EL MÉTODO DE LA SECANTE

EL MÉTODO DE LA SECANTE
Es otro método para hallar una raíz p de f(x) = 0 en [a , b] , con
Sign[f(a)]  Sign[f(b)]
Converge (cuando lo hace) más rápidamente que en el método de bisección.
En lugar de dividir el intervalo [a , b] por la mitad (como en el m. de bisección), se
toma como primera aproximación a la raíz:
p1 = a + h1 ,
siendo
h1  
f (a )
(b  a )
 f (a )  f (b)
Geométricamente equivale a sustituir la curva y = f(x) por la secante que une los
puntos A B. Téngase en cuenta que la recta que pasa por dos puntos (x1, y1), (x2,y2)
es
x  x1
y  y1

x2  x1 y2  y1
En nuestro caso son los puntos A(a, f(a) ) y B(b, f(b)):
xa
y  f (a )

b  a f (b)  f (a )
De aquí se tiene:
xa 
y  f (a )
(b  a )
f (b)  f (a )
El punto de corte con el eje X, esto es p1, se obtiene haciendo x = p1 , y = 0.
p1  a 
f ( a)
(b  a)
f (b)  f (a)
{1}
Ahora, considerando que la función f(x) sea cóncava en [a, b] , se tienen dos posibles
casos:
1) Si f(a) > 0 (En este caso dejaremos fijo a).
Tomamos p0= b y vamos operando en el
intervalo [a, pn] según:
f ( pn )
( pn  a )
f ( pn )  f (a)
Para n=1,2,…
pn 1  pn 
(Expresión que sale de susutituir pn =a en
{1})
2) Si f(b) > 0 (En este caso dejaremos fijo b).
Tomamos p0= a y vamos operando en el
intervalo [pn, b] según:
f (b)
(b  pn )
f (b)  f ( pn )
Para n=1,2, …
pn 1  pn 
(Expresión que sale de susutituir pn =a en
{1})
ALGORITMO DE LA SECANTE:
Para hallar una solución de la ecuación f(x) = 0, en el intervalo [a, b] donde f(a) y
f(b) tienen signo opuesto.
Entrada: extremos a, b; tolerancia TOL; número máximo de iteraciones N.
Salida: solución aproximada o mensaje de fracaso.
Paso1: Tomar i=2, entonces
si f(a)>0 definir:
p0=b, q0=f(a), q1=f(b)
si f(a)<0 definir:
p0=a, q0=f(b), q1=f(a)
Paso 2: Mientras que i ≤ N seguir pasos 3 -6;
Paso 3: (se trata de calcular aproximaciones a p)
Si f(a)>0 tomar
p  p0 
q1
( p0  a)
q1  q0
Si f(b)<0 tomar
q1
(b  p0 )
q0  q1
Paso 4: si |p – p0|<TOL entonces SALIDA → display p , PARAR.
p  p0 
Paso 5: tomar i = i+1
Paso 6: tomar p0 = p;
q1 = f(p)
Paso 7: Displayar (‘El método fracasó después de N iteraciones’).