1 Aproximación de una función mediante un polinomio Cuando y=f

Fórmula de Taylor
1 Aproximación de una función mediante un polinomio
Cuando y=f(x) tiene una expresión complicada y necesitamos calcular los valores de
ésta, se puede aproximar mediante funciones sencillas (polinómicas).
El teorema del valor medio permite aproximar el valor de una función para un punto en
concreto y acotar el error cometido en dicha aproximación.
Si f es continua en [a,x y derivable en (a,x), existe c(a,x) tal que
f (x)  f (a)
f '(c) 
 f (x)  f (a)  f '(c)(x  a) .
xa
Ejemplo:
Dar una cota del valor 101 utilizando el teorema del valor medio.
Definimos f (x)  x que es una función continua y derivable en R+, en particular lo es en el
intervalo [100,101]. Aplicando el teorema del valor medio en este intervalo, se obtiene
1
1
f (101)  f (100) 
(101  100)  101  10 
con c  100,101 , es decir, 100<c<101 con lo
2 c
2 c
1
1
1
1



 0, 05 , por consiguiente,
cual 10  c  101 
c 10
2 c 20
101  10 
1
2 c
 10  0, 05  10, 05  101  10, 05
En general, buscamos un polinomio que coincida con f(x) en un punto dado x=a y que
sea aproximadamente igual en las cercanías de dicho punto (entorno del punto).
La aproximación más sencilla corresponde a la recta tangente a f(x) en x=a que se
denomina aproximación lineal:
y-f(a)=f '(a)(x-a)  f (x)  f (a)  f '(a)(x  a)
Ejemplo:
Dar una aproximación de ln(0.9) utilizando la recta tangente.
La función a utilizar es f(x)=lnx en el punto a=1, puesto que se conoce f(1)=ln1=0, obteniendo:
f(0.9)=ln(0.9)=f(a)+f ’(a)(x-a)=f(1)+f ’(1)(0,9-1)=-0.1, ya que f ’(x)=1/x.
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1
Fórmula de Taylor
En un punto x próximo a “a” el error al utilizar la recta tangente en lugar de la expresión
de la función, será: E(x)=f(x)-f(a)-f ’(a)(x-a)
Ejemplo:
Suponiendo que la Tierra es una esfera perfecta y que su radio es igual a 6370  0,1
km, ¿qué efecto tendría la tolerancia  0,1 en nuestra estimación del área de la
superficie del globo?
dS
 8 r  dS  8 rdr y el incremento de la recta tangente a S (en
dr
r=6370) que corresponde a dr = 0,1 es:
Como S  4 r 2  S' 
dS  8 rdr  8  6370   0,1  16009 km2 que se denomina error propagado.
Siendo el error relativo
dS 8 rdr 2
2

 dr 
2
S
4 r
r
6370
 0,1  3,14·105 ,
o bien el error
porcentual 0,00314%
2 Construcción del polinomio
Buscamos un polinomio Pn(x) tal que f(a)=Pn(a), f’(a)=P’n(a),…, fn)(a)=Pnn(a).
El método debe ser consistente, es decir, si consideramos f(x)=P(x) la aproximación no
debe producir ningún error.
n
Sea el polinomio de grado n: Pn (x)  a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n   a k x k que ordenado
k 0
según las potencias de x-a resulta:
n
Pn (x)  b 0  b1 (x  a)  b 2 (x  a) 2  ...  b n (x  a) n   b k (x  a)k con Pn(a)=bo
k 0
para calcular el resto de los coeficientes bk calculamos las derivadas sucesivas del polinomio:
n
P 'n (x)  b1 (x  a)  2b 2 (x  a)  ...  nb n (x  a) n 1   kb k (x  a) k 1 ; P 'n (a)  b1
k 1
n
P ''n (x)  2b 2  ...  n(n  1)b n (x  a) n  2   k(k  1)b k (x  a) k  2 ; P ''n (a)  2b 2
k 2
…………………………………………………………………………..
n
Pi) n (x)   k(k  1)...(k  i  1)b k (x  a) k i ; P i) n (a)  bi i!
k i
…………………………………………………..
P n ) n (x)  n(n  1)(n  2)...3.2.1.b n ; P n ) n (a)  b n n!
En consecuencia los coeficientes han de ser: b k 
Pnk ) (a)
y el polinomio queda:
k!
Pnk (a)
(x  a) k
k!
k 0
n
Pn (x)  
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Fórmula de Taylor
Ejemplo:
Ordenar 5x3+7x2+3x+8 según las potencias de x-2.
Para Pn (x)  5x 3  7x 2  3x  8 en a=2 resulta Pn(2)=82 y las sucesivas derivadas:
P 'n (x)  15x 2  14x  3; P 'n (2)  91
P ''n (x)  30x  14; P ''n (2)  74
P '''n (x)  30; P '''n (2)  30
que sustituyendo en la expresión anterior:
n 3
Pnk (a)
P ' (a)
P '' (a)
P 3 (a)
(x  a) k  Pn (a)  n
(x  a)  n
(x  a) 2  n
(x  a)3 
k!
1!
2!
3!
k 0
91
74
30
 82  (x  2)  (x  2) 2  (x  2)3  82  91(x  2)  37(x  2) 2  5(x  2)3
1!
2!
3!
Pn (x)  
Definición: Dada una función y=f(x) con derivadas hasta un cierto orden n en un punto a, se
denomina polinomio de Taylor de grado n de f en a:
Pn ( x )  f (a ) 
f (a )
f " (a )
f n ) (a )
(x  a ) 
( x  a ) 2  ... 
(x  a )n
1!
2!
n!
f k ) (a )
(x  a ) k
k!
k 0
n
o abreviadamente Tn f ( x ), a   
Ejemplo:
Determinar el polinomio de Taylor de grado n=3 de f(x)=lnx en a=1.
Calculamos las derivadas sucesivas en a=1:
f (x)  ln x  f (1)  ln1  0
f '(x)  1/ x  f '(1)  1
f ''(x)   x 2  f ''(1)  1
f '''(x)  2x 3  f '''(1)  2
f k ) (1)
(x  1) 2
(x  1)3
 f '''(1)

(x  1) k  f (1)  f '(1)(x  1)  f ''(1)
k!
2!
3!
k 0
n 3
Tn 3  f (x)  ln x, a  1  
0  1(x  1)  1
(x  1) 2
(x  1)3
(x  1) 2 (x  1)3
2
 (x  1) 

2!
3!
2
3
Definición: Para el valor concreto de a=0 el polinomio de Taylor se dice Polinomio de
f k ) (0) k
Tn f ( x ),0  
x
k!
k 0
n
Maclaurin:
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Fórmula de Taylor
Ejemplo:
Determinar el polinomio de Maclaurin de grado n=2 de f(x)=chx.
Calculamos las derivadas sucesivas en a=0:
e x  e x
 f (0)  ch0  1
2
ex  e x
f '(x)  shx 
 f '(0)  sh0  0
2
e x  e x
f ''(x)  chx 
 f ''(0)  1
2
f (x)  chx 
n 2
x2
f k ) (0)
x2
x2
(x  0) k  f (0)  f '(0)x  f ''(0)
 1 0  x 1  1
2!
k!
2!
2!
k 0
Tn  2  f (x)  chx, a  0  
Ejemplo:
Usar el polinomio de Maclaurin de grado n=4 para dar una aproximación del número e.
En este caso utilizaremos la función f(x)=ex para la cual f(1)=e: Tn  4  f (x)  e x , a  0  
n 4
f k ) (0)
x2
x3
x4
x2
x3
x4
(x  0) k  f (0)  f '(0)x  f ''(0)
 f '''(0)  f ''''(0)
 1  1 x  1  1  1
k!
2!
3!
4!
2!
3!
4!
k 0

Para x=1 resulta e  1  1 1  1
12 13 14 65
1 1 
 2, 708
2! 3! 4! 24
Definición: Sea f(x) una función para la cual existe el Polinomio de Taylor de orden n en el
punto a, se define resto de orden n de f (x) en a:
R n f ( x ), a   f ( x )  Tn f ( x ), a 
3 Cálculo del resto:
Busquemos una función Q(x) tal que sea R n  f (x), a  
Q(x)
(x  a) n 1 .
(n  1)!
Como f (x)  Tn  f (x), a   R n  f (x), a  , entonces:
f (x)  f (a) 
f (a)
f "(a)
f n ) (a)
Q(x)
(x  a) 
(x  a) 2  ... 
(x  a) n 
(x  a) n 1
1!
2!
n!
(n  1)!
Sea x fijo. Utilizamos la función auxiliar:
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4
Fórmula de Taylor
F(t)  f (x)  f (t) 
f (t)
f "(t)
f n ) (t)
Q(x)
(x  t) 
(x  t)2  ... 
(x  t)n 
(x  t)n 1 definida en
1!
2!
n!
(n  1)!
t  [a,x]. F verifica las hipótesis del Teorema de Rolle, ya que:
F(a)  f (x)  f (a) 
f (a)
f "(a)
f n ) (a)
Q(x)
(x  a) 
(x  a) 2  ... 
(x  a)n 
(x  a) n 1  0
1!
2!
n!
(n  1)!
F(x)  f (x)  f (x) 
f (x)
f "(x)
f n ) (x)
Q(x)
(x  x) 
(x  x) 2  ... 
(x  x) n 
(x  x)n 1  0
1!
2!
n!
(n  1)!
Luego, F(a)=F(x). Además F(t) es continua en [a,x] y derivable en(a,x) siendo:
f "'(t)
f "(t)
f n 1) (t)
f n ) (t)
(x  t) 2 
2(x  t)  ... 
(x  t) n 
n(x  t) n 1 
2!
2!
n!
n!
Q(x)
f "'(t)
(n  1)(x  t) n  F'(t)  f '(t)  f ''(t)(x  t)  f '(t) 
(x  t)2  f ''(t)(x  t)  ...

(n  1)!
2!
F'(t)  f '(t)  f ''(t)(x  t)  f '(t) 
f n 1) (t)
f n ) (t)
Q(x)
f n 1) (t)
Q(x)
n
n 1
n
.. 
(x  t ) 
(x  t) 
(x  t)  
(x  t)n 
(x  t) n
n!
(n  1)!
n!
n!
(n)!
Entonces, c  (a, x) tal que F’(c)=0, es decir,
F'(c)  
f n 1) (c)
Q(x)
(x  c) n 
(x  c) n  0  Q(x)  f n 1) (c)
n!
n!
resultando que el resto n-ésimo es:
f n 1) (c)
(x  a) n 1 con a<c<x ó x<a<c expresión que se conoce
R n  f (x), a   f (x)  Tn  f (x), a  
(n  1)!
como el resto de Lagrange o término complementario.
4 Acotación del error:
Al aproximar f (x)  Tn  f (x), a  se comete un error: E(x)  R n  f (x), a  
f n 1) (c)
(x  a) n 1
(n  1)!
y=f(x)
Tn(f(x),a)
f(x0)
Rn(f(x),a)
Tn(f(x0),a)
x=a
x0
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5
Fórmula de Taylor
Si fn+1) es una función acotada en un entorno de a (por ejemplo, si es continua)
f n 1) (c)
(x  a) n 1
(x  a) n 1
(x  a) n 1  máx f n 1) (c)
k
ca ,x 
(n  1)!
(n  1)!
(n  1)!
Podemos aproximar f(x) por P(x) en un entorno de x=a con la precisión deseada sin más
(x  a) n 1
= 0.
n  (n  1)!
que tomar n suficientemente grande ya que para cada x fijo, lim
5 Fórmula de Cauchy para el término complementario o resto:
Otra forma equivalente del resto se obtiene escribiendo c  a  (x  a) siendo 0    1
f n 1) (c)
f n 1) (a  (x  a))
f n 1) (a  h) n 1
n 1
n 1
R n (x) 
(x  a) 
(x  a) 
h siendo h=x-a
(n  1)!
(n  1)!
(n  1)!
En particular, si a=0: R n (x) 
f n 1) (x) n 1
x
(n  1)!
6 Fórmula de Taylor:
Teorema: sea f(x) una función derivable hasta el orden n+1, con derivadas continuas
hasta el orden n en un entorno del punto a, entonces, existe c  (a , x ) o bien c  (x, a) tal que:
f ( x )  f (a ) 
f (a )
f " (a )
f n ) (a )
f n 1) (c)
(x  a ) 
( x  a ) 2  ... 
(x  a ) n 
( x  a ) n 1
1!
2!
n!
(n  1)!
Si a=0 se obtiene la fórmula de Maclaurin:
f ( x )  f (0) 
f (0)
f " (0) 2
f n ) (0) n f n 1) (x ) n 1
x
x  ... 
x 
x con 0    1
1!
2!
n!
(n  1)!
Ejemplo:
¿Qué error se comete al adoptar 65/24 como valor del número e?
Tenemos: f(x)=ex; a=0; n=4 y x=1 (véase el ejemplo anterior) y el error
5
f n 1) (x) n 1
x x
E(x)  R n (x) 
x
 e
(n  1)!
5!
E(1)  R n  4 (1)  e
15
15
15 1
 e1  3 
 0, 025
5!
5!
5! 40
ya que la función exponencial es creciente y el valor de e lo podemos acotar por 3, pues según
el polinomio de Maclaurin que en nuestro caso da 65/24 es mayor que 2.
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6
Fórmula de Taylor
COMENTARIOS A LA FÓRMULA DE TAYLOR
Notación: Tn f ( x ), a   Polinomio de Taylor de f de grado n en x = a. Cuando no haya confusión
posible, por simplificar expresiones, pondremos simplemente Tn ( x ) .
1) Para cada x fijo ¿qué ocurre cuando n   ?
Es decir, a medida que crece el grado del polinomio de Taylor ¿va siendo mejor la
aproximación f ( x )  Tn ( x ) ?
Esto ocurrirá cuando
( x  a ) n 1 n 1)
f (c)  0 .
R n (x)  0 , es decir, cuando
( n  1)!
n 
n 
n 1
Como, para cada x fijo, puede demostrarse que
(x  a )
 0 , basta que f n 1) sea una
( n  1)!
n 
función acotada en un entorno de “a” para que se cumpla.
Y, en este caso, será R n ( x ) 
x a
n 1
( n  1)!
M , siendo M = sup f n 1) ( z ) .
z  ( a ,x )
Ejercicio:
Aplicando lo anterior, es fácil probar que el resto en las series de Maclaurin de las funciones
sen x, cos x y e x , tiende a cero cuando n tiende a infinito (precisamente por que sus




derivadas de orden n+1: sen x  ( n  1) , cosx  ( n  1) , y e x , son funciones acotadas
2
2


para “x” próximos a cero).
2) Para cada n fijo ¿qué ocurre cuando x  a ?
a) R n ( x ) es un infinitésimo en x  a, es decir, lim R n ( x )  0 .
x a
En efecto: lim R n ( x )  lim f(x) - Tn ( x )  f (a )  Tn (a )  f (a )  f (a )  0 , por ser f y Tn
x a
x a
funciones continuas en “a”.
b) R n ( x ) es un infinitésimo en x  a de orden mayor que n.
En efecto:
Para n = 2, lim
x a
R 2 (x)
 lim
( x  a ) 2 x a
f ( x )  f (a )  f ' (a )( x  a )  f ' ' (a )
(x  a) 2
(x  a) 2
0
2!
 ?
0
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Fórmula de Taylor

f ' ( x )  f ' (a )  f ' ' (a )
lim
2( x  a )
L `Hôpital x a
2( x  a )
2!

lim
L `Hôpital x a
f ' ' ( x )  f ' ' (a )

0
f '' es continua en a
2
Para n = 3, se haría exactamente igual, pero, aplicando la regla de L’Hôpital tres veces
en lugar de dos.
Para n = n, se aplicaría la regla de L’Hôpital n veces, llegando al mismo resultado:
R (x)
lim n n  0 .
x a ( x  a )
Notación: A veces se escribe, en el desarrollo de Maclaurin,
f ( x )  Tn ( x )  O( x n 1 )
indicando con O( x n1 ) un infinitésimo de orden mayor ó igual que n+1 (que no es otro que el
resto R n ( x ) ). En general, en x = a:
f ( x )  Tn ( x )  O(( x  a ) n 1 )
c) En el caso particular de que f sea un infinitésimo cuando x  a , al ser R n ( x ) otro
infinitésimo en x = a y verificarse que f ( x )  Tn ( x )  R n ( x ) , se tiene que:
c1 ) Tn (x)  f ( x )  R n ( x ) es también un infinitésimo en x  a (por ser resta de dos
infinitésimos ).
Además, por ser lim
x a
lim
x a
 f(a)
Tn ( x )
f ' (a)
f ' ' (a)
f n) (a) 
lim
...





 
( x  a ) n x a  (x - a) n (x - a) n-1 2!(x - a) n-2
n!(x - a) 0 
(x  a) n
0
Tn ( x )
se deduce que Tn (x) es un infinitésimo de orden menor que n, y por tanto, de menor
orden que R n (x) .
c 2 ) Como consecuencia de lo anterior y aplicando que la suma de infinitésimos es un
infinitésimo equivalente al sumando de menor orden, se verifica:
f ( x )  Tn ( x )  R n ( x )  Tn ( x )
es decir, f(x) y Tn (x) son infinitésimos equivalentes en x  a, para un n tal que Tn ( x ) no sea el
polinomio nulo.
c 3 ) Si g(x) es otro infinitésimo en x  a que cumple las hipótesis de la fórmula de
Taylor, se verifica:
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Fórmula de Taylor
lim
x a
T f ( x ), a 
f (x )
 lim n
g( x ) x a Tm g( x ), a 
suponiendo Tn f ( x ), a   0 y Tm g( x ), a   0 en un entorno de x = a (se toman n y m los menores
que lo verifican, pudiendo ser n y m distintos entre sí).
Esta igualdad de límites se obtiene aplicando la propiedad de que un infinitésimo en x =
a que aparezca como factor o divisor en una expresión de la que se quiera calcular su límite
cuando x  a , puede sustituirse por otro infinitésimo equivalente y el límite no varía.
Álgebra de los Polinomios de Taylor. Para obtener el Polinomio de Taylor de una función
compuesta, muchas veces es preferible desarrollar por separado las funciones componentes y
sumar, restar o multiplicar los polinomios de Taylor de las respectivas funciones.
3) Si f y g son dos funciones que cumplen las hipótesis de la Fórmula de Taylor en un
entorno de x = a, llamando Tn (f ) y Tn ( g) a los respectivos polinomios de Taylor de grado n en
x = a, se verifica:
a) Tn (f  g)  Tn (f )  Tn ( g)
b) Tn (f  g)  Tn (f )  Tn ( g)  términos en x n 1 , x n  2 , ... , x 2n 1.
4) Fórmula de Taylor para la función compuesta

f
a 
 b 
 c


F  f 
Si conocemos los desarrollos de Taylor de las funciones y  ( x ) en x = a, y de y  f ( x )
en x  (a )  b :


 O( x  b) 
(1)
(x)  c 0  c 1 ( x  a )  c 2 ( x  a ) 2  ...  c n ( x  a ) n  O ( x  a ) n 1
(2)
f (x)  a 0  a 1 ( x  b)  a 2 ( x  b) 2  ...  a n ( x  b) n
n 1
entonces, se verifica:
(3)


F(x)  f (( x ))  b 0  b1 ( x  a )  b 2 ( x  a ) 2  ...  b n ( x  a ) n  O ( x  a ) n , obteniéndose
estos coeficientes b i de la siguiente forma:
En (2) se sustituye x por ( x ) y luego se sustituye ( x ) por su desarrollo (1), efectuando
las correspondientes operaciones matemáticas y conservando solo los términos en la
forma b k ( x  a ) k , con k = 0, 1, ... ,n.
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Fórmula de Taylor
En el caso particular:
( x )  Ax m
y
f (x)  a 0  a 1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  O( x n )
entonces: f ((x))  a 0  a1 (Ax m )  a 2 (Ax m ) 2  ...  a n (Ax m ) n


Si h(x) es la función derivada de f(x) entonces Tn h( x ),0  Tn f ( x ),0

Si h(x) es una función primitiva de f(x) entonces: Tn h( x ),0   Tn f ( t ),0dt
x
0
Fórmulas de Maclaurin de algunas funciones:
ex  1  x 
x2 x3 x4
xn
x n1


 ..... 

e c con c   x, 0  o bien c   0, x 
2! 3! 4!
n ! n  1!
ln(1  x)  x 
x2 x3 x4
xn
xn 1
 (n  1)
   .....  ( 1)n 1  ( 1)n
1  c 
2
3 4
n
n1
c   x,0  o bien c   0, x 
n
x3 x5 x7
  x n1
  x



 .....  s en  n 
 s en  c   n  1  
3! 5! 7!
2  n  1!
 2  n!

s en( x )  x 
c   x, 0  o bien c   0, x 
cos( x )  1 
n
x2 x4 x6
  x n1
  x



 .....  cos  n 
 cos  c   n  1  
2! 4! 6!
2  n  1!
 2  n!

c   x, 0  o bien c   0, x 
1  3  5     2n  3  xn
x
x2
3x 3
 2
 3  .....  ( 1)n 1

2 2  2! 2 3!
2n
n!
1  3  5     2n  1 xn 1
 ( 1)n
con c   x, 0  o bien c   0,x 
2n  1
n  1 !

n 1
2
2  c  1
(1  x)  1 
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