Repaso de Probabilidad y Estad´ıstica

Repaso de Probabilidad y Estadı́stica
Área de Estadı́stica e Investigación Operativa
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Febrero 2011
Probabilidad
Definición . . . . . . . . . . .
Interpretación Frecuentista
Interpretación Subjetiva . .
Probabilidad Condicional .
Th. Probabilidad Total . .
Th. de Bayes . . . . . . . . .
Verosimilitud . . . . . . . . .
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Estadı́stica
Variables Aleatorias . . . .
Función de Probabilidad.
Función de Distribución .
Función de Densidad . . .
Función de Distribución .
Distribución Normal. . . .
Th. Central del Lı́mite . .
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Probabilidad
Definición
Probabilidad: Cociente entre el número de casos favorables de un suceso y el número de casos
posibles.
P (A) =
num. casos favorables a A
num. casos posibles
¿Es aplicable este concepto siempre?
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
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Interpretación Frecuentista
Se aplica a experimentos que se pueden repetir indefinidamente y bajo las mismas condiciones.
Las frecuencias relativas se estabilizan al repetirse el experimento.
Supongamos que un suceso A ocurra An veces en n repeticiones del experimento:
An
n→∞ n
P (A) = lim
Suponiendo que este lı́mite existe.
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2
Interpretación Subjetiva
Medida del grado de creencia que se tiene acerca de un suceso de interés.
Se puede aplicar en cualquier situación en la que exista una opinión.
Al recibir información nueva, las probabilidades cambian.
La probabilidad de un suceso como la medida del grado de creencia que tiene una persona en un
momento preciso acerca de la ocurrencia de un suceso.
Requiere de un calibrado.
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Probabilidad Condicional
Supongamos que estamos interesados en el suceso A, cuya probabilidad de ocurrencia definimos como
P (A), y nos informan que ha ocurrido el suceso B. ¿Cambian nuestras creencias acerca de la
ocurrencia del suceso A?.
¿Son A y B independientes?
Siendo B un suceso tal que P (B) > 0, para cualquier otro suceso A denominaremos Probabilidad
Condicionada de A respecto de B:
P (A ∩ B)
P (A|B) =
P (B)
A y B son sucesos independientes si y sólo si,
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
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3
Ejemplo
Supongamos que 3 máquinas M 1, M 2 y M 3 fabrican piezas con una producción de 300, 450 y 600
piezas por hora respectivamente.
Sabemos que los porcentajes de piezas defectuosas que fabrica cada máquina son 2%, 3.5% y 2.5%
respectivamente.
Las piezas fabricadas se almacenan de forma conjunta en el mismo almacén. ¿Cuál es la probabilidad
de elegir al azar una pieza defectuosa?
P (D)
Parámetros del problema:
P (Mi )
P (D|Mi )
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4
Teorema de la Probabilidad Total
Si A1 , . . . , An ⊂ E son un conjunto de sucesos exhaustivo,
n
[
Ai = E,
i=1
y mutuamente excluyente,
Ai ∩ Aj = ø ∀i 6= j,
entonces, ∀B ⊂ E:
P (B) =
n
X
i=1
P (B|Ai ) · P (Ai )
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Ejemplo
Una empresa desarrolladora de antivirus nos proporciona la siguiente información para juzgar las
ventajas de su producto estrella:
Si un ordenador está infectado, lo cual ocurre según ellos en un 1% de las ocasiones, el test antivirus
nos dirá que el ordenador está infectado el 99% de las ocasiones.
Si un ordenador no está infectado, lo cual ocurre según ellos en un 99% de los casos, el test antivirus
nos dirá que está infectado en un 5% de las ocasiones.
¿Son estos valores adecuados?
Parámetros conocidos:
P (L), P (Lc ), P (T + |L), P (T + |Lc )
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6
Teorema de Bayes
Sea A1 , . . . , An ⊂ E, un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos.
Sea B ⊂ E un suceso del que conocemos las probabilidades:
P (B|Ai ) ∀i = 1, . . . , n.
Entonces se verifica ∀j = 1, . . . , n:
P (B|Aj ) · P (Aj )
P (Aj |B) = Pn
i=1 P (B|Ai ) · P (Ai )
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Verosimilitud
Supongamos que partimos de dos hipótesis, A ó Ac , y partimos de unas creencias iniciales o
probabilidades a priori,
P (A) y P (Ac ) = 1 − P (A)
Realizamos un experimento, G ó Gc , del que obtenemos cierta información.
Dependiendo de cual de las hipótesis fuera cierta, A ó Ac , tendrı́amos una verosimilitud de que
ocurriese G,
P (G|A) ó P (G|Ac ).
Puesto que hemos observado G las nuevas probabilidades relevantes serán las probabilidades a
posteriori,
P (A|G) ó P (Ac |G)
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Estadı́stica
Variables Aleatorias
En todo proceso de observación o experimento podemos definir una variable aleatoria asignando a
cada resultado del experimento un número:
Resultado Numérico.
Etiqueta numérica asignada a cada resultado cualitativo.
Variable Aleatoria Discreta: Aquella que solo puede tomar un número finito, o infinito numerable, de
valores distintos.
Variable Aleatoria Continua: Aquella que puede tomar un número infinito, o no numerable, de valores
distintos.
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Función de Probabilidad
Dada una Variable Aleatoria Discreta, X, se define su función de probabilidad, f (xi ), como la
probabilidad de que X tome el valor xi :
f : E −→ [0, 1]
xi −→ f (xi ) = P (X = xi )
Si xi ∈
/ E, f (xi ) = 0.
f (xi ) ≥ 0 ∀i = 1, . . . , n.
P
f (xi ) = 1.
Momentos de una V.A.:
P
Esperanza o Media: E[X] =
µ = xi · f (xi )
P
Varianza: V ar[X] = σ 2 = (xi − µ)2 · f (xi )
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Función de Distribución
F (xi ) =
X
j≤i
f (xj ) = P (X ≤ xi )
Ejemplo:
Distribución de Bernulli: Resultado de la observación de un experimento con dos resultados posibles.
P (X = 1) = p,
P (X = 0)1 − p = q.
f (x) = px · q 1−x
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Función de Densidad
Dada una Variable Aleatoria Continua, X, se define su función de densidad, f (xi ), como una función
integrable, no negativa, verificando:
f (xi ) ≥ 0 ∀x ∈ R.
R∞
−∞ f (x)dx = 1
Dados a < b, P (a ≤ X ≤ b) =
Momentos de una V.A.:
Rb
a
f (x)dx.
R∞
Esperanza o Media: E[X] = µ = −∞ x · f (x)dx
R∞
Varianza: V ar[X] = σ 2 = −∞ (x − µ)2 · f (x)dx
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Función de Distribución
F (x) = P (X ≤ x) =
Z
x
f (t)dt
−∞
Ejemplo:
Distribución Uniforme:
f (x) =


1
b−a
a<x<b
0 en el resto

 0 x≤a
x−a
a<x<b
F (x) =
 b−a
1 x≥b

µ=
a+b
;
2
σ2 =
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(b − a)2
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Distribución Normal
Descubierta por Gauss como respuesta a las irregularidades y errores en procesos de medición.
Una V.A. tiene una distribución Normal, N (µ, σ), si su función de densidad es:
(x − µ)2
1
f (x) = √
exp −
2σ 2
2πσ
Normal estándar, µ = 0, σ = 1:
2
1
z
f (z) = √ exp −
2
2π
2
Z z
1
t
√ exp −
Φ(z) = P (Z ≤ z) =
dt
2
2π
−∞
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Teorema Central del Lı́mite
En todo proceso de medición en el que no existen errores sistemáticos, las medidas tomadas
seguirán una distribución normal.
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