Tema 2

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE
ECUACIONES ALGEBRAICAS Y
TRASCENDENTES
• EL PROBLEMA DE OBTENER LOS CEROS O RAÍCES DE
UNA ECUACIÓN ALGEBRAICA O TRASCENDENTE, ES
UNO DE LOS REQUERIDOS MAS FRECUENTEMENTE,
DEBIDO A ELLO EL NÚMERO DE MÉTODOS PARA
RESOLVER ESTE PROBLEMA ES EXTENSO Y VARIADO,
LOS HAY PARA PARA RAÍCES REALES, COMPLEJAS,
COMBINADOS, PARA CONOCER UNA O TODAS LAS
RAÍCES.
ACTUALMENTE, DADO EL DESARROLLO DE LAS COMPUTADORAS, ÁQUELLOS
MÉTODOS QUE SEAN MAS EFICIENTES Y SUSCEPTIBLES DE AUTOMATIZARSE SON LOS
QUE PARA EL ANÁLISIS NUMÉRICO PRESENTAN MAYOR UTILIDAD, TAL ES EL CASO DE
LOS MÉTODOS ITERATIVOS O MÉTODOS DE APROXIMACIONES SUCESIVAS.
TRATANDOSE DE ECUACIONES ALGEBRAICAS SE TIENEN MÉTODOS EXACTOS PARA
RESOLVER LAS ECUACIONES DE SEGUNDO Y TERCER GRADO, PARA LOS DE CUARTO
GRADO EXISTE EL MÉTODO DE BROWN Y PARA GRADOS SUPERIORES NO EXISTEN
MÉTODOS DE LOS LLAMADOS “EXACTOS”.
PARA LAS ECUACIONES TRASCENDENTES, FUERA DE LAS TRIGONOMÉTRICAS O
COMBINACIONES FÁCILES DE ELLAS Y ALGUNAS OTRAS ES FÁCIL ENCONTRAR SUS
RAÍCES, LAS DEMÁS SOLO PUEDEN RESOLVERSE POR MÉTODOS DE APROXIMACIONES
SUCESIVAS.
CARACTERÍSTICAS DE LOS MÉTODOS DE APROXIMACIONES SUCESIVAS
SE ENTIENDE POR MÉTODO DE APROXIMACIONES
SUCESIVAS ÁQUEL, QUE A PARTIR DEL CONOCIMIENTO
APROXIMADO DE UNA RAÍZ O CERO DE UNA FUNCIÓN,
NOS ACERCA O SATISFACE APROXIMADAMENTE A LA
SOLUCIÓN, MEDIANTE LA APLICACIÓN REPETIDA DE
UNA ECUACIÓN, LLAMADA DE RECURRENCIA, QUE ES
LA QUE DEFINE AL MÉTODO.
•
LAS CARACTERÍSTICAS SON LAS SIGUIENTES:
A) REQUIEREN DE UN VALOR APROXIMADO A SU
SOLUCIÓN.(VALOR INICIAL = x0 )
B) SE MEJORA EL VALOR INICIAL APLICANDO SU
ECUACIÓN DE RECURRENCIA TANTAS VECES COMO
SE REQUIERA.
C) NO SON “EXACTOS”
• METODO DE BISECCIÓN
• SEA UNA FUNCIÓN F(X) = 0, CONTÍNUA, DE VALORES
REALES, ALGEBRAICA O TRASCENDENTE, DE LA CUAL
SE DESEA CONOCER UN CIERTO VALOR
TAL QUE SE CUMPLA QUE
F ( )  0

• EL MÉTODO ESTABLECE QUE SI F(x) ES
CONTÍNUA, EN UN INTERVALO (a,b)
• Y SE CUMPLE QUE F(a) * F(b) < 0 EXISTIRÁ
ENTONCES UN VALOR
ADEMÁS SI SE CUMPLE

TAL QUE
F ' ( )  0
• POR EL TEOREMA DE ROLLE ESTE VALOR
ÚNICO EN (a,b).
F()  0;

ES
EL MÉTODO PROPONE:
x 0 COMO
ab
2
1)
DETERMINAR
2)
VALUAR LA FUNCIÓN EN
3)
SI AL CALCULAR F( x 0 ) RESULTA DIFERENTE DE CERO IMPLICA QUE NO ES
x0
RAÍZ.
4)
LA SEGUNDA APROXIMACIÓN SE CALCULA POR LA MEDIA DE
x0 , b  TOMANDO
a, x0 
O
ÁQUEL EN CUYOS EXTREMOS LA FUNCIÓN TENGA SIGNOS
OPUESTOS Y SE REPITE A PARTIR DE EL PASO 3.
5)
LA APLICACIÓN SE TERMINA CUANDO TANTO EL ERROR ABSOLUTO COMO EL
RELATIVO SON MENORES O IGUALES A LA TOLERANCIA PRESTABLECIDA DE
ANTEMANO.
Y SE CUMPLE QUE
lim x n  
n
EJEMPLO 1
Encuentre una raíz de la siguiente
ecuación:
2sen(x) ‐ x =0
Para una tolerancia de 0.007
EJEMPLO 2.
Obtenga el valor de “x” para el siguiente problema con tres
cifras significativas, sabiendo que el área del trapecio es de
10 metros cuadrados.
•
•
•
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•
CONSIDEREMOS UNA FUNCIÓN F(x) = 0, CONTÍNUA EN UN INTERVALO (a , b)
(FALSA POSICIÓN, REGULA FALSI)
TAL QUE SE CUMPLA QUE F(  ) = 0.
•
ESTE MÉTODO ES UNA ALTERNATIVA AL MÉTODO DE BISECCIÓN BASADA EN
UNA VISUALIZACIÓN GRÁFICA.
•
CONSISTE EN UNIR CON UNA LÍNEA RECTA LOS VALORES DE LA FUNCIÓN (DEL
INTERVALO (a,b)) TAL COMO SE MUESTRA A CONTINUACIÓN.
•
DE LA FIGURA, POR TRIÁNGULOS SEMEJANTES NOS QUEDA :
• EL MÉTODO TERMINA DE APLICARSE CUANDO LOS ERRORES
ABSOLUTO Y RELATIVO SON MENORES O IGUALES A LA TOLERANCIA
PRESTABLECIDA DE ANTEMANO.
• LOS VALORES EN LA APLICACIÓN DE ESTE MÉTODO SE SELECIONAN
IGUAL QUE EN BISECCIÓN, DONDE LA FUNCIÓN CAMBIA DE SIGNO,
ESTO CON EL FIN DE GARANTIZAR LA CONVERGENCIA.
• UNA VARIANTE DEL MÉTODO DE LA REGLA FALSA ES EL DE LA
SECANTE, EL CUÁL NO GARANTIZA LA CONVERGENCIA, YA QUE LOS
VALORES DE APLICACIÓN SE SELECIONAN ENTRE LOS DOS ÚLTIMOS
CALCULADOS.
• EJEMPLO 1.
• Encuentre una raíz de
•
• Para una tolerancia ≤ 0.0005
•
•
EJEMPLO 2.
Se va a diseñar un tanque esférico para almacenar agua, el volumen del líquido que puede contener se calcula con
v  h
•
•
2
3 R
 h
3

Donde V = volumen (m3), h = profundidad del agua en el tanque (m), y R = radio del tanque (m).
Si R= 3 m ¿ a que profundidad debe llenarse el tanque de modo que contenga 30 m3 ?, para una tolerancia de 0.005. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON.
(método de las tangentes)
SEA UNA FUNCIÓN F(X) = 0, CONTÍNUA EN UN INTERVALO
(a, b), CON DERIVADAS , SE PUEDE DESARROLLAR EN
SERIE DE TAYLOR PARA OBTENR EL VALOR DE
xn ALREDEDOR DEL PUNTO xn 1 .
f (xn1 )  f (xn ) 
f ´(xn )(xn1  xn ) f ´´(xn )(xn1  xn )

 ...
1!
2!
• EXISTIRÁ UN CIERTO VALOR EN EL INTERVALO

•
• TOMANDO LOS DOS PRIMEROS TÉRMINOS DE LA SERIE, SE TIENE ( x n , x n 1 )
f (xn1)  f (xn )  f ´(xn )(xn1  xn )
• SI ES EL VALOR BUSCADO, ENTONCES:
( x n 1 )
• EN SU INTERSECCIÓN CON EL EJE “X” SE TENDRÁ:
  x n 1
0  f (xn )  f ´(xn )(xn1  xn )
f (xn )
xn1  xn 
f ´(xn )
• LA ECUACIÓN ANTERIOR DEFINE AL MÉTODO.
• MÉTODO DE LAS TANGENTES
• UNA FORMA GRÁFICA DE OBTENER LA ECUACIÓN DE
RECURRENCIA ES LA SIGUIENTE.
• CONSIDEREMOS UNA FUNCIÓN F(x)=0 CONTÍNUA EN
UN INTERVALO (a,b).
•
• EJEMPLO 1.
• Aplique el Método de Newton‐Raphson, para
encontrar una raíz, si existe, de la siguiente ecuación:
•
•
• Para una tolerancia menor o igual a 0.001
EJEMPLO 2.
Obtenga la raíz cuadrada de 10,
utilizando el método de Newton‐
Raphson para una tolerancia menor o
igual a 0.0005
TAREA 2.
1. EN LA FUNCIÓN f(x) = sen(x) + 0.5 AL UTILIZAR EL MÉTODO DE
, EN LA PRIMERA
NEWTON-RAPHSON CON UNA APROXIMACIÓN
ITERACIÓN EL VALOR APROXIMADO PARA
=3.66, DETERMINE EL
CON TRES CIFRAS DECIMALES,
VALOR DE LA APROXIMACIÓN INICIAL
CONSIDERANDO REDONDEO, UTILICE LOS MÉTODOS DE BISECCIÓN Y
SECANTE.
2.ENCUENTRE UNA RAÍZ PARA t ≤ 0.005, POR LOS MÉTODOS DE
BISECCIÓN, SECANTE Y NEWTON-RAPHSON PARA LAS SIGUIENTES
ECUACIONES
2.
2
5
0
HAGA UNA TABLA COMPARATIVA DE LOS RESULTADOS.