Distribuciones discreta y binomial

Variable aleatoria
Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del
espacio muestral E un número real.
Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las
respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.
Variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros.
Ejemplos
El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado.
Variable aleatoria continua
Variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles
dentro de un cierto intervalo de la recta real.
Ejemplos
La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.
Función de probabilidad
Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la aplicación
que asocia a cada valor de xi de la variable su probabilidad pi.
Propiedades:
0 ≤ pi ≤ 1
p + p2 + p3 + · · · + pn = Σ pi = 1
Ejemplo:
Calcular la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un
dado.
X
1
2
3
4
5
6
p
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Representación
La representación de una distribución discreta de probabilidad es un diagrama de
barras.
Función de distribución
Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a
mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) a la
función:
F(x) = p(X ≤ xi)
La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad
acumulada hasta ese valor.
Ejemplo:
Calcular la función de distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al
lanzar un dado.
X
Pi(X≤xi )
X<1
0
1≤X<2
1/ 6
2≤X<3
2/ 6
3≤X<4
3/ 6
4≤X<5
4/ 6
5≤X<6
5/ 6
X≥6
1
Representación
La representación de una función de distribución de
probabilidad es una gráfica escalonada.
Media y varianza de una variable aleatoria discreta
Esperanza matemática o media
Varianza
Desviación típica
Distribución binomial
Un experimento sigue el modelo de la distribución binomial o de Bernoulli si:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito)
y su contrario
.
2.La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra.
Se representa por p.
3.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos
anteriormente.
La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en cada
prueba del experimento.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0,
1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.
La distribución binomial se suele representar por B(n, p).
n es el número de pruebas de que consta el experimento.
p es la probabilidad de éxito.
La probabilidad de
es 1− p, y la representamos por q.
La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de
la distribución de Bernoulli, es:
n es el número de pruebas.
k es el número de éxitos.
p es la probabilidad de éxito.
q es la probabilidad de fracaso.
El número combinatorio
Ejemplo:
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de
los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1). ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?
n=4
p = 0.8
q = 0.2
B(4, 0.8)
2).¿Y cómo máximo 2?