1 Aproximación de una función mediante un polinomio Cuando y=f

Fórmula de Taylor.
1 Aproximación de una función mediante un polinomio
Cuando y=f(x) tiene una expresión complicada y necesitamos calcular los valores de
ésta, se puede aproximar mediante funciones sencillas (polinómicas).
El teorema del valor medio permite aproximar el valor de una función para un punto en
concreto y acotar el error cometido en dicha aproximación.
Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c∈(a,x) tal que
f (x) − f (a)
f '(c) =
⇒ f (x) = f (a) + f '(c)(x − a) .
x−a
Ejemplo:
Dar una cota del valor 101 utilizando el teorema del valor medio.
Definimos f (x) = x que es una función continua y derivable en R+, en particular lo es en el
intervalo [100,101]. Aplicando el teorema del valor medio en este intervalo, se obtiene
1
1
f (101) = f (100) +
(101 − 100) ⇒ 101 = 10 +
con c ∈ (100,101) , es decir, 100<c<101 con lo
2 c
2 c
1
1
1
1
<
⇔
<
= 0, 05 , por consiguiente,
cual 10 < c < 101 ⇔
c 10
2 c 20
101 = 10 +
1
2 c
< 10 + 0, 05 = 10, 05
En general, buscamos un polinomio que coincida con f(x) en un punto dado x=a y que
sea aproximadamente igual en las cercanías de dicho punto (entorno del punto).
La aproximación más sencilla corresponde a la recta tangente a f(x) en x=a:
y-f(a)=f '(a)(x-a) ⇒ f (x) = f (a) + f '(a)(x − a)
Ejemplo:
Dar una aproximación de ln(0.9) utilizando la recta tangente.
La función a utilizar es f(x)=lnx en el punto a=1, puesto que se conoce f(1)=ln1=0, obteniendo:
f(0.9)=ln(0.9)=f(a)+f ’(a)(x-a)=f(1)+f ’(1)(0,9-1)=-0.1, ya que f ’(x)=1/x.
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1
Fórmula de Taylor.
En un punto x próximo a “a” el error al utilizar la recta tangente en lugar de la expresión
de la función, será: E(x)=f(x)-f(a)-f ’(a)(x-a)
2 Construcción del polinomio
Buscamos un polinomio Pn(x) tal que f(a)=Pn(a), f’(a)=P’n(a),…, fn)(a)=Pnn(a).
El método debe ser consistente, es decir, si consideramos f(x)=P(x) la aproximación no
debe producir ningún error.
n
Sea el polinomio de grado n: Pn (x) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n = ∑ a k x k que ordenado
k =0
según las potencias de x-a resulta:
n
Pn (x) = b 0 + b1 (x − a) + b 2 (x − a) 2 + ... + b n (x − a) n = ∑ b k (x − a) k con Pn(a)=bo
k =0
para calcular el resto de los coeficientes bk calculamos las derivadas sucesivas del polinomio:
n
P 'n (x) = b1 (x − a) + 2b 2 (x − a) + ... + nb n (x − a) n −1 = ∑ kb k (x − a) k −1 ; P 'n (a) = b1
k =1
n
P ''n (x) = 2b 2 + ... + n(n − 1)b n (x − a) n − 2 = ∑ k(k − 1)b k (x − a) k − 2 ; P ''n (a) = 2b 2
k =2
…………………………………………………………………………..
n
Pi) n (x) = ∑ k(k − 1)...(k − i + 1)b k (x − a) k −i ; Pi) n (a) = bi i!
k =i
…………………………………………………..
P n ) n (x) = n(n − 1)(n − 2)...3.2.1.b n ; P n ) n (a) = b n n!
Pnk ) (a)
y el polinomio queda:
En consecuencia los coeficientes han de ser: b k =
k!
Pnk (a)
Pn (x) = ∑
(x − a) k
k!
k =0
n
Ejemplo:
Ordenar 5x3+7x2+3x+8 según las potencias de x-2.
Para Pn (x) = 5x 3 + 7x 2 + 3x + 8 en a=2 resulta Pn(2)=82 y las sucesivas derivadas:
P 'n (x) = 15x 2 + 14x + 3; P 'n (2) = 91
P ''n (x) = 30x + 14; P ''n (2) = 74
P '''n (x) = 30; P '''n (2) = 30
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2
Fórmula de Taylor.
que sustituyendo en la expresión anterior:
n =3
Pnk (a)
P ' (a)
P '' (a)
P3 (a)
(x − a) k = Pn (a) + n
(x − a) + n
(x − a) 2 + n
(x − a)3 =
k!
1!
2!
3!
k =0
91
74
30
= 82 + (x − 2) + (x − 2) 2 + (x − 2)3 = 82 + 91(x − 2) + 37(x − 2) 2 + 5(x − 2)3
1!
2!
3!
Pn (x) = ∑
Definición: Dada una función y=f(x) con derivadas hasta un cierto orden n en un punto a, se
denomina polinomio de Taylor de grado n de f en a:
Pn ( x ) = f (a ) +
f ′(a )
f " (a )
f n ) (a )
(x − a ) +
( x − a ) 2 + ... +
(x − a )n
1!
2!
n!
f k ) (a )
(x − a ) k
k
!
k =0
n
o abreviadamente Tn [f ( x ), a ] = ∑
Ejemplo:
Determinar el polinomio de Taylor de grado n=3 de f(x)=lnx en a=1.
Calculamos las derivadas sucesivas en a=1:
f (x) = ln x ⇒ f (1) = ln1 = 0
f '(x) = 1/ x ⇒ f '(1) = 1
f ''(x) = − x −2 ⇒ f ''(1) = −1
f '''(x) = 2x −3 ⇒ f '''(1) = 2
f k ) (1)
(x − 1) 2
(x − 1)3
k
(x − 1) = f (1) + f '(1)(x − 1) + f ''(1)
+ f '''(1)
=
Tn =3 [ f (x) = ln x, a = 1] = ∑
k!
2!
3!
k =0
n =3
= 0 + 1(x − 1) − 1
(x − 1) 2
(x − 1)3
(x − 1) 2 (x − 1)3
+2
= (x − 1) −
+
2!
3!
2
3
Definición: Para el valor concreto de a=0 el polinomio de Taylor se dice Polinomio de
f k ) ( 0) k
Tn [f ( x ),0] = ∑
x
k!
k =0
n
MacLaurin:
Ejemplo:
Determinar el polinomio de Maclaurin de grado n=2 de f(x)=chx.
Calculamos las derivadas sucesivas en a=0:
f (x) = chx ⇒ f (0) = ch0 = 1
f '(x) = shx ⇒ f '(0) = sh0 = 0
f ''(x) = chx ⇒ f ''(0) = 1
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3
Fórmula de Taylor.
n =2
f k ) (0)
x2
x2
x2
(x − 0) k = f (0) + f '(0)x + f ''(0) = 1 − 0 ⋅ x + 1 = 1 +
k!
2!
2!
2!
k =0
Tn = 2 [ f (x) = chx, a = 0] = ∑
Ejemplo:
Usar el polinomio de Maclaurin de grado n=4 para dar una aproximación del número e.
En este caso utilizaremos la función f(x)=ex para la cual f(1)=e: Tn = 4 ⎡⎣ f (x) = e x , a = 0 ⎤⎦ =
n =4
f k ) (0)
x2
x3
x4
x2
x3
x4
= 1 + 1⋅ x + 1 + 1 + 1
(x − 0) k = f (0) + f '(0)x + f ''(0) + f '''(0) + f ''''(0)
k!
2!
3!
4!
2!
3!
4!
k =0
=∑
Para x=1 resulta e ≈ 1 + 1 ⋅ 1 + 1
12
13
14 65
+1 +1 =
= 2, 708
2! 3! 4! 24
Definición: Sea f(x) una función para la cual existe el Polinomio de Taylor de orden n en el
punto a, se define resto de orden n de f (x) en a:
R n [f ( x ), a ] = f ( x ) − Tn [f ( x ), a ]
3 Cálculo del resto:
Busquemos una función Q(x) tal que sea R n ( f (x), a ) =
Q(x)
(x − a) n +1 .
(n + 1)!
Como f (x) = Tn [ f (x), a ] + R n [ f (x), a ] , entonces:
f (x) = f (a) +
f ′(a)
f "(a)
f n ) (a)
Q(x)
(x − a) +
(x − a) 2 + ... +
(x − a) n +
(x − a) n +1
1!
2!
n!
(n + 1)!
Sea x fijo. Utilizamos la función auxiliar:
F(t) = f (x) − f (t) −
f ′(t)
f "(t)
f n ) (t)
Q(x)
(x − t) −
(x − t) 2 − ... −
(x − t) n −
(x − t) n +1 definida en
1!
2!
n!
(n + 1)!
t ∈ [a,x]. F verifica las hipótesis del Teorema de Rolle, ya que:
F(a) = f (x) − f (a) −
f ′(a)
f "(a)
f n ) (a)
Q(x)
(x − a) −
(x − a) 2 − ... −
(x − a) n −
(x − a) n +1 = 0
1!
2!
n!
(n + 1)!
F(x) = f (x) − f (x) −
f ′(x)
f "(x)
f n ) (x)
Q(x)
(x − x) −
(x − x) 2 − ... −
(x − x) n −
(x − x) n +1 = 0
1!
2!
n!
(n + 1)!
Luego, F(a)=F(x). Además F(t) es continua en [a,x] y derivable en(a,x) siendo:
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4
Fórmula de Taylor.
f "'(t)
f "(t)
f n +1) (t)
f n ) (t)
(x − t) 2 +
2(x − t) − ... −
(x − t) n +
n(x − t) n −1 +
2!
2!
n!
n!
Q(x)
f
"'(t)
+
(n + 1)(x − t) n = F'(t) = −f '(t) − f ''(t)(x − t) + f '(t) −
(x − t) 2 + f ''(t)(x − t) − ...
(n + 1)!
2!
F'(t) = −f '(t) − f ''(t)(x − t) + f '(t) −
.. −
f n ) (t)
Q(x)
f n +1) (t)
Q(x)
f n +1) (t)
(x − t) n −1 +
(x − t) n = −
(x − t) n +
(x − t) n
(x − t ) n +
(n − 1)!
n!
n!
(n)!
n!
Entonces, ∃c ∈ (a, x) tal que F’(c)=0, es decir,
F'(c) = −
f n +1) (c)
Q(x)
(x − c) n +
(x − c) n = 0 ⇒ Q(x) = f n +1) (c)
n!
n!
resultando que el resto n-ésimo es:
R n [ f (x), a ] = f (x) − Tn [ f (x), a ] =
f n +1) (c)
(x − a) n +1 con a<c<x ó x<a<c expresión que se conoce
(n + 1)!
como el resto de Lagrange o término complementario.
4 Acotación del error:
Al aproximar f (x) ≈ Tn [ f (x), a ] se comete un error:
E(x) = R n [ f (x), a ] =
f n +1) (c)
(x − a) n +1
(n + 1)!
y=f(x)
Tn( f(x),a)
f(x0
Rn( f(x),a)
Tn( f(x0),a)
x=a
x0
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5
Fórmula de Taylor.
Si fn+1) es una función acotada en un entorno de a (por ejemplo, si es continua)
f n +1) (c)
(x − a) n +1
(x − a) n +1
n +1
n +1)
(x − a) ≤ máx f (c)
≤k
c∈[a ,x ]
(n + 1)!
(n + 1)!
(n + 1)!
Podemos aproximar f(x) por P(x) en un entorno de x=a con la precisión deseada sin más
(x − a) n +1
= 0.
n →∞ (n + 1)!
que tomar n suficientemente grande ya que para cada x fijo, lim
5 Fórmula de Cauchy para el término complementario o resto:
Otra forma equivalente del resto se obtiene escribiendo c = a + θ(x − a) siendo 0 < θ < 1
R n (x) =
f n +1) (c)
f n +1) (a + θ(x − a))
f n +1) (a + θh) n +1
(x − a) n +1 =
(x − a) n +1 =
h siendo h=x-a
(n + 1)!
(n + 1)!
(n + 1)!
En particular, si a=0: R n (x) =
f n +1) (θx) n +1
x
(n + 1)!
6 Fórmula de Taylor:
Sea f(x) una función derivable hasta el orden n+1, con derivadas continuas hasta el
orden n en un entorno del punto a, entonces, existe c ∈ (a , x ) tal que:
f ′(a )
f " (a )
f n ) (a )
f n +1) (c)
2
n
f ( x ) = f (a ) +
(x − a ) +
( x − a ) + ... +
(x − a ) +
( x − a ) n +1
1!
2!
n!
(n + 1)!
Si a=0 se obtiene la fórmula de Maclaurin:
f ′(0)
f " (0) 2
f n ) (0) n f n +1) (θx ) n +1
f ( x ) = f (0) +
x+
x + ... +
x +
x con 0 < θ < 1
1!
2!
n!
(n + 1)!
Ejemplo:
¿Qué error se comete al adoptar 65/24 como valor del número e?
Tenemos: f(x)=ex; a=0; n=4 y x=1 (véase el ejemplo anterior) y el error
5
f n +1) (θx) n +1
θx x
E(x) = R n (x) =
x
= e
(n + 1)!
5!
5
15
15
1
11
E(1) = R n = 4 (1) = e
<e
<3 =
= 0, 025
5!
5!
5! 40
θ
ya que la función exponencial es creciente y el valor de e lo podemos acotar por 3, pues según
el polinomio de Maclaurin que en nuestro caso da 65/24 es mayor que 2.
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6
Fórmula de Taylor.
COMENTARIOS A LA FÓRMULA DE TAYLOR
Notación: Tn [f ( x ), a ] ≡ Polinomio de Taylor de f de grado n en x = a. Cuando no haya confusión
posible, por simplificar expresiones, pondremos simplemente Tn ( x ) .
1) Para cada x fijo ¿qué ocurre cuando n → ∞ ?
Es decir, a medida que crece el grado del polinomio de Taylor ¿va siendo mejor la
aproximación f ( x ) ≈ Tn ( x ) ?
Esto ocurrirá cuando
R n (x) → 0 , es decir, cuando
n →∞
( x − a ) n +1 n +1)
f (c) → 0 .
( n + 1)!
n →∞
n +1
Como, para cada x fijo, puede demostrarse que
(x − a )
→ 0 , basta que f n +1) sea una
( n + 1)!
n →∞
función acotada en un entorno de “a” para que se cumpla.
Y, en este caso, será R n ( x ) ≤
x −a
n +1
( n + 1)!
M , siendo M = sup f n +1) ( z ) .
z ∈ ( a ,x )
Ejercicio:
Aplicando lo anterior, es fácil probar que el resto en las series de Maclaurin de las funciones
sen x, cos x y e x , tiende a cero cuando n tiende a infinito (precisamente por que sus
π⎤
π⎤
⎡
⎡
derivadas de orden n+1: sen ⎢x + ( n + 1) ⎥, cos⎢ x + ( n + 1) ⎥, y e x , son funciones acotadas
2⎦
2⎦
⎣
⎣
para “x” próximos a cero).
2) Para cada n fijo ¿qué ocurre cuando x → a ?
a) R n ( x ) es un infinitésimo en x = a, es decir, lim R n ( x ) = 0 .
x →a
En efecto: lim R n ( x ) = lim [f(x) - Tn ( x )] = f (a ) − Tn (a ) = f (a ) − f (a ) = 0 , por ser f y Tn
x →a
x →a
funciones continuas en “a”.
b) R n ( x ) es un infinitésimo en x = a de orden mayor que n.
En efecto:
(x − a) 2
f ( x ) − f (a ) − f ' (a )( x − a ) − f ' ' (a )
R (x)
0
2!
Para n = 2, lim 2 2 = lim
= ?
2
x →a
x →a ( x − a )
0
(x − a)
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7
Fórmula de Taylor.
=
f ' ( x ) − f ' (a ) − f ' ' (a )
lim
2( x − a )
L `Hôpital x →a
2( x − a )
2!
=
L `Hôpital
f ' ' ( x ) − f ' ' (a )
=
0
x →a
f '' es continua en a
2
lim
Para n = 3, se haría exactamente igual, pero, aplicando la regla de L’Hôpital tres veces
en lugar de dos.
Para n = n, se aplicaría la regla de L’Hôpital n veces, llegando al mismo resultado:
R (x)
lim n n = 0 .
x →a ( x − a )
Notación: A veces se escribe, en el desarrollo de Maclaurin,
f ( x ) = Tn ( x ) + O( x n +1 )
indicando con O( x n+1 ) un infinitésimo de orden mayor ó igual que n+1 (que no es otro que el
resto R n ( x ) ). En general, en x = a:
f ( x ) = Tn ( x ) + O(( x − a ) n +1 )
c) En el caso particular de que f sea un infinitésimo cuando x → a , al ser R n ( x ) otro
infinitésimo en x = a y verificarse que f ( x ) = Tn ( x ) + R n ( x ) , se tiene que:
c1 ) Tn (x) = f ( x ) − R n ( x ) es también un infinitésimo en x = a (por ser resta de dos
infinitésimos ).
Además, por ser lim
x →a
lim
x →a
⎡ f(a)
Tn ( x )
f ' (a)
f ' ' (a)
f n) (a) ⎤
=
lim
+
+
+
...
+
=∞ ⇒
( x − a ) n x →a ⎢⎣ (x - a) n (x - a) n-1 2!(x - a) n-2
n!(x - a) 0 ⎥⎦
(x − a) n
=0
Tn ( x )
se deduce que Tn (x) es un infinitésimo de orden menor que n, y por tanto, de menor
orden que R n (x) .
c 2 ) Como consecuencia de lo anterior y aplicando que la suma de infinitésimos es un
infinitésimo equivalente al sumando de menor orden, se verifica:
f ( x ) = Tn ( x ) + R n ( x ) ≈ Tn ( x )
es decir, f(x) y Tn (x) son infinitésimos equivalentes en x = a, para un n tal que Tn ( x ) no sea el
polinomio nulo.
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8
Fórmula de Taylor.
c 3 ) Si g(x) es otro infinitésimo en x = a que cumple las hipótesis de la fórmula de Taylor,
se verifica:
lim
x →a
T [f ( x ), a ]
f (x )
= lim n
g( x ) x →a Tm [g( x ), a ]
suponiendo Tn [f ( x ), a ] ≠ 0 y Tm [g( x ), a ] ≠ 0 en un entorno de x = a (se toman n y m los menores
que lo verifican, pudiendo ser n y m distintos entre sí).
Esta igualdad de límites se obtiene aplicando la propiedad de que un infinitésimo en x =
a que aparezca como factor o divisor en una expresión de la que se quiera calcular su límite
cuando x → a , puede sustituirse por otro infinitésimo equivalente y el límite no varía.
Álgebra de los Polinomios de Taylor. Para obtener el Polinomio de Taylor de una función
compuesta, muchas veces es preferible desarrollar por separado las funciones componentes y
sumar, restar o multiplicar los polinomios de Taylor de las respectivas funciones.
3) Si f y g son dos funciones que cumplen las hipótesis de la Fórmula de Taylor en un
entorno de x = a, llamando Tn (f ) y Tn ( g ) a los respectivos polinomios de Taylor de grado n en
x = a, se verifica:
a) Tn (f ± g ) = Tn (f ) ± Tn ( g)
b) Tn (f ⋅ g ) = Tn (f ) ⋅ Tn ( g ) − términos en x n +1 , x n + 2 , ... , x 2n −1.
4) Fórmula de Taylor para la función compuesta
ϕ
f
a ⎯⎯
→ b ⎯⎯
→ c
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
F = f Dϕ
Si conocemos los desarrollos de Taylor de las funciones y = ϕ( x ) en x = a, y de y = f ( x )
en x = ϕ(a ) = b :
[
]
+ O[( x − b) ]
(1)
ϕ(x) = c 0 + c 1 ( x − a ) + c 2 ( x − a ) 2 + ... + c n ( x − a ) n + O ( x − a ) n +1
(2)
f (x) = a 0 + a 1 ( x − b) + a 2 ( x − b) 2 + ... + a n ( x − b) n
n +1
entonces, se verifica:
(3)
[
]
F(x) = f (ϕ( x )) = b 0 + b1 ( x − a ) + b 2 ( x − a ) 2 + ... + b n ( x − a ) n + O ( x − a ) n , obteniéndose
estos coeficientes b i de la siguiente forma:
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9
Fórmula de Taylor.
En (2) se sustituye x por ϕ( x ) y luego se sustituye ϕ( x ) por su desarrollo (1), efectuando
las correspondientes operaciones matemáticas y conservando solo los términos en la
forma b k ( x − a ) k , con k = 0, 1, ... ,n.
En el caso particular:
ϕ( x ) = Ax m
y
f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n + O( x n )
entonces: f (ϕ(x)) = a 0 + a1 (Ax m ) + a 2 (Ax m )2 + ... + a n (Ax m ) n
•
′
Si h(x) es la función derivada de f(x) entonces Tn [h( x ),0] = (Tn [f ( x ),0])
•
Si h(x) es una función primitiva de f(x) entonces: Tn [h( x ),0] = ∫ Tn [f ( t ),0]dt
x
0
Fórmulas de MacLaurin de algunas funciones:
ex = 1 + x +
x2 x3 x4
xn
x n+1
+
+
+ ..... +
+
e c con c ∈ ( x, 0 ) o bien c ∈ ( 0, x )
2! 3! 4!
n ! (n + 1)!
ln(1 + x) = x −
x2 x3 x4
xn
xn +1
− (n + 1)
+ − + ..... + ( −1)n −1 + ( −1)n
(1 + c )
2
3 4
n
n+1
c ∈ ( x,0 ) o bien c ∈ ( 0, x )
n
x3 x5 x7
π ⎞ x n+1
⎛ π ⎞x
⎛
+
−
+ ..... + s en ⎜ n ⎟
+ s en ⎜ c + ( n + 1 ) ⎟
3! 5! 7!
2 ⎠ (n + 1 )!
⎝ 2 ⎠ n!
⎝
s en( x ) = x −
c ∈ ( x, 0 ) o bien c ∈ ( 0, x )
cos( x ) = 1 −
n
x2 x4 x6
π ⎞ x n+1
⎛ π ⎞x
⎛
+
−
+ ..... + cos ⎜ n ⎟
+ cos ⎜ c + ( n + 1 ) ⎟
2! 4! 6!
2 ⎠ (n + 1)!
⎝ 2 ⎠ n!
⎝
c ∈ ( x, 0 ) o bien c ∈ ( 0, x )
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ ( 2n − 3 ) xn
x
x2
3x 3
− 2
+ 3 + ..... + ( −1)n −1
+
2 2 ⋅ 2! 2 3!
2n
n!
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ ( 2n − 1) xn +1
+ ( −1)n
con c ∈ ( x, 0 ) o bien c ∈ ( 0,x )
2n + 1
n + 1) !
(
n +1
2
2 ( c + 1)
(1 + x) = 1 +
U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía
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