Universidad de Antioquia

as
tem
at i c
Álgebra y Trigonometrı́a
(CNM-108)
Ma
Clase 6 – Trigonometrı́a analı́tica
to.
de
Departamento de Matemáticas
http://ciencias.udea.edu.co/
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia
a-
Dep
c 2008. Reproducción permitida bajo los
Copyleft términos de la licencia de documentación libre GNU.
qui
Índice
3
3
4
2. Ecuaciones trigonométricas
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
eA
ntio
1. Identidades trigonométricas
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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12
12
12
13
14
4. Ángulos múltiples
4.1. Fórmulas de ángulo doble .
4.2. Ejemplos . . . . . . . . . .
4.3. Fórmulas de ángulos medios
4.4. Ejemplos . . . . . . . . . .
4.5. Fórmulas de ángulos medios
4.6. Ejemplos . . . . . . . . . .
4.7. Fórmulas de ángulos medios
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16
16
16
17
18
18
19
20
Un
ive
r
sida
dd
3. Fórmulas de suma y resta
3.1. Fórmula de la resta para el coseno . . . . . . . . . .
3.2. Fórmula de la suma para el coseno . . . . . . . . . .
3.3. Cofunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Fórmulas para la suma y resta del seno y la tangente
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
(continuación)
. . . . . . . . .
(final) . . . . .
1
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Dep
aqui
ntio
eA
dd
sida
ive
r
Un
2
tem
at i c
as
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to.
6. Funciones inversas
6.1. Relaciones entre una función f y su inversa f −1
6.2. Definición de la función seno inversa . . . . . .
6.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Gráfica de la función seno inversa . . . . . . . .
6.5. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6. Definición de la función coseno inversa . . . . .
6.7. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8. Gráfica de la función coseno inversa . . . . . .
6.9. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10. Definición de la función tangente inversa . . . .
6.11. Gráfica de la función tangente inversa . . . . .
6.12. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
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21
21
21
22
22
23
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24
24
24
25
26
26
27
28
29
29
30
31
31
Ma
producto
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
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de
5. Fórmulas de producto a suma y de suma a
5.1. Fórmulas de producto a suma . . . . . . . .
5.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Otras fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Fórmulas de suma a producto . . . . . . . .
5.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
as
1.1.
tem
at i c
1.
Identidades trigonométricas
Introducción
de
Ma
Definición 1.1 (Identidad trigonométrica). Una identidad trigonométrica
es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es
válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones
(y las operaciones aritméticas invlucradas).
to.
Ejemplo de una identidad trigonométrica:
(1)
Dep
cos2 x + sen2 x = 1
La igualdad (1) se cumple para todo x ∈ R.
La siguiente NO es una identidad trigonométrica:
tan2 x = 1
a-
(2)
qui
La igualdad (2) no es válida para todo x en el dominio de la función:
ntio
tan 0 = 0 6= 1
?
eA
Para demostrar (verificar) una identidad trigonométrica p = q:
• Transformamos uno de los lados de la igualdad (cualquiera de los
dos) en el otro, en general se comienza con el más complejo
=⇒
dd
p = ··· = q
p=q
ive
r
sida
• Se transforman (de manera reversible) ambos lados de la igualdad en
una misma expresión
?
p =
..
.
q
..
.
r
r
=
Un
Identidades fundamentales:
3
=⇒
p=q
as
• sen2 x+cos2 x = 1
• sec x =
• 1+tan2 x = sec2 x
Ma
• 1 + cot2 x = csc2 x
Ejemplos
de
1.2.
tem
at i c
1
cos x
1
• csc x =
sen x
sen x
cos x
cos x
• cot x =
sen x
• tan x =
csc θ − sen θ = cot θ cos θ
(3)
to.
Ejemplo 1.1. Verifique la identidad
=
=
qui
=
1
− sen θ
sen θ
1 − sen2 θ
sen θ
cos2 θ
sen θ
cos θ · cos θ
sen θ
cos θ
· cos θ
sen θ
cot θ cos θ
a-
csc θ − sen θ
Dep
Solución
Empezamos desarrollando el lado izquierdo de la identidad:
=
ntio
=
eA
=
sida
dd
Ejemplo 1.2. Verifique la identidad
sen α cos α sec α + csc α =
(cos α + sen α)
+
cos α sen α
Un
ive
r
Solución
Empezamos desarrollando el lado derecho (más complejo):
4
(4)
as
tem
at i c
!
cos α
sen α
(cos α + sen α) =
+
cos α
sen α
!
sen2 α + cos2 α
(cos α + sen α)
cos α sen α
Ma
!
1
(cos α + sen α)
cos α sen α
=
cos α
sen α
+
cos α sen α sen α cos α
=
1
1
+
= csc α + sec α
sen α cos α
Dep
to.
de
=
Ejemplo 1.3. Verifique la identidad
a-
sen t
= csc t + cot t
1 − cos t
(5)
=
sen t (1 + cos t)
1 − cos2 t
sen t (1 + cos t)
sen2 t
1 + cos t
sen t
cos t
1
+
= csc t + cot t
sen t sen t
eA
=
sen t
1 + cos t
·
1 − cos t 1 + cos t
ntio
sen t
1 − cos t
qui
Solución
Empezamos desarrollando el lado izquierdo de la identidad:
=
dd
=
ive
r
sida
=
Un
Ejemplo 1.4. Verifique la identidad
(sec t + tan t)2 =
5
1 + sen t
1 − sen t
(6)
as
tem
at i c
Solución
Desarrollando el lado izquierdo:
=
1
2 sen t
sen2 t
+
+
=
cos2 t
cos2 t
cos2 t
=
to.
1 + 2 sen t + sen2 t
=
1 − sen2 t
=
!2
1 + 2 sen t + sen2 t
cos2 t
Dep
1 + sen t 1 + sen t
·
1 − sen t 1 + sen t
=
sen t
cos t
1 + 2 sen t + sen2 t
cos2 t
Desarrollando el lado derecho:
1 + sen t
1 − sen t
Ma
sec2 t + 2 sec t tan t + tan2 t
!2
!
!
1
1
sen t
+2
+
cos t
cos t
cos t
=
de
(sec t + tan t)2
a-
√
Ejemplo 1.5. Exprese a2 − x2 en términos de una función trigonométrica de
θ sin radicales, sustituyendo
0 < θ < π y a > 0.
qui
x = a cos θ ,
Solución
=
=
=
=
=
√
a2 − (a cos θ)2
a2 − a2 cos2 θ
p
a2 (1 − cos2 θ)
√
a2 sen2 θ
p
(a sen θ)2
|a sen θ|
dd
=
p
ntio
a2 − x2
eA
√
|a|| sen θ|
=
a sen θ
ive
r
Un
x = a cos θ
factorizamos
2
sen θ + cos2 θ = 1
√
c2 = |c|
por (7)
sida
=
(7)
6
as
tem
at i c
2.
Ecuaciones trigonométricas
2.1.
Introducción
de
Ma
Definición 2.1 (Ecuación trigonométrica). Una ecuación trigonométrica
es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y
es válida sólo para determinados valores desconocidos de los ángulos.
Ejemplo de una ecuación trigonométrica:
to.
sen x = 1
π
3π
5π
,±
,±
, ...
2
2
2
π
2
π
3π
2
ntio
2.2.
− π2
−π
−2π − 3π
2
qui
a-
x=±
Dep
La igualdad (8) no es una identidad, sólo se cumple para
Ejemplos
2π
eA
Ejemplo 2.1. Halle las soluciones de la ecuación cos θ =
1. θ ∈ [0, 2π)
dd
2. θ es cualquier número real.
θR =
θR =
Un
ive
r
1. θ ∈ [0, 2π)
sida
Solución
7
π
3
π
3
1
2
si
(8)
as
=⇒
θR =
π
3
=⇒
tem
at i c
1
2
Ma
cos θ =

π

 θ=
3

 θ = 2π − π = 5π
3
3
2. θ ∈ R
de
=⇒
to.
cos(θ + 2π) = cos θ

π

 θ = + 2πn
3

 θ = 5π + 2πn
3
Ejemplo 2.2. Halle las soluciones de la ecuación
Dep
tan α = 1
Solución
α∈R
qui
a-
y
π
4
x
=⇒
αR =
dd
cos α = 1
eA
ntio
θR =
π
4
=⇒
α=
π
+ πn
4
Ejemplo 2.3. Halle las soluciones de la ecuación sen 2x = 0 si
sida
1. x es cualquier número real y exprese a θ en grados y radianes
2. x ∈ [0, 2π) y x ∈ [0◦ , 360◦ )
Un
ive
r
Solución
8
as
tem
at i c
1. x ∈ R
= 0
sen |{z}
2x
θ
= 0
θ
= πn
2x
= πn
x
=
θ = 2x
π
n
2
Ma
hacemos θ = 2x
de
sen θ
x = 90◦ n
y
x=
π
n
2
to.
Las soluciones en grados y radianes respectivamente están dadas por
con
n = 0, ±1, ±2, . . .
(9)
x = 90◦ n
x=
π
90◦ (−1) = −90◦
2
0
90◦
0◦
1
90◦ (1) = 90◦
2
90◦ (2) = 45◦
3
90◦ (3) = 270◦
4
90◦
5
90◦ (5) = 450◦
2
π
2
π
ntio
2
π
360◦
eA
(4) =
n
(−1) = −
2
π
2
π
2
π
2
π
2
(0) = 0
qui
(0) =
π
a-
n
−1
Dep
2. Para las soluciones en x ∈ [0, 2π) y x ∈ [0◦ , 360◦) consideraremos (9) para
varios valores de n
(1) =
π
2
(2) = π
(3) =
3π
2
(4) = 2π
(5) =
5π
2
dd
Las soluciones en grados y radianes respectivamente están dadas por
0◦ , 90◦ , 45◦ , 270◦
0,
3π
π
, π,
2
2
sida
y
Ejemplo 2.4. Halle las soluciones de la ecuación
Solución
ive
r
sen2 x + 4 sen x + 3 = 0
sen2 x + 4 sen x + 3
0
(sen x + 1)(sen x + 3) =
0
Un
=
9
factorizamos
as
tem
at i c
Luego
ó
sen x + 3 = 0
sen x = −1
ó
sen x = −3
ó
x =?
x=
3π
+ 2nπ
2
Ma
sen x + 1 = 0
x=
3π
+ 2nπ
2
de
Las ecuación sen x = −3 no tiene solución. La solución está dada por
con
n = 0, ±1, ±2, . . .
to.
Ejemplo 2.5. Resuelva para 0◦ ≤ x ≤ 360◦
Solución
=
1
cos x + 2(1 − cos2 x)
=
1
cos x + 2 − 2 cos2 x
=
−2 cos x + cos x + 1
=
1
0
qui
2
2 cos2 x − cos x − 1
0
(2 cos x + 1)(cos x − 1) =
0
2 cos x + 1 = 0
1
2
◦
x = 120 , 240◦
ó cos x − 1 = 0
ó
cos x = 1
ó
x = 0◦ , 360◦
dd
eA
cos x = −
factorizamos
ntio
=
Luego
identidad trig.
a-
cos x + 2 sen2 x
Dep
cos x + 2 sen2 x = 1
Solución
sida
Ejemplo 2.6. Encuentre todas las soluciones en el intervalo [0, 2π) de la ecuación
tan2 x sen x = sen x
tan2 x sen x =
2
ive
r
tan x sen x − sen x =
sen x
0
0
factorizamos
sen x(tan x − 1)(tan x + 1) =
0
factorizamos
Un
sen x(tan2 x − 1) =
10
as
ó tan x − 1 = 0
ó tan x + 1 = 0
x = 0, π
ó
ó
tan x = −1
x = 0, π
ó
ó
x=
tan x = 1
x=
π 5π
,
4 4
3π 7π
,
4
4
Ma
sen x = 0
tem
at i c
Luego
de
Ejemplo 2.7. Encuentre todas las soluciones en el intervalo [0, 2π) de la ecuación
sen 2x = cos 2x
to.
Solución
=
cos 2x
tan |{z}
2x
=
1
dividiendo por cos 2x
=
1
hacemos θ = 2x
Dep
sen 2x
tan θ
Como 0 ≤ x < 2π =⇒ 0 ≤ θ < 4π,
2x =
=
5π
,
4
5π
,
4
5π
,
8
Un
ive
r
sida
dd
eA
x
π
,
4
π
,
4
π
,
8
9π 13π
,
4
4
9π 13π
,
4
4
9π 13π
,
8
8
qui
=
ntio
θ
a-
θ
11
as
tem
at i c
3.
Fórmulas de suma y resta
3.1.
Fórmula de la resta para el coseno
Ma
Proposición 3.1.
cos(u − v) = cos u cos v + sen u sen v
de
Demostración
(10)
y
y
R(w1 , w2 )
Q(v1 , v2 )
to.
v
u
u−v
x
u−v
A(1, 0)
x
Dep
u−v
P (u1 , u2 )
w1 = cos(u − v)
u2 = sen u
v2 = sen v
w2 = sen(u − v)
=
(w1 − 1)2 + (w2 − 0)2
=
w12
− 2w1 + 1 +
w22
=
qui
d(A, R)
a-
v1 = cos v
d(Q, P )
p
(u1 − v1 )2 + (u2 − v2 )2
ntio
p
u1 = cos u
u21 − 2u1 v1 + v12 + u22 − 2u2 v2 + v22
:1
:1
:1
2 2
2 2 2
(w
(v1
+ v22 ) − 2u2 v2
= (u
1 + w2 ) − 2w1 + 1
1 + u2 ) − 2u1 v1 + −2w1
cos(u − v)
=
−2u1 v1 − 2u2 v2
=
u1 v1 + u2 v2
=
cos u cos v + sen u sen v
Fórmula de la suma para el coseno
sida
3.2.
2 − 2u1 v1 − 2u2 v2
dd
w1
=
eA
2 − 2w1
ive
r
Proposición 3.2. .
Un
cos(u + v) = cos u cos v − sen u sen v
12
(11)
as
tem
at i c
Demostración
cos(u − (−v))
=
cos u cos(−v) + sen u sen(−v)
=
cos u cos v + sen u sen(−v)
coseno es par
=
cos u cos v − sen u sen v
seno es impar
Ejemplo 3.1. Calcule el valor exacto de cos
5π
5π
teniendo en cuenta que
=
12
12
to.
π π
+
4 6
Ma
=
de
cos(u + v)
Solución
=
π π
+
4
6
cos
!
=
cos
Cofunciones
qui
3.3.
Demostración
eA
3. sec
!
π
− u = csc u
2
!
π
− u = cos u
2
5. cot
!
π
− u = tan u
2
6. csc
!
π
− u = sec u
2
dd
2. tan
´
2 `√
3−1
4
4. sen
ntio
Proposición 3.3. .
!
π
− u = sen u
1. cos
2
!
π
− u = cot u
2
=
√
a-
=
π
π
π
π
cos − sen sen
4
6
4
6
√ √
√
2 3
2 1
−
2 2
2 2
Dep
5π
cos
12
cos
π
π
cos u + sen sen u
2
2
ive
r
=
cos (u)
Un
cos
!
π
−u
2
sida
Sólo demostraremos algunas de las fórmulas
=
cos
π
−
2
=
!!
π
−u
2
13
(0) cos u + (1) sen u
=
sen
π
−u
2
!
=
sen u
as
cos
cos u
sen u
=
=
cot u
tem
at i c
=
Fórmulas para la suma y resta del seno y la tangente
de
3.4.
π
−u
2
!
π
−u
2
!
π
−u
2
Ma
tan
sen
!
Proposición 3.4. .
tan u ± tan v
1 ∓ tan u tan v
Demostración
a-
Sólo demostraremos algunas de las fórmulas
#
π
cos
− (u + v)
2
!
#
"
π
−u −v
cos
2
!
π
− u cos v + sen
cos
2
ntio
=
qui
"
sen(u + v) =
=
sen u cos v + cos u sen v
ive
r
sida
dd
Para la tangente tenemos
eA
=
Un
Dep
2. tan (u ± v) =
to.
1. sen (u ± v) = sen u cos v ± cos u sen v
14
!
π
− u sen v
2
as
tem
at i c
=
sen u
·
cos u
cos u
·
cos u
=
tan u + tan v
1 − tan u tan v
cos u
·
cos u
sen u
·
cos u
sen v
cos v
sen v
cos v
Un
ive
r
sida
dd
eA
ntio
qui
a-
cos v
+
cos v
cos v
−
cos v
dividimos por cos u cos v
de
=
sen u cos v + cos u sen v
cos u cos v
cos u cos v − sen u sen v
cos u cos v
to.
sen u cos v + cos u sen v
cos u cos v − sen u sen v
Dep
=
Ma
sen(u + v)
cos(u + v)
tan(u + v) =
15
as
tem
at i c
4.
Fórmulas para ángulos múltiples
4.1.
Fórmulas de ángulo doble
Ma
Proposición 4.1. .
1. sen 2u = 2 sen u cos u
4. cos 2u = 2 cos2 u − 1
2. cos 2u = cos2 u − sen2 u
5. tan 2u =
de
to.
3. cos 2u = 1 − 2 sen2 u
2 tan u
1 − tan2 u
Dep
Demostración
Como consecuencia de las fórmulas anteriores,
sen(u + u) = sen u cos u + cos u sen u
a-
sen 2u =
cos 2u =
cos2 u − sen2 u =
= 1 − 2 sen2 u
cos2 u − (1 − cos2 u) =
tan(u + u) =
tan u + tan u
1 − tan u tan u
dd
Ejemplos
2 cos2 u − 1
2 tan u
1 − tan2 u
=
eA
tan 2u =
4.2.
(1 − sen2 u) − sen2 u
ntio
cos 2u = cos2 u − sen2 u =
= cos2 u − sen2 u
qui
cos 2u = cos(u + u) = cos u cos u − sen u sen u
= 2 sen u cos u
sida
Ejemplo 4.1. Si θ es un ángulo agudo tal que cos θ = 35 , determine los valores
exactos de sen 2θ, cos 2θ y tan 2θ
y
cos θ =
Un
0◦ < θ < 90◦
ive
r
Solución
3
5
5
=⇒
θ
3
16
4
as
2 sen θ cos θ
=
=
cos2 θ − sen2 θ
=
tan 2θ
=
sen 2θ
cos 2θ
=
3
5
!2
−
−
24
25
=
!2
4
5
=
−
7
25
24
7
de
cos 2θ
4 3
·
5 5
2·
Solución
sen 3x = sen(x + 2x)
Dep
= sen x cos 2x + cos x sen 2x
to.
Ejemplo 4.2. Exprese sen 3x en términos de sen x y cos x
= sen x(cos2 x − sen2 x) + cos x(2 sen x cos x)
= sen x cos2 x − sen3 x + 2 sen x cos2 x
a-
= 3 sen x cos2 x − sen3 x
qui
Si se desea expresar la respuesta sólo en términos de sen x,
sen 3x = 3 sen x cos2 x − sen3 x
= 3 sen x(1 − sen2 x) − sen3 x
ntio
= 3 sen x − 3 sen3 x − sen3 x
= 3 sen x − 4 sen3 x
Fórmulas de ángulos medios
eA
4.3.
tem
at i c
=
Ma
sen 2θ
1 − cos 2u
2
2. cos2 u =
1 + cos 2u
2
Un
ive
r
Demostración
3. tan2 u =
sida
1. sen2 u =
dd
Proposición 4.2. .
17
1 − cos 2u
1 + cos 2u
as
2 cos2 u =
1 − cos 2u
2
cos2 u =
=
sen2 u
cos2 u
tan2 u =
Ejemplos
1 + cos 2u
2
1 − cos 2u
1 + cos 2u
=
Dep
4.4.
=
1 − cos 2u
2
1 + cos 2u
2
1 + cos 2u
Ma
= 1 − cos 2u
de
sen2 u
2 cos2 u − 1
cos 2u =
to.
2 sen2 u
tem
at i c
cos 2u = 1 − 2 sen2 u
Ejemplo 4.3. Exprese cos4 2x en términos de coseno con exponente 1
=
=
=
qui
1
(1 + cos 4x)2
4
1
1 + 2 cos 4x + cos2 4x
4
!
1
1 + cos 2(4x)
1 + 2 cos 4x +
4
2
!
1 + cos 8x
1
1 + 2 cos 4x +
=
4
2
fórmula ángulo medio
3 1
1
+ cos 4x + cos 8x
8 2
8
Fórmulas de ángulos medios (continuación)
sida
4.5.
fórmula ángulo medio
ntio
=
!2
1 + cos 2(2x)
2
eA
=
2
cos2 2x
dd
cos4 2x =
a-
Solución
Un
ive
r
Proposición 4.3. .
r
v
1 − cos v
1. sen = ±
2
2
r
1 + cos v
v
2. cos = ±
2
2
v
3. tan = ±
2
18
s
1 − cos v
1 + cos v
as
tem
at i c
Demostración
v
2
v
sen2
2
sen
4.6.
v
2
v
1 − cos 2 ·
2
!
=
cos2
=
v/2
v
2
v
cos2
2
2
1 − cos v
2
r
1 − cos v
±
2
=
=
cos
Ejemplos
!
2
1 + cos v
=
2
r
1 + cos v
= ±
2
v
2
=
ive
r
Un
fórmula ángulo medio
22.5◦ está en el primer cuadrante
sida
=
ntio
=
eA
=
45◦
cos
2
r
1 + cos 45◦
±
2
r
1 + cos 45◦
+
2
s
√
1 + 2/2
2
p
√
2+ 2
4
dd
=
qui
Solución
cos 22.5◦
v
1 + cos 2 ·
2
a-
Ejemplo 4.4. Halle el valor exacto de cos 22.5◦
1 + cos 2u
2
Ma
=
v/2
cos2 |{z}
u
de
sen2
1 − cos 2u
2
to.
=
Dep
sen2 |{z}
u
19
as
Fórmulas de ángulos medios (final)
Proposición 4.4. .
2. tan
v 1 − cos v
=
2
sen v
Ma
sen v
v
=
2 1 + cos v
1. tan
v
2
v
cos
2
v
v
2 cos
2 ·
2
v
v
cos
2 cos
2
2
v
v
2 sen cos
2
2
v
2 cos2
2
=
=
sida
dd
eA
ntio
=
sen v
1 − cos v
·
1 + cos v 1 − cos v
sen v(1 − cos v)
1 − cos2 v
a-
sen v
1 + cos v
qui
=
ive
r
v
2
Un
tan
=
Dep
=
to.
sen
sen
=
de
Demostración
v
tan
2
20
tem
at i c
4.7.
=
=
sen v
1 + cos v
sen v(1 − cos v)
1 − cos2 v
1 − cos v
sen v
as
tem
at i c
Fórmulas de producto a suma y de suma a
producto
5.1.
Fórmulas de producto a suma
Ma
5.
[sen(u + v) + sen(u − v)]
2. cos u sen v =
1
2
[sen(u + v) − sen(u − v)]
3. cos u cos v =
1
2
[cos(u + v) + cos(u − v)]
4. sen u sen v =
1
2
[cos(u − v) − cos(u + v)]
Demostración
=
sen u cos v + cos u sen v
sen(u − v)
=
sen u cos v − cos u sen v
sen(u + v) + sen(u − v)
=
2 sen u cos v
cos(u − v)
=
cos u cos v + sen u sen v
cos(u + v)
=
cos u cos v − sen u sen v
cos(u − v) − cos(u + v)
=
2 sen u sen v
qui
ntio
−
a-
sen(u + v)
+
Ejemplos
eA
5.2.
to.
1
2
Dep
1. sen u cos v =
de
Proposición 5.1. .
Ejemplo 5.1. Exprese como una suma
2. cos 6x cos(−4x)
sida
Solución
dd
1. sen 9θ cos 3θ
1. Aplicando la ecuación (1) con u = 9θ y v = 3θ,
Un
ive
r
sen 9θ cos 3θ
=
=
1
[sen(9θ + 3θ) + sen(9θ − 3θ)]
2
1
(sen 12θ + sen 6θ)
2
21
as
tem
at i c
2. Aplicando la ecuación (3) con u = 6x y v = −4x,
=
Otras fórmulas
de
5.3.
1
[cos(6x + (−4x)) + cos(6x − (−4x))]
2
1
(cos 2x + cos 10x)
2
Ma
cos 6x cos(−4x) =
to.
La fórmula de suma a producto (1) la podemos expresar como
sen(u + v ) + sen(u − v ) = 2 sen u cos v
| {z }
| {z }
a
Dep
b
u+v
= a
+ u−v
= b
eA
La fórmula (13) queda
sen a + sen b = 2 sen
dd
sida
ive
r
1. sen a + sen b = 2 sen
Un
2. sen a − sen b = 2 cos
− u−v
= b
2v
v
a+b
a−b
cos
2
2
Fórmulas de suma a producto
Proposición 5.2. .
= a
= a−b
a−b
=
2
ntio
qui
2u = a + b
a+b
u =
2
5.4.
u+v
a-
Expresemos a u y v en términos de a y b
(12)
a+b
a−b
cos
2
2
a−b
a+b
sen
2
2
22
(13)
as
a−b
a+b
cos
2
2
a+b
a−b
sen
2
2
Ma
4. cos a − cos b = −2 sen
5.5.
tem
at i c
3. cos a + cos b = 2 cos
Ejemplos
de
Ejemplo 5.2. Verifique la identidad
to.
sen θ + sen 3θ
= tan 2θ
cos θ + cos 3θ
Solución
=
2 sen 2θ cos(−θ)
2 cos 2θ cos(−θ)
=
sen 2θ
cos 2θ
Dep
=
θ + 3θ
θ − 3θ
cos
2
2
θ − 3θ
θ + 3θ
cos
2 cos
2
2
a-
2 sen
qui
sen θ + sen 3θ
cos θ + cos 3θ
ntio
= tan 2θ
Ejemplo 5.3. Halle las soluciones de la ecuación
eA
sen 5t + sen 3t = 0
Solución
5t − 3t
5t + 3t
cos
2
2
= 0
sida
2 sen
= 0
dd
sen 5t + sen 3t
ive
r
2 sen 4t cos t
= 0
=⇒
sen 4t = 0 ó
4t = nπ
ó
π
4
ó
t=n
Las soluciones son
Un
t=n
π
4
con n = 0, ±1, ±2, . . .
23
cos t = 0
t =
π
+ nπ
2
t = (2n + 1)
π
2
as
Ma
f f −1 (x) = x para todo x ∈ B
B
f
G(f ) = {(x, f (x))|x ∈ A}
G f −1 = { x, f −1 (x) |x ∈ B}
y=f (x)
x
de
f −1
(a, b) ∈ G(f )
G f −1
⇐⇒
(b, a) ∈
to.
y = f (x) ⇐⇒ x = f −1 (y)
G(f ) y G f −1 son simétricas
respecto a la recta y = x
Dep
donde
• x∈A
y
• y∈B
a-
·
qui
a
a
ntio
Imagen de f −1 = A = dominio
de f
(a, b)
b
Diminio de f −1 = B = imagen
de f
eA
f −1 (f (x)) = x para todo x ∈ A
dd
Definición de la función seno inversa
sida
La función seno no es biunı́voca
− π2
1
2
π
6
π
2
Un
ive
r
−2π − 3π −π
2 7π
−6
f
5π
6
π
3π
2
2π
„ «
„
«
“π”
7π
1
5π
= sen
sen −
= sen
=
6
6
6
2
24
x
A
6.2.
tem
at i c
Relaciones entre una función f y su inversa f −1
=
6.1.
Funciones trigonométricas inversas
y
6.
f −1
(b, a)
b
x
as
tem
at i c
1
π
2π
3π
2
to.
−1
de
π
2
− π2
−π
−2π − 3π
2
Ma
Restringimos el dominio de la función seno
Definición 6.1. La función seno inversa, denotada por sen−1 , se define como
para
y
−
π
π
≤y≤
2
2
a-
−1 ≤ x ≤ 1
Dep
y = sen−1 (x) ⇐⇒ x = sen(y)
Observaciones
qui
El dominio de sen−1 es [−1, 1] y su imagen es − π2 , π2
ntio
sen−1 : [−1, 1] −→
h π πi
− ,
2 2
eA
Notación: y = sen−1 (x) ⇐⇒ y = arcsen x
para verificar que y = sen−1 x es necesario probar que
`1´
2
sen−1
= ?
„ «
1
= y
2
ive
r
sen−1
sida
Ejemplos
Un
6.3.
dd
sen y = x
⇐⇒
y
sen y =
25
−
1
2
y
π
π
≤y≤
2
2
−
π
π
≤y≤
2
2
⇐⇒
y=
π
6
as
sen y = −
1
2
“ √ ”
arcsen − 23 = ?
„ √ «
3
arcsen −
= y
2
⇐⇒
sen y = −
y
−
√
3
2
y
π
π
≤y≤
2
2
−
−
π
π
≤y≤
2
2
⇐⇒
y=
⇐⇒
sen y = 0
y
−
Dep
⇐⇒
y=0
to.
y
π
π
≤y≤
2
2
π
6
y=−
sen y = 1
π
3
π
2
Gráfica de la función seno inversa
a-
6.4.
⇐⇒
⇐⇒
sen−1 0 = ?
sen−1 0 = y
y=−
⇐⇒
π
π
≤y≤
2
2
sen−1 1 = ?
sen−1 1 = y
tem
at i c
⇐⇒
Ma
„
«
1
sen−1 −
= y
2
de
` ´
sen−1 − 21 = ?
qui
(a, b) está en la gráfica de sen−1 si, y sólo si, (b, a) está en la gráfica de sen
ntio
π
2
− π2 −1
dd
eA
1
− π2
sida
Propiedades de sen−1
• sen sen−1 (x) = x ,
6.5.
ive
r
• sen−1 (sen(x)) = x ,
−1 ≤ x ≤ 1
− π2 ≤ x ≤
Ejemplo
Un
Ejemplo 6.1. Halle el valor exacto de
26
π
2
π
2
as
tem
at i c
1. sen(sen−1 23 )
2. sen−1 (sen 5π
4 )
3. sen−1 (tan 3π
4 )
1.
2
−1 ≤ ≤ 1
3
Ma
Solución
2
−1 2
=
sen sen
3
3
de
=⇒
2.
−1
sen
sen
5π
sen
= sen−1
4
Dep
=⇒
3.
3π
π
tan
= sen−1 (−1) = −
4
2
π π
3 2
− π2
− π3
−π
π
3π 7π
2 3
2π
eA
−2π − 3π
2
ntio
1
2
qui
La función coseno no es biunı́voca
a-
Definición de la función coseno inversa
dd
„ «
“π”
“ π”
7π
1
= cos
= cos
cos −
=
3
3
3
2
ive
r
sida
Restringimos el dominio de la función coseno
−2π − 3π
2
Un
6.6.
−1
−π
− π2
1
π
2
−1
27
√ !
π
2
−
=−
2
4
to.
5π h π π i
∈
/ − ,
4
2 2
π
3π
2
2π
as
tem
at i c
Definición 6.2. La función coseno inversa, denotada por sen−1 , se define
como
y = cos−1 (x) ⇐⇒ x = cos(y)
−1 ≤ x ≤ 1
y
Ma
para
0≤y≤π
El dominio de cos−1 es [−1, 1] y su imagen es [0, π]
to.
h πi
0,
2
sen−1 : [−1, 1] −→
de
Observaciones
Dep
Notación: y = cos−1 (x) ⇐⇒ y = arccos x
para verificar que y = cos−1 x es necesario probar que
0≤y≤π
`1´
= ?
„ «
1
cos−1
= y
2
2
„
«
1
cos−1 −
= y
2
−
√ ”
3
2
= ?
„ √ «
3
= y
−
2
cos−1 1 = ?
⇐⇒
ive
r
cos−1 1 = y
1
2
cos y = −
dd
arccos
“
⇐⇒
sida
arccos
cos y =
eA
` ´
cos−1 − 21 = ?
⇐⇒
ntio
cos−1
qui
Ejemplos
y
1
2
cos y = −
0≤y≤π
y
√
3
2
⇐⇒
0≤y≤π
y
y=
⇐⇒
0≤y≤π
cos−1 0 = y
⇐⇒
2π
3
y=
⇐⇒
cos y = 1
y
0≤y≤π
⇐⇒
y=0
⇐⇒
cos y = 0
y
0≤y≤π
⇐⇒
y=
28
π
3
y=
cos−1 0 = ?
Un
6.7.
y
a-
cos y = x
π
2
5π
6
as
tem
at i c
6.8.
Gráfica de la función coseno inversa
Ma
(a, b) está en la gráfica de cos−1 si, y sólo si, (b, a) está en la gráfica de cos
π
−1 ≤ x ≤ 1
qui
• cos cos−1 (x) = x ,
a-
Propiedades de cos−1
• cos−1 (cos(x)) = x ,
0≤x≤π
Ejemplo
ntio
6.9.
π
π
2
1
Dep
−1
to.
de
π
2
Ejemplo 6.2. Halle el valor exacto de
1. cos(cos−1 21 )
eA
2. cos−1 (cos 3,1415)
1.
2.
1
≤1
2
sida
−1 ≤
dd
Solución
Un
3.
1
1
=
cos cos−1
2
2
cos−1 (cos 3,1415) = 3,1415
=⇒
ive
r
0 ≤ 3,1415 ≤ π
=⇒
3. sen cos−1 − 23
√
2
5
=
sen cos−1 −
3
3
29
(¿Por qué?)
as
Definición de la función tangente inversa
1
−π − π2
− 3π
4
π
π
2
π
4
2π
5π 3π
4 2
de
−2π − 3π
2
Ma
La función tangente no es biunı́voca
tem
at i c
6.10.
Dep
to.
„ «
„
«
“π”
5π
3π
= tan
tan −
= tan
=1
4
4
3
π
π
2
2π
3π
2
qui
− π2
−π
−2π − 3π
2
a-
Restringimos el dominio de la función tangente
−
Observaciones
π
π
<y<
2
2
y
eA
para
ntio
Definición 6.3. La función tangente inversa, denotada por tan−1 , se define
como
y = tan−1 (x) ⇐⇒ x = tan(y)
x∈R
dd
El dominio de tan−1 es R y su imagen es − π2 , π2
sida
tan−1 : R −→
π π
− ,
2 2
ive
r
Notación: y = tan−1 (x) ⇐⇒ y = arctan x
para verificar que y = tan−1 x es necesario probar que
Un
tan y = x
y
30
−
π
π
<y<
2
2
as
tem
at i c
6.11.
Gráfica de la función tangente inversa
Ma
(a, b) está en la gráfica de tan−1 si, y sólo si, (b, a) está en la gráfica de
tan
de
π
2
1
to.
−1
Dep
− π2
• tan tan−1 x = x ,
qui
x∈R
− π2 < x <
• tan−1 (tan x) = x ,
Ejemplo
π
2
ntio
6.12.
a-
Propiedades de tan−1
Ejemplo 6.3. Halle el valor exacto de
1. tan(tan−1 2,7172)
3. sec tan−1
eA
2. arctan(tan π)
dd
Solución
1.
=⇒
arctan(tan π) = arctan 0 = 0
ive
r
3.
π π
π∈
/ − ,
2 2
√
2
13
−1
sec tan
=
3
3
Un
2.
sida
tan(tan−1 2,7172) = 2,7172
31
(¿Por qué?)
π
4