ω µ ε ε Ψ Ψ ρ

ÓPTICA ESTADÍSTICA
GRUPO PILOTO
CURSO 2009-2010
Solucionario Ejercicio No. 6
1.- Consideremos la ecuación diferencial de ondas:
∇ 2 E + ω 2 µ0 ε 0 ε r E = 0 ,
(1)
donde, µo es la susceptibilidad magnética del vacio, εo es la permitividad dieléctrica del
vacio y εr es la permitividad dieléctrica relativa modulada dentro del fotomaterial.
Supondremos una solución a dos ondas unidimensional:
E ( x ) =Ψ i ( x ) + Ψ d ( x ) ,
(2)
donde hemos definido:
(
)
Ψ i ( x ) = R ( x ) exp  −i ρ i ⋅ r  = R ( x ) exp −
 i β ( x cos θ1 + ysenθ1 ) 

(3)
y:
(
)
Ψ d ( x ) = S ( x ) exp  −i ρ d ⋅ r  = S ( x ) exp −
 i β ( x cos θ 2 + ysenθ 2 ) 

(4)
siendo R ( x ) una amplitud compleja lentamente variable en la dirección del espesor del
holograma, que representa la onda directamente transmitida (orden-0 de difracción) y
análogamente para S ( x ) que representa la onda difractada (orden +1 o -1 de difracción).
(Veáse Fig.1). Por conveniencia, consideramos el orden -1 de difracción.
Se cumple la condición de Bragg:
K = ρi − ρd ,
(5)
Tendremos en cuenta además la modulación de la permitividad dieléctrica relativa del
fotomaterial registrado:
(
ε r = ε r 0 + ε r1 cos K ⋅ r
)
.
(6)
Sustituyendo en la Ec.(1):
∇ ⊥ 2 Ψ i ( x ) + Ψ d ( x )  + ω 2 µ0 ε 0 ε r Ψ i ( x ) + Ψ d ( x )  = 0
(7)
donde ∇ ⊥ 2 es el operador Laplaciano transversal definido en el plano XY.
Operando en la ec.(7) obtenemos para la primera contribución del lado izquierdo de la
ecuación:
d2R

dR
∇ ⊥ Ψ i ( x ) + Ψ d ( x )  = exp [ −i β p1 ]  2 − 2i β cos θ1
− β 2 R ( x )
dx
 dx

d 2S

dS
+ exp [ −i β p2 ]  2 − 2i β cos θ 2
− β 2 S ( x )
dx
 dx

2
(8)
En la ec.(8) suponemos aproximación eikonal:
d2R
dx 2
→ 0;
d 2S
dx 2
→ 0 , que equivale a
suponer que el intercambio de energía entre el haz directo y el haz difractado es
lentamente variable en una escala comparada con la longitud de onda de la luz.
Onda 1
θ2
Onda 2
θ1
Figura 1.- La iluminación del holograma de transmisión por la onda 1 genera una onda 2 difractada.
Análogamente, operamos con la segunda contribución de la parte izquierda de la ec.(7).
Al operar observaremos que los términos β 2 R exp [ −i β p1 ] y β 2 S exp [ −i β p2 ] se
cancelan.
Observamos, además, que aunque hayamos supuesto solo presencia de dos
ondas dentro del holograma, aparecen términos exponenciales: exp i β ( p1 − 2 p2 )  y
exp i β ( p2 − 2 p1 )  . Estas contribuciones representan modos de orden superior al orden-
1, y en condiciones experimentales óptimas se pueden considerar prácticamente
despreciables. Téngase en cuenta, sin embargo, que hay situaciones en las cuales esta
aproximación no es válida. Tal es el caso de la difracción de la luz por un holograma
delgado (régimen de Raman-Nath) donde se obtiene un campo difractado formado por
la contribución de un número finito de modos de orden superior a 1.
Escribiremos por conveniencia el sistema de ecuaciones acopladas resultante como:
dR
+ iκ S = 0
dx
dS
C−1
+ iκ R = 0
dx
C0
donde, C0 =
(9)
1
1
y análogamente C−1 =
.
sec θ1
sec θ 2
Podemos convertir el sistema de ecuaciones acopladas en una ecuación diferencial de
segundo orden:
d2R
dx 2
+
κ2
C0 C−1
R=0
(10)
y análogamente para S(x). La ec.(10) es de tipo estándar y puede resolverse imponiendo
una solución exponencial en la forma:
R = A exp γ x
(11)
2.- Para la solución correspondiente al holograma de transmisión debemos de introducir
las condiciones de contorno: R = 1; S = 0; para x=0.
Sustituimos la ec.(11) en la ec.(10) y obtenemos:
γ2 +
κ2
C0 C−1
=0
(12)
La solución general es la suma de todas las posibles soluciones de forma que satisfagan
las condiciones de contorno, escribimos:
R = A exp γ 1 x + B exp γ 2 x
(13)
los coeficientes A y B se determinan mediante las condiciones de contorno. Obtenemos
finalmente:

κd
R = cos 
 ( cos θ cos θ )1 2
1
2





(14)
solución definida en x=d. Operando de forma análoga para S(x):
12
 cos θ1 
S = −i 

 cos θ 2 

κd
sin 
 ( cos θ cos θ )1 2
1
2





(15)
igualmente definida en x=d. Que corresponden a soluciones como oscilaciones
espaciales periódicas del campo. Es una solución equivalente a dos péndulos acoplados,
la energía se transfiere sinusoidalmente de una onda a otra.
En la caso del holograma de reflexión, consideramos las condiciones de contorno:
R=1 para x=0, S=0 para x=d. En este caso la onda difractada se difractada hacia atrás y
por tanto debemos considerar C0<0. El resultado es que las soluciones implican
funciones hiperbólicas (no trigonométricas como en el caso anterior):
d2R
dx 2
−
κ2
C0 C−1
R = 0;
d2R
dx 2
+
( iκ )2
C0 C−1
(16)
R=0
Donde observamos que es equivalente a trabajar con una constante de acoplo imaginaria
pura. Operando de forma análoga al caso anterior:

κd
R ( x ) = sec h 
 ( cos θ cos θ )1 2
1
2



κ (d − x)
 cosh 

 ( cos θ cos θ )1 2
1
2






(17)
12
 cos ϑ1 
S ( x ) = −i 
 cos θ 
2 


κd
sec h 
 cos θ cos θ
1
2
(
)
12


κ (d − x)
 senh 

 cos θ cos θ
1
2

(
)
12




Donde las soluciones dependen en cada punto del espesor del holograma. Las
soluciones no son oscilatorias. La onda transmitida se amortigua casi exponencialmente
a través del holograma, y la onda difractada se amplifica en la dirección opuesta, de
forma que la energía se transfiere de la onda 1 a la onda 21.
1
Véanse notas de clase que incluyen las correspondientes gráficas de las soluciones.