. El espacio muestral será:
E = { ccc, ccx, cxc, xcc, cxx, xcx, xxc, xxx}
Si a cada elemento de E le hacemos corresponder, por ejemplo, el número de caras,
hemos definido una variable aleatoria.
ccc → 3; xcc → 2; xxc → 1; ccx → 2
cxx → 1; xxx → 0; cxc → 2; xcx → 1
Se utilizan letras mayúsculas para designar las v.a. y sus respectivas letras minúsculas
para los valores concretos de las mismas.
Variable aleatoria discreta.
Es la que solo puede tomar determinados valores.
La variable aleatoria número de caras en el lanzamiento de tres monedas sólo puede
tomar los valores 0, 1, 2 y 3. (Es discreta).
La variable aleatoria suma de las caras superiores en el lanzamiento de dos dados puede
tomar solamente los valores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12. (Es también discreta)
Función de probabilidad de una v.a. discreta.
Es la aplicación que asocia a cada valor x de la v.a. X su probabilidad p.
Los valores que toma una v.a. discreta X y sus correspondientes probabilidades suelen
disponerse en una tabla con dos filas o dos columnas llamada tabla de distribución de
probabilidad:
X
x1
x2
P( X = x i )
p1
p2
x3
xn
p3
pn
En toda función de probabilidad se verifica que p1 + p 2 + p 3 +
+ pn = 1
Ejemplo: La v.a. “número de caras en el lanzamiento de tres monedas” tiene la siguiente
función de probabilidad:
Nº de caras
f(x)= P ( X = x i )
0
1
1 3
8 8
2
3
8
3
1
8
Mª Angeles Pajuelo González, profesora del IES Joaquín Turina (Sevilla
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2
Función de distribución de una v.a. discreta.
Sea X una v.a. cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor.
Se llama función de distribución de la variable X a la función que asocia a cada valor de
la v.a. la probabilidad acumulada hasta ese valor, es decir, F ( x) = p ( X ≤ x)
Media, varianza y desviación típica de una variable aleatoria discreta.
Se llama de una v.a. discreta X, que toma los valores x1 , x 2 , x 3 ........x n con
probabilidades p1 , p 2 , p 3 ............ p n al valor de la siguiente expresión: µ =
La varianza viene dada por la siguiente fórmula:
σ 2 = ∑ x i2 . p i − µ 2 , bien σ 2 = ∑ ( x i − µ ) 2 . p i
∑
xi . p i
La desviación típica es la raiz cuadrada de la varianza.
Ejercicio.
La distribución de probabilidad de una v.a. X viene dada por la siguiente tabla:
1
0,1
xi
pi
2
0,3
3
4
0,2
5
0,3
¿Cuánto vale p(X=3)
Calcula la media y la varianza.
Solución:
La suma de todas las probabilidades es 1, por tanto,
0,1 + 0,3 + p ( X = 3) + 0,2 + 0,3 = 1 luego p(X=3)=0,1
Formamos la siguiente tabla:
µ =
σ
2
xi
pi
xi . p i
1
2
3
4
5
0,1
0,3
0,1
0,2
0,3
0,1
0,6
0,3
0,8
1,5
∑ x . p = 0,1 +
= ∑ x .p − µ
i
i
2
i
2
i
x i2 . p i
0,1
1,2
0,9
3,2
7,5
0,6 + 0,3 + 0,8 + 1,5 = 3,3
= 12,9 − (3,3) 2 = 2,01
Experimento de Bernoulli
Es un experimento que tiene las siguientes características:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso ha
llamado A llamado éxito y el suceso A llamado fracaso.
2. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores.
3. La probabilidad del suceso A es constante y no varía de unas pruebas a otras.
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3
La distribución de probabilidad de este experimento recibe el nombre de distribución
binomial de parámetros n y p
n es el número de pruebas del experimento y p es la probabilidad del éxito.
Si representamos por X la variable aleatoria binomial que representa el número de
éxitos obtenidos en las n del experimento, podemos escribir:
 n r
n− r
p(obtener r éxitos )=p(X=r)=   p .(1 − p )
 r
Esta expresión recibe el nombre de función de probabilidad de una distribución
binomial o de Bernoulli.
Dado que en este tipo de experiencias los cálculos pueden ser laboriosos, se han
construido unas tablas que nos proporcionan la probabilidad de que la variable X tome
distintos valores, según los distintos valores de n y r.
Media y varianza de una distribución binomial.
Media: µ = n. p
Varianza: σ
2
= n. p.q; q = 1 − p
Desviación típica: σ =
n. p.q
Ejemplos.
Ejemplo 1
Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de
piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una
defectuosa.
Solución :
Se trata de una distribución binomial de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la
probabilidad p(X=1).
Ejemplo 2
La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de
a que una vez administrada a 15 pacientes:
a) Ninguno sufra la enfermedad
b) Todos sufran la enfermedad
c) Dos de ellos contraigan la enfermedad
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4
Solución :
Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0'72)
Ejemplo 3
La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica defectuoso es del 4
por 100. Hallar :
a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000
b) La varianza y la desviación típica.
Solución :
Ejercicios resueltos.
1.- Calcula la probabilidad de que una familia que tiene 4 hijos, 3 de ellos sean varones.
Solución: Se trata de un experimento de Bernoulli donde n=4 y p=1/2
 4
1
3
1
p(obtener 3 varones)=P(X=3)=   .0.5 .0,5 =
4
 3
Recuerda:
 4
  es un número combinatorio cuyo valor se obtiene así:
 3
 4  4.3.2
  =
 3  3.2.1
En general
 m  m.(m − 1).(m − 2)......hasta tener n factores en el numerador
m!
  =
=
n.(n - 1).(n - 2).....3.2.1
n!.(m − n)!
n
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5
2.- Se tiene una moneda trucada de modo que la probabilidad de sacar cara es cuatro
veces la de sacar cruz. Se lanza 6 veces la moneda. Calcula las siguientes
probabilidades:
• Obtener dos veces cruz.
• Obtener a lo sumo dos veces cruz.
Solución:
Calculamos en primer lugar la probabilidad de cara y de cruz:
p(cara)+p(cruz)=1. Si llamamos x a la probabilidad de sacar cruz, podemos escribir:
4x+x=1; 5x=1; x=0,2
Así resulta: p(cruz)=0,2 y p(cara)=0,8
Es una distribución binomial de parámetros n=6 y p=0,2
Probabilidad de obtener dos veces cruz:
 6
p ( X = 2) =   .(0,2) 2 .(0,8) 4 = 15.(0,04).(0,4096) = 0,24
 2
Probabilidad de obtener a lo sumo dos veces cruz:
p ( X ≤ 2) = p ( X = 0) + p ( X = 1) + p ( X = 2) =
 6
 6
 6
0
6
1
5
2
4
=   .(0,2) .(0,8) +   .(0,2) .(0,8) +   .(0.2) .(0.8) = 0,90
0
1
2
 
 
 
3.- La probabilidad de que un alumno de 1º de Bachillerato repita curso es de 0,3.
Elegimos 20 alumnos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 4
alumnos repetidores?
Solución:
Se trata de una binomial de parámetros 20 y 0,3, es decir, B(20; 0,3)
Si X es el número de alumnos que repiten,
 20 
20!
p ( X = 4) =   .0,3 4 .0,7 16 =
.0,3 4 .0,7 16 = 0,13
4!.16!
4 
4.- Calcula la esperanza matemática, la varianza y la desviación típica de la variable
aleatoria X, cuya función de probabilidad viene dada por la siguiente tabla:
xi
p( X = xi )
-4
0,1
-1
0,5
2
0,3
5
0,1
Solución:
La esperanza matemática es la media: µ = (− 4).0,1 + (− 1).0,5 + 2.0,3 + 5.0,1 = 0,2
σ 2 = ∑ x i2 . p i − µ 2 = (− 4) 2 .0,1 + (− 1) 2 .0,5 + 2 2 .0,3 + 5 2 .0,1 − 0,2 2 = 5,76
σ =
5,76 = 2,4
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6
5.- Sea la siguiente función de probabilidad:
xi
pi
1
0,2
3
0,2
5
0,4
7
0,1
9
0,1
Escribe la función de distribución y calcula: p ( X ≤ 5) y p (3 ≤ X ≤ 7)
Solución:
xi
F(x)=P(X ≤ xi)
p ( X ≤ 5) = 0,8 ;
1
0,2
3
0,4
5
0,8
7
0,9
9
1
p (≤ X ≤ 7) = p ( X = 3) + p ( X = 5) + p( X = 7) =
= 0,2 + 0,4 + 0,1 = 0,7
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Ejercicios propuestos.
1.- La probabilidad de que un reloj salga de fábrica defectuoso es del 4 %. Halla:
a) El número de relojes defectuosos esperados en un lote de 1000
b) La varianza y la desviación típica.
( Solución: 40 y
6,19)
2.- Una determinada raza de perros tiene 4 cachorros en cada camada. Si la probabilidad
de que un cachorro sea macho es de 0,55, se pide:
a) La probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras
b) Probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras.
(Solución: 0,3675; 0,609 )
3.- Considera una variable aleatoria discreta X cuya distribución de probabilidad es la
siguiente:
xi
1
2
3
P(X = xi)
k
0,45
k
a) Calcula el valor de k
b) Halla la función de probabilidad
c) Halla la función de distribución F.
Solución
k = 0,275.
Función de probabilidad:
xi
f(x)=P(X = xi)
1
0,275
2
0,45
3
0,275
1
0,275
2
0,725
3
1
Función de distribución:
xi
F(x)=P(X ≤ xi)
4.- Considera una variable aleatoria X cuya función de probabilidad viene dada por la
siguiente tabla:
x
-25
-10
0
5
f(x)
a
2a
3a
4a
a) Deduce el valor de a.
b) Halla la función de distribución F
c) Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica.
Solución: a) 0,1;
c) –2,5; 86,25; 9,29
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5.- La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de arquitecto es 0,3. Calcula
la probabilidad de que un grupo de 7 estudiantes matriculados en primer curso:
a) Ninguno de los 7 finalice la carrera.
b) Finalicen los 7.
c) Al menos 2 acaben la carrera.
d) Sólo finalice uno la carrera.
Solución: 0,082; 0,00021;
0,671; 0,2471
6.- El 20 % de los tornillos de un gran lote so defectuosos. Se cogen tres tornillos al
azar y se pide calcular razonadamente:
a) La probabilidad de que los tres sean defectuosos.
b) La probabilidad de que ninguno sea defectuoso.
c) La probabilidad de que solamente uno sea defectuoso.
(Propuesto en Selectividad, Alicante, septiembre de 2001)
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Más ejercicios obtenidos
Ejemplo 8. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale un número impar gana
dicho número de euros, pero si sale par entonces pierde esa cantidad en
euros. Estudiar si el juego es equitativo.
Solución
Los resultados posibles xi (euros que gana o pierde al lanzar el dado) y sus
respectivas probabilidades son:
xi
1
3
5
-2
-4
-6
f(xi)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Los número negativos indican el hecho de perder cuando sale par.
E(X) =
luego no es equitativo.
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Nota. Se dice que un juego de dinero es legal o equitativo si E =0 y
desfavorable si E<0
Ejemplo 9. Consideremos la variable X que asigna la suma de dos números
que se muestran en un par de dados. La distribución de X es:
xi
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
f(xi 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
)
xi
f(xi)
xif(xi)
xi 2
xi2f(xi)
2
1/36
2/36
4
4/36
3
2/36
6/36
9
18/36
4
3/36
12/36
16
48/36
5
4/36
20/36
25
100/36
6
5/36
30/36
36
180/36
7
6/36
42/36
49
294/36
8
5/36
40/36
64
320/36
9
4/36
36/36
81
324/36
10
3/36
30/36
100
300/36
11
2/36
22/36
121
242/36
12
1/36
12/36
144
144/36
1
7
La varianza, Var (X)= E(X2)-E(X)2=
1974/36
=
=54,83-49=5,83
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11
La desviación típica
Ejemplo 10. Un jugador de tenis tiene una probabilidad de ganar una
partida de 0,25. Si juega 4 partidas, calcula la probabilidad de que gane mas
de la mitad.
Solución
Es una binomial con n=4 y p=0,25, lo que piden es que calculemos
P(X=3)+P(X=4) donde:
P(X=3)=
, P(X=4)=
(terminarle)
Ejemplo 11. Una máquina fabrica tornillos y se ha comprobado que el 2% de
los mismos son defectuosos. Si se vende en paquetes de de 29, se pide:
a) ¿Cuál es la función de probabilidad de la variable aleatoria nº de tornillos
defectuosos en un paquete?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al comprar un paquete haya en el mismo 2
defectuosos?
Solución
a) Es una binomial de parámetros n = 20 y q = 0, 02.
Su función de probabilidad es p(X =k)=
b) P(X =2)=
k
(0,02) (0,98)
20-k
(comprobarlo)
PARÁMETROS
La media es
, la varianza
y la desviación típica
Observación: Cuando n. p>5 se puede considerar que la distribución es
normal (la vemos después).
Ejemplo 12. La probabilidad de que en una empresa haya un empleado
enfermo es de 0,02. Sabiendo que hay 300 empleados hallar la esperanza
matemática y la varianza de la distribución correspondiente.
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Solución
Como se trata de una distribución binomial de parámetros n= 300 y p= 0,02,
se verifica:
E(X)= n.p = 300.(0,02) =6, Var(X)= n.p.q= 300.(0,02).(0,98)= 5,88
1º (Selectividad Galicia Estadística 1- 1999)
a) En un juego una persona recibe 15 pesetas cuando saca una sota o un caballo y recibe
5 pesetas si saca un rey o un as de una baraja española con 40 cartas. Si saca cualquier
otra carta tiene que pagar 4 pesetas ¿Cuál es la ganancia esperada para una persona que
entra en el juego?
b) El 40% de las declaraciones del impuesto sobre la renta son positivas. Un 10% de las
que resultaron positivas lo fueron como consecuencia de errores aritméticos en la
realización de la declaración.
Si hay un 5% de declaraciones con errores aritméticos, ¿qué porcentaje de estas
resultaron positivas?
Resoluciòn
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14
4º (Selectividad Murcia Bloque 5 C-2 Junio 1999)
En un cierto instituto, el curso pasado aprobaron la Filosofía el 80% de los alumnos de
COU. ¿Cuál es la probabilidad de que, de un grupo de 8 alumnos elegidos al azar, sólo
dos hubieran suspendido la Filosofía?
Solución:
1º (Selectividad Murcia Bloque 5 cuestión 1 septiembre 1999)
Si el 20% de las piezas producidas por una máquina son defectuosas, ¿cuál es la
probabilidad de que entre cuatro piezas elegidas al azar, a lo sumo 2 sean defectuosas?
Solución
4º. Se lanza una moneda trucada en la que la probabilidad de cara es de 0,4. Sea X el número de veces que se lanza la moneda
hasta que aparece una cara. Se pide:
(a) P(X = 2)
(b) P(X > 4)
Solución:
P(cara) = 0,4
P(cruz) = 0,6
Sea X = "número de tiradas hasta la 1ª cara".
a) P(X = 2) = P(cruz, cara) = 0,6 . 0,4 = 0,24
4
b) P(X > 4) = P(cruz, cruz, cruz, cruz) = (0,6) = 0,1296
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