10/11 Fecha: 9-IV-201 - Escuela Técnica Superior de Ingenieros

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
APELLIDOS, NOMBRE:
GRUPO:
Curso: 10/11
Mecánica II Problema de dinámica del punto
Fecha: 9-IV-2011
Sea una curva plana de ecuación en polares r = (a/2)(1+cos θ) (Cardioide), fija en unos ejes inerciales.
Sea un abalorio de masa m no pesado que se puede desplazar sin rozamiento por la mencionada
curva. El origen de coordenadas repele al abalorio con una fuerza de módulo constante F = 2k 2 a ur ,
siendo k y a constantes positivas y ur el vector unitario radial de las coordenadas polares en los mismos
ejes cartesianos ortogonales y orientados a derechas a los que está ligada la curva.
Inicialmente se tiene el abalorio en un punto arbitrario B de la curva (r0 , θ0 ) sin velocidad. Se pide:
1. Qué cantidad o cantidades se conservan en el movimiento del abalorio. Justificar la respuesta.(1Pt)
2. Calcular v(r), el módulo de la velocidad en función de r y r0 . A partir de esta ecuación, hacer un
estudio cualitativo del movimiento. ¿Qué pasa si θ0 = 0?
(2Pts)
3. Obtener ṙ = f (r) y dejarlo reducido a una cuadratura.
(2Pts)
4. Obtener v(θ), el módulo de la velocidad en función de θ y θ0 . Comprobar que el análisis cualitativo
en función de θ da el mismo resultado que en r.
(2pts)
5. Obtener θ̇ = f (θ), llegando a una cuadratura análoga a la de r, y θ̈ = f (θ).
(1Pts)
6. Trabajando en polares, expresar la aceleración en función de θ y sus derivadas. Obtener el vector
reacción normal en función de las mismas variables (no es necesario sustituir las derivadas por las
expresiones calculadas en el apartado anterior).
(2pts)
y
uθ
ur
r
θ
O
1
M
A
x
Sobre la partı́cula actúan la repulsión central y la reacción normal. Por tanto:
NO se conserva el momento cinético, porque la reacción normal no pasa por el centro (~n ∦ ~ur ).
Sı́ se conserva la energı́a. La curva es lisa y fija, por lo que la normal no trabaja, y la fuerza deriva
de un potencial:
Z
F~ = f (r) ~ur = 2k 2 a ~ur → V (r) = − f (r) dr + C = −2k 2 a r + C
Si se conserva la energı́a,
2
T +V =
V (r)
1
m v 2 − 2k 2 a r = E = 0 − 2k 2 a r0
2
→
v(r)2 =
4k 2 a
(r − r0 )
m
③
Podemos hacer un análisis cualitativo en función del potencial V (r), pues el movimiento solo existe cuando v 2 ≥ 0. Hay que tener cuidado porque la cardioide no es
uniforme en r: tiene que ir y volver por la misma rama de V (r).
O
r
②
①
① Punto de equilibrio estable en A, (θ = 0, r = a).
② Oscilaciones alrededor de A, entre (r0 , θ0 ) y (r0 , −θ0 ).
③ Punto de equilibrio inestable en el origen, (θ = π, r = 0).
En la integral de la energı́a, v 2 = ṙ2 + r2 θ̇2 . Podemos eliminar θ̇ derivando la ecuación de la curva:
3
r=
a
(1 + cos θ)
2
→
a
ṙ = − sin θ θ̇
2
θ̇2 =
→
a2
4
ṙ2
sin2 θ
De la propia curva despejamos
cos θ =
2r
−1
a
→
sin2 θ = 1 −
2r
−1
a
Sustituyendo en la ecuación de la energı́a, queda:
#
"
a
4k 2 a
r2
2
= ṙ2
ṙ 1 +
=
(r − r0 )
(a − r)
m
r (a − r)
2
=1−
→
4r2
4r
4r
+
− 1 = 2 (a − r)
a2
a
a
Z
dr
2k
p
= ±√
m
(a − r) (r − r0 )
4 Basta con expresar el potencial en función de θ, sustituyendo la ecuación de la curva:
dt
V (θ)
③
2
4k a a
v =
(1 + cos θ − 1 − cos θ0 )
m 2
2
Z
θ
O
②
① Punto de equilibrio estable en A, (θ = 0).
①
② Oscilaciones alrededor de A, entre θ0 y −θ0 .
③ Punto de equilibrio inestable en el origen, θ = π.
En la ecuación de la energı́a sustituimos ahora ṙ = − 2a sin θ θ̇:
5
a2
a2
4k 2 a a
2
2
sin θ +
(1 + cos θ) θ̇2 =
(cos θ − cos θ0 )
4
4
m 2
Derivando:
2θ̇θ̈ =
→
θ̇2 =
4k 2 cos θ − cos θ0
m
1 + cos θ
4k 2 − (1 + cos θ) sin θ − (cos θ − cos θ0 ) (− sin θ)
θ̇ =
m
(1 + cos θ)2
=
4k 2 − sin θ (1 + cos θ0 )
θ̇
m
(1 + cos θ)2
→
θ̈ = −
2k 2 sin θ (1 + cos θ0 )
m
(1 + cos θ)2
6 Trabajando en polares, ~γ = r̈ − rθ̇2 ~ur + r θ̈ + 2 ṙ θ̇ ~uθ . r y ṙ ya se conocen en función de θ y
sus derivadas. Falta r̈:
a
r̈ = −
cos θ θ̇2 + sin θ θ̈
2
2
a − cos θ θ̇ − sin θ θ̈ − (1 + cos θ) θ̇2
a −(1 + 2 cos θ) θ̇2 − sin θ θ̈
=
~γ =
2
(1 + cos θ) θ̈ + 2(− sin θ) θ̇2
2 −2 sin θ θ̇2 + (1 + cos θ) θ̈
~ , despejamos:
De la ecuación de cantidad de movimiento, m ~γ = F~ + N
a −(1 + 2 cos θ) θ̇2 − sin θ θ̈
1
2
~
N =m
− 2k a
0
2 −2 sin θ θ̇2 + (1 + cos θ) θ̈