METODOS_LEONARDO

LOMATEMATICAS lV (METODOS NUMERICOS)
2011
METODO RAPSHON Vs METODO DE BISECCION
Johan Leonardo Laverde Pulido
Ingeniería industrial
[email protected]
abstract: The following work is an example of how you can obtain the breakpoint in a plot by two methods,
and our intention is to have the certainty which of the two methods is better, more reliable and faster.
II.
I.
DESARROLLO DE CONTENIDOS
INTRODUCCION:
A. METODO DE BISECCION:
El siguiente trabajo es para presentar dos métodos
y definir el mejor método, el mas rápido, seguro,
confiable y rápido.
En análisis numérico, el método de Newton
(conocido también como el método de NewtonRaphson o el método de Newton-Fourier) es un
algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones
de los ceros o raíces de una función real. También
puede ser usado para encontrar el máximo o
mínimo de una función, encontrando los ceros de
su primera derivada.
En matemáticas, el método de bisección es un
algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando
el subintervalo que tiene la raíz.
Unas cuantas iteraciones del método de
bisección aplicadas en un intervalo
[a1;b1]. El punto rojo es la raíz de la
función.
En matemáticas, el método de bisección
es un algoritmo de búsqueda de raíces
que trabaja dividiendo el intervalo a la
mitad y seleccionando el subintervalo
que tiene la raíz.
Este es uno de los métodos más sencillos
y de fácil intuición para resolver
ecuaciones en una variable. Se basa en el
teorema del valor intermedio (TVI), el
cual establece que toda función continua
f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos
los valores que se hallan entre f(a) y f(b).
Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es
la imagen de al menos un valor en el
intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b)
tengan signos opuestos, el valor cero
sería un valor intermedio entre f(a) y f(b),
por lo que con certeza existe un p en [a,b]
que cumple f(p)=0. De esta forma, se
asegura la existencia de al menos una
solución de la ecuación f(a)=0.
El método consiste en lo siguiente:
Debe existir seguridad sobre la continuidad de la
función f(x) en el intervalo [a,b]
A continuación se verifica que
Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y
se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya
hemos encontrado la raíz buscada
GRAFICA EN MatLab:
function x = biseccion(fun,a,b,tol)
En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene
signo opuesto con f(a) o con f(b)
% Aproxima por el método de la bisección una
raíz de la ecuación fun(x)=0
Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b]
según se haya determinado en cuál de estos
intervalos ocurre un cambio de signo
disp('Método de la bisección');
Con este nuevo intervalo se continúa
sucesivamente encerrando la solución en un
intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la
precisión deseada
v=feval(fun,b);
En la siguiente figura se ilustra el procedimiento
descrito.
El método de bisección es menos eficiente que el
método de Newton, pero es mucho más seguro
para garantizar la convergencia. Si f es una
función continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) <
0, entonces este método converge a la raíz de f. De
hecho, una cota del error absoluto es:
u=feval(fun,a);
n=1;
if sign(u)==sign(v)
disp('Error la función debe cambiar de signo en
(a,b)');
end
while ((b-a)*0.5==tol)
c=(b+a)/2; w=feval(fun,c);
disp(['n=', num2str(n)]);
en la n-ésima iteración. La bisección converge
linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin
embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y
f(b) tienen distinto signo.
Si existieran más de una raíz en el intervalo
entonces el método sigue siendo convergente pero
no resulta tan fácil caracterizar hacia qué raíz
converge el método.
disp(['c=', num2str(c)]);
disp(['f(c)=', num2str(w)]);
if sign(u)==sign(w)
a = c; u=w;
else
b=c; v=w;
end
n=n+1;
end;
x=c;
B. METODO DE NEWTON RAPHSON:
Donde f ' denota la derivada de f.
Nótese que el método descrito es de
El método de Newton-Raphson es un
método abierto, en el sentido de que su
convergencia global no está garantizada.
La única manera de alcanzar la
convergencia es seleccionar un valor
inicial lo suficientemente cercano a la
raíz buscada. Así, se ha de comenzar la
iteración con un valor razonablemente
aplicación exclusiva para funciones de una
sola variable con forma analítica o implícita
cognoscible. Existen variantes del método
aplicables a sistemas discretos que permiten
estimar las raíces de la tendencia, así como
algoritmos que extienden el método de
Newton a sistemas multivariables, sistemas
de ecuaciones, etc.
cercano al cero (denominado punto de
arranque o valor supuesto). La relativa
cercanía del punto inicial a la raíz
Estimación del Error
depende mucho de la naturaleza de la
propia función; si ésta presenta múltiples
puntos de inflexión o pendientes grandes
en el entorno de la raíz, entonces las
Se puede demostrar que el método de
Newton-Raphson tiene convergencia
cuadrática: si α es raíz, entonces:
probabilidades de que el algoritmo
diverja aumentan, lo cual exige
seleccionar un valor supuesto cercano a
la raíz. Una vez se ha hecho esto, el
método linealiza la función por la
recta tangente en ese valor supuesto. La
abscisa en el origen de dicha recta será,
según el método, una mejor
para una cierta constante C. Esto significa
que si en algún momento el error es menor o
igual a 0,1, a cada nueva iteración doblamos
(aproximadamente) el número de decimales
exactos. En la práctica puede servir para
hacer una estimación aproximada del error:
Error relativo entre dos aproximaciones
sucesivas:
aproximación de la raíz que el valor
anterior. Se realizarán sucesivas
iteraciones hasta que el método haya
convergido lo suficiente.
Sea f : [a, b] -> R función derivable
definida en el intervalo real [a, b].
Empezamos con un valor inicial x0 y
definimos para cada número naturaln
Con lo cual se toma el error relativo como si
la última aproximación fuera el valor exacto.
Se detiene el proceso iterativo cuando este
error relativo es aproximadamente menor
que una cantidad fijada previamente.
CODIGO EN MATLAB:
Programa escrito en Matlab para hallar las raíces
usando el método de NEWTON-RAPHSON
disp ('NEWTON-RAPHSON')
xo=input('Valor inicial =');
n=input ('numero de iteraciones=');
salida=ones(n,4); % matiz de salida de datos
for i=1:n
x1=xo-[(exp(-xo)-xo)]/[(-exp(-xo)-1)];
Ejemplo
vsal=[xo;x1];
er=[[abs((xo-x1)/xo)]]*100; % error relativo
porcentual
ea=[[abs((x1-xo)/x1)]]*100; % error
xo=x1;
Consideremos el problema de encontrar un
número positivo x tal que cos(x) = x3. Podríamos
tratar de encontrar el cero de f(x) = cos(x) - x3.
Sabemos que f '(x) = -sin(x) - 3x2. Ya que cos(x)
≤ 1 para todo x y x3 > 1 para x>1, deducimos que
nuestro cero está entre 0 y 1. Comenzaremos
probando con el valor inicial x0 = 0,5
salida(i,1)=i;
salida(i,2)=x1;
salida(i,3)=er;
salida(i,4)=ea;
end
disp('iteraizerea');
disp(num2str(salida));
Los dígitos correctos están subrayados. En
particular, x6 es correcto para el número de
decimales pedidos. Podemos ver que el número de
dígitos correctos después de la coma se
incrementa desde 2 (para x3) a 5 y 10, ilustando la
convergencia cuadrática.
III.
CONCLUSIONES:
En conclusión la mejor, mas rápido y
confiable de los métodos mencionados
anteriormente es el método de newton
raphson .
Donde f ' denota la derivada de f.
El método de Newton-Raphson es un
aplicación exclusiva para funciones de una
método abierto, en el sentido de que su
sola variable con forma analítica o implícita
convergencia global no está garantizada.
cognoscible. Existen variantes del método
La única manera de alcanzar la
aplicables a sistemas discretos que permiten
convergencia es seleccionar un valor
estimar las raíces de la tendencia, así como
inicial lo suficientemente cercano a la
algoritmos que extienden el método de
raíz buscada. Así, se ha de comenzar la
Newton a sistemas multivariables, sistemas
iteración con un valor razonablemente
de ecuaciones, etc.
cercano al cero (denominado punto de
arranque o valor supuesto). La relativa
cercanía del punto inicial a la raíz
depende mucho de la naturaleza de la
propia función; si ésta presenta múltiples
puntos de inflexión o pendientes grandes
en el entorno de la raíz, entonces las
probabilidades de que el algoritmo
diverja aumentan, lo cual exige
seleccionar un valor supuesto cercano a
la raíz. Una vez se ha hecho esto, el
método linealiza la función por la
recta tangente en ese valor supuesto. La
abscisa en el origen de dicha recta será,
según el método, una mejor
aproximación de la raíz que el valor
anterior. Se realizarán sucesivas
iteraciones hasta que el método haya
convergido lo suficiente.
Sea f : [a, b] -> R función derivable
definida en el intervalo real [a, b].
Empezamos con un valor inicial x0 y
definimos para cada número naturaln
Nótese que el método descrito es de