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La función de densidad (de probabilidad) de una variable aleatoria discreta es la
función definida mediante:
f (x) = P (X = x),
para cualquier número real x.
La función de densidad (de probabilidad) de una variable aleatoria discreta es la
función definida mediante:
f (x) = P (X = x),
para cualquier número real x.
Ejemplo: lanzar dos dados y sumar lo que sale en las dos caras.
La función de densidad (de probabilidad) de una variable aleatoria discreta es la
función definida mediante:
f (x) = P (X = x),
para cualquier número real x.
Ejemplo: lanzar dos dados y sumar lo que sale en las dos caras.
Ejemplo. El experimento consiste en lanzar 5 veces un dado,
X = “nº de seises en 5 lanzamientos”. Éxito = sacar 6.
X
0
1
2
3
4
5
P(X = x)
0.4019
0.4019
0.1608
0.03215
0.003215
0.0001286
MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: EL VALOR ESPERADO
Recordad la media de una variable estadística:
MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: EL VALOR ESPERADO
Recordad la media de una variable estadística:
Junto con la definición frecuentista de probabilidad
Ejemplo: valor esperado de la suma del resultado de lanzar dos dados
Al aplicar la fórmula anterior obtenemos:
Ejemplo: el valor esperado y los juegos justos.
En los juegos de azar es importante la variable aleatoria
X = beneficio del jugador = (ganancia neta) − (recursos invertidos)
El juego consiste en
● una caja con 7 bolas blancas y 4 bolas negras.
● Tu pones 1€ y yo pongo x€.
● Sacamos una bola al azar.
● Si es negra, ganas tú (te quedas con todo)
● Si es blanca, gano yo (me quedas con todo)
●
¿Cuántos euros debo poner yo para que el juego sea justo?
VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Recordad la varianza de una variable estadística:
Junto con la definición frecuentista de probabilidad
Ejemplo: varianza de la suma del resultado de lanzar dos dados
Al aplicar la fórmula anterior obtenemos:
Ejemplo: media y varianza de una variable Bernoulli(p)
Si X ~ Bernoulli(p), entonces, aplicando la definición, tenemos
= 0·P(X=0) + 1·P(X=1) = 0·q + 1·p = p
= (0 - p)² · P(X = 0) + (1 – p)²·P(X = 1)
= p² · q + (1-p)² p
= p² · q + q² p
= p · q · (p + q) = p·q
Ejemplo: media y varianza de una variable B(n,p)
Si llamamos Xi al i - ésimo experimento Bernoulli y X ~ B(n,p), se puede interpretar
X = X1 + X2 + ... + Xn
¿Podemos calcular la media y la varianza de X a partir de la de cada variable Bernuilli Xi?
OPERACIONES CON VARIABLES ALEATORIAS:
Retomando el ejemplo anterior:
E(X) = E(X1) + E(X2 ) + ... + E(Xn) = n·p
Var = Var(X1) + Var(X2 ) + ... + Var(Xn) = n·p·(1-p)
La función de distribución (de probabilidad) de una variable aleatoria discreta es la
función definida mediante:
F (x )=P (x⩽X )
para cualquier número real x.
Observa que
● La función de densidad se corresponde con la frecuencia relativa.
● La función de distribución se corresponde con la frecuencia relativa acumulada.
Función de densidad
de probabilidad
Función de distribución
de probabilidad
Ejemplo: lanzamiento de un dado, funciones de densidad y de distribución
X
1
2
3
4
5
6
f(x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
F(x)
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
6/6
Ejemplo. El experimento consiste en lanzar 5 veces un dado,
X = “nº de seises en 5 lanzamientos”. Éxito = sacar 6. X ~ B(5, 1/6)
X
0
1
2
3
4
5
P(X = x)
0.4019
0.4019
0.1608
0.03215
0.003215
0.0001286
P(x<=X)
0.4019
0.8038
0.9645
0.9967
0.9999
1.0000