INGENIERIA CIVIL INDUSTRIAL Ecuaciones no-lineales en IR FRANCISCO GÓMEZ FERNANDEZ USACH TÓPICOS MATEMÁTICOS Se tratarán estas aptitudes: Teorema del valor intermedio Algoritmos de punto fijo TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO Sea una función continua con derivada no nula en (a,b). Entonces si f(a)f(b)<0 existe solo una raíz en el intervalo (a,b) Aplicación: Este resultado permite generar el método de bisección que es el más simple de todos los métodos numéricos. PROBLEMA NO LINEAL: X^3+4X^2+2X-1=0 Encuentre un intervalo de Longitud 0,5 en que este problema tiene solo 1 sol. Aplique el método de bisección y obtenga raíz con error έ≤0,001. PROBLEMA NO LINEAL: X^3+4X^2+2X-1=0 Elegimos un intervalo que cumpla con la condición de f(a)*f(b)<0 y que tenga la longitud solicitada, por lo que se elige [-1,4; -0,9] y se procede a operar. PROBLEMA NO LINEAL: X^3+4X^2+2X-1=0 Factorizando se puede obtener 1 de las 3 raíces (-1, 0,30278, -3,3028) por lo que se elige un intervalo del largo indicado en torno a este [-1,4; -0,9] y se procede a operar. Se puede apreciar como el método converge a la solución exacta del problema. ALGORITMOS DE PUNTO FIJO Los algoritmos de punto fijo generados por la función g(x) se definen por: Xn+1=g(Xn) Existen varios métodos como el método de Halley, SDL, Sistema de Mandelbrot. El método numérico más conocido para aproximar raíces es conocido como método de Newton-Raphson. PROBLEMA NO LINEAL: X^3+4X^2+2X-1=0 Calcule una aproximación con el método de N-R iniciando con X0=0.1 hasta que la tolerancia sea έ≤0.00006. 1) Se calcula la derivada de la función. 2) Se plantea el sistema del método N-R . 3) Se genera la recursividad hasta cumplir la condición. (Eabs<Tolerancia) Se aprecia como el método converge a la solución. EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 1 Aplicando el método de la bisección hallar la mejor solución de f(x)=x^3+4x^2-10 en: a) [0,1.5] b)[1.5,3] Pista: función graficada EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 2 Obtener una raíz de la función f(x)=e^(−3x)−0.2 en el intervalo [0,1] por el método de Newton-Raphson, tomando como aproximación inicial X0 = 0. El error debe ser menor a 0.000005 Pista: método aplicado
