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UNIVERSIDAD DE LA HABANA.
FACULTAD DE FÍSICA.
Efectos del campo magnético en las Ecuaciones de Estado
y de Estructura de Objetos Compactos
TESIS
presentada en opción al grado de
Doctor en Ciencias Físicas
Autor: MsC. Daryel Manreza Paret, Facultad de Física.
Tutores: Dra Aurora Pérez Martínez, ICIMAF.
Dr. Jorge E. Horvath, IAG/USP.
Ciudad de la Habana. Cuba.
2014
Resumen
Esta tesis tiene el propósito de estudiar los efectos del campo magnético, por un lado en
las Ecuaciones de Estado (EdE) de la materia que forma a los Objetos Compactos (OC) y por
otro lado, el impacto de estos efectos en la estructura de los mismos.
Para realizar estos estudios obtendremos las Ede que caracterizan a la materia que existe
en el interior de las Enanas Blancas y de las Estrellas Extrañas. En este último caso trataremos
dos fases, una formada por quarks u, d y s libres y otra en la cual consideramos que estas
partículas se encuentran en un estado superconductor de color, en ambos casos utilizamos el
modelo fenomenológico de Bag del MIT. Siempre se impone el cumplimiento de las condiciones equilibrio estelar: equilibrio β, conservación del número bariónico y neutralidad de carga.
Además realizamos un estudio de la estabilidad de la materia en estas condiciones.
Realizamos el cálculo del momento magnético anómalo dependiente del campo magnético
para estudiar sus efectos en las EdE y lo comparamos con la aproximación lineal de Schwinger.
Utilizando las EdE obtenidas podemos resolver las ecuaciones de equilibrio hidrostático que
nos dan la estructura de un OC, es decir, la relación masa-radio. Estudiamos el impacto de la
anisotropía de las presiones, producto de la presencia del campo magnético, en las ecuaciones
de estructura en simetría esférica y proponemos un modelo con simetría cilíndrica para tener
en cuenta los efectos de ambas presiones en las masas y radios de OC magnetizados.
Abstract
This thesis aims to study the effects of magnetic field, on one hand in Equations of State
(EoS) of matter that forms the Compact Objects (CO) and secondly, the impact of these effects
on their structure.
To perform these studies we obtain the EoS that characterize the matter that exists inside
the White Dwarf Star and Strange Stars. In the latter case we investigate two phases, one consisting of free u, d and s quarks and other in which these particles are in a color superconducting
state, in both cases we use the phenomenological MIT Bag model. Always we imposed stellar
equilibrium conditions: β equilibrium, baryon number conservation and charge neutrality. We
also perform a study of the stability of matter in these conditions.
We perform the calculation of the field dependent anomalous magnetic moment to study
its effects on the EoS and compare it with the linear Schwinger approximation.
Using the obtained EoS we can solve the equations of hydrostatic equilibrium that give us
the structure of a CO, ie, the mass-radius relation. We study the impact of the anisotropy of
the pressures resulting from the presence of the magnetic field in the structure equations in
spherical symmetry and propose a model with cylindrical symmetry to account for the effects
of both pressures on the masses and radii of magnetized CO.
Índice general
Índice General
ii
Introducción general.
1
1. Objetos Compactos: Enanas Blancas, Estrellas de Neutrones, Estrellas Extrañas.
1.1. Evolución estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Enanas Blancas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Estrellas de Neutrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Estrellas Extrañas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Cromodinámica cuántica y algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Modelo de Bag del MIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Estabilidad de la materia de quarks normal en equilibrio estelar . . . . .
1.4.4. Estabilidad de la Materia Extraña de Quarks en equilibrio estelar. . . . .
1.4.5. Superconductividad de color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Conclusiones del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Tensor Energía-Momento y Ecuaciones de Estado: Gas de fermi magnetizado
2.1. Movimiento clásico de partículas en un campo magnético. . . . . . . . . . . . . .
2.2. Comportamiento de partículas en un campo magnético, tratamiento cuántico. .
2.3. Tensor Energía momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Gran potencial termodinámico para un gas de fermi magnetizado. . . . . . . . .
2.4.1. Ecuaciones de estado de un gas de fermiones magnetizado . . . . . . . .
2.5. Ecuaciones de estado para B = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Conclusiones del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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22
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37
3. Efectos del momento magnético anómalo en las ecuaciones de estado del
magnetizado de Fermi.
3.1. Introducción al MMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Cálculo del momento magnético anómalo para campo magnético fuerte . . .
3.2.1. Ecuaciones de dispersión de los fermiones, correcciones radiativas . .
3.2.2. Efectos del MMA en las EdE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Conclusiones del Capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ii
gas
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4. Ecuaciones de estado de la materia magnetizada en ambientes astrofísicos.
4.1. Enanas Blancas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Estrellas Extrañas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Estabilidad de la materia de quarks magnetizada. . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Ecuaciones de estado para la MEQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3. Fase CFL magnetizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4. Estabilidad de la materia de la fase CFL magnetizada. . . . . . . . . . .
4.2.5. Ecuaciones de estado para la fase CFL magnetizada. . . . . . . . . . . .
4.3. Conclusiones del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Ecuaciones de estructura de un Objeto Compacto.
5.1. Teoría de la Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Ecuaciones Tolman Openheimer Volkof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Soluciones TOV para enanas blancas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Soluciones TOV para estrellas extrañas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Soluciones TOV para materia extraña magnetizada en la fase CFL . . . .
5.3. Ecuaciones de estructura en simetría cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1. Soluciones de las ecuaciones de estructura con simetría cilíndrica para
enanas blancas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2. Soluciones de las ecuaciones de estructura con simetría cilíndrica para
estrellas extrañas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Conclusiones del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Conclusiones generales
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5.5. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Anexos
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A. Convenios y notaciones
77
A.1. Sistema de unidades y constantes físicas más usadas . . . . . . . . . . . . . . . . 77
A.2. Notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
B. Método de Ritus y aplicaciones
80
B.1. Obtención de la auto-energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
B.2. Obtención de la las correcciones de masa y de MMA . . . . . . . . . . . . . . . 82
C. Ecuaciones de Schwinger-Dyson.
85
Bibliografía
86
Introducción general.
Los Objetos Compactos (OC) son el remanente de la evolución estelar, los mismos se clasifican en: Enanas Blancas (EBs), Estrellas de Neutrones (ENs), las hipotéticas Estrellas Extrañas
(EEs) y los Agujeros Negros (AN), existiendo varias subclases dentro de cada uno de estos. En
nuestro trabajo nos centraremos en las EBs, las ENs y las EEs. En lo adelante, siempre que
nos refiramos a los OC estaremos obviando a los AN que merecen un tratamiento aparte.
Existen dos características principales que diferencian a los OC de las estrellas normales[1]:
1. No queman combustible nuclear, por lo que no soportan el colapso gravitacional mediante presión térmica. Los OC compensan a la fuerza gravitacional con la presión del gas
degenerado de los fermiones que los conforman.
2. Comparados con las estrellas normales, los OC poseen dimensiones extremadamente pequeñas.
La riqueza de fenómenos físicos que hay en estos objetos es muy grande, las densidades
medias que poseen van desde 107 g cm−3 para las EBs hasta 1015 g cm−3 en el caso de las ENs.
Los campos magnéticos observados varían en un amplio espectro desde 106 G hasta 1014 G. Las
altas densidades producen campos gravitacionales inmensos, que deforman el espacio tiempo lo
que hace necesario el uso de la Teoría de la Relatividad General (TRG) para su descripción. Esto
hace que para el estudio de estos sistemas sea necesario comprender la física de la estructura e
interacciones de la materia en un amplio rango de los parámetros que describen a las mismas.
Por sus características, los OC, son considerados laboratorios naturales para el estudio de la
materia en condiciones extremas que aún son imposibles de obtener en laboratorios terrestres.
Dada la imposibilidad de llegar a un OC y realizar experimentos in situ, en el estudio
de los mismos se da una simbiosis perfecta entre los modelos teóricos y las observaciones.
Constantemente se perfeccionan los métodos de observación y estudio de los OC, la cantidad
de datos sobre los mismos crece vertiginosamente lo cual hace que la teoría se refine para
describir y entender todo este volumen de observaciones. Esto pone a prueba todas las teorías
actuales desde la escala micro hasta la macro. A su vez, los nuevos modelos proporcionan pistas
e ideas que permiten crear y buscar nuevas observaciones.
En general las características fundamentales de un OC se pueden describir a partir del
estudio la llamada materia densa fría. El término pudiera resultar disparatado pues sabemos
que nacen a partir de la explosión de Supernovas con temperaturas que llegan a ser del orden
de 1011 K ∼ 10 MeV (usando unidades naturales). Sin embargo durante la evolución del objeto
1
Introducción general.
2
compacto la temperatura decae al rango de keV, ocurre el llamado enfriamiento debido a la
emisión de neutrinos [1]. Por otro lado las altas densidades que tienen estos objetos hacen que
su temperatura sea menor que la temperatura de Fermi (T TF ) y por tanto pueden ser
descritos a partir de gases degenerados de fermiones.
En el caso de las EBs los electrones son quienes soportan la gravitación, para ENs los
neutrones y en el caso de EEs los quarks u, d y s. En todos los casos se imponen las condiciones
de equilibrio estelar que tienen que cumplir los gases de estas partículas: neutralidad de carga,
equilibrio β y conservación de número bariónico. Modelos que describen una mayor cantidad
de fenómenos dentro de los OC deben tener en cuenta más partículas como los neutrinos,
relevantes en los fenómenos de enfriamiento, hiperones, kaones etc, además de diferentes fases
que forman todas estas combinaciones de partículas en dependencias de las condiciones en las
que se encuentren.
Una EB es el resultado de la evolución de una estrella de masa pequeña como nuestro
Sol. El Helio es el último elemento que fusiona. La primera EB encontrada, fue la compañera
de la estrella aparentemente más brillante del cielo, Sirio, que comenzó a denominarse Sirio
A. En 1844 Friedrich Bessel (matemático y astrónomo alemán) observó que Sirio A mostraba
en su movimiento por el cielo un extraño bamboleo. Bessel lo atribuyó a la presencia de una
estrella-compañera, Sirio B.
Lo que si resultó un misterio para la Física de principios del siglo XIX era explicar qué
fuerza estaba compensando la atracción gravitacional en un astro como Sirio B tan pequeño,
poco luminoso pero tan masivo. En estas estrellas no hay combustible nuclear y por tanto no hay
presión térmica que sostenga el colapso. Pero con las teorías cuánticas aparece la explicación.
En 1926 el físico inglés Paul Dirac formula la estadística a la que obedecen los fermiones
bautizada posteriormente como Estadística de Fermi-Dirac y que tiene en cuenta el Principio
de Exclusión de Pauli: dos fermiones (partículas idénticas e indistinguibles) no pueden ocupar
el mismo estado cuántico.
En 1925, el espectro de Sirio B confirmó que era una estrella con aproximadamente la
misma temperatura de Sirio A. Ambas estrellas están en órbita, una alrededor de la otra, y esto
permitió que se determinaran las masas de ellas usando la tercera Ley de Kepler. Se obtuvo que
las masas de Sirio A y B son de 2,3M y 1M respectivamente, donde M es la masa de Sol1 .
A partir del brillo y la temperatura y suponiendo que la temperatura superficial de ellas es de
8000 K se pudo también determinar sus tamaños mostrando que Sirio B tiene un diámetro de
10.000 km (menos que el de la Tierra), mientras que el de Sirio A es de 1.000.000 km. Estas
mediciones fueron refinadas con la ayuda del telescopio espacial Hubble en el 2005. El diámetro
obtenido para Sirio B fue de 12000 km y su masa es 0,98M en concordancia con los resultados
obtenidos a principios del siglo XX.
Dentro de las características más relevantes de las EBs está el límite máximo para su masa
que es de M = 1,44M , conocida como la masa de Chandrasekhar [2] más allá de ese valor
la presión degenerada del gas de electrones no puede compensar la presión gravitacional. Sus
radios R ≤ 108 cm y sus densidades entre 107 − 108 g cm−3 .
Por su parte las ENs no son visibles con telescopios ópticos, no aparecen en el diagrama
1
Ver la Tabla A.1 del Apéndice A.1 donde se muestran los principales parámetros del Sol
Introducción general.
3
Hertzsprung-Russell (ver Sec 1.1). Tras el trascendental descubrimiento del neutrón por James
Chadwick en 1932 [3], Walter Baade y Fritz Zwicky en 1934 [4] proponen la existencia de ENs.
En su modelo, la presión degenerada del gas de neutrones compensaba la presión gravitacional
como mismo ocurría con el gas de electrones en las Enanas Blancas.
En 1939 Oppenheimer y Volkoff [5] desarrollan el primer modelo que consideraba la presión
del gas degenerado de neutrones y la Relatividad General y obtuvieron las características de
un objeto como este, un límite para las masas entre 1,5 − 2M , radios entre 10 − 12 km y
densidades que varían en el rango de 107 − 1015 g cm−3 . Las ENs son uno de los objetos más
densos que habitan en Universo. Aunque los neutrones dominan la componente bariónica, las
ENs tienen suficientes protones y electrones para garantizar la neutralidad de carga.
La existencia de ENs sólo logró relevancia hasta treinta años después con el azaroso descubrimiento en 1967 por Jocelyn Bell, junto a Antony Hewish [6] de la primera fuente de radio
(Pulsar, del inglés pulsating star ), en el Radio Observatorio de Cambridge.
La idea de la existencia de Estrellas de Quarks o Extrañas (EEs) apareció en 1969 cinco
años después de la predicción de Gell-Man de los quarks. Las EEs aparecen en teoría a partir de
la conjetura de Bodmer en 1971 [7] que afirma que a suficientemente alta densidad, la Materia
Extraña de Quarks (MEQ) compuesta por quarks u, d y s no confinados, es absolutamente
más estable que la materia nuclear, en este caso, el núcleo de Hierro (Fe56 ). Si esto último se
cumple, el estado final de la materia sería la MEQ. Esta conjetura nos diría que la materia
normal (formada por quarks u y d confinados en los nucleones) es entonces metaestable, ella
comprimida a una densidad suficientemente alta podría espontáneamente convertirse en ME
no confinada.
Las EEs no requerirán de la presencia de la gravedad para ser estables ellas tendrían un
estado ligado de energía, que no necesitaría de la gravedad para mantenerse unida. Otra característica que las hace diferentes de las ENs es que la relación Masa-Radio (M-R) para una
Estrella Quarks es M ∼ R3 y la relación para una EN es M ∼ R−3 . Su relación M-R permitiría
obtener EEs con radios más pequeños a los que usualmente se considera que tienen las ENs.
Para su explicación algunas observaciones de destellos de rayos gamma requieren de estrellas
con radios de 6 km. Una alternativa para explicar estas observaciones sería suponer que estamos
en presencia de EEs.
A pesar de lo exótico que resultan estas estrellas su búsqueda es esperanzadora porque
tienen características que las diferenciarían rápidamente de las ENs. La relación M-R es una
de ellas y también está el hecho del abrupto cambio de la densidad en EEs, de 1014 g cm−3 a
cero además de la diferencia en la estructura interna de ambas.
Un aspecto importante en los OC son sus elevados campos magnéticos que se infieren de las
observaciones. A las EBs se les asocian campos magnéticos superficiales de 109 G [8]. Para ENs,
en particular para los llamados radio púlsares, se dan campos magnéticos de 1012 G. Esos valores
de campo magnético pueden explicar la edad de estos objetos [1, 9]. Sin embargo la subclase de
las llamadas Magnetars (Magnetic Stars-Estrellas Magnéticas) se le asocian campos magnéticos
de 1015 G (el campo magnético terrestre es de 0.5 G) en la superficie y 1018 G en el interior [1].
Campos magnéticos de hasta 1012 G pueden ser explicados por la amplificación del campo
magnético de las estrellas progenitoras después de la explosión de la Supernova [1], es decir por
Introducción general.
4
conservación del flujo magnético en el proceso de colapso. La compresión que le ocurre a estas
estrellas hace que el radio de la progenitora disminuya 105 órdenes con un campo magnético de
100 G, por conservación del flujo magnético, el campo magnético crecería hasta 1012 G.
Más allá de ese valor, en particular los campos magnéticos asociados a las Magnetars,
precisan de modelos más elaborados que aún están en discusión [10]. Uno de ellos es el Efecto
Dinamo: basado en la circulación del gas por convección dentro de la estrella porque hay partes
del gas tibias y otras más frías. Como el gas es un buen conductor eléctrico cualquier línea de
campo magnético lo arrastra moviéndolo con él. De esta manera el campo magnético puede
amplificarse, se piensa que es el que origina el campo magnético en todas las estrellas e incluso
en planetas; está presente durante toda la vida de las estrellas de una manera sedada pero para
las ENs, cuyo núcleo rota rápidamente, la convección llega a ser muy violenta. El hecho de que
el efecto dinamo opere globalmente dependerá de la relación rotación-convección. Así una ENs
con períodos de rotación del orden o superiores al período de convección de 10 milisegundos
lograría campos magnéticos de 1015 G las llamadas Magnetars. Por otro lado el Efecto Dinamo
no tendrá lugar en púlsares como el Pulsar del Cangrejo que rota una vez cada 20 milisegundos,
mucho menos que el período de convección. En ese caso el campo magnético no es tan grande,
se supone que sea 1012 G.
Por otro lado, las observaciones no son capaces de estimar los valores máximos de los campos
magnéticos al interior de los OC y se sabe que ellos podrían modificar la estructura estelar. Un
estimado de los valores máximos de los campos magnéticos que podrían soportar estos objetos
pueden darse a través del teorema escalar del Virial [11, 12].
2
Esto quiere decir equiparar la energía gravitacional con la mágnetica: (4πR3 /3)(Bmax
/8π) ∼
2
8
−2
GM /R ⇒ Bmax ∼ 2 × 10 (M/M )(R/R) G, donde M y R son la masa y el radio
del Sol respectivamente. Para EBs encontramos que los estimados, para masas de M = 1,1M
y radios de R = 0,02R , son de un campo magnético máximo de Bmax ∼ 1012 G. Para EN
por otro lado encontramos que para masas de M = 1,44M y radios R = 106 cm = 10−4 R
se obtiene un campo magnético máximo de Bmax ∼ 1018 G. Sin embargo para EEs el valor
máximo del campo magnético podría llegar a ser en el centro de la estrella de Bmax ∼ 1020 G
[13].
La creación de radiotelescopios, el desarrollo de los satélites y de instrumentos de detección
de rayos X y radiación gamma colocados en satélites hacen que hoy día los astrónomos, astrofísicos y físicos cuenten con un sin número de observaciones. En particular las estrellas neutrónicas
y los púlsares le deben a los radiotelescopios su descubrimiento. El Telescopio Espacial Hubble
(TEH) puesto en órbita el 24 de abril de 1990 como un proyecto conjunto de la NASA (National Aeronautics and Space Administration) y de la ESA (European Space Agency) y que puede
captar radiación en el visible, en el infrarrojo próximo y en el ultravioleta ha tomado numerosas
datos de supernovas, enanas blancas, estrellas neutrónicas etc. Su papel ha sido decisivo en la
cacería de Supernovas tipo Ia.
También se dispone del Observatorio de Rayos X Chandra y el Observatorio de Rayos
Gamma Compton, estos últimos se encuentran en órbita al igual que el Hubble. En la Tierra
podemos mencionar una serie de radiotelescopios entre ellos el VLA (Very Large Array) en
Estados Unidos, el RTGM (Radio Telescopio Gigante en Metro-ondas) en la India, el ATCA
Introducción general.
5
(Australia Telescope), el ALMA (Atacama Large Milimeter Array) y el SKA (Square Kilometer
Array).
Todo este desarrollo en la instrumentación hace que se cuente con una gran cantidad de
datos observacionales muchos a la espera de explicaciones teóricas. Uno de los retos que hay
hoy día es explicar valores de masas cada vez mayores para objetos compactos. Se ha medido,
de manera robusta, la masa del pulsar PSR J1614-2230 usando el efecto llamado Shapiro delay
[14] y se ha obtenido un valor de M = (1,97 ± 0,04)M .
Por otro lado han aparecido recientemente observaciones de supernovas tipo Ia SN 2006gz,
SN 2007if, SN 2009dc, SN 2003fg con valores altímos de luminosidad y baja energía cinética [15].
Estas supernovas han querido ser explicadas con EBs progenitoras que tienen masas mayores
que la masa de Chandrasekhar, que como ya sabemos es un límite que la teoría impone sobre
las EBs.
Parecía como si las EBs hubieran sido completamente estudiadas y el tema relativo a ellas
completamente agotado, y sin embargo ha resurgido el trabajo en esta área al pensar que en
presencia de campos magnéticos fuertes ellas podrían llegar a tener masas mayores que las de
Chandrasekhar [16].
La motivación de esta tesis parte de todas estas observaciones que permanecen sin explicación y el intento de entender el papel que juegan la presencia de tan altos campos magnéticos
en estos objetos. Partimos a priori del conocimiento de que ellos afectan de manera importante
la estructura microscópica de la materia. El gas magnetizado de electrones, neutrones y quarks
ha sido estudiado previamente en [17, 18]. Entre muchos resultados, el más transcendental es
que se obtienen presiones anisotrópicas: una presión paralela y otra perpendicular al campo
magnético. Estos trabajos son el punto de partida de los aquí desarrollados en lo referente a las
ecuaciones de estado en presencia de campos magnéticos.
Hemos partido por tanto del supuesto de que el campo magnético es dipolar y que podemos
considerarlo constante en la estrella y no vamos a abordar los mecanismos que lo producen y
los por qué.
Sin embargo el campo magnético será supuesto constante y en la dirección z con ello hemos
pretendido estudiar su efecto en:
1. Ecuaciones de Estado (EdE) de los Objetos Compactos.
Hemos estudiado el papel del Momento Magnético Anómalo (MMA) en las EdE.
Aplicable a EEs o EB. Este estudio tiene un carácter formal y es extensible a otras
aplicaciones más allá de las Astrofísicas.
Hemos obtenido de EEs formadas por materia extraña en presencia de campos magnéticos en fase deconfinada y en una fase superconductora de color, la más simetríca
de ellas, la Color Flavor Locked (CFL).
2. En las ecuaciones de estructura de los Objetos Compactos. Dado que el campo magnético
rompe la simetría espacial de un sistema de fermiones y produce presiones anisotrópicas,
sugiere que la geometría del sistema es axisimétrica en lugar de esférica. Por tanto las
ecuaciones de estructura de Tolman Oppenhaimer Volkoff (TOV) obtenidas para una
Introducción general.
6
métrica esférica no son ya válidas cuando la anisotropía aumenta al crecer el campo
magnético. Dado este imperativo obtuvimos unas ecuaciones de estructura que responden
a una simetría cilíndrica.
Sin embargo es importante aclarar la validez de la aproximación de campo magnético constante. Aun cuando se sabe que la intensidad del mismo varía varios órdenes del núcleo de la
estrella a la superficie la aproximación se basa en el hecho de que la escala de variación del campo
magnético en el medio estelar es mucho mayor que la variación de la escala del campo magnético
microscópico de campos magnéticos débiles y fuertes [19]. Es decir, la escala microscópica magnética está dada por lm , que para campos magnéticos débiles, para los cuales la aproximación
2
cuasiclásica es válida lm ∼ Bλe∗ (3π 2 ne )1/3 ∼ 7×105 ( nnes )1/3 /B ∗ fm, donde ne es la densidad de electrones, ns es la densidad de saturación nuclear (0,16f m−3 ) y B ∗ = B/Bec , siendo Bec = 4,41×1013
G el campo magnético crítico para electrones. Por otro lado, para campos magnéticos fuertes,
2
donde pocos niveles de Landau contribuyen lm ∼ (2π 2 ne )( Bλe∗ )2 ∼ 7 × 109 ( nnes )/B ∗ 2 fm. En
ambos casos el requerimiento de que R lm se satisface ampliamente.
En el tratamiento de las EdE de la materia en el interior de las EBs, consideraremos un
gas libre de electrones que sólo interactúan con un campo magnético constante en la dirección
z. Se tienen en cuenta además, los protones y neutrones formando iones que aportan energía y
garantizan la neutralidad de carga eléctrica de la estrella.
Sin embargo para describir una EE y las EdE de la materia en su interior, tenemos que recurrir a modelos fenomenológicos alternativos a la Cromodinámica Cuántica (CDC), en particular
utilizaremos el modelo de Bag del MIT que describe el confinamiento de los quarks sin tener
que utilizar CDC. Este modelo, exitoso en los años 70 al describir algunos hadrones considera
los quarks libres al interior del Bag. A partir de dicho modelo estudiamos la MEQ en presencia
de campo magnético (MEQM) y la fase superconductora de color más simétrica, la llamada
fase Color Flavor Locked-CFL en presencia del campo magnético. Se le impone a la materia
equilibrio estelar, ello significa que consideraremos que ha trascurrido suficiente tiempo como
para que ocurran procesos de desintegración β mientras la estrella se mantiene eléctricamente
neutra y conserva el número de bariones en su interior.
La tesis consta de cinco capítulos. El Capítulo 1 es introductorio. El Capítulo 2 se dedica
al estudio de fermiones en presencia de campos magnéticos, la obtención del tensor energía
momentum y el tensor de esfuerzo con presiones anisotrópicas. Se estudian además las EdE
de la materia magnetizada. En el Capítulo 3 se calcula el Momento Magnético Anómalo para fermiones cargados en presencia de un campo magnético fuerte y se estudia la influencia
de tomar en cuenta su contribución al espectro de las partículas en las EdE, estos estudios
son originales. El estudio de las EdE de la materia magnetizada en ambientes astrofísicos es
abordado en el Capítulo 4, donde se investiga la influencia del campo magnético en las EdE
de la materia que existe en el interior de las EBs y de las EEs. Estos estudios son trabajos
originales. En el Capítulo 5 se utilizan las EdE para resolver las ecuaciones de estructura de
Objetos Compactos. Se estudia el impacto de la anisotropía de las presiones en las relaciones
M-R con simetría esférica y se plantea un modelo con simetría cilíndrica para tener en cuenta
las anisotropías inducidas por el campo en las ecuaciones de estructura lo cual es un resultado
original. Finalmente se dan las conclusiones y recomendaciones.
Capítulo 1
Objetos Compactos: Enanas Blancas,
Estrellas de Neutrones, Estrellas
Extrañas.
En este capítulo resumiremos las principales propiedades que presentan los OC, dando datos
observacionales que nos serán útiles para comparar con posteriores resultados teóricos. Si bien
se introducen de manera somera las principales características de los OC, no pretendemos ser
exhaustivos en la descripción de los mismos, para lo cual remitimos al lector a trabajos citados.
Presentaremos los datos más actualizados que a la fecha conocemos, sin embargo esta rama
está en constante efervecencia debido al desarrollo de las técnicas de observación del cosmos
que actualiza, refina y aumenta el volumen de datos a cerca de todos los objetos astrofísicos.
1.1.
Evolución estelar
El estudio de los OC comienza donde termina el estudio de la evolución de las estrellas.
Revisemos brevemente las principales características de las estrellas y su evolución.
Las estrellas se clasifican atendiendo a varios parámetros, según sus espectros se clasifican
mediante la secuencia de letras OBAFGKMLT (sistema de Harvard) y a las mismas se les
adiciona una subdivisión decimal, por ejemplo A0-A9. Inicialmente esta clasificación solo barría
desde las clases O para las estrellas azules más calientes hasta la M para las rojas más frías,
posteriormente se añadieron otras letras como la T para las más frías infrarrojas. De forma tal
que esta clasificación espectral caracteriza la temperatura de la estrella [20]. En esta clasificación
el
de tipo G2. Con el tipo espectral (temperatura) y la ley de Stefan-Boltzmann R ∝
√ sol es
2
L/Te donde R es el radio de la estrella, L su luminosidad y Te su temperatura efectiva,
podemos ver que para un mismo tipo espectral (igual Te ), estrellas de mayor luminosidad
tendrán radios mayores.
Las mediciones de la luminosidad en función de la temperatura de las estrellas arrojan
un gráfico conocido como diagrama de Hertzsprung-Russell (H-R). Como podemos ver en la
Fig (1.1), en el diagrama H-R las estrellas se agrupan en varias regiones, la más notable es
7
Capítulo 1: Objetos Compactos: Estrellas de Neutrones, Estrellas Extrañas.
8
la diagonal que se extiende desde el extremo superior izquierdo (estrellas brillantes y calientes
tipo O) hasta el extremos inferior derecho (estrellas frías y poco luminosas tipo M), esta es
la llamada secuencia principal. En la parte superior derecha están las gigantes y en la inferior
izquierda las EBs.
Figura 1.1: Diagrama de Hertzsprung-Russell .
La existencia de la relación entre la luminosidad y la temperatura para las estrellas de la
secuencia principal da una pista de que su posición en esta región depende de un solo factor, su
masa. La gran mayoría de las propiedades de las estrellas dependen de su masa, por ejemplo,
la luminosidad, temperatura efectiva y su estructura interna.
Estrellas con masas menores que 0,08 M no son estables pues las reacciones nucleares no se
mantienen en la nube que se contrae para formarla, así mismo sistemas con masas mayores que
60 − 100 M tampoco son estables y no duran un periodo de tiempo significativo. Este rango
de masas, donde pueden existir estrellas estables, se divide en estrellas de baja masa (0,08 <
M/M < 3), de masas intermedias (3 < M/M < 9), de masa elevada (9 < M/M < 25) y
super-masivas (25 < M/M < 60). Estos límites son más bien formales cuando se estudia la
vida de una estrella en función de su masa dado que otros factores pueden incidir decisivamente
en su evolución.
Las estrellas de baja masa comienzan su vida quemando hidrógeno, cuando este hidrógeno
se agota, el núcleo de la misma se contrae sobre su propio peso y las capas externas se expanden
formándose una gigante roja. Eventualmente la temperatura del núcleo es suficientemente alta
para que comiencen las reacciones de fusión del helio. Luego de esto las capas exteriores de la
estrella experimentan muchas inestabilidades y una gran fracción de materia es eyectada formando una nebulosa planetaria. El núcleo remanente es una EB. Estrellas de masas intermedias
Capítulo 1: Objetos Compactos: Estrellas de Neutrones, Estrellas Extrañas.
9
evolucionan de forma similar, y terminan como EBs.
Estrellas de masa elevada M/M < 8 van más allá en las reacciones nucleares y luego de
quemar el helio comienzan a quemar carbón y dependiendo de su masa queman elementos más
pesados. Una estrella de masa suficientemente alta, tendrá una estructura de capas sucesivas de
hierro, níquel, silicio, oxígeno, neón, carbón, helio y hidrógeno desde el núcleo hasta la superficie.
En este momento comienzan una serie de procesos altamente energéticos en el núcleo de la
estrella, la foto-desintegración de los núcleos atómicos así como los procesos de decaimiento β
inversos, reducen la presión causando un rápido colapso. Durante estos procesos, el decaimiento
β inverso hace que el núcleo de la estrella se vuelva rico en neutrones. Cuando las reacciones
nucleares paran el colapso del núcleo de la estrella, una onda de choque va desde el centro hasta
la superficie, siendo capaz de expulsar el manto exterior de la estrella en una explosion conocida
como supernova tipo II. La energía cinética de la onda de choque es de alrededor de ∼ 1044
J, se libera una energía en forma de fotones del orden de ∼ 1042 J dando una luminosidad de
∼ 109 L , donde L es la luminosidad del Sol. El núcleo remanente es una ENs.
Estrellas super-masivas pueden terminar como una ENs o como un agujero negro.
En estas descripciones nos hemos referido a estrellas aisladas, pero es posible que las estrellas
estén formando sistemas binarios y que uno de los componentes evolucione hacia un OC que
puede inteaccionar con la otra estrella, por ejemplo acretando masa, lo cual lleva a nuevos
fenómenos físicos. En un sistema binario formado por una EB, la acreción de masa por parte
de esta puede llevar a un evento conocido como supernova tipo Ia. Este tipo de supernovas
son muy importantes en las mediciones de distancias en el universo pues poseen una cantidad
estándar de combustible y un mecanismo de explosion común (candelas estándar). Por ejemplo
con mediciones de distancias basadas en las supernovas Ia se ha inferido la aceleración de
expansión del universo [21] y la presencia de Energía Oscura [22].
1.2.
Enanas Blancas
La clasificación espectral de las EBs es tipo D (proveniente de dwarf, enana en inglés), la
misma se subdivide en varios tipos dependiendo del elemento predominante en su atmósfera:
- DA: líneas fuertes de hidrógeno (constituyen el 80 % de las EBs)
- DB: líneas fuertes de He I
- DO: líneas fuertes de He II
- DC: espectro continuo
- DZ: líneas fuertes de metales (excluyendo al carbón)
- DQ: líneas fuertes de carbón.
Las EBs se caracterizan por tener masas alrededor de los 0,6 M , la distribución de masas
se muestra en la Fig (1.2). Las masas más pequeñas son del orden de 0,17 M [23], mientras
que las mayores masas medidas son de 1,33 M [24].
Capítulo 1: Objetos Compactos: Estrellas de Neutrones, Estrellas Extrañas.
10
Figura 1.2: Histograma para la distribución de las masas de EBs [25].
Teóricamente estas masas están limitadas por el valor de alrededor de 1,4 M , la conocida
masa de Chandrasekhar [2], que establece el límite máximo de masa para el cual la presión
del gas degenerado de electrones puede balancear a la fuerza de gravedad. Recientemente se
han reportado observaciones de posibles candidatas de supernovas tipo Ia superluminosas que
pudieran provenir de EBs que sobrepasan este límite [26, 15, 27].
Los radios de estos objetos se estiman entre los 0,008 R y 0,02 R , lo cual es comparable
con el radio de la tierra ∼ 0,009 R .
Las densidades en el interior de las EBs varían entre 104 y 109 gcm−3 siendo la densidad
media de estos objetos 106 gcm−3 , la densidad media de la tierra es de 5,4 gcm−3 , es decir, un
millón de veces menor. Las temperaturas superficiales varían entre 5000 y 80000 K.
En la Tabla 1.1 mostramos los datos observacionales de algunas EBs
EB
M/M
Sirio B
0,978 ± 0,005
40 Eriadni B 0,501 ± 0,011
Procyon B
0,602 ± 0,015
R/R
0,0084 ± 0,00025
0,01360 ± 0,0002
0,01234 ± 0,00032
T[K]
24790 ± 100
16700 ± 300
7740 ± 50
Referencia
[28, 29]
[30]
[31]
Tabla 1.1: Datos de algunas EBs.
Existen más de 65 EBs magnéticas, lo que representa un 2 % del total. Los campos magnéticos varían entre los 3 × 103 G hasta los 109 G [32]. Estos campos magnéticos son superficiales,
pero se espera que en el interior sean mayores. El origen de estos campos magnéticos se puede
explicar a través del mecanismo de conservación del flujo magnético durante el colapso de la
2
estrella progenitora, es decir, se debe cumplir BEB REB
= B0 R02 , donde R0 y B0 son el radio
y campo magnético respectivamente de la estrella progenitora. Con este mecanismo se pueden explicar valores de campo magnético de hasta 109 G. Por otro lado otros mecanismos,
Capítulo 1: Objetos Compactos: Estrellas de Neutrones, Estrellas Extrañas.
11
como los procesos tipo dinamo que consisten básicamente en la generación de corrientes internas producto de la rotación explican la existencia de campos magnético en estos objetos
[33, 34, 35, 36, 37]. No obstante, la explicación y determinación del origen, valor y evolución de
los campos magnéticos es un problema abierto para los astrofísicos y físicos de partículas.
1.3.
Estrellas de Neutrones
Estrellas de neutrones es el término tradicional que se emplea para denominar a los OC
en los cuales predominan los neutrones, este término se utiliza incluso si estamos hablando de
estrellas que contienen materia de quark. En este epígrafe nos referiremos al término ENs en el
sentido “clásico” y dejaremos el estudio de las propiedades de las estrellas formadas por materia
de quarks para el epígrafe siguiente.
En la actualidad las ENs se asocian con dos tipos de objetos astrofísicos: los púlsares, que
en general se acepta que son ENs que rotan y las fuentes compactas de rayos X, algunas de las
cuales son ENs que forman sistemas binarios con estrellas normales.
Las masas de las ENs son típicamente del orden de 1,4 M y sus radios de alrededor de
10 km. Una compilación de masas medidas de ENs se muestra en la Fig (1.3).
Figura 1.3: Masas de algunas ENs [38].
Las ENs son los objetos más compactos que existen en el universo, sus densidades medias
Capítulo 1: Objetos Compactos: Estrellas de Neutrones, Estrellas Extrañas.
12
se estiman en ρENs ' 7 · 1014 gcm−3 . Este valor es más de dos veces el de la densidad de
saturación de la materia nuclear, (densidad a partir de la cual los nucleones se comienzan a
“tocar”) ρs = 2,7 · 1014 gcm−3 o ns = 0,16 bariones fm−3 .
Muchas de las ENs observadas son púlsares, que son considerados ENs que giran con mucha
velocidad. Los períodos de rotación de los púlsares van desde los segundos hasta los milisegundos, estos últimos imponen fuertes restricciones a las EdE de la materia. Un efecto interesante
relacionado con la rotación son los denominados saltos repentinos en los períodos de rotación
(denominados glitches en inglés) que presentan algunos púlsares [39, 40]. Estos saltos se explican
mediante un mecanismo de rotación diferencial entre las distintas capas internas de la estrella,
uno de estos saltos se puede ocasionar por una rápida transferencia de momento angular entre
dos regiones internas de la estrella que giren a diferentes velocidades.
traditional neutron star
quark−hybrid
star
N+e
N+e+n
s
H
,∆
Σ,Λ
,Ξ
ns
color−superconducting
strange quark matter
(u,d,s quarks)
d
π−
neutron star with
pion condensate
to
2SC
CFL
p
ro
u,d,s
quarks
e, µ
ui
n,p,
rfl
pe
ond u c t
r c
i n
g
p e
su
u
n
n,p,e, µ
hyperon
star
−
K
2SC
CFL
CSL
CFL−K +
gCFL
0
LOFF CFL−K 0
CFL− π
crust
Fe
6
3
10 g/cm
11
10
g/cm 3
3
10 14 g/cm
Hydrogen/He
atmosphere
strange star
nucleon star
R ~ 10 km
Figura 1.4: Esquema de las posibles fases que teóricamente pueden formar el interior de una
ENs [41].
La estructura interna de una ENs se compone de varias capas:
- La atmósfera, con un espesor de solo unos centímetros.
- La corteza exterior, formada por una red de núcleos atómicos y un líquido de Fermi degenerado
de electrones relativistas.
- La corteza interna, se extiende hasta que las densidades alcanzan aproximadamente el valor
ρ ' 1,7 × 1014 gcm−3
- El núcleo, en el cual todos los núcleos atómicos se han disuelto en sus constituyentes. Debido
Capítulo 1: Objetos Compactos: Estrellas de Neutrones, Estrellas Extrañas.
13
a las altas presiones de Fermi, el núcleo también puede contener hiperones, bariones más
masivos, resonancias y posiblemente un gas de quarks u, d y s libres.
Una representación esquemática de la composición interna de una ENs se muestre en la
Fig (1.4).
1.4.
Estrellas Extrañas
En la actualidad existen varias ENs cuyas características pueden ser explicadas si aceptamos
que están formadas por materia extraña de quarks [42]. Teóricamente este tipo de estrellas fue
propuesto por primera vez de forma especulativa por Itoh [43] al sugerir la existencia de una
estrella formada por materia de quarks de 3 sabores, e incluso calcular el equilibrio hidrostático
de la misma. Posteriormente la posibilidad teórica de que la materia extraña de quarks puede
ser el estado básico de la interacción fuerte en vez del 56 Fe, fue propuesta por Bodmer [7],
Witten [44] y Terazawa [45]. Esta hipótesis, introduce la posibilidad de la existencia de EEs.
La materia de quarks de 3 sabores siempre posee menos energía que la de 2 sabores debido
al pozo extra de Fermi que es accesible para el quark s, ver Fig (1.5).
Figura 1.5: Esquema de los niveles de energía de un sistema de dos y tres sabores [46].
Con el argumento mostrado en la Fig (1.5), podemos intuir la posibilidad de que la hipótesis
de Bodmer-Witten-Terazawa sea cierta, pero el interior de una EEs es mucho más complejo.
Para comprender mejor las propiedades de la ME, hagamos una pequeña digresión en la CDC,
sus principales propiedades y consecuencias par la materia de quarks y para las condiciones en
el interior de las EEs.
Capítulo 1: Objetos Compactos: Estrellas de Neutrones, Estrellas Extrañas.
1.4.1.
14
Cromodinámica cuántica y algunas propiedades
El Lagrangiano de la CDC es [47]:
LQCD = q̄ ( iγ µ Dµ − m̂ ) q −
1 a µν a
G
G µν ,
4
(1.1)
donde q es el campo de los quarks con seis sabores (u, d, s, c, b, t) y tres colores, y m̂ =
diagf (mu , md , . . . ) es la matriz de masa. La derivada covariante
Dµ = ∂µ − ig
λa a
A
2 µ
(1.2)
está relacionada con el campo de los gluones Aaµ y
Gaµν = ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + g f abc Abµ Acν
(1.3)
es el tensor de fuerzas de los gluones. λa y f abc son los generadores del grupo SU (3) (matrices
de Gell-Mann) y las correspondientes constantes antisimétricas de estructura respectivamente.
g es la constante de acoplamiento de la CDC.
El Lagrangiano (1.1) es por construcción simétrico bajo las transformaciones del grupo
SU (3) en el espacio de color. Este grupo tiene un carácter no Abeliano debido a la presencia de
los términos f abc en (1.3). Debido a esto, la CDC presenta algunas características peculiares,
que no están presentes en teorías de calibración Abelianas como la Electrodinámica Cuántica,
ellas son:
Los gluones presentan carga de color.
La CDC es una teoría asintóticamente libre, es decir el acoplamiento disminuye para
cortas distancias o de forma equivalente para grandes energías. En la aproximación de un
lazo tenemos que:
4π
g2
,
(1.4)
αs ≡ s ≈
4
4π
(11 − 3 Nf )ln(µ2 /Λ2CDC )
donde Nf es el número de sabores y ΛCDC = (200 ∼ 300) M eV es un parámetro de
renormalización.
Para bajas energías la interacción es fuerte, es decir, la fuerza entre las partículas aumenta
con la distancia (confinamiento).
El Lagrangiano presenta (aproximadamente) simetría quiral, es decir, es simétrico ante
las transformaciones globales SU (Nf )L × SU (Nf )R . Esta simetría sería exacta en el límite
en que el número de sabores de quarks Nf , tenga masa nula.
Veamos con más detenimiento las implicaciones de la ecuación (1.4) [48]. En el caso de
la Electrodinámica la constante de acoplamiento (constante de estructura fina) tiene un valor
Capítulo 1: Objetos Compactos: Estrellas de Neutrones, Estrellas Extrañas.
15
αEM ' 1/137 < 0,01, este hecho hace que podamos dar un tratamiento perturbativo a esta
teoría.
Para la CDC se podrían utilizar métodos perturbativos en el límite µ → ∞, esto equivale,
para la MEQ a la condición de que la densidad bariónica tienda a infinito (nB → ∞) ya que el
1/3
potencial químico bariónico sería µ ' (3π 2 )1/3 ~cnB .
Estimemos el valor de αs para las densidades que se encuentran en el interior de las EEs.
Para densidades nB = 10n0 , obtenemos que αs ' 0,8. Incluso si nB = 106 n0 obtenemos que
αs ' 0,15. Para que αs ∼ αEM se necesitaría que nB > 10123 n0 .
Estas estimaciones nos aseguran la imposibilidad de utilizar Teoría de Perturbaciones a
partir de la CDC si intentamos describir un sistema real, como es el interior de los OC. Por ello
para estudiar estos sistemas se han propuesto varios modelos fenomenológicos, uno de los más
exitosos es el Modelo de Bag del MIT.
1.4.2.
Modelo de Bag del MIT
El modelo de Bag (bolsa) del MIT fue propuesto en los años 70 [50] para describir desde
el punto de vista microscópico a los hadrones. En este modelo se logra reproducir la libertad
asintótica y el confinamiento de los quarks, dos de las propiedades más importantes de la CDC,
a través de un parámetro libre del modelo Bbag .
En este modelo se describe a los quarks como partículas libres (o casi libres) confinados
dentro de un Bag. La estabilidad del Bag se garantiza introduciendo el parámetro Bbag que
se interpreta como una contribución positiva a la densidad de energía, y negativa a la presión
dentro del volumen. De forma equivalente podemos atribuir el término −Bbag a la región fuera
del Bag, lo que conduce a un vacío con una densidad de energía negativa vac = −Bbag y una
presión positiva pvac = +Bbag . El tensor energía impulso dentro del Bag para un fluido perfecto
viene dado por:
T µν = diag(E, P, P, P ),
(1.5)
donde E es la densidad de energía y P es la presión del fluido.
El término Bbag g µν (siendo g µν el tensor métrico) se añade al tensor energía-momento
dentro del Bag quedando entonces las siguientes expresiones para la presión y para la densidad
de energía:
X
P =
Pf − Bbag ,
(1.6)
f
E=
X
f + Bbag ,
(1.7)
f
donde es la densidad de energía de cada fermión y la suma es sobre los sabores de los quarks.
El modelo fenomenológico de Bag del MIT es ampliamente usado para describir la materia
en el interior de los OC. Es el que utilizaremos en el Capítulo 4 para encontrar las EdE de la
MEQM y estudiar la estabilidad de la misma.
Capítulo 1: Objetos Compactos: Estrellas de Neutrones, Estrellas Extrañas.
1.4.3.
16
Estabilidad de la materia de quarks normal en equilibrio estelar
La hipótesis sobre la existencia de la MEQ o conjetura de Bodmer-Witten-Terazawa, como
ya mencionamos, establece que la materia formada por quarks u, d y s en estado libre, puede
ser el estado básico de la materia. Este hecho se cumple si se satisface la desigualdad:
E E < ,
(1.8)
A
A 56
M EQ
Fe
es decir, la energía por barión para la MEQ es menor que la energía por barión para el 56 Fe
(núcleo más estable de la naturaleza).
El hecho empírico de que en la Naturaleza la materia que se observa está formada por núcleos
compuestos por neutrones y protones, y que no hallemos la MEQ, no entra en contradicción con
la hipótesis de su existencia. Para que ésta se forme a partir de núcleos normales es necesario
que los quarks u y d, que forman los neutrones y protones, se transformen en quarks s. Pero no
solo con eso basta, se necesita para lograr la estabilidad que la fracción de quarks s sea grande
(ns ≈ nu ≈ nd ). La probabilidad de que ocurra la reacción débil que garantiza que se formen
los quarks s es casi nula, lo que hace que solo para grandes densidades, en el interior de las
ENs y durante millones de años, se forme la cantidad necesaria de quarks s para que la MEQ
sea más estable que la materia nuclear [49].
Sin embargo, la estabilidad de los núcleos sí excluye la estabilidad de la materia compuesta
solamente por quarks u y d, como se demuestra a continuación.
Analicemos la estabilidad para el caso de la materia de quarks formada por quarks u y d en
equilibrio β con electrones. Este tipo de materia pudiera formarse en el interior de los OC al
formarse el plasma quark-gluón. Como veremos, la misma constituiría un estado metaestable,
pues tiene mayor energía por barión que la materia nuclear.
El equilibrio químico dentro de la estrella se garantiza a través de la reacción de desintegración β:
d ↔ u + e− + ν¯e .
(1.9)
Como las estrellas son neutras se impone la condición de neutralidad de carga que en el caso
general se expresa mediante:
X
nf qf − ne = 0,
(1.10)
f
donde qf (f = u, d, s) son las cargas de los quarks y ni (i = u, d, s, e) (emplearemos el subíndice
f cuando tengamos en cuenta solamente los quarks y el subíndice i cuando incluyamos a los
electrones) son las densidades de las partículas involucradas. Se impone también la conservación
del número bariónico:
P
f nf
.
(1.11)
nB =
3
De las condiciones anteriores podemos escribir el siguiente sistema ecuaciones:
µu + µe − µd = 0 equilibrio β
2nu − nd − 3ne = 0 neutralidad de carga
nu + nd − 3nB = 0 conservación del número bariónico,
(1.12a)
(1.12b)
(1.12c)
Capítulo 1: Objetos Compactos: Estrellas de Neutrones, Estrellas Extrañas.
17
donde µi y ni son los potenciales químicos de las partículas.
Hemos supuesto que ha pasado el tiempo suficiente para que los neutrinos hayan escapado
del sistema por lo que tomaremos µν̄e = 0. El sistema (1.12) es un sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas µi (i = u, d, e). Los resultados obtenidos a partir de este sistema serán
utilizados para comparar con los de la MEQ.
Podemos realizar un análisis de la estabilidad de este tipo de materia. Para esto tendremos
en cuenta que en equilibrio β la fracción de electrones es despreciable, también consideraremos
que las masas de los quarks u, d son nulas. En este caso tenemos:
3µ4f
µ4f
µ3f
(1.13)
nf = 2 f = 2 Pf = 2 ,
π
4π
4π
Utilizando el modelo de Bag del MIT e imponiendo la condición de equilibrio (P = 0)
obtenemos para la energía y la presión total dentro del bag (1.6) y (1.7):
X
Pf
(1.14)
E = 4Bbag ,
(1.15)
Bbag =
f
La neutralidad de carga en este caso toma la forma: nd = 2nu ⇒ µu = 2−1/3 µd ≡ µud ,
4/3
)µ4ud = Bbag y la conservación del número
para la presión tenemos: Pud = Pu + Pd = ( 1+2
4π 2
d
bariónico nos da: nB ud = nu +n
= µud /π 2 , con estas ecuaciones podemos calcular la energía por
3
barión para el gas formado por quarks u y d:
ud
1/4
1/4
= (1 + 24/3 )1/4 (4π 2 )1/4 Bbag = 6,411Bbag ' 943 MeV
nB ud
1/4
(1.16)
donde hemos tomado Bbag = 145 MeV ⇒ Bbag ' 57 MeV fm−3 . La energía por barión
para un gas de neutrones es la masa del neutrón (mn = 939, 6 MeV), para un gas de 56 Fe
la energía por barión se puede calcular como: E/A|56 Fe = (56mN − 56 · 8,8)/56 = 930 MeV.
Por tanto la estabilidad del gas formado por quarks u y d con respecto al gas de neutrones
requiere que ud /nB ud < mn ⇒ Bbag < 60 MeV fm−3 y con respecto al gas de 56 Fe que
ud /nB ud < E/A|56 Fe ⇒ Bbag < 57 MeV fm−3 .
En la naturaleza se observan los neutrones y el 56 Fe pero no el gas de quarks u y d, por lo
que se concluye que el Bbag debe ser mayor que los valores antes mencionados. Este hecho hace
que se tome el valor Bbag = 57 MeV fm−3 como un límite inferior para este parámetro.
Capítulo 1: Objetos Compactos: Estrellas de Neutrones, Estrellas Extrañas.
1.4.4.
18
Estabilidad de la Materia Extraña de Quarks en equilibrio estelar.
Analicemos ahora la estabilidad de la MEQ, es decir, materia formada por quarks u, d y s
libres. El equilibrio químico de este sistema está garantizado por las interacciones débiles:
d ↔ u + e− + ν¯e ,
s ↔ u + e− + ν¯e ,
u + s ↔ d + u,
estas reacciones conducen a relaciones entre los potenciales químicos. Tomaremos igualmente
que µν̄e = 0 pues los neutrinos escapan de la estrella. El equilibrio β, la neutralidad de carga y
la conservación del número bariónico quedan expresados mediante:
µu + µe − µd = 0 , µd − µs = 0,
2nu − nd − ns − 3ne = 0,
nu + nd + ns − 3nB = 0.
(1.17a)
(1.17b)
(1.17c)
Al igual que en el caso de la materia de quarks normal supondremos que la fracción de
electrones es muy pequeña, por tanto la neutralidad de carga queda como: nu = nd = ns ⇒
µuds = µu = µd = µs . Para un Bbag fijo el gas de u , d , s ejerce la misma presión que el gas de u y
d, también la energía es la misma (uds = 4Bbag ). Esto ocurre cuando µuds = 3−1/4 (1+24/3 )1/4 µud
con lo que se obtiene el número bariónico: nB uds = µuds /π 2 = [(1 + 24/3 )/3]3/4 nB ud , esto nos da
una energía por barión:
uds
1/4
1/4
= 33/4 (4π 2 )1/4 Bbag = 5,71Bbag ' 829 MeV,
(1.18)
nB uds
este valor es 100 veces menor que para la materia normal de quarks (para un mismo valor de
Bbag ), por lo que podemos decir que se cumplen las siguientes desigualdades:
E E E < < ,
(1.19)
A
A 56
A
M EQ
Fe
u,d
donde el parámetro Bbag se encuentra entre 57 − 90 M eV f m−3 . Este resultado conduce directamente a la hipótesis de Bodmer-Witten para el caso de ambientes ricos en quarks s como
puede ser el interior de las ENs [51].
En el epígrafe 4.2 estudiaremos los efectos del campo magnético en la estabilidad de la MEQ
y de la materia normal de quarks.
1.4.5.
Superconductividad de color
Si bien hasta ahora hemos visto la materia de quarks tratando de simplificar lo más posible
la física de estos sistemas, la variedad de fenómenos que se dan en los mismos es muy grande,
esto se puede observar en el diagrama de fases de la CDC mostrado en la Fig (1.6).
Una de las posibilidades son las fases superconductoras de color. Para la existencia del
fenómeno de la superconductividad son necesarias tres condiciones
Capítulo 1: Objetos Compactos: Estrellas de Neutrones, Estrellas Extrañas.
19
Figura 1.6: Diagrama de fase de la CDC [52].
1. Un líquido de fermiones cargados.
2. La existencia de interacciones atractivas entre los fermiones.
3. Bajas temperaturas.
Para densidades suficientemente altas y bajas temperaturas los quarks forman un líquido
degenerado de Fermi. A medida que aumenta el momentum de los quarks, las interacciones son
más débiles (libertad asintótica de la CDC), los quarks que se encuentran cerca de la superficie
de Fermi son casi libres. La interacción quark-quark ciertamente tiene componentes atractivas pues estos se encuentran confinados en los núcleos. Como veremos a continuación, estás
condiciones son suficientes para garantizar la superconductividad de color a altas densidades.
La explicación de la superconductividad fue originalmente desarrollado por Bardeen, Cooper
y Schrieffer (BCS) [53], es totalmente general, se puede aplicar a electrones en un metal, nucleones o materia de quarks. Este mecanismo consiste en que a cero temperatura, el potencial
termodinámico es Ω = E − µN donde E es la energía total del sistema, µ es el potencial
químico y N el número de fermiones. En ausencia de interacciones, la energía que se requiere
para adicionar una partícula al sistema es la energía de Fermi EF = µ, de manera tal que
adicionar o sustraer una partícula que esté cerca de la superficie de Fermi no tiene costo energético alguno. Con una atracción débil entre las partículas, si adicionamos un par de partículas
(par de Cooper), el potencial termodinámico disminuye producto de la energía potencial de
atracción. Muchos de estos pares se formarán cerca de la superficie de Fermi y como los pares
son bosónicos, formaran un condensado. El estado básico será una superposición de estados con
diferentes números de pares, rompiendo la simetría de número de fermiones.
La aplicación del mecanismo BCS al apareamiento en la materia densa de quarks es en
cierto sentido más directo que a la de electrones en un metal. La interacción dominante entre
electrones en un metal es la repulsión de Coulomb, y es solamente porque la misma es apantallada que la atracción mediada por fonones comienza a jugar un papel decisivo. Esto significa
que las interacciones efectivas que gobiernan a la superconductividad en un metal dependen
de complejas estructuras de bandas que son difíciles de determinar de forma precisa a partir
Capítulo 1: Objetos Compactos: Estrellas de Neutrones, Estrellas Extrañas.
20
de primeros principios. En cambio, en el caso de la CDC, la interacción entre los quarks es
atractiva para aquellos que tengan funciones de onda antisimétricas, lo que significa que la
superconductividad surge como consecuencia directa de la interacción primaria de la teoría.
Como los pares de quarks no poseen neutralidad de color, el condensado resultante rompe
la simetría local de color y forma lo que se denomina un superconductor de color [54, 51]. En
este caso se pueden formar varias fases como se muestra en la Fig (1.6). Esto se debe a que los
quarks pueden tener tres diferentes colores, diferentes sabores y diferentes masas. Más aún, la
materia de quarks real debe ser neutra con respecto a las cargas de color y eléctrica y estar en
equilibrio químico bajo los procesos de la interacción débil que convierten un sabor a otro de
los quarks. Para ilustrar el patron del condensado usaremos el siguiente ansatz [55, 56]
hΨαfa Cγ5 Ψβfb i ∼ ∆1 αβ1 fa fb 1 + ∆2 αβ2 fa fb 2 + ∆3 αβ3 fa fb 3 ,
(1.20)
donde Ψαfa es un quark de color α = (r, g, b) y sabor fa = (u, d, s). El condensado es un escalar
invariante de Lorentz, antisimétrico en los índices de Dirac, antisimétrico en los colores y por
tanto antisimétrico en los sabores. Los parámetros de gap ∆1 , ∆2 y ∆3 describen los pares
de Cooper d − s, u − s y u − d respectivamente. Para encontrar cual fase se puede dar en
la materia de quarks real hay que imponer las condiciones ya antes mencionadas. Una de las
posibilidades se da para densidades asintóticas (ms → 0 o µ → ∞), esta fase se denomina
color-flavor locked (CFL) en la cual los tres sabores de quarks participan de forma simétrica
[57]. Los gaps asociados a esta fase son
∆3 ' ∆2 = ∆1 = ∆,
(1.21)
y los condensados de quarks son aproximadamente de la forma
hΨαfa Cγ5 Ψβfb i ∼ ∆αβX fa fb X ,
(1.22)
con los indices de color corriendo de 1 a 3. Puesto que αβX fa fb X = δfαa δfβb − δfαb δfβa podemos
ver que el condensado (1.22) presenta deltas de Kronecker que relacionan los indices de color
y de sabor. De aquí viene la nomenclatura de color-flavor locking. Esta fase es eléctricamente
neutra sin necesidad de electrones [58]. Otras fases pueden existir como por ejemplo la 2SC
(two-flavor superconductor ) en la cual se supone que ms → ∞ y el gap adopta la forma
∆3 > 0, ∆2 = ∆1 = 0 [56]. Para potenciales químicos de interés astrofísico, µ < 103 MeV, el
gap toma valores entre 50 y 100 MeV, lo cual concuerda con resultados obtenidos basados en
modelos fenomenológicos.
La superconductividad de color en presencia de campo magnético se ha tratado en varios
trabajos [59, 60, 61]. Una característica distintiva es que en este caso no se da el efecto Meissner
(desaparición total del flujo del campo magnético en el interior de un material superconductor).
Dado que el escenario natural de existencia de la superconductividad de color no puede ser
otro que el interior de las ENs donde hay altas densidades y existe la posibilidad de encontrar
materia de quarks deconfinada, se ha despertado un interés creciente en estudiar los efectos de
como la superconductividad de color puede afectar las propiedades de las ENs [62, 63, 64]. Estos
estudios arrojan que la superconductividad de color puede modificar en una ENs el enfriamiento
Capítulo 1: Objetos Compactos: Estrellas de Neutrones, Estrellas Extrañas.
21
por emisión de neutrinos, la evolución de los campos magnéticos, las inestabilidades de la
rotación estelar y los saltos (glitches) en las frecuencias de rotación. En el epígrafe (4.2.3)
estudiaremos los efectos del campo magnético en la fase CFL [65].
1.5.
Conclusiones del capítulo
En este capítulo hemos presentado las principales propiedades de los OC. Observables tales
como las masas, radios, temperaturas y densidades han sido descritos para los diferentes OC.
Para mayor claridad, hemos tabulado las características principales de los OC más importantes así como las referencias donde pueden ser consultados los métodos de medición de dichos
parámetros.
Fueron resumidas las principales características la materia extraña de quarks y sus implicaciones para la astrofísica.
De ser cierta la hipótesis de Bodmer-Witten-Terazawa, se abren muchas posibilidades a la
existencia de EEs en el universo. La posible detección de uno de estos objetos podría significar
la validez de esta hipótesis y la confirmación de la existencia de materia extraña de quarks
junto a las implicaciones para la CDC.
En la actualidad no hay una forma de discriminar entre ENs y EEs, lo que hace de este
problema un campo amplio de investigación tanto teórica como experimental. Existen varios
aspectos que pueden sugerir que un OC observado pueda ser una EEs que se salga de los
estándares de las ENs [66]:
1. Las EEs tienen períodos de rotación mínimos menores que las ENs.
2. Las EEs pueden tener radios mucho más pequeños que las ENs dada la diferencia entre
sus relaciones M-R, M ∼ R3 para las EEs mientras que M ∼ R−3 para las ENS.
3. Existen grandes diferencias entre las superficie de una EEs y una ENs, esto puede ayudar a
identificarlas. En el caso de las EEs, hay un cambio abrupto de la densidad en la superficie
de 4 × 1014 gcm−3 a 0 en una escala de 1 fm.
Hicimos énfasis en el fenómeno de superconductividad de color, fundamentalmente de la
fase CFL la cual estudiaremos, en presencia de un campo magnético, en el epígrafe (4.2.3).
Capítulo 2
Tensor Energía-Momento y Ecuaciones de
Estado: Gas de fermi magnetizado
En este capítulo comenzaremos estudiando los aspectos clásicos del movimiento de partículas
cargadas en campos magnéticos, que si bien se pueden encontrar en cualquier libro de texto de
pregrado, nos será útil para introducir notaciones, conceptos y para una posterior discusión de
los resultados. Posteriormente revisaremos el comportamiento cuántico de fermiones cargados
bajo la acción de un campo magnético. La principal característica que aporta la teoría cuántica
es la cuantización de los niveles de energía en el plano perpendicular al campo magnético
tanto en el regimen no relativista como relativista. Esta cuantización afecta el tensor Energía
Momentum y las EdE de la materia y por tanto los observables astrofísicos de OC. El estudio
del tensor energía-momento de la materia magnetizada revela la existencia de una anisotropía
en las presiones producto del rompimiento de la simetría espacial. Obtendremos y estudiaremos
las EdE para fermiones cargados en presencia de un campo magnético que serán la base para,
en el proximo capítulo, estudiar las EdE en condiciones de equilibrio estelar para EBs y EEs.
Los resultados y discusiones de este capitulo constituyen la base de nuestras investigaciones.
2.1.
Movimiento clásico de partículas en un campo magnético.
Para la descripción clásica de una partícula cargada que interacciona con un campo magnético constante seguiremos las ideas presentadas en [67].
El tensor de Maxwell para un campo electromagnético arbitrario que corresponde a un
~ y a un campo magnético B
~ en el SI es
campo eléctrico E


0
−E 1 (x)/c −E 2 (x)/c −E 3 (x)/c
E 1 (x)/c
0
−B 3 (x)
B 2 (x) 
,
F µν (x) = 
(2.1)
2
3
E (x)/c
B (x)
0
−B 1 (x) 
E 3 (x)/c −B 2 (x)
B 1 (x)
0
22
Capítulo 2: Tensor Energía Momentum y Ecuaciones de Estado: Gas de fermi magnetizado 23
donde x son las componentes del 4-vector xµ = [ct, ~x], los indices µ, ν = 0, 1, 2, 3, el tensor métrico g µν = diag(+1, −1, −1, −1) y las componentes E i (x), B i (x) con i = 1, 2, 3 se corresponden
con las respectivas componentes cartesianas de los 3-vectores correspondientes.
El tensor dual del tensor de Maxwell es
1
F µν (x) = µναβ Fαβ (x),
2
(2.2)
donde µναβ es el tensor completamente antisimétrico con 0123 = +1.
Con los tensores (2.1) y (2.2) se pueden construir dos invariantes independientes
1
1 ~2 2 ~2
1
~ · B/c,
~
/c − B ), P = − F µν Fµν = E
S = − F µν Fµν = (E
4
2
4
(2.3)
donde el argumento x ha sido omitido. De acuerdo con estos invariantes los campos electromagnéticos se pueden clasificar en
a) Campo magnetostático, si S < 0 , P = 0. Siempre podemos escoger un sistema de referencia
tal que no hay campo eléctrico y el campo magnético se encuentra en la dirección de un
eje determinado.
b) Campo electrostático, si S > 0 , P = 0. Siempre podemos escoger un sistema de referencia
tal que no hay campo magnético y el campo eléctrico se encuentra en la dirección de un
eje determinado.
c) Gancho electromagnético, si P 6= 0. Siempre podemos escoger un sistema de referencia tal
que e campo magnético y eléctrico sean paralelos y se encuentren en la dirección de un
eje determinado.
Estamos interesados en estudiar el caso de un campo magnetostático el cual designaremos como
F0µν , en este caso podemos escribir
1
1
F0µν = Bf µν , B = ( F0µν F0µν ) 2 .
2
(2.4)
La ecuación (2.4) define al invariante B, que se interpreta como la intensidad del campo magnético, e introduce el 4-tensor adimensional f µν . Un segundo 4-tensor es el dual de f µν :
1
φµν = µναβ fαβ , F µν = Bφµν .
2
(2.5)
Los tensores f µν y φµν son antisimétricos y ortogonales uno respecto al otro.
La descripción del campo magnetostático en términos de F0µν es válida para cualquier sistema
de referencia. Existe una descripción alternativa en términos de un 4-vector, B µ , que se puede
hacer si hay un sistema de referencia preferencial. Cuando hay un medio, existe este sistema
de referencia preferencial: el sistema en el cual el medio se encuentra en reposo. Sea uµ la
Capítulo 2: Tensor Energía Momentum y Ecuaciones de Estado: Gas de fermi magnetizado 24
4-velocidad de dicho sistema, con u2 = uµ uµ = 1, tenemos que en este sistema de referencia
uµ = [1, ~0]. El 4-vector es
(2.6)
B µ = F0µν uν = Bbµ .
Tenemos que B µ Bµ = −B 2 y por tanto bµ bµ = −1. En el sistema de referencia de reposo
podemos escribir bµ = [0, ~b] donde ~b es un vector unitario lo largo de la dirección del campo
magnético.
µν
Los tensores f µν y φµν hacen posible que se puedan construir los tensores de proyección g⊥
y gkµν :
µν
= fαµ f αν , gkµν = φµα φαν .
(2.7)
g⊥
µν
Los tensores g⊥
y gkµν generan subespacios bidimensionales perpendicular y paralelo al tiempo
respectivamente. Ellos corresponden a una separación del tensor métrico en tensores métricos
para estos subespacios:
µν
g µν = gkµν + g⊥
.
(2.8)
En el sistema de referencia en el cual el campo magnetostático está en la dirección del eje 3,
µν
gkµν = diag(1, 0, 0, −1) y g⊥
= diag(0, −1, −1, 0).
Los tensores de proyección permiten separar cualquier 4-vector, digamos aµ , en la suma de
dos 4-vectors ortogonales, aµ = aµ⊥ + aµk
µν
aµ⊥ = g⊥
aν , aµk = gkµν aν .
(2.9)
Igualmente, para un 4-vector, aµ , el invariante a2 se escribe en la forma a2 = (a2 )⊥ + (a2 )k , y
para dos 4-vectores, aµ y bµ , el invariante ab se escribe de la forma ab = (ab)⊥ + (ab)k . Estas
separaciones se hacen escribiendo
µν
(a2 )⊥ = g⊥
aµ aν ,
µν
2
(a )k = gk aµ aν ,
µν
(ab)⊥ = g⊥
aµ b ν
µν
(ab)k = gk aµ bν
(2.10)
(2.11)
Con las definiciones anteriores podemos estudiar el movimiento de una partícula de carga q
en un campo magnetostático F0µν , resolviendo la ecuación clásica de movimiento
q
duµ (τ )
= F0µν uν (τ ),
dτ
m
(2.12)
donde τ es el tiempo propio de la partícula. Para un campo magnetostático, utilizando la
ecuación (2.4) tenemos
duµ (τ )
q
|q|B
= −ηω0 f µν uν (τ ), η = − , ω0 =
,
dτ
|q|
m
(2.13)
donde ω es la frecuencia no relativista, llamada frecuencia ciclotrónica.
Para resolver la ecuación (2.13) estamos en la libertad de escoger un sistema de referencia
tal que el campo magnético esté a lo largo de la dirección 3 y tal que la 4-velocidad inicial
uµ (0) = uµ0 sea
uµ0 = (γ, γv⊥ cos φ0 , ηγv⊥ sin φ0 , γvz ),
(2.14)
Capítulo 2: Tensor Energía Momentum y Ecuaciones de Estado: Gas de fermi magnetizado 25
donde φ0 es la fase inicial de giro, γ = (1 − β 2 )−1/2 es el factor de Lorentz siendo β = v/c.
Escribiremos la solución para la órbita de la siguiente forma
X µ (τ ) = xµ0 + tµν (τ )u0ν ,
(2.15)
donde x0 es un 4-vector constante. Es conveniente separar el estudio en los dos subespacios bidimensionales, k y ⊥. En el subespacio k, el movimiento es rectilineo uniforme, que corresponde
con Xkµ (τ ) = xµ0k + uµ0k τ , con uµ0k = (γ, 0, 0, γvz ) un 4-vector constante. Por tanto, si escribimos
µν
µν
µν
tµν (τ ) = tµν
k (τ ) + t⊥ (τ ), podemos identificar tk (τ ) = gk τ .
Al proyectar la ecuación de movimiento (2.13) en el subespacio ⊥ obtenemos una ecuación
diferencial para tµν
⊥ (τ ):
µ ρν
ẗµν
(2.16)
⊥ (τ ) = −ηω0 fρ ṫ⊥ (τ ),
donde el punto representa diferenciación respecto a τ . La solución que satisface las condiciones
µν
µν
iniciales es ṫµν
sin ω0 τ . Por tanto tenemos para la derivada de tµν
⊥ (τ ) = g⊥ cos ω0 τ − ηf
uµ (τ ) = ṫµν (τ )u0ν ,
µν
ṫµν (τ ) = gkµν + g⊥
cos ω0 τ − ηf µν sin ω0 τ.
(2.17)
Integrando obtenemos
µν
tµν (τ ) = gkµν τ + g⊥
cos ω0 τ
sin ω0 τ
+ ηf µν
.
ω0
ω0
(2.18)
10
y
0
10
y
5
5
-5
0
-10
40
-5
-10
40
30
z
30
z
20
20
10
-10
10
-10
-5
-5
0
0
x
x
5
5
10
10
Figura 2.1: Movimiento de una partícula en un campo magnético constante en la dirección z.
En el lado derecho el campo magnético es 10 veces mayor que en el lado izquierdo.
La solución para la 4-velocidad es
uµ (τ ) = (γ, γv⊥ cos(φ0 + ω0 τ ), ηγv⊥ sin(φ0 + ω0 τ ), γvz ).
(2.19)
Capítulo 2: Tensor Energía Momentum y Ecuaciones de Estado: Gas de fermi magnetizado 26
Para la órbita tenemos
X µ (τ ) = xµ0 + (γτ, R sin(φ0 + ω0 τ ), −ηR cos(φ0 + ω0 τ ), γvz τ ),
(2.20)
donde R = γv⊥ /ω0 es el radio de giro.
En la Fig (2.1) mostramos la trayectoria (2.20) de una partícula en un campo magnético.
Como puede observarse para un campo magnético menor el radio es mayor y el número de espiras
es menor mientras que cuando el campo magnético aumenta disminuye el radio y aumenta el
numero de espiras en la trayectoria.
2.2.
Comportamiento de partículas en un campo magnético, tratamiento cuántico.
Caso no relativista
Comencemos con el estudio de partículas cargadas no relativistas y sin espín en presencia
de un campo magnético constante y uniforme. El Hamiltoniano de este problema viene dado
por
1
(p − eA)2 .
(2.21)
HS =
2m
En el caso de un campo magnético externo constante en la dirección z a partir del Hamiltoniano
(2.21), la ecuación de Schrodinger tiene la forma [68]
1
[(pˆx + eBy)2 + pˆy 2 + pˆz 2 ]ψ = ES ψ,
2m
(2.22)
donde los autovalores de la energía son
p23
|eB|
1
ES =
+
(n + )
2m
m
2
n = 0, 1, 2, ...,
(2.23)
La partícula se puede mover libremente en la dirección del campo magnético, mientras que en
el plano perpendicular al mismo, su movimiento está confinado a órbitas cuantizadas por el
número n.
Si queremos incluir la interacción del espín de la partícula con el campo magnético, en el
Hamiltoniano (2.21) debemos agregar un término “a mano”, introducido originalmente por Pauli
HP =
1
(p − eA)2 − µ · B,
2m
(2.24)
donde
µ = gµB s
(2.25)
es el momento magnético intrínseco de la partícula, µB es el magneton de Bohr, s es el operador
de espín dado en términos de las matrices de Pauli como s = σ/2 y g el factor de Lande (para
electrones g = 2).
Capítulo 2: Tensor Energía Momentum y Ecuaciones de Estado: Gas de fermi magnetizado 27
Los correspondientes autovalores de energía son
p23
1 σ
p23
EP =
+ 2µB (n + − )B =
+ 2µB lB
2m
2 2
2m
n = 0, 1, 2, ...,
σ = ±1,
(2.26)
donde
1 σ
− ,
l = 0, 1, 2, ...
(2.27)
2 2
El número l se denomina nivel de Landau (LL por sus siglas en inglés, Landau level ). Todos
los niveles de Landau son degenerados debido a que hay dos posibles orientaciones del espín,
excepto para el l = 0 pues tiene que ser n ≥ 0.
l =n+
Caso relativista
En el caso relativista debemos partir de la ecuación de Dirac en presencia de un campo
magnético externo
(Πµ γ µ − m)ψ = 0,
(2.28)
donde
Πµ = i∂µ − eAµ .
(2.29)
Si asumimos nuevamente un campo magnético constante en la dirección 3, y utilizando
A2 = Bx1 , A0 = A1 = A3 = 0 podemos encontrar que los autovalores de la energía para
partículas relativistas de espín 1/2 son [69]
q
l = 0, 1, 2, ...
(2.30)
ER = ± m2 + p23 + 2eHl
donde el signo (+) es para partículas y el (−) para antipartículas. Como en el caso no relativista,
para l 6= 0, todos los niveles son degenerados. En el límite no-relativista se recupera la teoría de
Pauli (2.26). De forma natural se obtiene que una unidad de momento angular de espín (σ/2)
que interactúa con un campo magnético con un acoplamiento de 2µB , es decir, la teoría de
Dirac automáticamente produce el factor g = 2. Otra particularidad del caso relativista es que
el espaciamiento entre los niveles de energía disminuye a medida que aumenta l,producto de
esta dependencia se dice que hay una falta de armonía, mientras que en el caso no-relativista
es constante, como el de un oscilador armónico.
2.3.
Tensor Energía momentum
El tensor de energía-momento se asocia con la corriente de Noether debido a la simetría
traslacional del espacio-tiempo. En términos de la densidad Lagrangiana de la teoría, L(ϕ, ∂µ ϕ),
dicho tensor viene dado por
∂L
∂ ν ϕ − Lδ µν
(2.31)
Tcµν ≡
∂(∂µ ϕ)
El tensor Tcµν , llamado tensor canónico de energía-momento, en general no es simétrico,
ni invariante de calibración. No obstante, dada la arbitrariedad de Tcµν , definido hasta una
Capítulo 2: Tensor Energía Momentum y Ecuaciones de Estado: Gas de fermi magnetizado 28
derivada total, siempre podemos construir un nuevo tensor que cumpla con las características
antes mencionadas
Tcµν → Tcµν + ∂ρ M µνρ
(2.32)
con M µνρ = −M ρνµ , sin que a su vez se alteren los valores de energía y momentum, ni las leyes
de conservación (∂µ Tcµν = 0).
O sea, siempre podemos construir un tensor de energía-momentum simétrico e invariante de
calibración. Sin embargo, si consideramos un espacio-tiempo curvo, donde el tensor de energíamomento juega el rol de fuente del campo gravitatorio, las transformaciones del espacio-tiempo
(transformaciones de Lorentz) son generalizadas al marco de la covarianza general de la TRG.
Luego, desde este formalismo teórico es posible realizar una derivación general que nos garantice
desde el inicio la simetría y la invariancia de calibración de Tcµν (denotado por T µν de ahora en
adelante)
El tensor de energía-momento de un gas de fermiones cargados en presencia de un campo
magnético, puede ser obtenido tomando como punto de partida la siguiente densidad Lagrangiana
L(ψ, Fµν ) = LAµ (Fµν ) + Lψ (ψ, Fµν )
(2.33)
donde LAµ (Fµν ) es la densidad de Lagrnage de Maxwell y Lψ (ψ, Fµν ) la de Dirac en presencia
de un campo magnético externo. Estas vienen dadas por
1
LAµ (Fµν ) = − Fµν Fµν
4
(2.34)
y
−
−
1 →
1 ←
Lψ (ψ, Fµν ) = ψ( D µ γ µ − m)ψ + ψ( D µ γ µ − m)ψ
(2.35)
2
2
con las derivadas de calibración covariantes derecha e izquierda dadas respectivamente por
→
−
→
−
D µ = i ∂ µ − eAµ
(2.36)
y
←
−
←
−
D µ = −i ∂ µ − eAµ
(2.37)
donde Aµ es el potencial electromagnético asociado con el campo magnético externo aplicado.
El potencial químico entra en L como un cambio en la componente cero de dicho potencial
A0 → A0 − µ/e [70, 71, 72, 73].
Como es conocido [74], en un sistema de referencia comóvil con el gas, las presiones se
obtienen de las componentes diagonales espaciales del tensor de energía-momento (Txx , Tyy , Tzz ),
mientras que la densidad de energía del sistema proviene de la componente cero (−Ttt ). Además,
en nuestro caso los términos fuera de la diagonal son nulos, o sea el tensor de energía-momento
tiene forma diagonal.
Utilizando la Lagrangiana (2.35), luego de hacer el promedio estadístico (estos cálculos
son mostrados en detalle en [13]), su lugar en el tensor energía-momento (2.31) es ocupado
formalmente por Ω, puesto que
Ω = −β −1 ln he
Rβ
0
dx4
R
d3 x Lψ (x4 ,~
x)
i.
(2.38)
Capítulo 2: Tensor Energía Momentum y Ecuaciones de Estado: Gas de fermi magnetizado 29
El tensor energía-momentum asociado a un gas de Fermi en presencia de un campo magnético externo y constante en el tiempo, toma la forma [75],
T a b = (T
∂Ω X
∂Ω a 4
∂Ω
+
µn
)δ 4 δ b + 4F ac Fcb 2 − Ω δ a b ,
∂T
∂µn
∂F
(2.39)
así que en el límite de campo magnético nulo obtenemos el tensor del fluido perfecto, T a b =
P δ a b − (P + E)δ a 4 δ 4 b . Las componentes del tensor (2.39) son,
T 33 = Pk = −Ω = P,
T 11 = T 22 = P⊥ = −Ω − BM = P − BM,
T 44 = −E = −T S − µN − Ω,
(2.40)
(2.41)
(2.42)
donde Pk = P , P⊥ son las presiones, paralela y perpendicular al campo magnético, E la densidad
de energía, S la densidad de entropía, N la densidad de partículas y M la magnetización.
Para el campo magnético de Maxwell (2.34) tenemos que
−2 δ √ e
( −g LAµ )
TAρλµ = √
−g δgρλ
(2.43)
donde LeAµ se obtiene de (2.34) introduciendo explícitamente la dependencia con el tensor
métrico
1
(2.44)
LeAµ = − Fµν Fρλ g µρ g νλ
4
Teniendo en cuenta que
√
δ −g
1√
−gg ρλ ,
(2.45)
=
δgρλ
2
encontramos
δg µν
= −g ρµ g λν
δgρλ
(2.46)
δ √
1
TAµνµ = √
−gFστ Fρλ g σρ g τ λ − F µρ Fρν − LeAµ g µν .
2 −g δgµν
(2.47)
Regresando al espacio de Minkowski y considerando en particular el caso de un campo
magnético constante B en la dirección x3 , a partir de (2.47) tenemos
µν
µν
= (E − P )uµ uν + P (ηkµν − η⊥
)
TM
(2.48)
donde E = P = B 2 /8π, uµ es la 4-velocidad del medio que en el sistema en reposo tiene la
→
−
µν
forma uµ = (1, 0 ), ηkµν es la métrica longitudinal de Minkowski con µ, ν = 0, 3 y η⊥
es la
métrica transversal de Minkowski con µ, ν = 1, 2. El hecho de que el tensor energía-momento
sea anisotrópico, presentando diferentes presiones en las direcciones paralela Pk y perpendicular
P⊥ al campo magnético (−Pk = P⊥ = B 2 /2), se debe a la ruptura de la simetría rotacional
O(3) producida por el campo magnético externo.
Capítulo 2: Tensor Energía Momentum y Ecuaciones de Estado: Gas de fermi magnetizado 30
2.4.
Gran potencial termodinámico para un gas de fermi
magnetizado.
Para estudiar las propiedades termodinámicas de un gas magnetizado de fermiones vamos a
calcular el potencial termodinámico de un sistema denso, magnetizado y a temperatura finita
el cual viene dado por [13]
Ω(B, µ, T ) =
i
1
T r ln Z =
T r ln G−1 (x, x0 ),
βV
βV
(2.49)
con la traza y el logaritmo tomados en el sentido funcional y G−1 (x, x0 ) es el inverso del propagador fermiónico en la representación espacial.
Teniendo en cuenta la dependencia de G−1 (x, x0 ) con el potencial del campo electromagnético
externo, es conveniente utilizar la transformación de Ritus [76, 77] para pasar al espacio de los
momentos. Las funciones de Ritus (Ep (x)) constituyen los estados asintóticos de los fermiones
cargados con un campo magnético de fondo, y su uso permite que los propagadores y la función
de Green sean diagonales en el espacio de los momentos. Luego, empleando dicha transformación
Z 4 E
X
dp
l
0
l
−1
0
e−1
(2.50)
G (x, x ) =
4 Ep (x)Π(l)Gl (p)E p (x ),
(2π)
donde
Z 4 E
∞ Z
X
X
dp4 dp2 dp3
dp
,
4 = i
(2π)4
(2π)
l=0
y hemos introducido las funciones de transformación de Ritus
Epl (x) = Ep+ (x)∆(+) + Ep− (x)∆(−),
(2.51)
con
I ± iγ 1 γ 2
,
(2.52)
2
las cuales representan las proyecciones de espín hacia arriba (+) y espín hacia abajo (−), siendo
+/−
Ep (x) las autofunciones correspondientes dadas por:
∆(±) =
Ep+ (x) = Nl e−i(p0 x
0 +p x2 +p x3 )
2
3
Ep− (x) = Nl−1 e−i(p0
x0 +p
2
Dl (ρ),
x2 +p
3
3x )
Dl−1 (ρ)
(2.53)
√
donde Nl = (4πeH)1/4 / l! es una constante
de normalización, Dl (ρ) son las funciones parabó√
licas cilíndricas [78] de argumento ρ = 2eH(x1 − p2 /eB), y l = 0, 1, 2, ... representa los niveles
de Landau.
Las funciones Epl satisfacen la condición de ortogonalidad
Z
0
l
d4 xE p (x)Epl 0 (x) = (2π)4 δb(4) (p − p0 )Π(l) ,
(2.54)
Capítulo 2: Tensor Energía Momentum y Ecuaciones de Estado: Gas de fermi magnetizado 31
l
con E p ≡ γ 0 (Epl )† γ 0 y
Π(l) = ∆(+)δ l0 + I(1 − δ l0 ),
ll0
δb(4) (p − p0 ) = δ δ(p0 − p00 )δ(p2 − p02 )δ(p3 − p03 ).
(2.55a)
(2.55b)
Las estructuras de espín de las funciones Ep son esenciales para que se satisfagan las ecuaciones de autovalores
(Π · γ)Epl (x) = Epl (x)(γ · p) ,
(2.56)
√
con pµ = (p0 , 0, − 2eHl, p3 ).
e−1 (p) en el espacio de
Utilizando las ecuaciones (2.54) y (2.56) el inverso del propagador G
l
los momentos, que aparece en la ecuación (2.50) lo podemos encontrar a partir de
Z
0
l
−1
0
e−1 (p) (2.57)
Gl (p, p ) = d4 xd4 yE p (x)[Πν γ ν + µγ 0 − m]Epl 0 (y) = (2π)4 δb(4) (p − p0 )Π(l)G
l
donde
√
e−1 (p) = [p∗ · γ − m]
G
l
(2.58)
siendo p∗ν = (ip4 − µ, 0, 2eBl, p3 ). Tomando la traza funcional en (2.49), y utilizando las
condiciones de ortogonalidad de las funciones Ep (x), obtenemos
Z
Z
Z
X
d4 p l
i
l
0 4
0
0
e−1
tr ln dx dx δ (x, x )
Ω(B, µ, T ) =
4 Ep (x)Π(l)Gl (p)E p (x )
TV
(2π)
Z
3
X
iδbp (0)
e−1 (p)d3 pb
=
tr ln
Π(l)G
(2.59)
l
TV
En la ecuación (2.59), d3 pb = dp0 dp2 dp3 , y tr denota la traza espinorial restante. Si tenemos en
cuenta que
Z β
Z ∞
1
3
b
δp (0) =
dx4
dx2 dx3
(2.60)
(2π)3 0
−∞
e−1 (p) no depende de p2 , para la integración por p2 en (2.59) tenemos
y como G
l
Z ∞
Z ∞
Z
dp2
dp2 −i p2 p1
1b
eB ∞
eB
=
e
|p1 =0 = 2 δp1 (0) =
dx1
lB
2π −∞
−∞ 2π
−∞ 2π
(2.61)
Sustituyendo (2.60) y (2.61) en (2.59), obtenemos en el espacio Euclídeo (p0 → ip4 )
∞ Z ∞
X
dp4 dp3
e−1 (p)
Ωf (B, µ, T ) = −ef df Btr ln
Π(l)G
(2.62)
l
3
(2π)
l=0 −∞
Teniendo en cuenta que Π(l) separa el nivel de Landau l = 0 del resto, y utilizando la
b = ln det O,
b obtenemos para el potencial termodinámico
identidad tr ln O
"Z
#
∞ Z ∞
∞
X
dp4 dp3
dp
dp
4
3
e−1
e−1 (p)
Ωf (B, µ, T ) = −ef df B
ln det G
ln det G
(2.63)
0 (p) + 2
l
3
3
(2π)
(2π)
−∞
−∞
l=1
Capítulo 2: Tensor Energía Momentum y Ecuaciones de Estado: Gas de fermi magnetizado 32
El sistema de fermiones a temperatura finita puede ser descrito si tomamos la discretización
de p4 y seguimos el procedimiento de Matsubara
Z ∞
dp4
1X
(2n + 1)π
→
,
p4 =
, n = 0, ±1, ±2, ...
(2.64)
β p
β
−∞ 2π
4
Teniendo en cuenta (2.58), luego de tomar la traza en (2.63) obtenemos
Z
∞
X ef df B ∞ dp3 X
2
2
Ωf (B, µ, T ) = −
(2
−
δ
)
ln
(p
+
iµ)
+
ε
l0
4
l
2
β
−∞ 4π l=0
p
(2.65)
4
donde
ε2l = p23 + 2|ef B|l + m2
(2.66)
Notemos que la suma por p4 , la cual se realiza en (2.65), es formalmente similar a la que se
realiza para el potencial termodinámico de la partícula libre (B = 0 y µ 6= 0) [79]. Luego de
sumar por p4 obtenemos
Z
∞
X
1
ef df B ∞
−β(εl −µ)
−β(εl +µ)
g(l) εl + ln 1 + e
dp3
1+e
Ωf (B, µ, T ) = −
,
(2.67)
2π 2 0
β
l=0
donde el factor g(l) = 2 − δl0 tiene en cuenta la degeneración de espín de los fermiones para
l 6= 0, β es el inverso de la temperatura absoluta, µ el potencial químico y εl el espectro de los
fermiones en un campo magnético que viene dado por
ε2l = p23 + 2ef Bl + m2f .
(2.68)
En la expresión (2.67) podemos identificar dos contribuciones, una que no depende de la temperatura ni del potencial químico, la contribución del vacío Ωvac
f (B, 0, 0), y la contribución
est
estadística Ωf (B, µ, T ), de forma tal que
est
Ωf (B, µ, T ) = Ωvac
f (B, 0, 0) + Ωf (B, µ, T )
(2.69)
donde
Z
∞
X
ef df B ∞
dp3
g(l)εl ,
= =−
2π 2 0
l=0
Z
∞
X
ef dB ∞
est
Ωf (B, µ, T ) = − 2
dp3
g(l) ln 1 + e−β(εl −µ) 1 + e−β(εl +µ) .
2π β 0
l=0
Ωvac
f (B, 0, 0)
(2.70)
(2.71)
La contribución del vacío (2.70) presenta una divergencia ultravioleta que debe ser renormalizada. El proceso de renormalización puede encontrarse en [80]. Los efectos de este término
son importantes para campos magnéticos elevados donde tiene la expresión [81]
!2
!
4
d
m
B
B
f
f
Ωvac
ln
(2.72)
f (B, 0, 0) =
24π 2 Bfc
Bfc
Capítulo 2: Tensor Energía Momentum y Ecuaciones de Estado: Gas de fermi magnetizado 33
Para estudiar OC degenerados hallaremos el límite de temperatura cero de la parte estadística del Gran potencial termodinámico (2.71). En este caso cuando tomamos el límite
T → 0 ⇒ β → ∞ obtenemos que
Z
∞
X
ef dB ∞
est
Ωf (B, µ, 0) = − 2
dp3
g(l)Θ(µf − εl ),
(2.73)
2π
0
l=0
donde Θ(ζ) es la función paso unitario. Luego de realizar la integral obtenemos
#)
(
"
lmax
µf + plf
ef dB X
l
0 2
est
,
(2.74)
g(l) µf pf − (εf ) ln
Ωf (B, µ, 0) = − 2
4π l=0
ε0f
q
p
donde plf = µ2 − (ε0f )2 , siendo ε0f = m2 + 2qBl y el número máximo de niveles de Landau
viene dado por lmax = I[(µ2f − m2f )/2qB] donde I[ζ] es la función parte entera del argumento.
2.4.1.
Ecuaciones de estado de un gas de fermiones magnetizado
A partir del gran potencial para un gas de fermiones magnetizados (2.71) podemos encontrar
todos los parámetros termodinámicos que caracterizan al sistema. La densidad de partículas y
la magnetización para el caso T 6= 0 vienen dadas por
Z ∞
∞
∂Ωf
ef dB X
1
1
Nf = −
=
dp3
−
g(l)
(2.75)
∂µ
2π 2 l=0
1 + eβ(εl −µ) 1 + eβ(εl +µ)
0
Z ∞
∞
ef X
∂Ωf
= 2
g(l)
dp3 ln 1 + e−β(εl −µ) 1 + e−β(εl +µ)
Mf = −
∂B
2π β l=0
0
Z
∞
∞
ef dB l
1
1
ef X
g(l)
dp3
+
.
(2.76)
−
2π 2 l=0
εl
1 + eβ(εl −µ) 1 + eβ(εl +µ)
0
Para el caso T = 0 tenemos a partir de (2.74)
Nf
Mf
max
df m2f B lX
= −(∂Ωf /∂µf ) =
g(l)plf ,
(2.77)
c
2
2π Bf l=0
"
#!
lmax
l
µ
+
p
df ef mf X
f
f
= −(∂Ωf /∂B) =
g(l) µf plf − (ε0f )2 [1 + 2Cf ] ln
, (2.78)
4π 2
ε0f
l=0
B/Bfc l
donde Bfc = m2f /|ef | es el campo magnético crítico y Cf = q
. Para la energía y
2lB/Bfc + 1
las presiones tenemos
= Ωf + µf Nf ,
Pk = −Ωf ,
P⊥ = −Ωf − BMf ,
(2.79a)
(2.79b)
(2.79c)
Capítulo 2: Tensor Energía Momentum y Ecuaciones de Estado: Gas de fermi magnetizado 34
Para el estudio de las propiedades termodinámicas del gas magnetizado de fermiones cargados, vamos a adimensionalizar las magnitudes termodinámicas de forma tal que sean función
solamente del potencial químico adimensional χ = µ/m y del campo magnético adimensionalizado con el campo magnético crítico B/Bc , de forma tal que los resultados presentados son
validos para cualquier fermión.
En la Fig (2.2) Mostramos el comportamiento de las magnitudes termodinámicas en función
del potencial químico para B/Bc = 0,1 y B/Bc = 10. Podemos notar que a medida que aumenta
el campo magnético se hacen más explícitos los efectos de la cuantización dados por saltos debido
a la transición entre niveles de Landau en todas las magnitudes termodinámicas. En el caso de
las presiones se puede constatar la acción del campo magnético sobre estas al ser más marcada
la diferencia entre la componente paralela y la perpendicular para B/Bc = 10.
1 0 0
3 .0
8 0
s
P ⊥B / B c = 0 . 1
P B / B c = 0 . 1
E B /B c = 1 0
a
2 .5
E B /B c = 0 .1
N B /B c = 0 .1
B /B c = 0 .1
B /B c = 1 0
i c
m
á
i n
6 0
N B /B c = 1 0
P ⊥B / B c = 1 0
t e
r m
o
d
1 .5
P
4 0

e
s
1 .0
B /B c = 1 0
i t u
d
M a g n e tiz a c ió n
2 .0
2 0
M
a
g
n
0 .5
0 .0
0
-0 .5
1 0
2 0
m / m
3 0
4 0
5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
m / m
9
1 0
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
Figura 2.2: Comportamiento de las magnitudes termodinámicas en función del potencial químico adimensional. Todas las magnitudes son adimensionales.
En la Fig (2.3) mostramos el comportamiento de las magnitudes termodinámicas en función
del campo magnético (B/Bc ) para χ = µ/m = 10. En el gráfico se hace evidente el carácter
anisotrópico de las presiones a medida que aumenta el campo magnético.
Como se observa en la Fig (2.3) la anisotropía en las presiones aumenta a medida que crece
el campo magnético. Podemos definir un parámetro cuantitativo para medir la relevancia de la
anisotropía de las presiones
|P⊥ − Pk |
Υ=
,
(2.80)
P (B → 0)
al parámetro Υ lo denominaremos coeficiente de separación. Un criterio para saber cuando
pasamos del régimen isótropo al anisótropo es Υ ' O(1).
Capítulo 2: Tensor Energía Momentum y Ecuaciones de Estado: Gas de fermi magnetizado 35
m / m
2 .4
2 5 0
E
s
m / m
1 5 0
P
M a g n e tiz a c ió n
a
i c
d
i n
á
m
P ⊥

= 1 0
1 0 0
1 .6
1 .2
0 .8
0 .4
5 0
M
a
g
n
i t u
d
e
s
t e
r m
o
2 .0
N
2 0 0
= 1 0
0 .0
0
0 .1
1
1 0
1 0 0
0 .1
B /B c
1
1 0
1 0 0
B /B c
Figura 2.3: Comportamiento de las magnitudes termodinámicas en función del campo magnético. Todas las magnitudes son adimensionales.
2.5.
Ecuaciones de estado para B = 0
Consideraremos las EdE en ausencia de campo magnético (B = 0) porque las utilizaremos
para comparar con las EdE a campos magnéticos diferentes de cero (B 6= 0). De manera análoga
a como procedimos en el epígrafe 2.4 se puede obtener para el potencial termodinámico que
Z
1 ∞ d3 p X B=0
Ωf (µ, T ) = −
ln (p4 + iµ)2 + ε2
(2.81)
3
β 0 (2π) p
4
donde
ε2 = p2 + m2
De la ecuación (2.81), teniendo en cuenta (2.82) obtenemos
Z
1
B=0
d3 p ln[f + (µf , β)f − (µf , β)],
Ωf (µ, T ) = − 2
4π β
(2.82)
(2.83)
donde f ± (µf , β) = (1 + e(Ef ∓µf )β ) son las distribuciones de partículas y antipartículas respectivamente
Para el gas degenerado de Fermi tenemos que
!
p
4
2−1
p
m
µ
1
5
1
f
(µ, 0) = − 2
µ
ΩB=0
(µ2 − ) + arcsinh( µ2 − 1)
f
4π (hc)3
3
2
2
y la presión está dada por Pf = −ΩB=0
(µ, 0)
f
!
p
p
µ2 − 1 2 5
1 m4f
1
P = 2
µ
(µ − ) + arcsinh( µ2 − 1) .
4π (hc)3
3
2
2
Capítulo 2: Tensor Energía Momentum y Ecuaciones de Estado: Gas de fermi magnetizado 36
La densidad de energía tiene la forma
!
p
p
µ2 − 1 2 1
1 m4f
1
E= 2
µ
(µ − ) − arcsinh( µ2 − 1)
4π (hc)3
3
2
2
con mf la masa de los fermiones y µ = µf /mn el potencial químico adimensional. La densidad
de partículas tiene la forma
1 m3f 3
N= 2
(2.84)
p
3π (hc)3 f
p
donde pf es el momentum de Fermi pf = µ2 − 1.
Las expresiones para la presión y la densidad de energía las podemos escribir como
m4f
Φ(pf ),
(hc)3
1 q 2
2
Φ(pf ) =
pf pf + 1(2/3pf − 1) + arcsinh(pf ) ,
8π 2
P =
m4f
β(pf ),
E =
(hc)3
1 q 2
2
χ(pf ) =
pf pf + 1(2pf + 1) − arcsinh(pf ) ,
8π 2
(2.85)
(2.86)
(2.87)
(2.88)
donde las expresiones (2.86) y (2.86) coinciden con las ecuaciones (2.3.6) y (2.3.7) de [1].
En el límite pf << 1 las partículas se pueden considerar como no relativistas por lo que Φ
y χ se escriben como
5 7
5 9
1
5
pf − pf + pf ... ,
(2.89)
Φ(pf ) =
15π 2
14
24
1
3 7
3 5
3
χ(pf ) = 2 pf + pf − pf ... .
(2.90)
3π
10
56
En el límite pf >> 1, las partículas son consideradas relativistas, la masa puede ser despreciada, y tenemos para Φ y χ las siguientes expresiones
3
1
4
2
Φ(pf ) =
pf − pf + ln(2pf )... ,
(2.91)
12π 2
2
1
1
4
2
χ(pf ) = 2 pf + pf − ln(2pf )... .
(2.92)
4π
2
De esta manera podemos aproximar la EdE a una EdE politrópica P = KN γ donde K y γ
son constantes. Solo en este caso es posible obtener expresiones analíticas del tipo P = f (E).
En general las EdE se resuelven numéricamente.
Capítulo 2: Tensor Energía Momentum y Ecuaciones de Estado: Gas de fermi magnetizado 37
2.6.
Conclusiones del capítulo
Hemos estudiado las propiedades de un gas de fermiones cargados en un campo magnético
externo y constante. Las principales modificaciones que introduce el campo magnético son la
cuantización de la energía de las partículas en el plano perpendicular al campo magnético:
1. En el caso clásico, la partícula describe una trayectoria helicoidal, a medida que aumenta
el campo magnético disminuye el radio de la hélice y aumenta la frecuencia.
2. En el caso cuántico tenemos que
Para el caso no-relativista, el espectro de energía está cuantizado en el plano perpendicular al campo magnético a través de los niveles de Landau (l). Los niveles son
degenerados para l 6= 0 producto de las dos posibles orientaciones del espín con respecto al campo magnético, mientras que en el l = 0 solo puede haber una proyección
del espín producto de la condición n ≥ 0 en la definición de l.
Para el caso relativista, se cumplen todas las propiedades del caso no-relativista
con la salvedad de que el espaciamiento entre los niveles de energía disminuye al
aumentar l (comportamiento no armónico) y que se obtiene de forma natural el
factor de Lande g = 2.
Discutimos la forma del tensor energía-momento donde se observa de forma explícita la
anisotropía en las presiones producto del campo magnético.
Reprodujimos la obtención del potencial termodinámico para fermiones cargados en un
campo magnético, Ωf . A partir de este potencial estudiamos las EdE en el límite T = 0
relevante para OC.
Las expresiones obtenidas de las magnitudes termodinámicas: magnetización, densidad de
energía, presiones (paralela y perpendicular), y densidad de partículas son válidas para cualquier
fermión cargado. Estas magnitudes, al aumentar el campo magnético, se afectan, evidenciándose
en cambios de comportamiento debido a las transiciones entre los diferentes niveles de Landau.
Definimos el coeficiente de separación, Υ, que nos da un criterio cualitativo para discernir
a partir de cuál valor de campo magnético debemos tomar en cuenta la anisotropía de las
presiones.
Obtuvimos las EdE en el caso B = 0 como punto de comparación con el caso B 6= 0.
Capítulo 3
Efectos del momento magnético anómalo
en las ecuaciones de estado del gas
magnetizado de Fermi.
En este capítulo estudiaremos el rol que juega el Momento Magnético Anómalo (MMA)
en las EdE de sistemas de fermiones cargados. Nuestro interés en abordar este estudio se
debe a los reportes de algunos autores [19, 82] que afirman que el MMA modifica de manera
apreciable las EdE. Como mostraremos en este capítulo esos resultados son consecuencia de
considerar la aproximación lineal con el campo magnético del MMA que solo es válida para
campos magnéticos débiles B Bc .
Este capítulo tendrá una breve parte introductoria. Se presentará el cálculo del MMA a
campo magnético fuerte a partir de la auto-energía de los fermiones en presencia del campo
magnético usando el formalismo de Ritus. Se obtendrán expresiones para el MMA dependientes
del campo magnético y consecuentemente de los niveles de Landau. Finalmente se considerará,
discutirá y descartará el papel relevante que se le ha atribuído en las EdE del sistema.
Tanto el cálculo del MMA a campos magnéticos moderados y fuertes como el estudio de su
influencia en las EdE constituyen trabajos originales desarrollados por los autores [83, 84].
3.1.
Introducción al MMA
El estudio del momento magnético anómalo ha jugado un papel muy importante en el
desarrollo de la teoría cuántica de campos magnéticos.
Según la teoría de Dirac el momento magnético del electrón viene dado por la expresión
µ
~ e = gµB ~s, donde µB = e~/2mc es el magnetón de Bohr, y g es el factor de Lande. El valor
predicho por la teoría para g = 2 y s = 1/2 por lo que el µe es simplemente igual a un magnetón
de Bohr. Pero experimentos más refinados comenzaron a arrojar valores de g = 2,00232 con
lo cual µe = 1,00116µB , es decir, un valor un poco mayor que el magnetón de Bohr, a esta
teo
discrepancia entre el valor teórico y el experimental µexp
e − µe = 0,00116µB se le llamo MMA.
Los valores de los MMA para varios fermiones se muestran en la Tabla 3.1.
38
Capítulo 21: Momento magnético anómalo de fermiones cargados.
fermión
masa(MeV)
AMM
p
938
2.79 µN
e
0.5
0.00116 µB
u
5
1.85 µN
d
5
-0.79 µN
Tabla 3.1: Valores de los MMA para varios fermiones. µN =
39
s
150
-0.85 µN
e
es el magnetón nuclear.
2mp
La diferencia obtenida entre el valor teórico y el experimental del momento magnético, el
llamado MMA, fue resuelta por Schwinger al calcular la contribución de un lazo a la auto-energía
del electrón en presencia de un campo magnético externo [85, 80]. Estos cálculos arrojaron un
α
), es decir la corrección al momento magnético del electrón es de
valor de µe = µB (1 + 2π
α/2π = 0,00116 que coincidía perfectamente con las mediciones reportadas para el MMA en
la década de los años 50 del pasado siglo. Este resultado tan preciso que emerge de considerar
las correcciones radiativas de la teoría cuántica de campos trajo consigo el ulterior impulso y
desarrollo de esta disciplina.
El resultado de este cálculo hace que en la ecuación de Dirac se introduzca un término extra
(κµB BΣ3 ):
(Πµ γ µ − m + κµB BΣ3 )ψ = 0,
(3.1)
donde κ = α/2π es el MMA del electrón, Σ3 = iγ1 γ2 y Πµ = i∂µ − eAµ . El espectro de las
partículas (2.66) se modifica de la siguiente forma
ε2l,σ = p23 + [(2qBl + m2 )1/2 − σκµB B]2 ,
(3.2)
donde σ = ±1 tiene en cuenta las posibles proyecciones del espín con respecto al campo magnético.
La inclusión del MMA en la ecuación (3.1) hace que la degeneración que presenta la energía
(2.30) producto del espín se pierda pues la energía (3.2) depende explícitamente de la proyección
del espín σ [86].
Del espectro (3.2) podemos ver que la energía en reposo de la partícula tiene la forma
0,1 = m − µB κB.
(3.3)
entonces 0,1 = 0 y para campos magnéticos
Si el campo magnético toma el valor B = µm
Bκ
mayores, 0,1 < 0 lo cual no tiene sentido físico [87].
A pesar de que en [87] se discute que la aproximación del MMA de Schwinger (κµB BΣ3 ) no es
válida para campo magnético fuerte, muchos trabajos en astrofísica han continuado utilizándola
en el régimen de campos magnéticos moderados y fuertes. En el siguiente epígrafe calcularemos
la dependencia del MMA con el campo magnético y consecuentemente, con los LL, mostrando
una dependencia no lineal con el campo magnético para campos magnéticos fuertes.
Capítulo 21: Momento magnético anómalo de fermiones cargados.
3.2.
40
Cálculo del momento magnético anómalo para campo
magnético fuerte
Para obtener las correcciones al espectro de partículas cargadas en presencia de un campo
magnético debidas al MMA partiremos del cálculo en un lazo de la auto-energía de un fermión
cargado que puede ser obtenida en el espacio de los momenta usando la representación de Ritus
[77] y tiene la forma
0
Σ(p, p ) =
Z
0
l
e
d4 xd4 x0 E p (x)Σ(x, x0 )Epl 0 (x0 ) = (2π)4 δb(4) (p − p0 )Π(l)Σ(p)
(3.4)
donde la auto-energía del fermión en coordenadas espaciales está dada por
Σ(x, x0 ) = −ie2 γ µ G(x, x0 )γ ν Dµν (x − x0 ).
(3.5)
Con G(x, x0 ) denotando el propagador de los fermiones en presencia de un campo magnético
constante en la dirección x3 (Aext
= (0, 0, Bx1 , 0)). Sin pérdida de generalidad suponemos a
µ
partir de ahora que eB > 0 y que Dµν (x − x0 ) es el propagador del campo calibración que tiene
la forma
Z
0
q µ qν
d4 q e−iq·(x−x )
0
(gµν − (1 − ξ) 2 ),
(3.6)
Dµν (x − x ) =
4
2
(2π) q − i
q
ξ el parámetro que fija la calibración.
Por otro lado la estructura general de la auto-energía del fermión en el espacio de los
momenta para un campo magnético arbitrario tomado en la dirección x3 se escribe de la forma
[88]
(3.7)
Σl (p) = Zkl pµk γµk + Z⊥l pµ⊥ γµ⊥ + M l I + iT l γ 1 γ 2 ,
donde la separación de los momenta paralelos y perpendiculares pνk = (p0 , 0, 0, p3 ) y pν⊥ =
√
(0, 0, 2eBl, 0) con l = 0, 1, 2... es una consecuencia directa del rompimiento explícito de la
simetría rotacional por el campo magnético (es decir, en presencia de un campo magnético
uniforme solo permanece invariante el subgrupo de rotaciones O(2) en la dirección del campo
magnético). En la ecuación (3.7) Zkl y Z⊥l son coeficientes renormalizados de la función de onda.
Los coeficientes M l y T l son las correcciones a la masa y el MMA respectivamente que deben
ser determinados a partir de la solución de la ecuación de Schwinger-Dyson (SD) de la teoría,
es decir, la ecuación (3.4).
Como nuestro objetivo es encontrar el MMA de los fermiones en la aproximación de un
lazo, calcularemos la auto-energía Σl (p) (3.4) para (B > m2 ). La expresión de la auto-energía
dependiente de los niveles de Landau y consecuentemente del campo magnético [89, 90] viene
dada por (ver detalles en el Apéndice B.1) ,
Z
2
d4 qb e−bq⊥
l
2
[Ll + Ll+1 + Ll−1 ], l = 0, 1, 2, . . .
(3.8)
Σ (p)Π(l) = −ie (2eB)Π(l)
(2π)4 qb2
Capítulo 21: Momento magnético anómalo de fermiones cargados.
41
donde
Ll = γµk Gl (p − q)γµk ,
Ll+1 =
(3.9a)
−
q)γµ⊥ ∆(+),
q)γµ⊥ ∆(−)
−
√
= (p0 − q 0 , 0, − 2eBl, p3 − q 3 ),
Ll−1 =
(p − q)l
∆(+)γµ⊥ Gl+1 (p
∆(−)γµ⊥ Gl−1 (p
(3.9b)
(3.9c)
(3.9d)
siendo
p·γ+m
(3.10)
p2 − m2
el propagador del fermión y ∆(±) los operadores de proyección de espín (2.52).
√ Todas las
magnitudes con sombrero se han normalizado siguiendo la definición qbµ = qµ / 2eB. Para
encontrar la expresión (3.8) de la auto-energía sumamos por todos los LL y consideramos la
aproximación de campo magnético fuerte.
Teniendo en cuenta el álgebra de los operadores de proyección de espín ∆(±)∆(±) = ∆(±),
∆(±)∆(∓) = 0 y comparando (3.8) con (3.7) podemos extraer la contribución del MMA
quedando[83] (los detalles del cálculo pueden verse en el Apéndice B.2)
Gl (p) =
0
0
2
Z
(M (p) + T (p))∆(+) = e (2eB)
2
d4 qb e−bq⊥
(2π)4 qb2
2m
2m
×
+
∆(+), (3.11)
(p − q)20 + m2 (p − q)21 + m2
Notemos que la ecuación (3.11) refleja el hecho de que los fermiones en el LLL solo poseen
una orientación del espín, y como consecuencia, es imposible determinar M 0 y T 0 de forma
independiente [89, 90].
Par l 6= 0 obtenemos
#
"
2
2
Z
qb⊥
qb⊥
ln m
ln m
e2 m
2
b 2 +l+1
b 2 +l−1
2 −b
q⊥
l
T =
db
q⊥ e
− 2
,
(3.12)
2
16π 2
qb⊥
−m
b 2 − l − 1 qb⊥
−m
b2 − l + 1
2
Ml =
em
16π 2
Z
"
2
2 −b
db
q⊥
e q⊥
#
2
2
2
qb⊥
qb⊥
qb⊥
2 ln m
ln
ln
b 2 +l
m
b 2 +l+1
m
b 2 +l−1
+ 2
+ 2
.
2
2
2
qb⊥ − m
b − l qb⊥ − m
b − l − 1 qb⊥ − m
b2 − l + 1
(3.13)
En las ecuaciones (3.12) y (3.13) ya hemos tomado el límite infrarrojo (p0 = 0, p3 → 0) e
integrado por qbk2 . Siguiendo los mismos pasos en (3.11) obtenemos
"
#
2
2
Z
qb⊥
qb⊥
2
ln
ln
e
m
2
2
b +1
2 −b
b2
db
q⊥
e q⊥ 2 m
M0 + T 0 =
+ 2 m
,
(3.14)
8π 2
qb⊥ − m
b 2 qb⊥
−m
b2 − 1
haciendo aproximaciones para campo magnético fuerte el término predominante es
α
E0 = M 0 + T 0 =
mlog2 (m
b 2 ).
4π
(3.15)
Capítulo 21: Momento magnético anómalo de fermiones cargados.
42
En la Fig (3.1) mostramos la contribución del MMA a la auto-energía (3.12) en función de
2eB/m2 para l = 0, 1, 5 comparándola con la de Schwinger. Notemos que al aumentar los LL
el MMA disminuye rápidamente. Esto es una consecuencia de que los dos términos en (3.12)
tienen signos diferentes, lo cual hace que disminuya al aumentar l. En contraste, la contribución
de Schwinger TSch = κµB B, que es lineal con el campo magnético, aumenta significativamente,
pero esto ocurre en una región donde la aproximación lineal deja de ser válida
Figura 3.1: Variación de la contribución del MMA a la auto-energía con el campo magnético
para diferentes LL. Notemos que el MMA se vuelve despreciable al incrementarse los LL. Al
considerar el MMA en la aproximación de Schwinger, el cual es independiente de los LL, se
sobreestima completamente el comportamiento del MMA en la región de campo magnético
fuerte.
3.2.1.
Ecuaciones de dispersión de los fermiones, correcciones radiativas
Al considerar la auto-energía de los fermiones, el propagador toma la forma
e−1 (p) = [p · γ − m − Σ(p)],
G
l
(3.16)
donde Σ(p) viene dado por (3.7).
La relación de dispersión para los fermiones viene dada por la solución de la ecuación
detG−1
= det[p · γ − m − M l I − iT l γ 1 γ 2 ] = 0,
l
(3.17)
Para l ≥ 1 obtenemos
ε2σ,l = p23 + [
p
(m + M l )2 + 2|eB|l + σT l )]2 , l ≥ 1, σ = ±1
(3.18)
Capítulo 21: Momento magnético anómalo de fermiones cargados.
43
mientras que para el LLL (l = 0)
ε21,0 = p23 + (m + M 0 + T 0 )2
(3.19)
En el caso de campo magnético débil estudiado por Schwinger [85], la relación de dispersion
toma la forma
(3.20)
detG−1
= det[p · γ − m − κµB Bσ] = 0,
l
y el espectro de energía es
ε2σ,l = p23 + [(m2 + 2eBl)1/2 − κµB Bσ]2
(3.21)
Notemos que la relación de dispersión basadas en el resultado de Schwinger (3.21) para
campo magnético débil no contiene las correcciones radiativas para la masa. Para todos los
l > 0, ignorar las correcciones cuánticas a la masa es aceptable puesto que esta corrección solo
entra como una pequeña adición a la masa del fermión y es despreciable comparada con la masa
del fermión desnudo.
Sin embargo debido a que el MMA de Schwinger es independiente de los LL, para el LLL
la energía de reposo de los fermiones toma la forma [91, 86, 92]
0Schw =| m − κµB B | .
(3.22)
Esta expresión no es correcta para la energía en reposo en el LLL. Aun en la aproximación
de Schwinger para campos magnéticos débiles donde el MMA de Schwinger es válido. Esto se
debe a que como puede observarse de (3.7), en el LLL los fermiones solo poseen una proyección
de espín, lo cual hace imposible obtener la contribución del MMA independiente de la de
la masa, por lo que en este caso la corrección del MMA y la de la masa entran como una
corrección completa a la masa desnuda. Es importante destacar que (3.7) es independiente de
la aproximación de campo magnético que estemos tomando.
No obstante debido a que la expresión (3.22) ha sido tomada como la energía en reposo de
la partícula en la literatura para el LLL, compararemos 0Schw con la energía en reposo para el
LLL en nuestra aproximación de campo magnético fuerte
0LLL =| m + E 0 | .
(3.23)
En la Fig (3.2) mostramos el comportamiento de 0LLL y 0Schw en función de 2eB/m2 para
campo magnético fuerte. Como era esperado los comportamientos de 0Schw y 0LLL son muy
diferentes. Si equivocadamente calculamos las magnitudes termodinámicas utilizando 0Schw para
el LLL de la energía en reposo de los fermiones, podemos llegar a conclusiones incorrectas como
ocurre con la aparición de inestabilidades para campos magnéticos más elevados que cierto
campo magnético umbral [93].
Por otro lado, en la región de campo magnético débil, la influencia de 0Schw en las magnitudes
termodinámicas es cada vez más importante a medida que el campo magnético se aproxima a
m2 , una región donde la validez de la aproximación de campo magnético débil es cuestionable.
Notemos que el umbral de campo magnético que marca la validez de la aproximación de
Schwinger para el MMA es B ' 1013 G para electrones y B ' 1015 G para quarks u con masa
de 5 MeV.
Capítulo 21: Momento magnético anómalo de fermiones cargados.
44
Figura 3.2: 0 y 0Schw en función de 2eB/m2 para campos magnéticos altos
3.2.2.
Efectos del MMA en las EdE
En este epígrafe consideraremos el impacto del MMA en las EdE del gas magnetizado de
fermiones. Utilizaremos las EdE (2.79) tomando en cuenta el MMA calculado en el epígrafe
anterior y para comparar utilizaremos también el MMA de Schwinger. Esto significa considerar
los espectros de energía de las partículas en ambos casos dados por las expresiones
p
| (m + M l )2 + 2|eB|l + σT l |, AMM,
0
εσ,l = √
(3.24)
| m2 + 2eBl − σκµ B|,
Schwinger.
B
Consecuentemente el máximo número de niveles de Landau está dado en cada caso por las
expresiones

I[ (µ−σT l )2 −(m+M l )2 ], AMM,
2eB
lmax =
(3.25)
I[ (µ−σκµB B)2 −m2 ],
Schwinger
AMM,
2eB
y en la magnetización (2.78) el coeficiente C l tomará
 Bl
∂T l (B)
c

 √2lB Bc +1 + σB ∂B ,
B
Cl=
B

 √ Bc l − σκµB B,
2l BBc +1

0
0
B ∂ [M (B)+T (B)]
∂B
0
C =
−κµ B,
B
la forma
AMM,
(3.26)
Schwinger,
AMM,
(3.27)
Schwinger.
Investigaremos la región de campos magnéticos en el rango campos magnéticos moderados
y fuertes (0,1 < 2eB/µ2 < 1), para el cual nuestro cálculo del MMA usando el método de Ritus
es válido. En esa región están contribuyendo entre 1 y 20 niveles de Landau.
Capítulo 21: Momento magnético anómalo de fermiones cargados.
45
En la Fig (3.3) se muestra el comportamiento de M · B/µ4 en función de 2eB/µ2 cuando
es considerado la contribución en el espectro de las partículas del MMA dependiente de los LL
dada por las ecuaciones (3.12)-(3.14). Para comparar mostramos los gráficos de esta magnitud
cuando se toma el espectro con el MMA de Schwinger y cuando no se toma en cuenta el efecto
del MMA.
El gráfico muestra que la magnetización obtenida tomando en cuenta el espectro de las
partículas que incluye el MMA dependiente de los LL, no difiere de cuando el MMA no se toma
en consideración. Sin embargo el MMA de Schwinger sobre valora el valor de la magnetización.
Figura 3.3: Magnetización en función de 2eB/µ2 . Comparación entre los casos AMM, aproximación de Schwinger para el MMA, y sin MMA. Se muestra una ampliación para que se noten
las diferencias entre el caso con MMA y sin MMA.
La Fig (3.4) muestra el comportamiento de las presiones paralela y perpendicular en función
de 2eB/µ2 cuando es considerado la contribución en el espectro de las partículas del MMA
dependiente de los LL dada por las ecuaciones (3.12)-(3.14). Hemos comparado con los gráficos
de las presiones cuando se toma el espectro con el MMA de Schwinger y cuando no se toma en
cuenta el efecto del MMA.
Se puede notar que las presiones paralelas y perpendiculares que incluyen el MMA dependiente de los LL no difieren de aquellas en las que el MMA no se ha considerado. Sin embargo,
la presión perpendicular correspondiente a la corrección del espectro con el MMA de Schwinger
queda subestimada, esto es consecuencia de la presencia en la presión perpendicular (2.79c) del
término −M · B que como vimos en la Fig (3.3) crece con el campo magnético. La presión
paralela teniendo en cuenta la corrección del espectro con el MMA de Schwinger es ligeramente
diferente a cuando en el espectro de las partículas tomamos el MMA dependiente de los LL.
En la Fig (3.5) mostramos la E/µ4 en función de 2eB/µ2 para tres casos: el que contiene
la contribución del MMA dependiente de los LL (ecuaciones (3.12)-(3.14)), el que incluye el
MMA de Schwinger y aquel en que el MMA no es considerado en el espectro de las partículas.
Capítulo 21: Momento magnético anómalo de fermiones cargados.
46
Figura 3.4: Presiones paralela y perpendicular en función de 2eB/µ2 , hemos fijado µ = 300M eV .
Comparación entre los casos AMM, aproximación de Schwinger para el MMA, y sin MMA.
El gráfico muestra como se solapan en toda la región el caso que contiene la contribución
del MMA dependiente de los LL y el que no contiene el MMA en el espectro de las partículas.
A medida que el campo magnético crece, el gráfico de la densidad de energía donde se considera
el MMA de Schwinger se diferencia cada vez más del que incluye el MMA dependiente de los
LL en las correcciones al espectro de energía de las partículas.
Figura 3.5: Densidad de energía en función de 2eB/µ2 , con µ = 300M eV . Comparación entre los
casos AMM, aproximación de Schwinger para el MMA, y sin MMA. Se muestra una ampliación
para que se noten las diferencias entre el caso con MMA y sin MMA.
Podemos concluir que cuando se utiliza la aproximación del MMA dependiente de los LL
en la región de campos magnéticos moderados y fuertes, los efectos del MMA en las EdE son
Capítulo 21: Momento magnético anómalo de fermiones cargados.
47
prácticamente despreciables. Esto está en franca contradicción con los resultados obtenidos por
[94, 82], donde el MMA de Schwinger fue interpretado como responsable del endurecimiento de
las EdE. Los resultados obtenidos por estos autores se deben a que ellos son obtenidos tomando
una aproximación para el MMA en un rango donde ella no es válida.
Es muy difícil de entender como el momento magnético puede contribuir a hacer más “duras”
las EdE. Esta es otra razón para señalar algunos de los problemas que se pueden presentar al
utilizar 0Schw en la relación de dispersión para el LLL, como ya fue señalado.
3.3.
Conclusiones del Capítulo
En este capítulo calculamos el MMA y su dependencia con el campo magnético a partir
del cálculo de la auto-energía del fermión en presencia de un campo magnético homogéneo
constante en la dirección x3 . Se hizo uso del método de Ritus que permite la diagonalización
de los propagadores y de la auto-energía haciendo posible separar el estudio de las correcciones
de la auto-energía del fermión en el LLL de aquellas relacionadas con los niveles de Landau
de mayor orden (LL= 0 y LL6= 0). Discutimos el papel que juega el MMA en los diferentes
parámetros termodinámicos.
Comparamos el uso de la aproximación de Schwinger y calculamos la contribución del MMA
dependiente del campo magnético para el regimen de campo magnético moderado y fuerte
(0,1 < 2eB/µ2 < 1), estos resultados son originales. De estos estudios concluimos que
1. La corrección de la masa M l y del T l para el LLL no pueden separarse y corrigen el estado
básico E 0 = M 0 + T 0 . Esto es consecuencia de que en el estado básico LLL los fermiones
solo le es permitida la orientación del spín paralela al campo magnético.
2. Los efectos del MMA en los parámetros termodinámicos son despreciables. No observamos
ningún “endurecimiento” de las EdE incluso para los campos magnéticos más altos.
3. La utilización de la aproximación de Schwinger es solo válida para campos magnéticos
muy bajos por lo cual, cualquier conclusión que se obtenga de utilizar esta aproximación
para campos magnéticos mayores que m2 es incorrecta.
4. Considerar solamente el MMA sin tomar la corrección radiativa para la masa en el LLL es
inconsistente pues estás dos magnitudes son del mismo orden y entran como una corrección
a la masa desnuda de la partícula.
5. Dado que en cálculos anteriores, reportados en la literatura, el endurecimiento de las EdE
se halla para campos magnéticos que están cerca del campo magnético umbral donde la
aproximación de campo magnético débil (B < Bc ) deja de ser efectiva y el papel del LLL
comienza a dominar, ambos son responsables de los efectos reportados en las EdE.
Debido a todas estas consideraciones, fundamentalmente el punto 2, no consideraremos el
término de MMA en las EdE de fermiones cargados en un campo magnético que componen la
materia del interior de los OC.
Capítulo 4
Ecuaciones de estado de la materia
magnetizada en ambientes astrofísicos.
En este capítulo vamos a estudiar las EdE para la materia magnetizada en ambientes astrofísicos, es decir, imponiendo las condiciones que existen en el interior de los OC: neutralidad
de carga, equilibrio β y conservación del numero bariónico. Veremos los casos de las EBs y
las EEs. Para estas últimas estudiaremos primero la estabilidad de la materia de quarks en un
campo magnético y luego los efectos del mismo sobre las EdE. De forma similar trataremos el
caso de la fase CFL magnetizada.
En el caso de las EBs magnetizadas, aunque el tema no es nuevo, el estudio de la influencia
de la anisotropía de las presiones es un resultado original []. También son originales el estudio
de las EdE y de la estabilidad de las mismas para MEQM y MEQM en la fase CFL [95, 65].
4.1.
Enanas Blancas
Para estudiar las EdE de las EBs vamos a considerar que la misma esta formada por un gas
degenerado de electrones. Para que la materia dentro de la estrella sea neutra, a cada electrón
le debe corresponder un protón. Si asumimos que la EB esta formada fundamentalmente por
12
C o 16 O entonces A/Z = 2. Las masas de los protones y neutrones son mucho más grandes
que las masas de los electrones, por lo que la densidad de masa de la EB vendrá dada por la
masa del nucleón mN , ρ = Ne · mN · A/Z (ya que Np = Ne , además se conserva el número
bariónico NB = Np + Nn ). También tenemos que el momento de los nucleones es despreciable
comparado con su masa en reposo por lo que su contribución a la presión, a cero temperatura,
es despreciable. Por otro lado, los electrones se comportan como un gas degenerado y tienen
grandes velocidades que dan la contribución dominante a la presión. En este caso a la densidad
de energía de los electrones debemos de sumarle la de los iones, con lo que las ecuaciones (2.79a),
48
Capítulo 3: Ecuaciones de estado de la materia magnetizada en ambientes astrofísicos.
49
(2.79b) y (2.79c), en el caso de la materia en el interior de una EB tienen la forma
= Ωe + µe Ne + Ne mN
A
,
Z
Pk = −Ωe ,
P⊥ = (−Ωe − BMe ),
(4.1a)
(4.1b)
(4.1c)
Las EdE deben incluir el término clásico del campo magnético P⊥B = E B = −PkB = B 2 /8π, con
lo que obtenemos finalmente para las EdE de una EB magnetizada
B2
,
8π
B2
,
Pk = Pk −
8π
B2
P⊥ = P⊥ +
.
8π
En la Fig (4.1) mostramos el resultado de las EdE (4.2) para diferentes valores del
magnético.
E = +
(4.2a)
(4.2b)
(4.2c)
campo
Figura 4.1: Ecuación de estado para el gas de electrones magnetizado y los iones que forman la
materia dentro e una EB. Se presentan los resultados diferentes valores del campo magnético
donde se puede observar la separación de las presiones al aumentar el campo magnético.
De la Fig (4.1) podemos notar como a medida que aumenta el campo magnético, las presiones
se van separando cada vez más, es decir, el sistema se vuelve más anisotrópico.
4.2.
4.2.1.
Estrellas Extrañas
Estabilidad de la materia de quarks magnetizada.
Estudiemos la estabilidad de la MEQM como función de los parámetros del modelo, es decir,
la densidad bariónica (nB ), el campo magnético, el parámetro de Bag y la masa del quark s,
Capítulo 3: Ecuaciones de estado de la materia magnetizada en ambientes astrofísicos.
50
ms [95]. Debido a la presencia del campo magnético, la anisotropía de las presiones implica que
P⊥ < Pk [96]. La condición de estabilidad se expresa mediante la relación:
X
P⊥ =
P⊥,i − Bbag = 0 .
(4.3)
i
Para investigar la estabilidad de la MEQM en equilibrio estelar resolveremos el sistema
de ecuaciones (1.17) y (4.3), utilizando los resultados obtenidos en (2.79a)-(2.79c). Al resolver
este sistema de ecuaciones se obtiene la región en la cual los parámetros cumplen con las
desigualdades de estabilidad:
B
B=0
B
B=0
E E E E E < < < < .
(4.4)
A M EQ
A M EQ
A 56 Fe
A u,d
A u,d
1 2 0 0
1 3 0 0
1 2 0 0
1 1 0 0
1 1 0 0
(M e V )
8 0 0
u d B
u d B
M E Q
M E Q
7 0 0
6 0 0
5 0 0
1 0 0 0
E /A
(M e V )
9 0 0
E /A
1 0 0 0
= 0 G
1 8
= 5 1 0 G
B = 0 G
1 8
B = 5 1 0 G
u d B
u d B
M E Q
M E Q
9 0 0
4 0 0
= 0 G
1 8
= 5 1 0 G
B = 0 G
1 8
B = 5 1 0 G
8 0 0
2
4
n
6
B
/ n
8
1 0
0
Figura 4.2: Energía por barión en función de
la densidad bariónica para B = 0 y B =
5 × 1018 G, asumiendo la condición de estabilidad de presión cero.
-5 0
0
5 0
1 0 0
P (M e V /fm
1 5 0
3
2 0 0
2 5 0
3 0 0
)
Figura 4.3: Energía por barión contra presión para B = 0 y B = 5 × 1018 G. Tomando
Bbag = 75 MeV fm−3 . La linea horizontal de
puntos corresponde a E/A|56 Fe ' 930 MeV.
En la Fig (4.2) presentamos una comparación de la energía por barión E/A (equivalentemente /nB ) contra la densidad de partículas nB /n0 para B = 0 y B = 5 × 1018 G exigiendo
la condición de equilibrio P⊥ = 0. Hemos asumido que mu = md = 5 MeV y ms = 150 MeV en
todos los casos.
Como puede observarse en la figura E/A es menor cuando está presente el campo magnético.
Para B = 5 × 1018 G obtenemos que E/A u 919 MeV, nB /n0 u 2,2 y Bbag u 75 MeV fm−3
mientras que para B = 0 e igual valor del Bag, E/A u 929 MeV, nB /n0 u 2,1.
El comportamiento de E/A con la presión se muestra en la Fig (4.3) fijando Bbag =
75 MeV fm−3 . Podemos notar que el punto de presión cero para la MEQM se alcanza para
Capítulo 3: Ecuaciones de estado de la materia magnetizada en ambientes astrofísicos.
51
2 .8
2 .6
B = 0 G
B = 5 *1 0
2 .6
2 .4
9 0
1 8
G
9 0
9 3 0
2 .4
2 .2
8 0
9 3 0
9 0 0
/ n
2 .2
7 0
B
2 .0
n
9 0 0
n
B
/ n
0
0
8 0
2 .0
7 0
8 5 0
1 .8
5 7
1 .8
1 .6
8 5 0
5 7
1 .6
1 .4
1 .4
5 0
1 0 0
1 5 0
m
2 0 0
s
2 5 0
3 0 0
1 0 0
(M e V )
Figura 4.4: Ventanas de estabilidad para la
MEQ en el plano (ms , nB ). Se muestran los
contornos de Bbag = const y E/A = const.
1 5 0
2 0 0
m
s
2 5 0
3 0 0
(M e V )
Figura 4.5: Ventanas de estabilidad para la
MEQM en el plano (ms , nB ). Se muestran los
contornos de Bbag = const y E/A = const.
un valor de densidad de energía menor que en el caso de la MEQ. Por tanto la MEQ es más
estable y más compacta en presencia de campo magnético.
Un estudio más detallado de la estabilidad lo podemos realizar a través de las ventanas
de estabilidad, las cuales nos brindan una mayor información acerca de los límites para los
parámetros entre los cuales se cumple la desigualdad de estabilidad (4.4). Para investigar cómo
el campo magnético afecta estas ventanas, consideraremos las regiones de estabilidad en el plano
(ms , nB ). Para ilustrar, fijaremos el campo magnético en el valor B = 5 × 1018 G, B = 0 G y
estudiaremos los contornos Bbag = const y E/A = const.
Estos resultados se presentan en las Fig (4.4) y Fig (4.5) para MEQ y MEQM respectivamente. Como puede observarse, el campo magnético hace que las ventanas de estabilidad
para la MEQ se muevan hacia valores mayores de la densidad bariónica. Además se modifica el
intervalo permitido de valores para el parámetro de Bag debido a que por debajo del contorno
de energía de 930 MeV las EdE para MEQM corresponden a un valor de E/A a presión cero
B
).
< E
menor que el del 56 Fe ( E
A M EQ
A 56 Fe
Del análisis de la Fig (4.5) podemos considerar la MEQM como absolutamente estable si
57 MeV fm−3 < Bbag < 90 MeV fm−3 , 1,85 < nB /n0 < 2,6 y para un amplio rango de masas
del quark s, en particular para ms = 150 MeV y Bbag = 75 MeV fm−3 valores que utilizaremos
en el Capítulo 5 para calcular algunos parámetros de las EEs.
4.2.2.
Ecuaciones de estado para la MEQ.
Para determinar las EdE de la MEQM en equilibrio estelar, hay que resolver numéricamente
las ecuaciones (1.17). La solución del sistema de ecuaciones anteriores nos da los potenciales
Capítulo 3: Ecuaciones de estado de la materia magnetizada en ambientes astrofísicos.
52
químicos (µf ) de las especies de fermiones, en este caso (f = e, u, d, s) con los cuales podemos
evaluar las ecuaciones (1.6) y (1.7) y obtener las EdE para la MEQM
X
E =
(Ωf + µf Nf ) + Bbag +
f =e,u,d,s
X
Pk = −
Ωf − Bbag −
f =e,u,d,s
X
P⊥ =
B2
,
8π
(4.5a)
B2
,
8π
(4.5b)
(−Ωf − BMf ) − Bbag +
f =e,u,d,s
B2
,
8π
(4.5c)
Primeramente veremos el comportamiento de las EdE para diferentes valores de campo
magnético utilizando solamente la P⊥ y sin tener en cuenta el término de Maxwell. En la
Fig (4.6) mostramos las EdE para la MEQ (B = 0) y para la MEQM para B = 5 × 1018 G, en
todos los casos hemos tomado el valor Bbag = 75 MeV fm−3 . Para comparar hemos incluido las
EdE de la materia normal (u, d en equilibrio con electrones).
2 5 0
M E
M E
M E
u d
u d
u d
1 5 0
= 0 G
1 8
= 5 1 0 G
1 9
= 1 1 0 G
0 G
1 8
5 1 0 G
1 9
1 1 0 G
( M
e V /f m
3
)
2 0 0
Q B
Q B
Q B
B =
B =
B =
P
1 0 0
5 0
0
0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
e (M e V /f m
6 0 0
3
7 0 0
8 0 0
9 0 0
1 0 0 0
)
Figura 4.6: Ecuación de estado para la MEQ: presión contra energía para diferentes valores
de campo magnético. Para comparar se han añadido las gráficas para la materia normal en
equilibrio con electrones.
El caso B = 0 no muestra diferencias con la ecuación de estado P = (E − 4Bbag )/3 de la
materia formada por quarks u y d sin masa, lo que muestra que considerar las masas de los
quark u y d diferentes de cero, siendo ellas tan pequeñas, no influye de manera significativa en
los resultados.
Capítulo 3: Ecuaciones de estado de la materia magnetizada en ambientes astrofísicos.
53
Si tenemos en cuenta el término de Maxwell y graficamos ambas presiones obtenemos la
Fig (4.7) [97] donde observamos que al aumentar el campo magnético la diferencia entre utilizar
Pk o P⊥ es bastante apreciable.
5 0 0
P
P
⊥

4 0 0
P
⊥
]
P
B = 1 0
B = 1 0

B = 1 0
1 8
G
1 8
1 7
G
G
1 7
G
3 0 0
P
[M e V
fm
-3
B = 1 0
2 0 0
1 0 0
B
b a g
= 7 5 M e V fm
-3
0
2 0 0
4 0 0
6 0 0
8 0 0
1 0 0 0
E [M e V fm
1 2 0 0
-3
1 4 0 0
1 6 0 0
1 8 0 0
]
Figura 4.7: Ecuación de estado para la MEQM: presión contra energía para diferentes valores de
campo magnético. En este caso hemos incluido el término de Maxwell para mostrar la influencia
de ambas presiones en las EdE.
Las variaciones que el campo magnético produce en las EdE pueden alterar las propiedades
macroscópicas de los OC como son la masa y el radio de la estrella, esto lo estudiaremos en el
Capítulo 5.
4.2.3.
Fase CFL magnetizada
Estudiemos el papel que juega el campo magnético en la física de la fase CFL dentro del
modelo de confinamiento de Bag del MIT.
Primeramente estudiaremos la influencia del campo magnético en la estabilidad de esta fase.
Por simplicidad asumiremos que la contribución de los gluones al campo magnético dentro de la
fase CFL es despreciable. Debido a la mezcla del campo fotónico Aµ con la octava componente
del campo de gluones G8µ , el campo electromagnético “rotado” es A˜µ = Aµ cos θ − G8µ sin θ. La
correspondiente constante de acoplamiento electromagnética es ẽ = e cos θ,pdonde el ángulo de
mezcla θ depende de la estructura del gap y viene dado por cos θ = g/ e2 /3 + g 2 (g es la
constante de acoplamiento de la CDC) para la fase CFL [98, 99]. Puesto que el fotón rotado es
no masivo, el campo magnético B̃ dentro del estado CFL superconductor no está apantallado.
Más aún, en la región de interés, e g de modo tal que cos θ ∼ 1 por lo que podemos
Capítulo 3: Ecuaciones de estado de la materia magnetizada en ambientes astrofísicos.
54
500
B=0
B = 5×1018 G
Chemical potentials [MeV]
400
µB
300
∆ = 50 MeV
Bbag = 75 MeV/fm3
200
100
µ3
0
µ8
−100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
nB / n0
Figura 4.8: Potenciales químicos de la fase CFL para B = 0 y B = 5 × 1018 G. Se han fijado
los parámetros ∆ = 50 MeV y Bbag = 75 MeV/fm3 .
considerar que las intensidades del campo magnético dentro y fuera del núcleo de CFL son
aproximadamente iguales ẽB̃ ' eB [100].
Un punto importante cuando se estudia la estabilidad de la materia de quarks en los OC
es el tratamiento teórico que se le da a las condiciones de estabilidad [101, 102]. Además
de la neutralidad electromagnética, hay que imponer la neutralidad de color. Para garantizar
esta última en la fase CFL, los potenciales químicos µ3 y µ8 , acoplados a las cargas de color
T3 = diag (1/2, −1/2, 0) y T8 = diag (1/3, 1/3, −2/3) deben ser escogidos de forma tal que
las densidades T3,8 se hagan cero [101]. El potencial químico para cada quark (i = u, d, s) se
especifica por su carga eléctrica y por su carga de color µi = µB −Qµe +T3 µ3 +T8 µ8 , donde µB es
el potencial químico bariónico y Q = diag (2/3, −1/3, −1/3). Como resulta ser, para el rango de
los parámetros que consideramos eB < µ2B , podemos demostrar que µ3 ' 0 y µ8 ' −m2s /(2µB ).
En la Fig (4.8), a partir de los resultados numéricos discutiremos estas consideraciones.
Con estas aproximaciones estudiaremos el comportamiento del sistema con la variación de
los parámetros más importantes: el parámetro de Bag (Bbag ), la masa del quark extraño ms , la
densidad bariónica nB , el parámetro de gap ∆ y el campo magnético B.
Escribiremos la ecuación de estado para la fase CFL partiendo de un estado ficticio de la
MSQM en el cual la densidad bariónica nB se iguala a las densidades de cada especie de quarks.
Esta condición aparece como consecuencia de la minimización de la energía y la imposición de
la neutralidad de carga eléctrica y de color en la fase CFL [103, 58, 101, 104, 105]. En la fase
CFL no hay electrones [58].
Consideraremos que el costo de la energía libre es compensado por la formación del par y
está dada por
3∆2 µ2B
,
(4.6)
Ω∆ =
π2
donde ∆ es el parámetro de gap. Para simplificar nuestro estudio no consideraremos ninguna
Capítulo 3: Ecuaciones de estado de la materia magnetizada en ambientes astrofísicos.
55
dependencia de ∆ con el campo magnético. Más aún, asumiremos un valor común del parámetro
de gap para los apareamiento de color predominantes (ud, us, ds). Este patron en el gap es
una buena aproximación en los escenarios astrofísicos que estamos considerando, estrellas de
quarks1 . El estudio de como se genera este gap queda fuera de los objetivos de nuestro trabajo.
Sin embargo es importante reiterar que aunque la materia extraña de quarks la describimos
como no interactuante, la presencia del gap es una consecuencia de la interacción entre los
quarks mediante un mecanismo de apareamiento BCS.
El potencial termodinámico para la fase CFL magnetizada se puede escribir como
ΩCF L = ΩM SQM − Ω∆ ,
(4.7)
y la densidad de energía que se deriva de el es
CF L = ΩCF L + 3µB nB .
(4.8)
Exigiendo que la densidad bariónica sea nB sea igual a cada una de las densidades de quarks,
obtenemos las ecuaciones
Nu +
2∆2 µB
2∆2 µB
2∆2 µB
=
N
+
=
N
+
= nB .
d
s
π2
π2
π2
(4.9)
Debido a la contribución de las masas magnéticas, las ecuaciones (4.9) deben ser resueltas numéricamente. Para ilustrar, en la Fig (4.8) presentamos la dependencia de los potenciales químicos
µB , µ3 y µ8 con la densidad bariónica nB /n0 (n0 ' 0,16 fm−3 ), obtenidas de resolver las ecuaciones (4.9) con ∆ = 50 MeV y Bbag = 75 MeV/fm3 . Las curvas muestran los comportamientos
para dos valores del campo magnético B = 0 (líneas sólidas) y B = 5 × 1018 G (líneas de puntos
y rayas). Como puede observarse en la figura, en todo el rango de densidades bariónicas µ3 ' 0,
mientras que µ8 se aproxima bastante bien a la expresión µ8 ' −m2s /(2µB ). Estos resultados
se entienden fácilmente si recordamos que en ausencia de campo magnético y despreciando las
masas de los quarks u y d, la condición de neutralidad ∂ΩCF L /∂µ3 = ∂ΩCF L /∂µ8 = 0 implica
µ3 = µe y µ8 = µe /2 − m2s /(2µB ) [101].
Para estudiar las EdE y la estabilidad de la fase CFL magnetizada debemos tener en cuenta
que puesto que el campo magnético es fuerte la anisotropía de las presiones implica que P⊥ <
Pk [96], dentro del modelo de Bag del MIT la condición de estabilidad para la materia de quark
es
X
P =
P⊥,i − Bbag = 0 .
(4.10)
i
4.2.4.
Estabilidad de la materia de la fase CFL magnetizada.
Para obtener las magnitudes termodinámicos de la fase CFL magnetizada resolveremos el
sistema de ecuaciones (4.9) junto con la condición (4.10). Esto nos permite obtener la región
1
En este caso, las densidades
típicas son del orden de 500 MeV y para campos magnéticos tan grandes como
√
5 × 1018 G, tenemos que eB ∼ 172 MeV, lo que implica que eB/µ2B < 1 [100, 106].
Capítulo 3: Ecuaciones de estado de la materia magnetizada en ambientes astrofísicos.
de los parámetros donde se cumplen las desigualdades
B
B=0
E E E E E < < < < ,
A CF L
A CF L
A M SQM
A 56 Fe
A u,d
56
(4.11)
donde E/A|56 Fe ' 930 MeV es la energía por barión del núcleo de hierro y la estabilidad
de cualquier fase significa que su energía or barión es menor que ese valor. Por otro lado, si
imponemos que la energía por barión de la materia normal (materia formada por quarks u y
d) sea mayor que la de la materia nuclear, E/A|u,d > mn , donde mn ' 939 MeV es la masa del
neutron, obtenemos el límite inferior Bbag > 57 MeV/fm3 [107] bajo las mismas condiciones de
P = 0 y T = 0.
En la Fig (4.9) presentamos una comparación de la energía por barión E/A como función
de la densidad bariónica nB /n0 en ausencia de campo magnético (gráfico de la izquierda)
y para un campo magnético de 5 × 1018 G (gráfico de la derecha). En ambos casos hemos
tomado Bbag = 75 MeV/fm3 y dos valores diferentes del gap, ∆ = 50, 100 MeV. Las curvas
correspondientes a la MEQ (B = 0) y a la MEQM (B 6= 0) se incluyen para comparar. Como
puede observarse de las figuras, para un valor fijo de la densidad bariónica, la energía por barión
de la fase CFL magnetizada es menor que la correspondiente en ausencia de campo magnético.
1400
1300
1400
∆ = 50
∆ = 100
SQM
B=0
Bbag = 75 MeV/fm3
1300
Bbag = 75 MeV/fm3
1200
E / A [MeV]
E / A [MeV]
1200
1100
1100
1000
1000
900
900
800
∆ = 50
∆ = 100
SQM
B = 5×1018 G
0
2
4
6
n /n
B
0
8
10
800
0
2
4
6
8
10
n /n
B
0
Figura 4.9: Energía por barión como función de la densidad bariónica en ausencia de campo
magnético (gráfico de la izquierda) y para un campo magnético de 5 × 1018 G (gráfico de la
derecha). Hemos tomado Bbag = 75 MeV/fm3 y ∆ = 50, 100 MeV. Para comparar incluimos los
casos de MEQ y MEQM. La linea horizontal de puntos corresponde a E/A|56 Fe ' 930 MeV.
El comportamiento de E/A con la presión (transversal) P es mostrado en la Fig (4.10).
Podemos notar que el punto de presión cero para la fase CFL magnetizada se alcanza a una
densidad de energía menor que para el caso sin campo magnético. Consecuentemente, la materia
CFL magnetizada es más estable. Una comparación de la densidad bariónica en el punto de
Capítulo 3: Ecuaciones de estado de la materia magnetizada en ambientes astrofísicos.
57
presión cero sin campo magnético y con un campo magnético de B = 5 × 1018 G, se muestra en
la Tabla 4.1. De la tabla podemos concluir que en presencia de un campo magnético el punto
de presión cero se alcanza para valores ligeramente más elevados de la densidad bariónica.
1200
1200
B=0
1150
B = 5×1018 G
1150
3
1050
E / A [MeV]
E / A [MeV]
1100
1050
1000
950
1000
950
900
900
∆ = 50
∆ = 100
SQM
850
800
−100
Bbag = 75 MeV/fm3
Bbag = 75 MeV/fm
1100
−50
0
50
100
150
200
250
300
P [MeV/fm3]
∆ = 50
∆ = 100
SQM
850
350
800
−100
−50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
P [MeV/fm3]
Figura 4.10: Energía por barión en función de la presión para la fase CFL sin campo magnético
(gráfico de la izquierda) y para CFL magnetizada con B = 5 × 1018 G (gráfico de la derecha).
Hemos tomado Bbag = 75 MeV/fm3 y ∆ = 50, 100 MeV. Para comparar incluimos los casos de
MEQ y MEQM. La linea horizontal de puntos corresponde a E/A|56 Fe ' 930 MeV.
∆ (MeV)
50
100
B (G)
0
5 × 1018
0
5 × 1018
nB /n0
2,15
2,21
1,96
2,08
Tabla 4.1: Comparación de la densidad bariónica en el punto de presión cero para el estado
CFL sin y con campo magnético. Fijamos el parámetro Bbag = 75 MeV/fm3 .
Seguidamente estudiaremos las ventanas de estabilidad para la fase CFL, es decir, las regiones permitidas para la densidad bariónica, la masa del quark s y los parámetros de Bag
y gap para un campo magnético dado. Para investigar cómo el campo magnético afecta estas
ventanas, consideraremos, en primer lugar, las regiones de estabilidad en el plano (ms , nB ) para valores fijos del campo magnético y el parámetro de gap. En la Fig (4.11) mostramos los
contornos de Bbag y E/A de la MEQ (gráfico de la izquierda) y de la fase MEQM (gráfico de
la derecha) para valores del camp de 5 × 1018 G.
Los contornos correspondientes a la fase CFL se muestran en la Fig (4.12). Todos los contornos fueron obtenidos imponiendo las ecuaciones (4.3). Para la fase CFL hemos fijado ∆ = 50 y
100 MeV. En ambos casos es evidente que al incrementar el valor del parámetro de gap cambian
Capítulo 3: Ecuaciones de estado de la materia magnetizada en ambientes astrofísicos.
2.8
58
2.8
2.6
2.6
90
90
930
2.4
2.4
80
80
900
930
2.2
70
2
70
nB/n0
nB/n0
2.2
900
2
850
57
1.8
1.8
57
850
1.6
1.6
SQM, B = 0
1.4
80
100
120
140
ms [MeV]
160
180
1.4
80
200
SQM, B = 5×1018 G
100
120
140
ms [MeV]
160
180
200
Figura 4.11: regiones de estabilidad en el plano (ms , nB ) de la MEQ (gráfico de la izquierda)
y de la fase MEQM (gráfico de la derecha) para valores del camp de 5 × 1018 G. Las líneas
solidas corresponden a contornos de E/A constante mientras que las líneas de trazos representan
contornos de Bbag constantes.
2.8
2.8
2.6
2.6
930
90
90
2.4
2.4
80
930
900
80
2.2
0
nB/n0
2.2
70
B
n /n
70
2
850
2
900
57
1.8
1.8
57
850
1.6
1.6
CFL, B = 0, ∆ = 50 MeV
1.4
80
100
120
140
ms [MeV]
160
180
CFL, B = 5×1018 G, ∆ = 50 MeV
1.4
80
200
2.8
100
120
140
ms [MeV]
160
180
200
2.8
930
2.6
930
900
2.6
100
100
2.4
900
2.4
850
90
90
2.2
80
850
2
80
nB/n0
nB/n0
2.2
800
2
70
70
1.8
1.8
800
1.6
57
1.6
57
CFL, B = 0, ∆ = 100 MeV
1.4
80
100
120
140
ms [MeV]
18
CFL, B = 5×10
160
180
200
1.4
80
100
G, ∆ = 100 MeV
120
140
ms [MeV]
160
180
200
Figura 4.12: Al igual que en la Fig (4.11), pero para la fase CFL. Tomamos ∆ = 50 y 100 MeV.
Capítulo 3: Ecuaciones de estado de la materia magnetizada en ambientes astrofísicos.
59
las curvas de E/A constante hacia valores mayores de la densidad bariónica, mientras que los
contornos de Bbag constante se desplazan hacia valores más bajos de nB .
2.8
2.8
100
100
2.6
2.6
930
90
90
2.4
2.4
900
80
930
80
900
70
2.2
2
nB/n0
nB/n0
2.2
850
70
2
57
1.8
800
1.8
57
850
1.6
1.6
CFL, B = 5×1018 G, ms = 150 MeV
CFL, B = 0, ms = 150 MeV
1.4
0
20
40
∆ [MeV]
60
80
100
1.4
0
20
40
∆ [MeV]
60
80
100
Figura 4.13: Contornos de E/A y Bbag en el plano (∆, nB )para la fase CFL con (gráfico de la
izquierda) y B = 5 × 1018 G (gráfico de la derecha) para un valor fijo de la masa del quark s,
ms = 150 MeV.
En la Fig (4.13) presentamos los contornos de E/A y Bbag constantes en el plano (∆, nB )
para la fase CFL con B = 0 (gráfico de la izquierda) y B = 5 × 1018 G (gráfico de la derecha) y
un valor fijo de la masa del quark s, ms = 150 MeV. Notemos que a medida que el parámetro
de gap ∆ aumenta, las ventanas de estabilidad (rango permitido de densidades bariónicas y
parámetros de Bag para una energía por barión dada ) aumentan.
4.2.5.
Ecuaciones de estado para la fase CFL magnetizada.
Para determinar las EdE de la fase CFL magnetizada, el sistema de ecuaciones de equilibrio (4.9) debe ser resuelto numéricamente con lo cual obtenemos los potenciales químicos para
evaluar las magnitudes termodinámicas.
En la Fig (4.14) presentamos las EdE para la fase CFL (cuando B = 0) y para la fase CFL
magnetizada para B = 5 × 1018 G, para dos valores del parámetro de gap, ∆ = 50 y 100 MeV.
Como puede ser observado en las figuras, las EdE para la fase CFL fuertemente magnetizada
es más blanda que las EdE para la fase CFL sin campo magnético, es decir, se produce menos
presión para una densidad de energía dada. Esto implica que los observables macroscópicos,
como la masa y el radio de las estrellas seran modificados. En particular, puesto que una EdE
más “blanda” puede soportar una menor fuerza gravitacional, va a conllevar a estrellas más
compactas con masas máximas menores (ver Tabla 5.2 en el proximo capítulo).
Capítulo 3: Ecuaciones de estado de la materia magnetizada en ambientes astrofísicos.
60
200
180
B=0
B = 5×1018 G
160
3
P [MeV/fm ]
140
120
∆ = 100 MeV
100
∆ = 50 MeV
80
60
40
20
0
300
Bbag = 75 MeV/fm3
400
500
600
700
800
ε [MeV/fm3]
Figura 4.14: EdE (presión en función de la energía) para la fase CFL (B = 0) y para la fase
CFL magnetizada con B = 5 × 108 G. Se muestran las curvas para dos valores del parámetro
de gap, ∆ = 50 MeV y 100 MeV.
4.3.
Conclusiones del capítulo
La materia en el interior de las estrellas está sometida a condiciones de equilibrio estelar. En
este capítulo hemos estudiado las EdE de fermiones cargados sometidos a un campo magnético
en estas condiciones, de ahí la diferencia con las EdE obtenidas en el epígrafe (2.4.1), ecuaciones
(2.79), que son la base para el estudio que hemos realizado.
Para EBs obtuvimos que las EdE por debajo de campos magnéticos de aproximadamente
B . 1011 G no hay muchas diferencias con el caso B = 0 G. Para campos magnéticos por
encima de B & 1013 G los efectos de la anisotropía son notables.
Para EEs estudiamos la estabilidad y las EdE en los casos de MEQM y fase CFL magnetizada.
1. Para la MEQM obtuvimos que:
E/A es menor cuando está presente el campo magnético. Para B = 5 × 1018 G
obtenemos que E/A u 919 MeV, nB /n0 u 2,2 y Bbag u 75 MeV fm−3 mientras que
para B = 0 e igual valor del Bag, E/A u 929 MeV, nB /n0 u 2,1.
El punto de presión cero para la MEQM se alcanza para un valor de densidad de
energía menor que en el caso de la MEQ. Por tanto la MEQ es más estable y más
compacta en presencia de campo magnético.
Del análisis de las ventanas de estabilidad podemos considerar la MEQM como
absolutamente estable si 57 MeV fm−3 < Bbag < 90 MeV fm−3 , 1,85 < nB /n0 < 2,6
y para un amplio rango de masas del quark s, en particular para ms = 150 MeV y
Bbag = 75 MeV fm−3 .
Capítulo 3: Ecuaciones de estado de la materia magnetizada en ambientes astrofísicos.
61
El campo magnético produce EdE más “blandas”.
2. Para la fase CFL obtuvimos:
Para un valor fijo de la densidad bariónica, la energía por barión de la fase CFL
magnetizada es menor que la correspondiente en ausencia de campo magnético.
El punto de presión cero para la fase CFL magnetizada se alcanza a una densidad de
energía menor que para el caso sin campo magnético. Consecuentemente, la materia
CFL magnetizada es más estable.
Las ventanas de estabilidad muestran que al incrementar el valor del parámetro
de gap cambian las curvas de E/A constante hacia valores mayores de la densidad
bariónica, mientras que los contornos de Bbag constante se desplazan hacia valores
más bajos de nB .
A medida que el parámetro de gap ∆ aumenta, las ventanas de estabilidad (rango
permitido de densidades bariónicas y parámetros de Bag para una energía por barión
dada ) aumentan.
Para la fase CFL fuertemente magnetizada es más blanda que las EdE para la fase
CFL sin campo magnético.
Capítulo 5
Ecuaciones de estructura de un Objeto
Compacto.
En este capítulo utilizamos las EdE estudiadas en el capítulo anterior para obtener la estructura de un OC utilizando la Teoría de la Relatividad General de Einstein. Discutimos el
problema de la anisotropía en las presiones y proponemos una métrica con simetría cilíndrica
para describir la estructura de un OC altamente magnetizado.
Tanto la aplicación de las EdE de la materia magnetizada para resolver las ecuaciones
de estructura de un OC, como el modelo de las mismas con simetría cilíndrica constituyen
resultados originales [65, 97].
5.1.
Teoría de la Relatividad General
En la Teoría de la Relatividad General (TGR), la gravitación es la manifestación dinámica
de la curvatura del espacio-tiempo. Existen muchas evidencias experimentales que han validado
a la TGR: las trayectorias curvas de los rayos de luz, el corrimiento hacia el rojo de un fotón
bajo la influencia del campo gravitatorio, la precesión en la órbita de Mercurio, etc [108]. Todos
estos efectos son predicciones de la TGR, y son imposibles de predecir o justificar a partir de
la teoría de la relatividad especial [109].
En la TGR todo flujo de materia-energía es una fuente de curvatura del espacio-tiempo, las
ecuaciones de campo de la TGR deben tener como fuente al tensor de energía-momento T µν ,
el cual es un tensor de segundo orden. Por lo tanto, la curvatura del espacio-tiempo que será
asociada a estos flujos de materia-energía debe ser expresada por un tensor de curvatura que
sea del mismo orden. Las ecuaciones de Einstein establecen este vínculo entre el contenido de
materia en el espacio-tiempo y la curvatura del mismo [108]:
Gµ ν = κT µν ,
(5.1)
(µ, ν = 0, 1, 2, 3), κ = 8πGN , GN = 1,32 × 10−42 fm MeV−1 , Gµν = Rµν − 21 Rgµν es el tensor de
Einstein el cual viene determinado por el tensor de Ricci Rµν y por el escalar de Ricci R = Rµ µ ,
62
Capítulo 4: Ecuaciones de estructura de un Objeto Compacto.
63
estos últimos dependen de segundas derivadas de la métrica.
Rµν = Γαµν,α − Γαµα,ν + Γαµν Γβαβ − Γβµα Γανβ ,
(5.2)
las cantidades Γαµν son los índices de Christoffel, que dependen de primeras derivadas de la
métrica por la fórmula,
g αβ
Γαµν =
(gβµ,ν + gνβ,µ − gµν,β ).
(5.3)
2
Los tensores que aparecen en las ecuaciones de Einstein son simétricos, de modo que en 4
dimensiones tienen 10 componentes independientes. Dada la libertad de elección de las cuatro
coordenadas del espacio-tiempo, las ecuaciones independientes se reducen a 6. Las ecuaciones
de Einstein son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales no-lineales de alta complejidad,
por lo que es difícil encontrar soluciones exactas de ellas.
En los OC se dan condiciones muy extremas de masas, radios y densidades. De forma
general, las correcciones de la TRG a las ecuaciones de Newton son importantes para la correcta
descripción del equilibrio hidrostático de estos sistemas. Si bien en una EB la aproximación
Newtoniana arroja buenos resultados, una correcta predicción de la masa máxima de estas
estrellas debe hacerse utilizando TRG. En el caso de las ENs los efectos de la TRG son muy
fuertes dado el grado de compacticidad de estos objetos.
Es conocido que la teoría de Einstein no produce ecuaciones de estado, por tanto dichas
ecuaciones se deben importar desde otra teoría, por ejemplo, la estadística, la teoría de campo,
o también pueden tener origen fenomenológico. En el caso especial de los OC el caso más simple
de ecuación de estado sería suponer un gas ideal de fermiones magnetizado y a temperatura
cero, pues estas estrellas en su etapa final se enfrían. Por tanto, considerar un gas degenerado
no resulta ser una mala aproximación.
Las ecuaciones de estado que consideramos para describir un volumen local de un OC
magnetizado son las obtenida en el Capítulo 4.
5.2.
Ecuaciones Tolman Openheimer Volkof
Suponiendo que la materia dentro de la estrella se comporta como un fluido perfecto, la
estructura de la misma queda determinada por la dependencia con el radio de las magnitudes
termodinámicas, densidad de materia, presión y densidad de energía así como con los coeficientes
métricos. Estas magnitudes vienen determinadas en parte por las ecuaciones de Einstein (5.1),
pues también son necesarias las EdE de la materia dentro de la estrella.
Para describir el equilibrio hidrostático de una estrella emplearemos las ecuaciones de
Tolman-Openheimer-Volkof (TOV) [5]. Para una estrella estática en equilibrio se emplea la
métrica:
ds2 = −e2Φ(r) dt2 + eΛ(r) dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2
(5.4)
Utilizando la métrica (5.4), la ecuación (5.1) y la ley de conservación de la energía (T µν;ν =
0) podemos encontrar las ecuaciones TOV [108], que nos dan las configuraciones de estrellas
Capítulo 4: Ecuaciones de estructura de un Objeto Compacto.
64
estáticas y con simetría esférica:
dM
dr
dP
dr
= 4πG E(r)
= −G
(E(r) + P (r))(M (r) + 4πP (r)r3 )
r2 − 2rM (r)
(5.5a)
(5.5b)
Para resolver el sistema de ecuaciones (5.5) utilizaremos las soluciones numéricas de las
EdE encontradas en el Capítulo 4. El radio R y la masa correspondiente M de la estrella se
determinan imponiendo la condición de presión cero P (R) = 0. La presión central queda fijada
por la EdE, P (0) = Pc , si imponemos además la condición M (0) = 0 podemos resolver el
sistema de ecuaciones TOV (5.5).
Al resolver las ecuaciones (5.5), para cada una de las posibles EdE, existe una familia
única de estrellas parametrizadas por la densidad central, es decir, obtendremos un modelo
de secuencias estelares M = M (ρc ), R = R(ρc ) que representaremos en un diagrama masaradio, es decir, cada punto del diagrama M-R representa una estrella de masa M y radio R en
equilibrio hidrodinámico.
No todas las ramas de una secuencia M-R son estables. El problema de Sturm-Liouville
correspondiente para los modos de oscilación fue tratado por primera vez por Chandrasekhar
en 1964 [110]. El criterio usual de estabilidad para las estrellas [111] es que un modo radial
se vuelve estable o inestable en cada extremo de la función M (R). Un modo estable se vuelve
inestable en cada extremo en el cual la curva gira en contra de las manecillas del reloj a medida
que la densidad central aumenta, un modo estable se vuelve inestable en cada extremo donde
la curva gira a favor de las manecillas del reloj a medida que la densidad central aumenta.
Para la solución de las ecuaciones (5.5) se hace necesario conocer la energía y la presión.
Esto plantea un problema en el caso de sistemas con presiones anisotrópicas, como el que
estudiamos en el Capítulo 4 donde el campo magnético rompe la simetría rotacional O(3) y
consecuentemente aparecen presiones anisotrópicas. Por lo que surge la pregunta: ¿cuál presión
utilizar en las ecuaciones (5.5)?
Si nuestro interés es considerar valores de campos magnéticos para los cuales la anisotropía
comienza a ser importante, esto significa tomar valores del coeficiente de separación (2.80)
Υ > 1, el problema anterior es inevitable. Sin embargo si nos mantenemos en un rango de campo
magnético tal que Υ < 1 podemos seguir considerando el sistema isotrópico (Pk = P⊥ = P ).
Sucede sin embargo que para EEs Υ > 1 para campos magnéticos del orden de 1017 G y para
EBs, para campos magnéticos del orden de 1011 G, siendo estos valores de campos magnéticos
razonables en el interior de estos OC. Esto hace necesario pensar en obtener unas ecuaciones de
estructura que respondan a la geometría natural del problema. En el epígrafe 5.3 se abordará
este problema utilizando una métrica con simetría cilíndrica en lugar de la esférica (5.4) para
las ecuaciones de estructura de un OC.
No obstante estas consideraciones, en los epígrafes 5.2.1 y 5.2.2 se mostrarán las relaciones
M-R considerando las ecuaciones (5.5) utilizando ambas presiones para ilustrar las diferencias
en las secuencias estelares con el aumento del campo magnético.
Capítulo 4: Ecuaciones de estructura de un Objeto Compacto.
5.2.1.
65
Soluciones TOV para enanas blancas
Para EBs utilizamos las EdE (4.2) para la materia magnetizada. Hemos considerado las
presiones paralela y perpendicular a la dirección del campo magnético para mostrar que el uso
de ambas presiones arroja resultados diferentes. En todos los casos obtenemos masas máximas
que no superan a la masa de Chandrasekhar. Como referencia para comparar hemos incluido
en la Fig (5.1) el caso B = 0.
1 .6
B = 0 G
P  B = 1 0
1 .4
P
⊥
1 .2
P
P
P
G
G
B = 1 0
B = 1 0
⊥
1 2
B = 1 0
1 3
G
B = 1 0

1 4
G


M /M
0 .8
B = 1 0
1 1
1 2

P
1 .0
1 1
G
G
0 .6
0 .4
0 .2
0 .1
1
1 0 0 R /R
1 0

Figura 5.1: Configuraciones de M − R obtenidas para EBs
Los resultados mostrados en la Fig (5.1), en el caso de campos magnéticos débiles (B < Bc ),
coinciden con resultados anteriores [112] obtenidos en este límite. Sin embargo, para campos
magnéticos fuertes (B > Bc ), se observa que la anisotropía juega un papel fundamental, reforzado por el hecho de que no se obtienen configuraciones estables, al utilizar la presión perpendicular, para campos magnéticos superiores a 1013 G.
Tal como mencionamos en la introducción, nuestro interés en estudiar las EBs magnetizadas
se debe a la reciente propuesta de la posibilidad de la existencia de EBs con masas mayores que la
masa de Chandrasekhar (1,4M ) [113] que explicarían observaciones inusuales [26, 15, 114, 27]
de supernovas tipo Ia superluminosas.
La explicación de la existencia de estas altas masas se basa fundamentalmente en haber
considerado
1. Campos magnéticos mayores que el campo magnético crítico 1013 G.
2. Energías de Fermi mayores que 20 MeV que implican densidades mayores que 109 gcm−3 .
Sin embargo, ninguno de estos trabajos considera las presiones anisotrópicas ni la influencia
del término de vacío (2.72) que comienza a ser importante en el regimen eB ∼ µ2 . Por otro
lado, considerar densidades por encima de 109 gcm−3 [] pone en duda la estabilidad de la EB
sustentada por el gas degenerado de electrones.
Capítulo 4: Ecuaciones de estructura de un Objeto Compacto.
66
Los resultados de nuestro estudio como se puede apreciar de la Fig (5.1) descartan al campo
magnético como responsable de la existencia de masas por encima de la masa de Chandrasekhar,
siempre que nos mantengamos en el régimen de densidades típicas de EBs (ρ . 109 gcm−3 ) y
tomemos en cuenta el término de vacío (2.72) en las EdE.
Por otro lado, nuestros cálculos arrojan que por encima del campo magnético crítico, los
modelos con simetría esférica no son adecuados para tratar sistemas altamente anisotrópicos.
Como mencionamos anteriormente, en el epígrafe 5.3 mostraremos las soluciones con simetría
cilíndrica que se adecuan a los sistemas con anisotropías debidas al campo magnético.
No obstante el problema de las supernovas tipo Ia superluminosas es atractivo y continúa
siendo un problema abierto. Existen otras propuestas para explicarlas, una de ellas es considerar
EBs cargadas [115], otra alternativa pudiera ser considerar los efectos de un campo magnético
toroidal en las EdE. Un trabajo en esta dirección será abordado en el futuro.
5.2.2.
Soluciones TOV para estrellas extrañas
En este epígrafe, primeramente resolveremos las ecuaciones TOV para la MEQ y para la
MEQM utilizando las EdE obtenidas en la Fig (4.6) con el objetivo de mostrar que EdE más
blandas producen configuraciones más compactas en el diagrama M-R. Utilizaremos solo la
presión perpendicular en las ecuaciones TOV y no tendremos en cuenta el término de Maxwell
B 2 /8π.
En la Fig (5.2) mostramos los gráficos de las configuraciones de equilibrio para la MEQ y
para la MEQM, se ha tomado un valor del parámetro de Bag (Bbag = 75 MeV fm−3 ). Como ya
fue mencionado en el Capítulo 4, el campo magnético hace que la MEQ sea más estable por lo
que las estrellas pueden ser más compactas. Se observa como a medida que aumenta el campo
magnético las configuraciones obtenidas presentan menores radios.
En la Tabla 5.1 se muestran los valores de masa máxima con su correspondiente radio y
densidad central para diferentes valores de campos magnéticos obtenidos de la Fig (5.2).
Materia Mmax (M/M )
MEQM
1.56
MEQM
1.62
MEQ
1.65
ud
1.69
ud
1.74
ud
1.77
R (km)
8.62
8.91
9.07
9.20
9.50
9.60
B (G)
1 × 1019
5 × 1018
0
1 × 1019
5 × 1018
0
nBc /n0
9.46
9.14
8.48
7.88
7.31
7.02
Tabla 5.1: Resultados obtenidos de la Fig (5.2).
Como segundo estudio, mostraremos el impacto de las presiones anisotrópicas (EdE mostradas en la Fig (4.7)) en las relaciones M-R incluyendo además el término de Maxwell B 2 /8π.
En la Fig (5.3) mostramos la relación M-R donde podemos notar que para campos magnéticos de 1017 G para los cuales Υ < 1 las diferencias son despreciables mientras que para campos
Capítulo 4: Ecuaciones de estructura de un Objeto Compacto.
67
2 .0
u d B
u d B
u d B
M E Q
M E Q
M E Q
1 .8
1 .6
1 .4

1 .2
= 0 G
1
= 5 1 0
1
= 5 1 0
B = 0 G
B = 5 1
B = 5 1
9
G
8
G
0
1 8
G
0
1 9
G
M /M
1 .0
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
B
= 7 5 M e V /fm
b a g
3
0 .0
0
2
4
6
8
1 0
R [k m ]
Figura 5.2: Configuraciones de M − R obtenidas para MEQM. Se muestran curvas para diferentes valores de campo magnético B. Para comparar se han añadido las gráficas M-R para
la materia de quarks normal. Las configuraciones más compactas son las de MEQM. En estas
figuras las EdE utilizadas no contienen el término de Maxwell B 2 /2. Solo se muestra la solución
para P⊥ .
magnéticos 1018 G para los cuales Υ > 1 de la diferencia en las soluciones son significativas.
2 ,0
P
⊥
P

1 ,6
P

1 8
G
1 8
B = 1 0
B = 1 0
⊥
P
1 7
1 7
B = 1 0
G
G
G
1 ,2
M /M

B = 1 0
0 ,8
0 ,4
B
4
5
6
7
8
9
b a g
= 7 5 M e V fm
1 0
-3
1 1
R [k m ]
Figura 5.3: Configuraciones de M − R obtenidas para MEQM teniendo en cuenta el término
de Maxwell B 2 /2 en las EdE.
Capítulo 4: Ecuaciones de estructura de un Objeto Compacto.
5.2.3.
68
Soluciones TOV para materia extraña magnetizada en la fase
CFL
Estudiemos las configuraciones de equilibrio para la materia extraña de quarks magnetizada
en la fase CFL descrita por las EdE mostradas en la Fig (4.14).
Primeramente veamos el caso de considerar solo P⊥ en las EdE y sin tener en cuenta el
término clásico de Maxwell. En la Fig (5.4) mostramos las configuraciones estables M-R para
la fase CFL para B = 0 y B = 5 × 1018 G. Para comparar, mostramos los resultados para la
fase MEQ en líneas sólidas. Las curvas muestran dos valores del parámetro de gap, ∆ = 50
y 100 MeV. El parámetro de bag fue fijado en un valor de 75 MeV/fm3 . Las masas y radios
máximos correspondientes Mmax y Rmax se resumen en la Tabla 5.2 y Tabla 5.3. Como era
esperado, los efectos de un campo magnético mayor, manteniendo el gap y el Bag constantes, es
obtener OC más compactos (con menores masas y radios). Notemos además que al incrementar
el valor del gap, los valores de las masas y radios máximos aumentan. Sin embargo para campos
magnéticos alrededor de 5×1018 −1019 G los valores obtenidos para las masas y radios máximos
con consistentes con las mediciones de masas máximas [116].
2
2
∆ = 50
∆ = 100
SQM
1.8
1.6
B=0
3
Bbag = 75 MeV/fm
1.6
1.2
1.2
M/M⊙
1.4
M/M⊙
1.4
1
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
1
2
3
4
5
6
7
R [km]
8
9
10
11
12
B = 5×1018 G
3
Bbag = 75 MeV/fm
1
0.8
0
∆ = 50
∆ = 100
SQM
1.8
0
1
2
3
4
5
6
7
R [km]
8
9
10
11
12
Figura 5.4: Configuraciones estables de relaciones M -R para la fase CFL sin campo magnético
(gráfico de la izquierda) y para B = 5 × 1018 G (gráfico de la derecha).Las curvas se presentan
para dos valores del parámetro de gap: ∆ = 50, 100 MeV. Las líneas sólidas corresponden la
fase MEQ.
En la Fig (5.5) mostramos la relación M-R donde hemos tenido en cuenta la anisotropía de
las presiones y el término de Maxwell en las EdE. Podemos notar que utilizar P⊥ o Pk en las
ecuaciones TOV puede ser decisivo a la hora de descartar una EdE que cumpla con las restricciones que imponen las observaciones astronómicas. En este caso podemos ver que el resultado
de la masa medida del pulsar J614-2230 [14] descarta el uso de Pk en las ecuaciones TOV pues
las relaciones M-R obtenidas nunca llegan a la masa de ese OC. Mostramos además otras restricciones sobre las masas y radios de ENs [117] como son la que proviene de la causalidad, de
la teoría de la relatividad general y de que el período de rotación sea menor que infinito.
Capítulo 4: Ecuaciones de estructura de un Objeto Compacto.
69
Tabla 5.2: Masas Máximas Mmax y los correspondiente radios para diferentes valores del campo
magnético y del parámetro de Bag.
B (G)
0
5 × 1018
1019
SQM
Mmax /M
1.65
1.62
1.56
∆ = 50 MeV
R (km)
Mmax /M
9.07
1.71
8.91
1.69
8.62
1.62
∆ = 100 MeV
R (km)
Mmax /M
9.40
1.96
9.25
1.93
8.93
1.86
R (km)
10.48
10.30
9.93
Tabla 5.3: Radios máximos Rmax y las masas correspondientes para diferentes valores del campo
magnético y del parámetro de Bag.
B (G)
0
5 × 1018
1019
SQM
Rmax (km) M/M
9.47
1.49
9.32
1.50
9.00
1.41
∆ = 50 MeV
Rmax (km)
9.77
9.63
9.30
M/M
1.56
1.54
1.49
∆ = 100 MeV
Rmax (km)
10.90
10.73
10.39
M/M
1.82
1.78
1.70
Figura 5.5: Configuraciones de M-R obtenidas para MEQM en la fase CFL teniendo en cuenta
el término clásico B 2 /8π en las EdE.
Capítulo 4: Ecuaciones de estructura de un Objeto Compacto.
5.3.
70
Ecuaciones de estructura en simetría cilíndrica
Como vimos en el epígrafe anterior el uso de las EdE de la materia magnetizada en las
ecuaciones TOV introduce una ambigüedad al existir dos presiones. Los efectos de la diferencia
entre las presiones se hacen críticos a medida que el campo magnético crece por lo cual nos
planteamos el problema de investigar el impacto de la anisotropía producidas por el campo
magnético en la estructura de un OC.
Proponemos como geometría más “natural” para los sistemas de fermiones magnetizados una
que posea simetría axial. De esta forma, para obtener las ecuaciones de estructura utilizaremos
la métrica
ds2 = −e2Φ dt2 + e2Λ dr2 + r2 dφ2 + e2Ψ dz 2 ,
(5.6)
donde Φ, Λ, Ω, y Ψ son funciones de r solamente.
Utilizaremos el tensor energía-momentum dado por [17]
T µν = diag(E, P⊥ , P⊥ , Pk ),
(5.7)
donde E, Pk y P⊥ viene dados por las EdE.
De las ecuaciones de Einstein en unidades naturales y de la conservación de la energía (T µν;µ )
obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (ver [118])
P⊥0 = −Φ0 (E + P⊥ ) − Ψ0 (P⊥ − Pk ),
Φ0
2Λ
00
0
0
0
0
4πe (E + Pk + 2P⊥ ) = Φ + Φ (Ψ + Φ − Λ ) + ,
r
Ψ0
4πe2Λ (E + Pk − 2P⊥ ) = −Ψ00 − Ψ0 (Ψ0 + Φ0 − Λ0 ) − ,
r
1
4πe2Λ (Pk − E) =
(Ψ0 + Φ0 − Λ0 ).
r
(5.8a)
(5.8b)
(5.8c)
(5.8d)
Las ecuaciones anteriores junto a las EdE E → f (P⊥ ), Pk → f (E) forman un sistema de
ecuaciones en las variables P⊥ , Pk , E, Φ, Λ, Ψ.
Puesto que las ecuaciones tienen presentes factores del tipo 1/r debemos hacer una expansion
en serie de P⊥ , Φ, Ψ, y Λ alrededor de r = 0 para encontrar condiciones iniciales que sirvan
para los cálculos numéricos.
P⊥
Λ
Φ
Ψ
=
=
=
=
P⊥0 + P⊥1 r,
Λ0 + Λ1 r,
Φ0 + Φ1 r + Φ2 r2 ,
Ψ0 + Ψ1 r + Ψ2 r2 .
(5.9)
(5.10)
(5.11)
(5.12)
También hacemos Ψ = Φ = Λ = 0 en r = 0 para que los correspondientes coeficientes
métricos sean igual a 1 en ese punto y Ψ0 = Φ0 = 0 para que las soluciones en el eje z sean
suaves.
Capítulo 4: Ecuaciones de estructura de un Objeto Compacto.
71
Sustituyendo estas condiciones en el sistema de ecuaciones diferenciales encontramos
P⊥ (0) = P⊥0 ,
1
Φ(0) =
(Pk0 + 2P⊥0 + E0 )(r02 − 2r0 ),
2
1
Ψ(0) =
(−Pk0 + 2P⊥0 − E0 )(r02 − 2r0 ),
2
Φ0 (0) = Ψ0 (0) = Λ(0) = 0.
(5.13a)
(5.13b)
(5.13c)
(5.13d)
También imponemos la condición P⊥ (R⊥ ) = 0, para determinar el radio de la estrella en la
dirección ecuatorial (perpendicular).
Como hemos señalado, por hipótesis, en nuestro modelo, todas las variables dependen solamente de la coordenada radial (en el plano perpendicular al campo magnético), esto hace que
no sea posible calcular la masa total de la estrella como en la Fig (3.4) para el caso de simetría
esférica. Por tanto calcularemos la generalización para la masa dada por Tolman [119]
Z
√
−g(T00 − T11 − T22 − T33 )dV
(5.14)
MT =
para la métrica cilíndrica (5.6) tenemos
Z
MT =
reΦ+Ψ+Λ (E − 2P⊥ − Pk )dV
Z 2π Z Rk Z R⊥
reΦ+Ψ+Λ (E − 2P⊥ − Pk )dφ dz dr
=
0
−Rk
Z
= 4πRk
(5.15)
(5.16)
0
R⊥
reΦ+Ψ+Λ (E − 2P⊥ − Pk )dr
(5.17)
0
Por tanto no podemos calcular la masa, si no, la masa por unidad de longitud (MT /Rk )
Z R⊥
MT
= 4π
reΦ+Ψ+Λ (E − 2P⊥ − Pk )dr
(5.18)
Rk
0
5.3.1.
Soluciones de las ecuaciones de estructura con simetría cilíndrica para enanas blancas
En la Fig (5.6), mostramos los resultados para la relación masa por unidad de radio en
función del radio perpendicular. En este caso el campo magnético crítico tiene un valor de
∼ 1013 G.
A pesar de la imposibilidad de encontrar la masa total de la estrella, con el resultado
mostrado en la Fig (5.6) observamos que el comportamiento sugiere la existencia de un cambio
en la dependencia de las curvas M-R con B a medida que el campo magnético se acerca al
campo magnético crítico y por encima de este no se obtienen configuraciones estables. Esto
está asociado a la anisotropía de las presiones producto del campo magnético, lo cual hace que
el papel de este en la explicación de masas super-Chandrasekar sea descartado, pues para las
mismas se necesitarían campos magnéticos de alrededor de 1014−15 G.
Capítulo 4: Ecuaciones de estructura de un Objeto Compacto.
0 .0 0 3 5
B = 0 G
B = 1 × 1
B = 5 × 1
B = 1 × 1
B = 5 × 1
B = 1 × 1
0 .0 0 3 0
-1
]
0 .0 0 2 5
) [k m
72
1 1
G
0
1 1
G
0
1 2
G
0
1 2
G
0
1 3
G
0 .0 0 1 5
/ (R

M

0 .0 0 2 0
0
M
0 .0 0 1 0
0 .0 0 0 5
0 .0 0 0 0
1 0 0 0
R
⊥
1 0 0 0 0
[k m ]
Figura 5.6: Configuraciones de M − R obtenidas para EBs
5.3.2.
Soluciones de las ecuaciones de estructura con simetría cilíndrica para estrellas extrañas
La solución del sistema de ecuaciones (5.8) con condiciones iniciales (5.13) se muestra en la
figura 5.7. En la parte izquierda de la Fig (5.7) mostramos el comportamiento de los coeficientes
métricos para dos valores del campo magnético, como puede notarse, a medida que se incrementa el campo magnético, se produce un incremento del radio de la estrella en la dirección
perpendicular. En la parte derecha de la Fig (5.7), mostramos el comportamiento de la presión
dentro de la estrella para una densidad central fija. Todas estas magnitudes muestran un buen
comportamiento físico.
0 ,4
6 0
1 7
B = 1 0
G
0 ,2
B = 1 0
1 8
P
B = 1 0

1 8
G
]
-3
P [M e V fm
G
⊥
5 0
Λ
Φ
Ψ
0 ,1
1 7
P
Λ
Φ
Ψ
0 ,3
B = 1 0
P
G
⊥
4 0
P

3 0
0 ,0
2 0
- 0 ,1
1 0
0
- 0 ,2
0
1
2
3
4
r
5
⊥
[k m
]
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
r
⊥
6
7
8
9
[k m ]
Figura 5.7: Coeficientes métricos y presiones dentro de la estrella para dos valores del campo
magnético.
En la Fig (5.8) mostramos la masa por unidad de longitud perpendicular en función del
radio. Cuando el campo magnético aumenta, el radio perpendicular y la masa por unidad de
longitud aumentan. Encontramos que existe un campo magnético máximo (B ' 1,8 × 1018
Capítulo 4: Ecuaciones de estructura de un Objeto Compacto.
73
G) por encima del cual los coeficientes métricos muestran un comportamiento divergente, este
valor de campo magnético coincide (en orden) con el umbral para el cual la diferencia entre las
presiones es relevante, B = 1,8 × 1018 G, (para el cual Υ = 10,5). Por tanto interpretamos que
no existen soluciones estables por encima de este campo magnético, lo cual señala el final de
las secuencias estelares dentro de los limites de nuestro modelo.
0 ,2 0
0 ,1 0
M / (R

M

) [k m
-1
]
0 ,1 5
0 ,0 5
0 ,0 0
2
3
4
5
6
7
R
⊥
[k m
8
9
1 0
1 1
]
Figura 5.8: Masa por unidad de longitud perpendicular (M/Rk ) en unidades de masas solares en
función del radio perpendicular. Cuando el campo magnético aumenta, el radio perpendicular
aumenta hasta un valor de campo magnético crítico. Las curvas están organizadas en forma
creciente del valor del campo magnético: B = 1017 G, B = 1018 G, B = 1,5 × 1018 G y
B = 1,7 × 1018 G.
5.4.
Conclusiones del capítulo
Hemos obtenido y estudiado las relaciones M-R para diferentes OC magnetizados formados
por fermiones cargados.
Utilizando las ecuaciones TOV (simetría esférica) obtuvimos
1. Para EBs
En ningún caso obtuvimos masas máximas mayores a la masa de Chandrasekhar.
Esto descarta la explicación de que el campo magnético sea el responsable de la
existencia de EBs con masas super-Chandrasekhar y por tanto de la explicación de
las supernovas tipo Ia superluminosas basadas en esa consideración.
Para campos magnéticos fuertes (B > Bc ), se observa que la anisotropía juega un
papel fundamental. No existen configuraciones estables, al utilizar P⊥ en las EdE,
para campos magnéticos superiores a 1013 G. Por lo que para investigar el papel
que juegan estos valores de campo magnético en la estructura de las EBs se hace
imprescindible tener en cuenta la anisotropía de las presiones.
Capítulo 4: Ecuaciones de estructura de un Objeto Compacto.
74
2. Para EEs utilizando MEQM
Utilizando solamente la P⊥ y sin tener en cuenta el término de Maxwell en las EdE
obtuvimos que el campo magnético hace que la MEQ sea más estable por lo que
las estrellas pueden ser más compactas. Se observa como a medida que aumenta el
campo magnético las configuraciones obtenidas presentan menores radios.
Estudiamos el impacto de las presiones anisotrópicas teniendo en cuenta además el
término de Maxwell en las EdE. A medida que aumenta el campo magnético, las
diferencias en las soluciones al utilizar P⊥ o Pk en las ecuaciones TOV son más
notables. Esto reafirma la necesidad de estudiar ecuaciones de estructura que tengan
en cuenta la anisotropía.
3. Para EEs utilizando MEQM en la fase CFL
Considerar las EdE con P⊥ y sin tener en cuenta el término clásico de Maxwell
obtenemos que el efecto de un campo magnético mayor, manteniendo el gap y el
Bag constantes, es obtener OC más compactos (con menores masas y radios). Al
incrementar el valor del gap, los valores de las masas y radios máximos aumentan.
Tener en cuenta la anisotropía de las presiones y el término de Maxwell en las EdE
para resolver las ecuaciones TOV arroja que utilizar P⊥ o Pk puede ser decisivo a
la hora de descartar una EdE que cumpla con las restricciones que imponen las observaciones astronómicas reafirmando la necesidad de tener ecuaciones de estructura
donde se usen ambas presiones.
Utilizando las ecuaciones de estructura con la métrica cilíndrica obtuvimos
1. Para EBs
Obtuvimos un campo magnético crítico con un valor de ∼ 1013 G. Por encima de
este campo magnético no se obtienen soluciones estables. Esto hace que el papel del
campo magnético en la explicación de la existencia de masas super-Chandrasekar sea
descartado, pues para las mismas se necesitarían campos magnéticos de alrededor
de 1014−15 G.
2. Para EEs
Encontramos que existe un campo magnético máximo (B ' 1,8×1018 G) por encima
del cual los coeficientes métricos muestran un comportamiento divergente, este valor
de campo magnético coincide (en orden) con el umbral para el cual la diferencia
entre las presiones es relevante, B = 1,8 × 1018 G, (para el cual Υ = 10,5). Por
tanto interpretamos que no existen soluciones estables por encima de este campo
magnético, lo cual señala el final de las secuencias estelares dentro de los limites de
nuestro modelo.
Conclusiones generales.
Este trabajo ha estado dirigido a estudiar el efecto del campo magnético en las EdE de
Objetos Compactos y en las ecuaciones de estructura de los mismos. En todos los casos hemos
considerando un campo magnético contante en la dirección z.
En particular, para el estudio del efecto del campo magnético en las EdE se ha considerado
un gas de Fermiones cargados y la consecuente aparición de presiones anisotrópicas debido a la
ruptura de la simetría espacial que introduce el campo magnético en el espectro de los fermiones
[17, 120, 97].
Se consideró como primer problema los efectos que tiene considerar el MMA en las EdE.
El interés en este asunto se debe a la necesidad de esclarecer el reporte en algunos artículos
dedicados a la Astrofísica que mostraban cambios significativos de las EdE cuando el MMA era
considerado [19, 82]. Estos resultados se comprobó, que se deben a tomar la aproximación de
Shwinger para el MMA la cual es solamente válida para campo magnético débil, es decir para
campos magnéticos moderados o cercanos al campo magnético crítico deja de ser válida [83].
Para corroborar estos resultados se calculó el MMA dependiente de los niveles de Landau.
El cálculo del MMA se hizo obteniendo la auto-energía de un fermión masivo en presencia de un
campo magnético constante usando el método de Ritus [77]. Dicho método es de gran utilidad
porque permite, como ya hemos explicado con anterioridad, diagonalizar la auto-energía y
separar el estudio en dos problemas: el problema a campo magnético fuerte (LLL) y el problema
dependiente de los niveles de Landau de orden mayor que cero. Como resultado de este proceso
se obtuvo que para el LLL la corrección de masa y la de momento magnético anómalo no pueden
separarse E 0 = M 0 + T 0 .
Se comprobó que el efecto del MMA en la EdE es despreciable. Este resultado es general y
válido para cualquier estudio que requiere conocer el papel de MMM en las EdE y la estructura
de OC.
A partir del estudio de las EdE de fermiones cargados en presencia de campos magnéticos
se consideraron Enanas Blancas y Estrellas de Extrañas en presencia de campo magnético.
Las primeras considerando el modelo del gas degenerado de electrones en presencia de campo
magnético más protones y neutrones que garantizan la neutralidad de carga y la conservación
del número bariónico.
Las EdE que describen EEs se consideran en dos fases: una formada por quarks u, d y s
libres y otra superconductora de color, la más simétrica de todas, la CFL. Se demostró que la
fase magnetizada CFL es más estable que la no magnetizada así como la de quarks u, d y s
libres en presencia de campo magnético. Además la fase magnetizada de color CFL aportará
75
Capítulo 4: Ecuaciones de estructura de un Objeto Compacto.
76
EdE menos “duras” que aquellas no magnetizadas.
Para resolver las ecuaciones de estructura de estrellas en presencia de campos magnéticos
y debido a que el efecto del campo magnético en las EdE es generar presiones anisotrópicas se
convierte en una necesidad intentar obtener un sistema de ecuaciones de equilibrio hidrostático
en relatividad general a partir de una simetría axial que sería la más apropiada con estas anisotropías. Partir de las ya conocidas ecuaciones TOV, derivadas de la métrica esférica presupone
decidir a priori qué presión se introduce en dichas ecuaciones.
En esta tesis se partió de una métrica cilíndrica y se obtuvieron ecuaciones equivalentes a
las llamadas TOV pero a partir de dicha métrica. Para solucionar el sistema de ecuaciones se
hizo necesaria una aproximación que restringe bastante el alcance de las soluciones pero que por
otro lado permite que el sistema de ecuaciones sea soluble numéricamente. Esta aproximación
consiste en suponer que todas las variables dependen de la coordenada radial-r (en el plano
perpendicular al campo magnético) y no de la coordenada z en la dirección del campo magnético,
de manera que no es posible calcular la masa total de la estrella y por tanto obtener diagramas
M-R “canónicos”. Se hizo uso de la definición generalizada de masa dada por Tolman [119]. Se
pueden obtener por tanto configuraciones de M/Rk versus R⊥ .
Sin embargo la solución del sistema de ecuaciones de estructura tanto para EBs como para
EEs nos ha dado un valor máximo posible para el campo magnético. Para EB este valor es 1013
G para EQ es 1018 G reforzando el argumento teórico ya existente de los valores máximos del
campo magnético que pueden sustentar este tipo de objetos y que fueron basados en el Teorema
escalar del Virial [1].
5.5.
Recomendaciones
En esta tesis abordamos los efectos del campo magnético en la descripción microscópica de
la materia que compone los objetos compactos como en las ecuaciones de estructura que se
derivan de haber tomado en cuenta el papel del campo magnético en las EdE. Estos problemas se resolvieron considerando un campo magnético constante que tal como explicamos en
la introducción parece ser una buena aproximación dentro de una estrella. Sin embargo, las
observaciones de OC muestran que el campo magnético obedece una estructura más compleja,
pudiera ser toroidal y no dipolar. Tomar en cuenta estas características del campo magnético podría dar luz sobre este problema y finalmente responder la pregunta de si es el campo
magnético el causante o no de obtener valores de masas de OC mayores que las masas de
Chandresekhar.
Apéndice A
Convenios y notaciones
A.1.
Sistema de unidades y constantes físicas más usadas
Producto de la variedad de fenómenos que tratamos en la tesis, desde CDC hasta TRG, se
hace muy difícil unificar el trabajo en un solo sistema de unidades. Es por esto que presentamos
un resumen de las constantes fundamentales en varios sistemas de unidades.
Siempre utilizamos como unidad del campo magnético la del sistema cgs, el Gauss ([Bcgs ] =
G). Cuando estamos tratando aspectos cuánticos, en las expresiones, utilizamos el sistema
natural de unidades ~ = c = 1, en este sistema,
[longitud] = [tiempo] = [masa]−1 = [energía]−1 .
(A.1)
En la Tabla A.1 mostramos los principales parámetros del Sol que utilizamos a lo largo de
toda la tesis como patrón de comparación.
Magnitud Física
Masa del Sol
Radio del Sol
Temperatura central
Temperatura efectiva
Densidad del Sol
Luminosidad del Sol
Símbolo
M
R
Tc
Te
ρ
L
Valor
1,99 × 1030
6,96 × 105
1,57 × 107
5,778 × 103
1,410 × 103
3,846 × 1026
Unidades (SI)
kg
km
K
K
kg m−3
W
Tabla A.1: Principales parámetros de Sol.
En la Tabla A.2 mostramos las constantes físicas fundamentales en el sistemas SI, y en
la Tabla A.3 en los sistemas cgs y en unidades naturales (UN) (~ = c = 1).
77
Apéndice A.
78
Magnitud Física
Velocidad de la luz
Carga eléctrica del electrón
Constante de Dirac
Masa en reposo del electrón
Constante de gravitación
Símbolo
c
e
~
me
G
SI
2,998 × 108 ms−1
1,602 × 10−19 C
1,054 × 10−34 Js
9,109 × 10−31 kg
6,674 × 10−11 Nm2 kg−2
Tabla A.2: Principales constantes usadas expresadas en sistema internacional de unidades.
Magnitud Física
Velocidad de la luz
Carga eléctrica del electrón
Constante de Dirac
Masa en reposo del electrón
Constante de gravitación
Símbolo
c
e
~
me
G
cgs
2,998 × 1010 cm s−1
4,803 × 10−10 erg1/2 cm1/2
1,054 × 10−27 erg s
9,109 × 10−28 g
6,674 × 10−8 cm−3 g−1 s−2
UN
1
0.0854
1
0.511 MeV
Tabla A.3: Principales constantes usadas expresadas en los sistemas cgc y natural de unidades.
A.2.
Notaciones
Matrices de Pauli,
1
σ =
0 1
1 0
2
, σ =
0 −i
i 0
3
, σ =
1 0
0 −1
.
(A.2)
Matrices gamma de Dirac,
0
γ =
0 1
1 0
j
, γ =
0 σj
σj 0
.
(A.3)
En el contexto de la teoría cuántica de campos, se introduce una derivada covariante de la
forma,
Dµ = ∂µ + ieAµ ,
(A.4)
donde Aµ es el 4-vector potencial del campo electromagnético y se toma el convenio para la
métrica del modo [+ − −−]. Así, xµ = (x0 , x), y xµ = gµν xν las que para el caso de una métrica
plana de Lorentz, toman la forma xµ = (x0 , −x). Así mismo, para el operador derivada se define
como es usual,
∂
= (∂0 , ∇).
(A.5)
∂xµ
Sin embargo, si estamos en la TGR, generalmente tomamos el convenio [- + + +] y la relación
entre las constantes G/c = 1. Usamos índices latinos para el espacio-tiempo (a, b, c, d, ...i, j, k, ... =
∂µ =
Apéndice A.
79
1, 2, 3, 4) e índices griegos para el espacio 3-dimensional (α, β, γ, ... = 1, 2, 3), con la excepción
del Capítulo-4 donde invertimos esta selección.
También, empleamos la notación de coma “,” para la derivada normal,
T
ab
,µ
∂T ab
=
∂xµ
(A.6)
y punto y coma (; ) o ∇(antes del ente que se desea derivar) para la derivada covariante. Ejemplo
para un tensor T ab dos veces contravariante,
∂T ik
+ Γijn T nk + Γkjm T im ≡ ∇j T ik ,
∂xj
donde Γikj son los índices de Christoffel.
Además se recuerda el conjunto de definiciones:
T ik ;j =
T a1 a2 ,...,ap b1 ,b2 ,..bq
covariante.
ua
~u
(A.7)
Componentes de un tensor “p” veces contravariante y “q” veces
Componentes de un vector contravariante en el espacio-tiempo.
Componente de un vector del espacio 3-dimensional.
wi
1-forma diferencial.
ej
base covariante.
En general un tensor cualquiera se puede escribir rigurosamente de la forma:
T = T a1 a2 ,...,ap b1 ,b2 ,..bq wb1 ⊗ wb2 ⊗ ...wbq ⊗ ea1 ⊗ ea2 ... ⊗ eap ,
(A.8)
donde las bases deben cumplir con las siguientes relaciones:
< ei , ej > = gij ,
< wi , wj > = g ij ,
< wj , ei > = δ j i ,
donde <, > denota el producto escalar.
(A.9)
(A.10)
(A.11)
Apéndice B
Método de Ritus y aplicaciones
B.1.
Obtención de la auto-energía
Para obtener la auto-energía de un fermión en un campo magnético [90] comenzaremos con
la ecuación de SD en la aproximación de arcoíris, Apéndice C
Σ(x, x0 ) = −ie2 γ µ G(x, x0 )γ ν Dµν (x − x0 ).
(B.1)
Aquí, Σ(x, x0 ) es el operador de auto-energía del fermión , Dµν (x − x0 ) es el propagador del
campo de calibración y G(x, x0 ) es el propagador total del fermión.
La ecuación (B.1) puede ser llevada al espacio de los momentos utilizando las funciones Ep
Z
Z
l
4
4 0 l
0
l0
0
2
d4 xd4 x0 E p (x)γ µ
d xd x E p (x)Σ(x, x )Ep0 (x ) = −ie
Z 4
X
”
d p” l”
el” (p”)E lp” (x0 )γ ν Epl00 (x0 )Dµν (x − x0 )
E
(x)Π(l”)
G
(B.2)
p”
(2π)4
donde
0
Dµν (x − x ) =
Z
0
q µ qν
d4 q e−iq·(x−x )
(gµν − (1 − ξ) 2 ),
4
2
(2π) q − i
q
con ξ el parámetro que fija la calibración, y hemos usado
Z 4
X
d p” l”
l”
0
0
e l”
G(x, x ) =
4 Ep” (x)Π(l”)G (p”)E p” (x )
(2π)
(B.3)
(B.4)
En este punto es conveniente considerar las integrales [121]
Z
2
l
l”
(x)e−iq·x = (2π)4 δ (3) (p” + q − p)e−iq1 (p2 ”+p2 )/2eH e−bq⊥ /2
d4 xE p (x)γ µ Ep”
×
X
σ,σ”
√
1
ei(n−n”)ϕ Jnn” (b
q⊥ )∆(σ)γ µ ∆(σ”),
n!n”!
80
(B.5)
Apéndice B.
81
y
Z
l”
0
0
0
2
d4 x0 E p” (x0 )γ ν Epl 0 (x0 )eiq·x = (2π)4 δ (3) (p” + q − p0 )eiq1 (p”2 +p2 )/2eH e−bq⊥ /2
×
X
σ 0 ,σ”
√
1
0
q⊥ )∆(σ”)γ ν ∆(σ 0 ),
ei(n”−n )ϕ Jn”n0 (b
0
n !n”!
(B.6)
con n ≡ n(l, σ), n” ≡ n(l”, σ”), n0 ≡ n(l0 , σ 0 ), y n” ≡ n(l”, σ”), definidos por
n(l, σ) = l +
σ 1
− ,
2 2
σ = ±1.
l = 0, 1, 2, ...,
(B.7)
La notación
en (B.5) y (B.6) incluye el uso de coordenadas polares para el q-momento
transversal
p
√
2
2
b
qb⊥ ≡ qb1 + qb1 , ϕ ≡ arctan(b
q2 /b
q1 ); las cantidades normalizadas Qµ = Qµ / 2eH; la función
delta
δ (3) (p” + q − p) ≡ δ(p0 ” + q0 − p0 )δ(p2 ” + q2 − p2 )δ(p3 ” + q3 − p3 );
(B.8)
y
min(n.n”)
Jnn” (b
q⊥ ) ≡
X
m=0
n!n”!
[ib
q⊥ ]n+n”−2m .
m!(n − m)!(n” − m)!
(B.9)
Realizando las integrales en x y x0 en (B.2) con la ayuda de (B.5) y (B.6), integrando en p”, y
utilizando la calibración de Feynman (ξ = 1), encontramos
e l (p)Π(l)δ ll0 = −ie2 (2eH)
Σ
Z
0
2
d4 qb X X ei(n−n”+n”−n )ϕ e−bq⊥
√
(2π)4 l”
n!n0 !n”!n”! qb2
[σ]
el” (p − q)∆(σ”)γ µ ∆(σ 0 ),
q⊥ )∆(σ)γµ ∆(σ”)Π(l”)G
(B.10)
×Jnn” (b
q⊥ )Jn”n0 (b
√
donde p − q ≡ (p0 − q 0 , 0, − 2eHl”, p3 − q 3 ) y [σ] significa sumar por σ, σ 0 , σ”, σ”. La presencia
de los factores Π(l) en ambos lados de la ecuación asegura que se cuente solo una proyección
del espín para los fermiones en el LLL.
2
Debido a la exponencial negativa e−bq⊥ la contribución principal a (B.10) vendrá de los
menores valores de qb⊥ . Esto nos permite quedarnos en (B.10) solo con las menores potencias
q⊥ ). Por tanto
de qb⊥ en Jn”n0 (b
Jnn” (b
q⊥ ) →
[max(n0 , n”)]!
[ib
q⊥ ]|n−n”| → n!δnn”
|n − n”|
(B.11)
y obtenemos
e l (p)Π(l)δ ll0 = −ie2 (2eH)
Σ
Z
2
d4 qb X X e−bq⊥
(2π)4 l”
qb2
[σ]
×δnn” δn”n0 ∆(σ)γµ ∆(σ”)Π(l”)G (p − q)∆(σ”)γ µ ∆(σ 0 ),
el”
(B.12)
Apéndice B.
82
Si tenemos en cuenta que
δn,n” = δl,l” δσ,σ” + δl+σ,l” δ−σ,σ”
(B.13)
junto a las relaciones
∆(±)γµ⊥ = γµ⊥ ∆(∓),
∆(±)∆(±) = ∆(±),
∆(±)γµk = γµk ∆(±)
γµ⊥ γν⊥ γ⊥µ = 0,
∆(±)∆(∓) = 0,
podemos realizar las sumas por [σ] y l” en (B.12) Para obtener la ecuación de SD
Z
2
d4 qb e−bq⊥ k el
l
2
e
Σ (p)Π(l) = −ie (2eH)Π(l)
[γµ G (p − q)γµk
4
2
(2π) qb
⊥ e l+1
⊥
el−1 (p − q)γµ⊥ ∆(−)]
+∆(+)γµ G (p − q)γµ ∆(+) + ∆(−)γµ⊥ G
B.2.
(B.14)
(B.15)
(B.16)
Obtención de la las correcciones de masa y de MMA
Para calcular las correcciones teniendo en cuenta todos los LLs debemos partir de (B.16),
debemos calcular:
el (p − q)γ µ
Ll = γµk G
k
(B.17)
el+1 (p − q)γ µ ∆(+)
Ll+1 = ∆(+)γµ⊥ G
⊥
⊥ e l−1
Ll−1 = ∆(−)γµ G (p − q)γ µ ∆(−)
⊥
(B.18)
(B.19)
p·γ+m
) y las relaciones
p2 + m2
(B.14) y (B.15) podemos calcular cada uno de los términos anteriores y obtener:
el (p) = −
Utilizando la forma explícita para el propagador (G
√
2
[
2eHlγ2 + m]
2
(p − q)l + m2
2
=
[(p − q)k · γk − m]∆(+)
2
(p − q)l+1 + m2
2
=
[(p − q)k · γk − m]∆(−)
2
(p − q)l−1 + m2
Ll = −
Ll+1
Ll−1
(B.20)
(B.21)
(B.22)
e l (p)
con esta notación tenemos para Σ
el
2
Σ (p)Π(l) = −ie (2eH)Π(l)
Z
2
d4 qb e−bq⊥
[Ll + Ll+1 + Ll−1 ]
(2π)4 qb2
(B.23)
e l (p) tiene la forma:
Si recordamos que la estructura de Σ
e l (p) = Z l pµ γ k + Z l pµ γ ⊥ + M l I + iT l γ 1 γ 2
Σ
k k µ
⊥ ⊥ µ
(B.24)
Apéndice B.
83
de la misma estamos interesados en las correcciones a M l y T l , por tanto tomaremos solo estos
e l (p):
términos en Σ
2m
(B.25)
(p − q)2l + m2
m
m
2m
∆(+)
=
−
−
iγ 1 γ 2 (B.26)
= −
2
2
(p − q)l+1 + m2
(p − q)l+1 + m2 (p − q)2l+1 + m2
2m
m
m
= −
∆(−)
=
−
+
iγ 1 γ 2 (B.27)
2
2
(p − q)l−1 + m2
(p − q)l−1 + m2 (p − q)2l−1 + m2
LM,T
= −
l
LM,T
l+1
LM,T
l−1
M,T
haciendo ahora la suma LM,T
+ LM,T
l
l+1 + Ll−1 y reordenando tenemos:
LM,T
l
+
LM,T
l+1
+
LM,T
l−1
1
1
2
+
+
I
= −m
(p − q)2l + m2 (p − q)2l+1 + m2 (p − q)2l−1 + m2
1
1
−m
−
iγ 1 γ 2 (B.28)
(p − q)2l+1 + m2 (p − q)2l−1 + m2
Por tanto podemos escribir para M l y T l :
2 1
1
2
d4 qb e−bq⊥
+
+
M Π(l) = ie m(2eH)Π(l)
(2π)4 qb2 (p − q)2l + m2 (p − q)2l+1 + m2 (p − q)2l−1 + m2
Z
2 1
1
d4 qb e−bq⊥
l
2
−
T Π(l) = ie m(2eH)Π(l)
(2π)4 qb2 (p − q)2l+1 + m2 (p − q)2l−1 + m2
l
2
Z
Haciendo una rotación de Wick al espacio Euclídeo (p0 → ip4 , q 0 → iq 4 ) y pasando a
variables adimensionales obtenemos:
"
#
Z
2
4
−b
q⊥
1
1
d
q
b
2
e
+
+
M l Π(l) = −e2 mΠ(l)
(2π)4 qb2
(b
p − qb)2l + m
b 2 (b
p − qb)2l+1 + m
b 2 (b
p − qb)2l−1 + m
b2
"
#
Z
2
d4 qb e−bq⊥
1
1
l
2
−
T Π(l) = −e mΠ(l)
4
2
(2π) qb
(b
p − qb)2l+1 + m
b 2 (b
p − qb)2l−1 + m
b2
donde
qb = (b
q4 , qb1 , qb2 , qb3 )
2
2
qb = qb42 + qb12 + qb22 + qb32 = qb42 + qb32 + qb⊥
(b
p − qb)2l (η = 0, ±1)) = (b
p4 − qb4 )2 + (b
p3 − qb3 )2 + l + η
x
x
b = √
2eH
(B.29)
(B.30)
(B.31)
(B.32)
Apéndice B.
84
En este caso podemos cambiar db
q0 db
q3 = qbk db
qk dθ = 21 db
qk2 dθ con lo que nos queda
2
M l6=0
e2 m
=
16π 2
Z
−b
q⊥
2 e
db
qk2 db
q⊥
qb2
l6=0
e2 m
=
16π 2
Z
2
−b
q⊥
2
2 e
db
qk db
q⊥ 2
qb
T
e2 m
M0 + T 0 =
8π 2
Z
#
2
1
1
,
+
+
qbk2 + l + m2 qbk2 + l + 1 + m2 qbk2 + l − 1 + m2
#
"
1
1
,
+
qbk2 + l + 1 + m2 qbk2 + l − 1 + m2
"
2
−b
q⊥
2 e
db
qk2 db
q⊥
qb2
"
#
1
1
.
+
qbk2 + m2 qbk2 + 1 + m2
Cada una de estas integrales las podemos escribir de la forma general
"
#
Z
2
−b
q⊥
e
1
2
I = db
qk2 db
q⊥
qb2
qbk2 + m2l
donde m2l = {m2 , m2 + 1, m2 + (l + 1), m2 + (l − 1)}. La integral por qbk2 da el siguiente resultado:
Z
I=
qb2
2
−b
q⊥
2
db
q⊥
e
ln m⊥2
l
2
qb⊥
− m2l
,
esta última integral la podemos resolver numéricamente. Con esto podemos obtener la contribución al AMM (T l ) en la aproximación de un lazo.
Apéndice C
Ecuaciones de Schwinger-Dyson.
Las ecuaciones de Schwinger-Dyson (SD) en un campo magnético externo son [122, 123]
G−1 (x, y) = S −1 (x, y) + Σ(x, y),
Z
2
Σ(x, y) = ie
x0 d4 y 0 γ µ G(x, x0 )Γν (x0 , y, y 0 ) Dµν (x, y 0 ),
(C.1)
(C.2)
donde S(x, y) es el propagador del fermión desnudo en un campo de calibración externo Aµ ,
Σ(x, y) es la auto-energía del fermión y Γν (x, y, z) es el vértice total. El propagador total del
fotón Dµν (x, y) satisface las ecuaciones
−1
−1
Dµν
(x, y) = Dµν
(x, y) + Πµν (x, y),
Z
2
Πµν (x, y) = −ie tr x0 d4 y 0 γµ G(x, x0 )Γν (x0 , y 0 , y) G(y 0 , x),
(C.3)
(C.4)
donde Dµν (x, y) es el propagador del fotón libre (definido en calibración covariante) y Πµν (x, y)
es la polarización del vacío. La representación en forma de diagrama de las ecuaciones de SD
(C.1)-(C.4) se muestra en la Fig (C.1).
Es bien conocido que las ecuaciones SD (C.1)-(C.4) corresponden a una infinidad de jerarquías de ecuaciones integrales. Esto se debe a que el vértice total, es decir, la función de vértice
de tres puntos Γµ depende de funciones de vértice de 4 puntos que a su vez dependen de funciones de vértice de ordenes mayores de puntos y así sucesivamente. Para reducir las ecuaciones SD
a un sistema cerrado de ecuaciones integrales que sea tratable, se necesita utilizar un esquema
de truncamiento de las ecuaciones SD. En forma de diagrama, un esquema de truncamiento
de las ecuaciones SD corresponde a volver a sumar un subconjunto seleccionado de infinitos
diagramas provenientes de cada orden en la expansión de lazos. El truncamiento más simple se
realiza al nivel de la función de vértice de tres puntos expresando el vértice total Γµ en términos
de cantidades (desnudas o completas) que ya aparecen en las ecuaciones de SD.
Con este fin, trabajaremos con la aproximación de vértice desnudo, en la cual las correcciones
de vértice son completamente ignoradas. Esto se logra reemplazando el vértice total en las
85
Bibliografía.
86
=
+
=
+
Figura C.1: Ecuaciones de SD en la CDC en un campo magnético externo. La línea delgada
(gruesa) con una flecha denota el propagador del fermión desnudo (total) en presencia de
un campo magnético externo. La curva ondulada delgada (gruesa) representa el propagador
libre (completo) del fotón. El vértice con (sin) un punto grueso representa el vértice completo
(desnudo) de la interacción fermión-fotón.
ecuaciones de SD (C.1)-(C.4) por el desnudo
Γµ (x, y, z) = γ µ δ (4) (x − z) δ (4) (y − z).
(C.5)
La representación en forma de diagrama de las ecuaciones de SD resultantes de truncar según
la aproximación de vértice desnudo se muestra en la Fig (C.2). Este truncamiento también se
conoce como aproximación de arcoiris y se ha usado extensivamente en la literatura
=
+
=
+
Figura C.2: Ecuacions de SD en la aproximación de vértice desnudo.
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