proyecto_de_prueba_iv_2015_func_exp_log_y_pot

Colegio San Esteban Diácono
Depto. de Matemática
Proyecto de Prueba Parcial Función Exponencial Logarítmica y Potencia
IV° Medio 2015 I° semestre
Nombre………………………………………………………………………………..fecha 20/Mayo /2015
1.-
La expresión logarítmica
A) 𝑙𝑜𝑔5
D) 𝑙𝑜𝑔
B) 𝑙𝑜𝑔8
10
E)
2
3
A)
𝑙𝑜𝑔10−2
3
B) 1
4
D) 4
C) 𝑙𝑜𝑔12
𝑙𝑜𝑔4 √4 resulta:
El valor de
2.-
𝑙𝑜𝑔6 + 𝑙𝑜𝑔4 − 𝑙𝑜𝑔2 escrita en un solo logaritmo es:
C)
1
3
E) Ninguna de las anteriores.
3.- La expresión
𝑙𝑜𝑔3 81 = 4, expresada en forma exponencial es
A)
34 = 81
B)
D)
43 = 81
E)
41/3 = 81 C) 811/4 = 3
811/3 = 4
4.- ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) 𝑙𝑜𝑔2 ∙ 𝑙𝑜𝑔5 = 1
II) 𝑙𝑜𝑔2 + 𝑙𝑜𝑔4 = 3𝑙𝑜𝑔2
1
III) 𝑙𝑜𝑔 4 ∙ 𝑙𝑜𝑔5 > 0
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E)
5.- Si
6.-
I, II y III
log(𝑥 + 1) − 𝑙𝑜𝑔𝑥 = 1,
1
1
A) −
11
B)
−9
D)
E)
no existe.
2
9
entonces 𝑥 =
C)
1
9
¿A qué interés simple anual debe colocarse un capital de $1.000, durante tres años, para
obtener una ganancia de $157,5?
A)
5,0%
B)
5,5%
C)
5,25%
D)
5,27%
E)
5,05%
7.- La cantidad de bacterias que habrá después de 𝑡 minutos está dado por la expresión:
¿A los cuántos minutos habrá
A)
B)
3
4 − 𝑙𝑜𝑔 (2)
4−𝑙𝑜𝑔3
𝑙𝑜𝑔2
C)
4 − 𝑙𝑜𝑔3 − 𝑙𝑜𝑔2
D)
4 − 𝑙𝑜𝑔 (3)
2
E) Falta información.
104 bacterias?
3 ∙ 2t ,
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8.- Si $50.000 se invierten al 10% de interés compuesto anual, ¿Cuál es el capital total después
de dos años?
A) $ 60.000
B) $ 90.000
C) $ 70.000
D) $ 60.500
E) $ 110.000
9.- Si
A)
B)
C)
D)
E)
10.-
𝑙𝑜𝑔2 = 𝑚 y 𝑙𝑜𝑔3 = 𝑛, entonces 𝑙𝑜𝑔12 en términos de 𝑚 y 𝑛 es
2𝑚 + 𝑛
2𝑛 + 𝑚
𝑚𝑛2
3𝑛 + 𝑚
2𝑚𝑛
¿Cuál o cuáles de las siguientes funciones tiene su gráfica en el primer y segundo
cuadrante del plano cartesiano?
I) 𝑓(𝑥) = 𝑥 −2
A)
Sólo I
B)
Sólo II
C)
Sólo III
D)
Sólo I y II
E)
I, y II
II) 𝑓(𝑥) = −𝑥 4
III) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3
11.- ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función real
A)
B)
𝑓(𝑥) = −2𝑥 4 ?
C)
E) Ninguno de las anteriores.
12.-
Sean las funciones reales 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 y ℎ(𝑥) = 𝑥 4 . ¿Cuál de las siguientes
desigualdades es verdadera?
A) 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥), para todo número real.
B) 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥), para todo número real distinto de 0 y de 1.
C) 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) < ℎ(𝑥), para todo número real distinto de 1.
D) 𝑔(𝑥) < 𝑓(𝑥) < ℎ(𝑥), para todo número real negativo distinto de -1.
E) 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) < ℎ(𝑥), para todo número real mayor que 1.
13.- Si 2m+3 = 53,
A)
entonces
2m+5 =? (resolver sin logaritmo)
55
B) 500
C) 1.000
D) log2(m+5)
E) Ninguna de las anteriores.
D)
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14.- Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por ciento de interés compuesto n veces al
año, entonces la cantidad P en la cuenta al final de t años está dada por:
nt
1  . Al invertir $50.000 al 6% anual de interés compuesto

P  C1 

100n 

trimestralmente, al término de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de:
A) 50.000  (1,06)4
B) 50.000  (1,06)3
C) 50.000  (1,18) 4
D) 50.000  (1,015)3
E) 50.000  (1,015) 4
15.- Si el volumen de la esfera es
volumen “
4
𝜋𝑟 3 . ¿Cuál de los siguientes gráficos representa el
3
𝐲" de una esfera en términos de su radio "𝒙"? ( justifica).
1 
16.- Al resolver la ecuación a3  x  

4
a 
2 x
siendo la base “a” un número real positivo y distinto
de uno, el valor de x es:
A) 1
9
D) 3
2
17.-
B) 1
C) 2
3
3
E) 1
x
¿Qué gráfico corresponde a la función f(x)   1  ?
2
A)
B)
C)
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
y
D)
E)
18.- Respecto de la función de función h(x) = 2x+2, ¿qué afirmación (es) es (son) falsas?
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I)
h(3) = 32
II) Si h(x) = 64, entonces x = 6.
III)
El gráfico de h pasa por le punto (1,3)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) Solo I y II
19.- El crecimiento de una población es del 4% anual. ¿Qué población habrá dentro de 10 años
si hoy hay 150.000 habitantes?
A)
B)
C)
D)
E)
(1,4)10 ∙ 150.000
10 ∙ 1,04 ∙ 150.000
(1,04)10 ∙ 150.000
1,04 ∙ 1510
10 ∙ 1,4 ∙ 150.000
20.- Se puede determinar la cantidad de años necesarios para que un capital inicial se
duplique, colocado a interés compuesto anual, sin realizar depósitos ni retiros, si se conoce:
(1) el monto inicial.
(2) el interés aplicado.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
21.- Se puede conocer el valor de
(1)
𝑙𝑜𝑔5
𝑙𝑜𝑔2 sabiendo que
(2)
𝑙𝑜𝑔3
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
II.- Determina si las siguientes, afirmaciones son Verdaderas o Falsas. Justifica las
Falsas.
a) La gráfica de la función
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 , con n = 2 y a ≠ 0, es una curva llamada
hipérbola.
_______________________________
b) La gráfica de
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 , con n impar negativo y a < 0 se encuentra en
el primer y tercer cuadrante.
____________________________________
c)
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 , con n par y a < 0,
corresponde a todos los números reales positivos y el 0.
El recorrido de la función potencia
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_____________________________________
d) La función
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 , con n impar y a < 0, es siempre decreciente.
____________________________________
e)
𝑎𝑐
𝑙𝑜𝑔 (𝑏𝑑) =
𝑙𝑜𝑔𝑎 ∙𝑙𝑜𝑔𝑐
𝑙𝑜𝑔𝑏 ∙𝑙𝑜𝑔𝑑
____________________________________________
III.- Ejercicios de desarrollo
1.- Despeja la variable 𝑥 en la ecuación
2x-1 + 2x + 2x+1
=14
2.- El volumen de un cono de altura h y radio basal r se puede calcular mediante la
expresión:
𝑉=
a)
1
𝜋
3
𝑟2ℎ
Si en un cono su radio es la quinta parte de su altura, modela una función que permita
representar el volumen del cono en función de su altura.
b) La función anterior, ¿es una función potencia? Argumenta tu respuesta.
c) De acuerdo al contexto dado, ¿cuál es el dominio de la función anterior?, ¿cuál
es su recorrido? Justifica.
3.- Realiza un bosquejo
de la gráfica de la función
real
𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)4 − 1
Puedes ayudarte con una
tabla
x = -2, -1, 0 , 1 o bien
haciendo las traslaciones.
Analiza:
a) Dominio
b) Recorrido
c) Simetría
d) Creciente – decreciente
IV.- Problemas optativos
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1.- Una persona dispone de un capital inicial 𝐶0 y desea efectuar un depósito a plazo. En un
banco le ofrecen duplicar su capital al cabo de 3 años con una tasa de interés compuesta
anual x, pero no le indican el valor de ella. ¿Cuál sería la expresión que representa el valor
de dicha tasa de interés ?
2.- En un país, si se compara la población al final de cada año con la población a fines del año
anterior durante un decenio, se observa que durante los 5 primeros años la población
disminuyó en un 10% cada año y durante los siguientes 5 años, la población creció un 10%
anualmente. Si al comienzo del decenio mencionado la población era P0, encuentra una
expresión algebraica que determina la población al final del decenio.
3.- Respecto de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 , que se muestra en la figura,
¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?
I)
𝑎>0
II)
𝑛 es par negativo.
III) El eje X es una asíntota de la función.
A)
Sólo I
B)
Sólo II
C)
Sólo I y III
D)
Sólo II y III
E)
I, II y III.
4.- Cuál de las siguientes funciones está representada en la
gráfica de la figura?
A) 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 4)4 − 2
B) 𝑓(𝑥) = −(𝑥 + 4)4 + 2
C) 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 4)4 + 2
D) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 4)4 − 2
E) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 4)4 + 2.
5.- La gráfica de la derecha representa a la función
A)
B)
C)
D)
E)
𝑓(𝑥) = 𝑥 −2
𝑔(𝑥) = 2𝑥 3
ℎ(𝑥) = 𝑥 −3
𝑖(𝑥) = −𝑥 3
𝑗(𝑥) = 𝑥 4
Respuestas
I.- 1.C 2. C 3. A 4. B 5. C 6. C 7. B 8. D 9. A 10. A 11. A 12. E 13. B 14. E 15. B 16.B
17. A 18. A 19. C 20. B 21. A
II.- a) F b) F
c) F d) V e) F
𝜋ℎ 3
III.- 1. x= 2 2. a) V(h) =
b) Sí ya que es de la forma y = axn c) IR+ y IR+. 3. Realizar.
75
3
IV.- 1. x = 100(√2 − 1) 2. Po (0,99)5 3. E
4. C 5. C
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