ALGUNAS DEMOSTRACIONES DE FÍSICA

ALGUNAS DEMOSTRACIONES DE
FÍSICA
INDICE
1.
Coordenadas de la velocidad y de la aceleración
2
2.
Ley del péndulo simple
4
3.
Estudio de un muelle
5
4.
Composición de movimientos vibratorios armónicos
6
5.
Interferencia de ondas
7
6.
Ondas estacionarias
8
7.
Energía transmitida por una onda
9
8.
Deducción de la ley de gravitación universal a partir de las leyes de kepler
11
9.
Campo gravitatorio y electrico.
12
10.
Teorema de gauss
15
11.
Campo eléctrico creado por una esfera y una placa uniformemente cargadas
16
12.
Variación de la intensidad del campo gravitatorio terrestre
17
13.
Variación del potencial gravitatorio terrestre
18
14.
Campo y potencial creado por un dipolo electrico
19
15.
Campo y potencial creado por un hilo cargado rectilineo e indefinido
20
16.
Fuentes de campo magnético
21
17.
Aplicación del campo magnético: El Ciclotrón
22
18.
Aplicación del campo magnético: El Espectrógrafo De Masas.
24
19.
Inducción electromagnética. autoinducción. inducción mutua
26
20.
El prisma óptico
28
21.
El dioptrio esférico
29
22.
Métodos de medida de la velocidad de la luz
30
23.
Física nuclear
32
24.
Física cuántica
33
25.
Filosofía de la teoría cuántica
36
26.
Movimiento relativo
37
© Jesús Millán Crespo 31 de marzo de 2008
“No sabemos lo que queremos, pero somos responsables de lo que somos”. (FILÓSOFO FRANCÉS)
1
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2º BACHILLERATO-Física
1. COORDENADAS DE LA VELOCIDAD Y DE LA ACELERACIÓN
Componentes cartesianas de la velocidad:
dr
dt
v = vx u x + v y u y
Componentes intrínsecas de la velocidad:
v=
v =
Velocidad
d r d r ds
=
= v ut y la velocidad es siempre
dt
ds dt
tangente a la trayectoria.
Aceleración
a=
dv d 2 r
= 2
dt
dt
dv y
dv x
ux +
uy
dt
dt
du
d v d (vu t ) dv
Componentes intrínsecas de la aceleración: a =
=
=
(1)
ut + v t
dt
dt
dt
dt
ut es un vector unitario de módulo constante por lo que es perpendicular a su derivada
temporal.
2
d ut
d ut
Como u t = 1 . Si derivamos esta expresión… 2 u t
= 0 se comprueba que
∝ un
dt
dt
d u t d u t ds
du
=
=v t
Por otro lado
dt
ds dt
ds
Componentes cartesianas de la aceleración: a = a x u x + a y u y =
Y
d ut
ds
=
dϕ 1
=
y esto porque
ds ρ
d u t = sen(dϕ ) ≈ dϕ
ds = ρ sen(dϕ ) ≈ ρ dϕ
y la expresión (1) queda:
dv
v2
ut + u n
dt
ρ
dv
El rimer término es la aceleración tangencial a t =
u t y representa las variaciones del
dt
v2
módulo de la velocidad. El segundo término la aceleración normal a = u n y representa las
a=
ρ
variaciones de la dirección de la velocidad.
2
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2º BACHILLERATO-Física
Tanto la velocidad como la aceleración son magnitudes vectoriales. Utilizando el cálculo
vectorial vamos a demostrar que en cualquier movimiento se cumplen las siguientes
relaciones:
a = at u t + a n u n
Siendo at =
a·v
v
y an =
a×v
v
y que el radio de curvatura de flexión es: ρ =
v
3
a×v
En el primer caso, la aceleración tangencial es la proyección de la aceleración sobre la
dirección tangente.
at = a · u t =
a·v
v
Por otro lado, si θ es el ángulo que forma ut y a .
a × ut = a sen θ y como a n = a sen θ
Y entonces se cumple que:
an = a × ut =
a×v
v
Nos queda demostrar cuanto vale el radio de flexión:
an =
v
2
ρ
=
a×v
v
luego
3
ρ=
v
3
a×v
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2. LEY DEL PÉNDULO SIMPLE
La única fuerza que actúa es el peso que se puede descomponer en su componente normal y
tangencial.
La componente normal se ve contrarrestada por la tensión del hilo y la componente tangencial
es la que va a dar lugar a la aceleración del movimiento.
FT = − m g senα
sen α = α =
arco
radio
Teniendo en cuenta esta aproximación para ángulos muy pequeños y la expresión de la fuerza
recuperadora:
FT = − m g
x
l
mg
FT = − k x
x
=kx
l
⇒
k=
mg
l
De acuerdo con la ley de Newton:
a=
FT
x
= −g
m
l
Lo que demuestra que el movimiento pendular, para pequeñas
oscilaciones tiene una aceleración proporcional y de sentido
contrario al desplazamiento y por tanto es un mas.
T
PT
Pn
Teniendo en cuenta que k = m w2
mg
= mω 2
l
de donde
T = 2π
P
l
g
Péndulo si α es mayor
Existe una ecuación algo más compleja que nos da el valor del periodo en función del ángulo.
T = 2π
l
1
(1 + α 2 )
g
16
4
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3. ESTUDIO DE UN MUELLE
Cuando un muelle esté en equilibrio, sobre él actúa el peso del cuerpo
(y el muelle), que actúan hacia abajo y la reacción del muelle.
Si separamos hacia abajo una pequeña distancia x de la posición de
equilibrio, el muelle ejerce una fuerza recuperadora en sentido
contrario de modo que cuando soltemos solo actuará esta fuerza.
F = −k x
F =m a
Dado que la fuerza responsable del movimiento es la de la Ley de
Hooke dara lugar a un movimiento armónico simple de aceleración:
a = − ω2 x
De este modo:
− k x =m a
− k x = −m ω x
2
Sustituyendo ω =
k =m ω2
2π
se obtiene el periodo de oscilación de un resorte:
T
T = 2π
m
k
El periodo del resorte será mayor cuanto mayor sea la masa, oscilará más lentamente y será
menor cuanto mayor sea la constante recuperadora.
5
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4. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS
Se pueden dar los siguientes casos:
a) Composición de movimientos vibratorios armónicos de la misma dirección y del mismo periodo (o
frecuencia).
b) Composición de movimientos vibratorios armónicos de la misma dirección y periodos diferentes (o
frecuencias). En este caso la amplitud estará modulada.
c) Composición de movimientos vibratorios armónicos perpendiculares y del mismo periodo (o frecuencia).
d) Composición de movimientos vibratorios armónicos perpendiculares y periodos diferentes (o frecuencias).
En este caso como ω1 ≠ ω2 la diferencia de fase ϕ no es constante y va variando. Se obtienen curvas muy
variadas, según la relación de los periodos de los movimientos componentes y de la diferencia de fase inicial
dando lugar a las curvas de Lissajous.
Como ejemplo compongamos dos movimientos perpendiculares tales como:
Donde ω1 = π/6 rad/s
Dibuja la gráfica para ω2 = 3/2·ω1
ω2 = 3·ω1
y
y
ϕ = π/6 rad
6
ϕ = π/4 rad
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5. INTERFERENCIA DE ONDAS
Dos ondas interfieren cuando coinciden en un mismo punto. La perturbación resultante es igual a la suma de las
perturbaciones que produciría cada una por separado.
El caso más interesante es cuando coinciden ondas armónicas coherentes (de igual amplitud y frecuencia).
*
recuerdese :
cos A + cos B = 2 cos
y1 = A cos( wt − kx 1 )
y 2 = A cos( wt − kx 2 )
y = y1 + y 2 = A cos( wt − kx 1 ) + A cos( wt − kx 2 )
*
⎛ wt − kx 1 − wt + kx 2 ⎞
⎛ wt − kx 1 + wt − kx 2 ⎞
y = 2 A cos ⎜
⎟
⎟ cos ⎜
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
x + x1 ⎞
⎛
⎛ x − x1 ⎞
y = 2 A cos ⎜ k 2
⎟
⎟ cos ⎜ wt − k 2
2 ⎠
2 ⎠
⎝
⎝
x + x1 ⎞
⎛
y = Ar cos ⎜ wt − k 2
⎟
2 ⎠
⎝
⎛ x − x1 ⎞
Ar = 2 A cos ⎜ k 2
⎟
2 ⎠
⎝
donde
Interferencia constructiva, valores máximos.
- Se producirá cuando Ar sea máxima e igual a 2A
⎛ x −x ⎞
cos⎜ k 2 1 ⎟ = 1
2 ⎠
⎝
x −x
k 2 1 = nπ
⇒
2
x2 − x1 = nλ
Interferencia destructiva, valores mínimos:
- Se producirá cuando Ar sea mínima e igual a 0
⎛ x −x ⎞
cos⎜ k 2 1 ⎟ = 0
2 ⎠
⎝
x −x
π
k 2 1 = (2n − 1)
2
2
⇒
x2 − x1 = (2n − 1)
7
λ
2
A+ B
A− B
cos
2
2
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6. ONDAS ESTACIONARIAS
Al contrario que una onda viajera, una onda estacionaria se encuentra confinada en un espacio limitado. En este
espacio coinciden la onda indicente y la reflejada, que viaja en dirección contraria formando uma onda
estacionaria.
ECUACIÓN DE ONDAS ESTACIONARIAS:
y = y1 + y 2 = A cos( wt − kx ) − A cos( wt + kx )
*
cos A − cos B = −2 sen
A+ B
A− B
sen
2
2
⎛ wt − kx + wt + kx ⎞ ⎛ wt − kx − wt − kx ⎞
y = −2 Asen ⎜
⎟ sen⎜
⎟
2
2
⎝
⎠ ⎝
⎠
y = −2 Asen ( − kx ) sen ( wt ) = 2 Asen ( kx ) sen ( wt ) = Ar sen ( wt )
En cuerdas:
Debe aparecer un nodo en los extremos (sen(kx) = 0 en x = 0 y x = L)
Rojo frecuencia fundamental, azul primer armónico y verde segundo armónico.
L=n
λ
λ=
o
2
2L
n
⇒
EN TUBOS ABIERTOS:
Debe aparecer un vientre en cada extremo
(sen (kx+π/2) = 1 en x = 0 y x = L)
L=n
f =
v
λ
λ
2
=
λ=
o
2L
n
⇒
nv
2L
EN TUBOS cerrados:
Debe aparecer un vientre en el extremo abierto y un nodo
en el cerrado.
(sen (kx) = 0 en x = 0 y sen (kx) = 1 en x = L)
L = ( 2n + 1)
λ
4
( 2n + 1)v
f = =
λ
4L
o
λ=
4L
⇒
2n + 1
v
8
f =
v
λ
=
n
n F
v=
2L
2L η
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7. ENERGÍA TRANSMITIDA POR UNA ONDA
Transmisión de energía por una onda armónica
En un movimiento ondulatorio lo que realmente se propaga, no es la materia sino un estado de movimiento. Por
tanto una onda trasmite momento y energía.
Cada partícula del medio que vibra tiene la energía del oscilador
armónico:
1
E = mω 2 A 2
2
La energía que transporta la onda en la unidad de tiempo,-la
potencia- es igual a la energía de todas las partículas contenidas en
la corona esférica de espesor dr.
Esta potencia no se acumula y va cruzando el medio de un punto a
una distancia r1 del foco a otro a distancia r2.
La misma energía, a medida que se propaga la onda, se reparte en
cada frente de ondas entre mayor número de partículas. Este
fenómeno recibe el nombre de atenuación.
La energía que llega al frente 1, a una distancia r1 del foco en la
unidad de tiempo debe ser la misma que llegue la frente 2, a una distancia r2:
1
1
dm ω 2 A12
dm2ω 2 A22
dE 2 1
=
=2
P=
dt
dt
dt
1
1
4 π r12 dr ρ ω 2 A12
4 π r22 dr ρ ω 2 A22
2
=2
dt
dt
La frecuencia de vibración es constante y si el medio es homogéneo e isótropo la velocidad de propagación
también es constante.
1
1
4 π r12 v ρ ω 2 A12 = 4 π r22 v ρ ω 2 A22
2
2
Entonces
r1 A1 = r2 A2
La atenuación es la disminución de la amplitud con la distancia al foco.
Intensidad de una onda
Para caracterizar la rapidez con que se propaga la energía, se define la intensidad de onda como la cantidad de
energía que atraviesa la unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación en la unidad de tiempo.
I=
E P
=
St S
La intensidad irá disminuyendo, a medida que nos alejamos del foco y la superficie aumenta.
P
P
=
S1 4 π r12
Entonces
P
P
I2 =
=
S 2 4 π r22
I1 =
I1 r22 A12
=
=
I 2 r12 A22
La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia.
9
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Absorción de energía por el medio
Experimentalmente se comprueba que la disminución real de la intensidad, y de
la amplitud, de una onda es mayor que la teóricamente calculada porque parte de
la energía es absorbida por el medio, al no ser éste perfectamente elástico.
La absorción de las ondas es proporcional a la intensidad incidente y al espesor
que atraviesa.
− dI = α I dx
Donde α es un coeficiente de proporcionalidad que depende del medio y de la
frecuencia de la onda, llamado coeficiente de absorción.
Separando variables e integrando:
dI
= −α dx …
I
ln
I
= −α d Entonces
I0
d
dI
= − ∫ α dx …
I0 I
0
∫
I
I = I 0 e −α d
Expresión conocida como ley de absorción, que indica que la
intensidad disminuye exponencialmente con el espesor del medio
absorbente.
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8. DEDUCCIÓN
DE LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL A PARTIR DE LAS LEYES DE
KEPLER
Supuestos:
- El Sol y los planetas son masas puntuales.
- El sistema de referencia tiene como origen de coordenadas el Sol.
- Solo se considera la interacción gravitatoria con el Sol (no las de los demás planetas).
- Los planetas describen órbitas circulares cuya ac = v2/R
Si se cumple la 2ª ley de Kepler: la velocidad areolar es
constante.
A1 = A2
s1 = s2
⇒
v1 t1 = v2 t 2 ⇒
v1 = v2
S2 A2
Esto implica un movimiento circular uniforme cuyo
periodo de revolución será:
2π R
T=
v
Sol
A1 S1
v 2 4π 2 R
y cuya aceleración centrípeta es: ac =
=
R
T2
a1 =
Para dos planetas que giran en torno al Sol tenemos:
4 π 2 R1
T12
de donde
a1 R1 T22
=
a2 R2 T12
4 π 2 R2
T22
Aplicando la tercera ley de Kepler: Los periodos al cuadrado son proporcionales a los
semiejes mayores al cubo.
T12 R13
=
T22 R23
Sustituyendo ahora encontramos que las aceleraciones a las que está sometido cada planeta
a
R2
son inversamente proporcionales al cuadrado de las distancias al Sol: 1 = 22 , para
a2 R1
1
cualquier planeta la aceleración es: a = k1 2 y la fuerza que actúa sobre el planeta será:
R
a2 =
F = m
k1
R
De acuerdo con el principio de acción y reacción, el Sol se verá sometido a una fuerza igual y
de sentido contrario.
k
k
k
k
F = m 12 = M 22 de donde el producto mk1 = Mk 2 y si llamamos a 1 = 2 = G tenemos la
R
M m
R
fuerza de interacción entre el planeta y el Sol será:
F =G
Mm
R2
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9. CAMPO GRAVITATORIO Y ELECTRICO.
CAMPO, gravitatorio o eléctrico, asociado a masas o cargas, es la región del espacio donde se manifiestan sus
efectos a través de la interacción gravitatoria o eléctrica.
Propiedades asociadas al campo:
a) Desde un enfoque dinámico: Intensidad de campo gravitatorio ( g ) o eléctrico ( E ): Son vectores.
b) Desde un enfoque energético: Potencial de gravitatorio ( V g ) o eléctrico ( VE ): Son escalares.
CAMPO ELÉCTRICO
CAMPO GRAVITATORIO
Interacción gravitatoria: Ley de Coulomb:
Interacción gravitatoria: Ley de Newton:
F = −G
m·m'
ur
r2
G = 6,67·10 −11
2
Nm
kg 2
F =k
q·q'
ur
r2
k=
1
4πε
- Es universal, no depende del medio y no es - No es universal, depende del medio y si es
apantallable.
apantallable.
Intensidad de campo en un punto: Es la fuerza ejercida Intensidad de campo en un punto: Es la fuerza ejercida
sobre la unidad de carga colocada en ese punto.
sobre la unidad de masa colocada en ese punto.
g=
Fgrav
m'
g = −G
m
ur
r2
- m: es la masa que crea el campo.
- r: vector de posición del punto.
E=
Feléc
q'
E =G
q
ur
r2
- q: es la carga que crea el campo.
- Si q>0 entonces E tiene el sentido que u r , Sale de q.
- El signo (-) indica que g es contrario a u r .
- La expresión es válida para masa puntual, o punto - Si q<0 entonces E es opuesto a u . Entra en q.
r
externo a una corteza esférica o esfera sólida.
- r: vector de posición del punto.
- La intensidad de campo en un punto interior
- El signo (-) indica que g es contrario a u r .
de una corteza esférica es nulo
M
- La expresión es válida para masa puntual, o punto
de una esfera sólida g = −G 3T r
externo a una corteza esférica o esfera sólida cargadas.
RT
Fuerza sobre una masa m’ colocada en un punto del Fuerza sobre una masa q’ colocada en un punto del
campo donde la intensidad es E :
campo donde la intensidad es g :
F = m' g
F = q' E
m’ se moverá siempre en el sentido de g . Hacia la
q’ se moverá siempre en el sentido de E si q’>0 y en
masa que crea el campo. Es una fuerza atractiva.
sentido contrario si q’<0.
Campo en un punto debido a varias fuerzas:
Campo en un punto debido a varias fuerzas:
g T = g1 + g 2 + g 3
ET = E1 + E2 + E3
Se suman vectorialmente.
Se suman vectorialmente.
El Campo gravitatorio terrestre:
g =G
MT
RT2
- Variación con la altitud (para h<<R):
⎛ 2h ⎞
⎟⎟
g ' = g ⎜⎜1 −
⎝ RT ⎠
- Variación con la latitud φ:
g neta = g − ω 2 RT cos 2 ϕ
ω: es la velocidad angular de rotación de la tierra.
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Trabajo y energía potencial gravitatoria:
W = − ΔEp
Trabajo y energía potencial eléctrica:
W = − ΔEp
W = Ep∞ − Epr
W = Ep∞ − Epr
- Al acercar m’ desde ∞ hasta P, a una distancia r de m: - Al acercar q’ desde ∞ hasta P, a una distancia r de q:
r
r
∞
∞
W = ∫ Fd r = ∫ − G
⇒
r
m m'
⎡ 1⎤
dr = −Gm m' ⎢− ⎥
2
r
⎣ r ⎦∞
m m'
W =G
r
Es positivo, las masas se acercan espontáneamente.
- Energía potencial gravitatoria: Su hacemos Ep∞=0
Ep r = −W
⇒ Epr = −G
m m'
r
r
q q'
⎡ 1⎤
W = ∫ F d r = ∫ k 2 dr = kq q' ⎢− ⎥
∞
∞
r
⎣ r ⎦∞
r
⇒
r
W = −k
q q'
r
Es positivo, cuando las cargas son de distinto signo. Se
acercan espontáneamente.
Es negativo, cuando las cargas son de igual signo. No
se acercan.
- Energía potencial eléctrica: Su hacemos Ep∞=0
Ep r = −W
- Energía potencial de varias masas:
⇒ Epr = k
q q'
r
Si las q son de igual signo Ep>0 y si son de distinto
signo Ep<0.
- Energía potencial de varias masas:
Ep = Ep12 + Ep13 + Ep14 + Ep23 + Ep24 + Ep34
Ep = Ep12 + Ep13 + Ep14 + Ep23 + Ep24 + Ep34
Se calculan todas las Ep correspondientes a todos los
pares de cargas (sin repetir). Se coloca cada carga con
su signo.
Se calculan todas las Ep correspondientes a todos los
Potencial eléctrico en un punto a distancia r:
pares de masas (sin repetir).
Es la energía potencial por unidad de carga q’ colocada
en ese punto.
Potencial gravitatorio en un punto a distancia r:
q
Ep
Es la energía potencial por unidad de masa m’
V=
⇒ V =k
colocada en ese punto.
q'
r
Vg =
Ep
m'
⇒
V g = −G
m
r
La carga se coloca con su signo, q>0 V>0 y q<0 V<0.
- Potencial en un punto debido a varias masas.
- Potencial en un punto debido a varias masas.
V = V1 + V2 + V3
V = V1 + V2 + V3
⎛q q
q ⎞
V = k ⎜⎜ 1 + 2 + 3 ⎟⎟
⎝ r1 r2 r3 ⎠
⎛m m m ⎞
V = −G⎜⎜ 1 + 2 + 3 ⎟⎟
r2
r3 ⎠
⎝ r1
-Movimiento de cargas en un campo eléctrico:
Si entre dos punto 1 (inicial) y 2 (final), existe una
-Movimiento de masas en un campo gravitatorio:
Si entre dos punto 1 (inicial) y 2 (final), existe una diferencia de potencial, la carga q’ se moverá, siendo:
diferencia de potencial, la masa m’ se moverá, siendo:
W = Ep1 − Ep 2 ⇒ W = q ' (V1 − V2 )
Las q<0 se mueven de menor a mayor V
W = Ep1 − Ep 2 ⇒ W = m' (V1 − V2 )
Las masas se mueven de mayor a menor potencial y espontáneamente, y las q>0 se mueven de mayor a
menor V.
como a su vez: W = ΔEc
A su vez: W = ΔEc
Ec2 − Ec1 = m' (V1 − V2 ) y v22 = v12 + 2(V1 − V2 )
Ec2 − Ec1 = q ' (V1 − V2 ) y v22 = v12 + 2(V1 − V2 )
Que es la variación de velocidad cuando una masa m’
Que es la variación de velocidad cuando una carga q’
se mueve entre dos puntos de diferente potencial.
se mueve entre dos puntos de diferente potencial.
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Relación entre intensidad y potencial:
Relación entre intensidad y potencial:
g=−
dV
dr
⇒ dV =
∫ − g dr
E=−
dV
dr
⇒ dV =
∫ − E dr
Si el campo g es constante (ej. movimientos en la Si el campo E es constante (ej. movimientos entre
superficie de la tierra)
placas planas y paralelas)
V2 − V1 = ∫ − g d r = − g (r2 − r1 ) = g h
V2 − V1 = ∫ − E d r = − E (r2 − r1 ) = E d
Siendo h el desplazamiento en la dirección del campo.
Siendo d el desplazamiento en la dirección del campo.
2
2
1
1
Movimiento de masas en campos gravitatorios Movimiento de cargas en campos eléctricos constantes:
constantes:
Como W = q ' (V1 − V2 ) ⇒ W = q ' E d
Como W = m' (V1 − V2 ) ⇒ W = m' g h
Como W = ΔEc ⇒ Ec 2 − Ec1 = q ' E d
Como W = ΔEc ⇒ Ec 2 − Ec1 = m' g h
2q ' E d
1
1
m' v22 − m' v12 = q ' Ed ⇒ v22 = v12 +
1
1
2
2
2
2
2
2
m
m' v2 − m' v1 = m' gh ⇒ v2 = v1 + 2 g h
2
2
La velocidad durante el movimiento depende de la
relación q’/m, así como de E y d
- Velocidad orbital: A partir de Fgrav = Fcentr
Movimiento de cargas que entran perpendicularmente
al campo (experimento de Thomson).
v2
M m'
G 2 = m'
r
r
GM
r
⇒ vo =
- Trabajo o energía para que m’ abandone un campo
gravitatorio:(ej. El terrestre)
W =G
M m'
R
- En dirección x, horizontal no hay fuerza alguna
(mru):
x = v0 t
Energía de amarre e la energía por unidad de masa, la - En dirección y, vertical hay una fuerza F=q·E que
energía de ligadura al campo terrestre =W/m’
produce una aceleración a=q·E/m. Por tanto en el eje y:
1
1qE 2
y = a t2 =
t que eliminando el tiempo
2
2 m
- Velocidad de escape: Es la que corresponde a una Ec
= W para que m’ escape abandone el campo
gravitatorio:
M m'
1
m ' v 2 = −G
R
2
⇒ ve =
2G M
R
- Energía de una orbita: Eórbita=Ec+Ep
1qE
y=
2 m
Flujo eléctrico y Teorema de Gauss
- Flujo eléctrico: número de líneas de fuerza que
atraviesan una superficie.
1
1 G M 1 G M m'
=
Ec = m' vo2 = m'
2
2
2
r
r
1 G M m' G M m'
−
2
r
r
E Órbita = −
Φ = E S = E S cos α
- Teorema de Gauss: que readiciona el flujo Φ a través
de una superficie cerrada con la carga neta encerrada
en su interior.
G M m'
por tanto:
Ep = −
r
EÓrbita =
2
⎛ x⎞
q E x2
⎜⎜ ⎟⎟ =
2 m v02
⎝ v0 ⎠
Φ=
⇒
G M m'
2r
14
∑Q
ε0
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10. TEOREMA DE GAUSS
Flujo de líneas de campo a través de una superficie
Supongamos una lluvia serena. Las trayectorias de las gotas de agua al caer nos sirven de
imagen de las líneas de fuerza del campo gravitatorio. La trayectoria de cada gota representa
pues, una línea de fuerza.
¿De qué depende el número de gotas que llegan a una baldosa de la superficie?
- De la superficie de la baldosa
- de la intensidad de la lluvia o número de gotas que caen.
- De la posición de la baldosa.
Basándonos en este símil se puede definir una nueva magnitud llamada flujo de líneas de
campo a través de una superficie como el número de líneas de campo que la atraviesan.
Φ E = E S cos α
ΦE = E S
ΦE = ∫ E d S
Φ G = g S cos α
ΦG = g S
ΦG = ∫ g d S
Como vemos se puede expresar como el producto escalar de dos vectores y si el campo no es
uniforme será preciso acudir al cálculo integral.
Recuerda que el flujo será positivo si las líneas salen de una superficie cerrada, mientras que
será negativo si entran.
Superficie gaussiana:
Es una superficie que encierra un sistema de cargas o masas de manera que en cualquier punto
de ella el campo es constante y perpendicular a la superficie, además el cálculo de la
superficie debe ser evaluable.
Flujo de una carga o masa puntual:
Φ = ∫ E ·d S = ∫ E ·ds = k
s
s
Q
Q
Q
ds = k 2 · 4 π r 2 = 4 π k Q =
2 ∫
r s
r
ε0
Φ = ∫ g ·d S = ∫ g ·ds = −G
s
s
m
m
ds = −G 2 · 4 π r 2 = −4 π G m
2 ∫
r s
r
Esto se puede generalizar para un sistema de cargas o masas.
El flujo total de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente
entre la suma algebraica de las cargas contenidas en el volumen limitado por ella y la
permitividad del vacío.
El flujo total de un campo gravitatorio que atraviesa una superficie cerrada es igual al
producto de la masa encerrada dentro del volumen limitado por la superficie multiplicada
por 4π veces la constante de gravitación.
Aplicaciones del teorema de Gauss:
La ley de Coulomb solo permite calcular el campo para cargas puntuales. En el caso de una
distribución continua de cargas y cuando los cuerpos presentan algún tipo de simetría, a partir
del Teorema de Gauss podremos calcular el campo eléctrico. Igualmente para el campo
magnético.
15
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11. CAMPO
ELÉCTRICO CREADO POR UNA ESFERA Y UNA PLACA UNIFORMEMENTE
CARGADAS
Campo creado por una esfera uniformemente cargada.
Supongamos una esfera uniformemente cargada (no puede ser conductora), y queremos hallar
la intensidad de campo en un punto A, a una distancia r del centro de la esfera. Trazamos por
el punto A una superficie esférica gaussiana (el campo en cualquier punto de ella es constante
y normal a la superficie). Aplicando el teorema de Gauss:
Q
∫ E·d S = ε
s
E=
⇒ E ∫ ds =
0
s
Q
ε0
⇒ E · 4 π r2 =
Q
ε0
E
r
A
R
1
Q
O
=k 2
2
4 π ε0 r
r
Resultado idéntico que para una carga puntual.
Campo creado por un plano uniformemente cargado.
La superficie gaussiana elegida en este caso es la de un paralelepípedo. Aplicando el teorema
de Gauss:
∫ E·d S =
s
E
∫ ds
Q
⇒ E ∫ ds =
ε0
s
∫ ds
+E
cara sup erior
cara inf erior
E
Q
Q
ε0
E
ε0
+E
∫ ds
caras laterales
=
Q
ε0
Como por las caras laterales no hay flujo, la tercera integral es nula.
E·s+E·s=
E
⇒ E=
Q
σ
=
2 S ε0 2 ε0
16
E
E
E
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12. VARIACIÓN DE LA INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE
Variación de la gravedad con la altitud (r>R)
Para hallar el valor de la gravedad a una distancia r = R+h, aplicamos el teorema de Gauss
tomando una superficie gaussiana de radio r.
r
∫ g·d s = −4 π G M
R
⇒ g ∫ ds = −4 π G M
s
g A
s
GM
R2
=
g
0
r2
r2
Variación de la gravedad con la aproximación al centro de la Tierra (r<R)
g · 4 π r 2 = −4 π G M
⇒ g=−
Para hallar g en un punto A situado a una distancia r = R-h del centro de la Tierra, se toma la
superficie esférica de radio r y se aplica el teorema de Gauss.
∫ g·d s = −4 π G m
s
⇒ g ∫ ds = −4 π G m ⇒ g · 4 π r 2 = −4 π G m
s
m = v ρ = 4/3π r ρ
3
M =V ρ = 4/3π R ρ
3
⇒
m r3
=
M R3
rg
A
R
GM r 3 g 0
Gm
g=− 2 =− 3 2 =
r
R
r
R r
Representación gráfica de la variación de la aceleración de la gravedad con la distancia
al centro de la Tierra
17
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13. VARIACIÓN DEL POTENCIAL GRAVITATORIO TERRESTRE
Se parte de la relación existente entre el potencial y la intensidad de campo gravitatorio:
g =−
dV
dr
Variación del Potencial con la altitud (r>R)
dV = − g dr
∫ dV = ∫ − g dr
M
∫ dV = ∫ G r
2
dr
⇒
V =−
GM
+C
r
Condicione s de contorno
V =−
GM
r
Cuando r = ∞ entonces V = 0
0 = 0+C ⇒ C = 0
Variación del potencial con la aproximación al centro de la Tierra (r<R)
dV = − g dr
∫ dV = ∫ − g dr
∫ dV = ∫ G
Mr
dr
R3
GM r 2
+C
R3 2
Condicione s de contorno
⇒
V =
Cuando r = R entonces V = −G
−G
M
R
3GM
M GM R 2
= 3
+C ⇒ C = −
2R
R
R 2
Representación gráfica de la variación
de la aceleración de la gravedad con la
distancia al centro de la Tierra
18
V =−
GM 2
(r − 3R 2 )
3
2R
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14. CAMPO Y POTENCIAL CREADO POR UN DIPOLO ELECTRICO
Dipolo: Dos cargas +q y –q separadas una distancia 2a.
En un punto P del eje y
V = V1+ V2
P
q
V =k
a2 + y2
a
−q
+k
a2 + y2
=0
E = 2 E1cos α
E =2k
Si y >> a Î V = 0
q
a + y2
E=2k
y
a
2
a +y
2
2
=2k
qa
(a
2
+ y2
qa
y3
En un punto P del eje x
V = V1 + V2
a
E = ( E1 − E2 ) i
E = 4k
E2
R
E1
P
V =k
−q
qa
q
+k
=2k 2
x − a2
x+a
x−a
E=−
también
dV
dx
qax
( x − a 2 )2
2
Si x >> a Î V = 2 k
qa
x2
y
E=4k
19
qa
x3
)
3
2
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15. CAMPO Y POTENCIAL CREADO POR UN HILO CARGADO RECTILINEO E INDEFINIDO
A partir de la definición de campo eléctrico
E=k
q
u r ; o de forma diferencial
r2
dE = k
dq
ur
r2
El campo creado en un punto a una distancia R del conductor indefinido tiene la dirección de
r, pero solo su componente en el eje y se anula y E = ∑ E x .
λ=
La densidad lineal de carga es
r = R sec θ;
E=
E=
1
4π εo
∫
+∞
−∞
l = R tg θ;
λ dl
r
2
cos θ = 2·
dl = R sec 2 θ dθ; .
1
4π εo
+π / 2
λ
cos θ dθ
∫
2π εo R 0
E=
dq
. Y considerando la geometría del problema:
dl
∫
+π / 2
0
λ R sec 2 θ dθ
cos θ
R 2 sec 2 θ
R
r
l
⇒
θ Ex
R E
λ
2 π εo R
Para hallar el potencial eléctrico utilizamos la relación E = −
∫1
dl
V
λ
dR = − ∫ dV
0
2 π εo R
⇒
V =−
dV
dR
λ
ln R
2 π εo
A partir del teorema de Gauss
La superficie S gaussiana es un cilindro que envuelve el conductor.
- Es una superficie evaluable, (podremos resolver la integral)
- El E es siempre perpendicular a la superficie.
- El campo es constante en todos los puntos de la superficie, (el E sale de la integral).
Aplicando el teorema de Gauss
E ∫ ds =
s
E=
Q
ε0
⇒
E ·2π R · L =
Q
l
ε0
λ
Q
=
2 π R L ε0 2 π R ε0
E
R
S
20
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16. FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO
Así como los campos eléctricos son creados por cargas, los campos magnéticos son creados
por cargas en movimiento o corrientes eléctricas.
Campo creado por un elemento de corriente Ley de Biot Savart.
d B = k'
I
(d l × u r )
r2
Dada una corriente eléctrica I, cada elemento de corriente d l , crea un elemento de campo en
un punto d B , (vector inducción magnética) que es directamente proporcional a la intensidad
de corriente que circula por el conductor, inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia del elemento de corriente al punto considerado y cuyo sentido viene dado por el
producto vectorial (d l × u r ) .
A) Campo creado por un conductor rectilíneo e indefinido.
∞
B=
∫ k'
−∞
I
(d l × u r ) =
r2
∞
∫ k'
−∞
I ·dl ·sen α
r2
dl α
ur
observando la figura se comprueba :
sen α = sen φ = cos β
d = r cos β
⇒
r=
d
cos β
l
⇒ l = d ·tg β
d
sustituyen do
tg β =
∞
B=
∫ k' I
−∞
B=
O
⇒
dl = d ·
cos 2 β
dβ
d
cos β = 2
2
d
cos 2 β
2k ' I
[sen β ]π0 / 2
d
l
π /2
∫
0
φ
r
β
dB
P
d
dβ
cos 2 β
k'I
cos β ·dβ
d
μ I
2k ' I
=
= 0
d
2π d
Y se comprueba que solo depende de la intensidad de la corriente y de la distancia a la que se
encuentre el punto.
B) Campo creado por una corriente circular en su centro.
B = ∫ k'
C
I
(d l × u r ) =
r2
2π r
∫
0
k'
2π k' I μ0 I
I
dl =
=
2
r
2r
r
dB
C) Campo creado por una bobina circular en su centro.
dur
Una bobina son N espiras sin extensión.
B=N
I
dl
2π k' I μ0 N I
=
r
2r
21
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17. APLICACIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO: EL CICLOTRÓN
El ciclotrón es un acelerador de partículas circular que, mediante la aplicación combinada de
un campo eléctrico oscilante y otro magnético consigue acelerar los iones haciéndolos girar
en órbitas de radio y energía crecientes.
Supongamos el siguiente problema:
En un determinado CICLOTRÓN, los protones (mp=1,6726·10-27 kg), describen una
circunferencia de 0,40 m de radio poco antes de emerger. La frecuencia del potencial alterno
entre las “DES” es de 107 Hz. Despreciando los efectos relativistas, calcular: a) El campo
magnético utilizado. b) La velocidad de los protones cuando salen del acelerador. c) La
energía de los protones en J y en MeV. d) El número mínimo de vueltas completas de los
protones si el máximo del potencial entre las “DES” es de 20.000 V. e) Lo mismo para un
deuterón de masa 2,014 uma.y para una partícula α 24 He 2+ de masa 4,003 uma.
(Dato: 1 uma=1,660·10-27 kg)
(
)
Descripción del Ciclotrón
El ciclotrón consta de dos conductores huecos en forma de D, que han sido montados
simétricamente y separados una pequeña distancia en una cámara de vacío. Se encuentran a
su vez dentro de un fuerte campo magnético perpendicular. En la figura se ha dibujado la
planta y el alzado. Simultáneamente se aplica un campo eléctrico de alta frecuencia, que
suministra energía a las “Des”.
Cuado se introduce una partícula cargada en su centro, se verá acelerada hacia la D cargada
de signo contrario, una vez dentro de la D, queda protegida de las fuerzas eléctricas ya que el
campo eléctrico en el interior de un conductor es nulo (jaula de Faraday). En cambio el
campo magnético obliga a la partícula a realizar una semicircunferencia de radio r=mv/qB.
En el interior la velocidad no cambia, y cuando a realizado media circunferencia cambia el
signo del potencial eléctrico de las “Des”. Justo en este momento, cuando sale de la D, se
verá acelerada hacia la otra D, entrando a una velocidad mayor y describiendo una
semicircunferencia mayor. Sin embargo el tiempo que tarda en realizar cada semiciclo es el
mismo. La partícula cargada se mueve cada vez más deprisa realizando circunferencias cada
vez más amplias hasta que llega al extremo donde se encontrará con una placa deflectora que
dirige la partícula hacia un blanco determinado.
22
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Ecuaciones del ciclotrón
qvB=m
Radio de la partícula:
r=
Frecuencia del oscilador eléctrico:
v2
r
⇒
mω r m 2π f r
=
qB
qB
r=
⇒
f =
mv
qB
qB
m 2π
A esta frecuencia se le denomina frecuencia de resonancia.
La energía cinética que adquieren las partículas aceleradas depende de su velocidad y por
tanto del radio del ciclotrón, R.
1
1 q2B2R2
Ec = mv 2 =
2
2 m
Resolvamos ahora el problema:
a) Conocida la relación q/m de la partícula acelerada, para cada frecuencia característica del
ciclotrón es preciso modificar B hasta cumplir la condición de resonancia.
q B
m
⇒ B = 2π f = 0,657 T
m 2π
q
b) La velocidad cuando los protones salen del acelerador corresponde con el radio máximo.
f =
v=
RqB
m
⇒ v = 2,514·10 7 m / s
c) la energía cinética, será la que corresponde a esta velocidad
1
Ec = mv 2
2
⇒ Ec = 5,285·10 −13 J = 3,303 MeV
d) Cada media vuelta la partícula es acelerada, y el campo eléctrico realiza un trabajo
eléctrico que se convierte en energía cinética.
W = q V = Ec
⇒
2 n q V = 5,285·10 −13
⇒ n = 82 vueltas
Para el caso del deuterón y de la partícula alfa.
Partícula
1
+
Protón 1 H
Deuterón
2
1
H+
4
2+
Partícula α, 2 He
m
q
B = 2π f
1,05·10-8 Kg
0,657 T
-8
m
q
v=
RqB
m
2,51·107 m/s
7
Ec =
1 2
mv
2
n=
Ec
2qV
3,303 MeV
82 vueltas
2,09·10 Kg
1,31 T
2,51·10 m/s
6,602 MeV
165 vueltas
2,077·10-8 kg
1,305 T
2,51·107 m/s
13,12 MeV
164 vueltas
Compara los resultados de las distintas partículas.
23
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18. APLICACIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO: EL ESPECTRÓGRAFO DE MASAS.
Una de las aplicaciones más importantes de las fuerzas eléctricas y magnéticas que actúan
sobre partículas, es la determinación de masas isotópicas de los elementos. En los
espectrógrafos se aceleran los isótopos cargados en un campo eléctrico, hasta adquirir una
determinada energía. Después se introducen en un espacio en el que existe un campo
magnético perpendicular a la velocidad de los iones y, éstos se separan según sus masas.
Midiendo los radios de las trayectorias descritas, podemos determinar su masa (si conocemos
su carga).
Supongamos el siguiente problema:
En un espectrómetro de masas se ioniza Mg, acelerando luego los iones con una d.d.p. de
1000 V. Si el campo magnético perpendicular, existente en el semicírculo es de 0,2 T, se
pide: a) Los radios de las trayectorias descritas por los iones 1224 Mg + , 1225 Mg + , y 1226 Mg + con
una carga +e , así como las distancias entre las líneas formadas por los isótopos sobre la placa
fotográfica. Supón que las masas atómicas de los isótopos son, en uma, iguales a sus números
másicos. b) En otra situación, con una d.d.p. de 3000 V un ion desconocido con carga +e,
describe una órbita semicircular de 13,67 cm de radio ¿cuál será su masa? ¿De qué iones
puede tratarse? Datos qe = 1,6·10-19C, NA = 6,023·1023 mol-1
a) El esquema de un espectrógrafo de masas como el descrito, puede ser el siguiente:
El campo magnético B en el
semicírculo del espectrógrafo, es
Cámara de ionización
perpendicular al plano dibujado y
hacia arriba. El campo eléctrico E
entre las placas del condensador plano
dibujado, acelera los iones que,
E
entrarán en el semicírculo con una
determinada velocidad que dependerá
de la diferencia de potencial entre las
placas y de las característica de carga y
de masa de cada partícula. Si
B
llamamos V a la diferencia de
potencial entre la placa positiva y la
negativa, el trabajo realizado por las fuerzas del campo eléctrico se habrá convertido en
energía cinética de los iones, así, podemos escribir:
2qV
1
que, como
qV = mv 2 … de donde, la velocidad adquirida por cada ión será: v =
m
2
vemos, depende de la relación q/m de cada partícula.
Aunque la velocidad es distinta para cada ión, siempre que su carga sea la misma, llegarán al
campo magnético con la misma energía.
Una vez entran en el campo magnético, sobre dichos iones aparece una fuerza magnética,
perpendicular a v y a B por lo que actuará como centrípeta, cambiando la dirección de
v pero no su módulo. La trayectoria descrita debe ser pues una semicircunferencia hasta
incidir en la placa fotográfica del espectroscopio.
24
Departamento de Física y Química - 25/42
2º BACHILLERATO-Física
(
Fm = q v × B
)
como v y B son perpendiculares, Fm será centrípeta: Fm = q v B = m
siendo R el radio de la semicircunferencia descrita. Este radio será: R =
valor de velocidad obtenido anteriormente: R =
v2
R
mv
y, utilizando el
qB
2mV
qB 2
Como vemos, el radio del semicírculo que describen los iones depende de: la relación m/q de
las partículas, del potencial acelerador y, del campo magnético. Si la carga de las partículas es
la misma, el radio sólo dependerá de la masa de las partículas, dado que las características del
espectrógrafo en cuanto a valores de V y B, son constantes.
En nuestro caso concreto, para determinar la distancia entre las líneas formadas por los tres
isótopos del Mg sobre la placa fotográfica, calcularemos los radios de las trayectorias
descritas por cada ión (los tres tipos Caso
A
m=
2mV
de iones tienen carga +e).
R=
NA
qB 2
Conocidos los radios de las 24 Mg +
0,1115 m = 11,15 cm
3,9847·10-26 kg
12
trayectorias descritas, las distancias 25
+
-26
0,1139 m = 11,39 cm
4,1058·10 kg
entre las líneas obtenidas en la placa 12 Mg
26
+
0,1161 m = 11,61 cm
4,3168·10-26 kg
fotográfica serán:
12 Mg
Distancia entre las dos primeras líneas: 2 (11,39 - 11,15) = 0,48 centímetros
Distancia entre las dos últimas líneas : 2 (11,61 – 11,39 ) = 0,44 centímetros
b) En este caso, se plantea utilizar el espectrógrafo de masas para determinar la masa de un
ión desconocido, sabiendo el radio de la trayectoria descrita en unas determinadas
condiciones. Se supone que, la carga de dicho ión es +e. Como la d.d.p. se ha elevado a 3000
V, y el campo magnético lo suponemos constante e igual a 0,2 T, de las expresiones
utilizadas anteriormente deducimos:
2mV
R 2 qB 2
=
=1,99327·10-26 kg. Pasando la masa a unidades de
entonces
m
2
qB
2V
-26
masa atómicas: m = 1,99327·10 · 6,023·1026 = 12,0054 u, podría ser pues un átomo de
12 +
con una carga positiva.
6C
De R =
En todos las casos anteriores, si los iones tienen dos cargas positivas, los radios de las
trayectorias descritas serán los mismos valores obtenidos anteriormente divididos por 2 .
25
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19. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. AUTOINDUCCIÓN. INDUCCIÓN MUTUA
Inducción electromagnética es el fenómeno por el que aparecen corrientes eléctricas en un
circuito cuando varía el flujo magnético que lo atraviesa.
Este fenómeno viene determinado por la ley de Faraday, que hace referencia al valor de la
corriente inducida, y la ley de Lenz, que hace referencia al sentido de esta corriente que se
opone a la variación de flujo.
ξ = −N
dΦ
dt
Autoinducción: Son corrientes inducidas en el propio circuito al variar la intensidad de la
corriente que circula por él.
La variación de flujo en este caso es debida a la variación de la intensidad de corriente lo que
va a generar una fuerza electromotriz y una intensidad en sentido contrario en el circuito.
dΦ
dI
=k
dt
dt
ξ = −N
dΦ
dI
dI
= − kN
= −L
dt
dt
dt
de donde
L=
NΦ
I
Don de L es una característica del circuito que se llama coeficiente de autoinducción y se
mide en henrios.
Para un solenoide el flujo magnético es Φ = B·S , y el campo magnético de un solenoide es
μNI
μ N2 S
B=
, de donde se obtiene que el coeficiente de autoinducción es L =
.
L
L
Un caso interesante son las extracorrientes de cierre y apertura en un circuito: Todo circuito
tiene una parte resistiva, que representamos por una resistencia, y una parte inductiva, que
representamos por una bobina.
Supongamos un circuito abierto, que cerramos, y durante el
estado transitorio, la intensidad que circula por él irá en
aumento. Paralelamente aparecerá una fem inducida que se
opone a este aumento. Si aplicamos la Ley de Ohm
generalizada, tenemos:
I=
∑ε
∑R
⇒
I
ε + ε ´= I R
Y sustituyendo el valor de la fem inducida…
dI
que separando variables tenemos
ε − L = IR
dt
I
dI
t
R
∫0 ε = − L ∫0 dt
I−
R
I
R
− t ⎞
ε⎞
ε ⎛⎜
R
⎛
ln⎜ I − ⎟ = − t
de donde se obtiene
I = ⎜1 − e L ⎟⎟
R
L
R⎝
⎝
⎠ 0
⎠
El término exponencial corresponde a la extracorriente de cierre.
26
cuya solución es :
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Supongamos ahora un circuito cerrado, que abrimos, y
durante el estado transitorio, la intensidad que circulaba por
él irá disminuyendo. Paralelamente aparecerá una fem
inducida que se opone a esta disminución. Si aplicamos la
Ley de Ohm generalizada, tenemos:
I=
∑ε
∑R
⇒
I
ε ´= I R
Y sustituyendo el valor de la fem inducida…
dI
−L
= IR
que separando variables tenemos
dt
I
t
dI
R
∫I I = − L ∫0 dt
0
cuya solución es :
ε −L t
R
t
de
donde
se
obtiene
I
=
e
I0
L
R
Que corresponde a la extracorriente de apertura.
ln (I )
I
R
=−
Aquí se representan la corriente de apertura en
color verde y la extracorriente de cierre en color
rojo.
La inducción mutua se produce cuando la
variación de intensidad de corriente en un
circuito que lleva asociada una variación de
flujo induce en un circuito próximo a él una
fuerza electromotriz.
Al primer circuito lo llamamos primario y al
segundo secundario y el flujo magnético se
transmite a través de un bloque de material
ferromagnético La principal aplicación son los transformadores.
Un transformador solo funciona con corriente alterna. La variación de intensidad produce una
variación de flujo que será el mismo en ambas bobinas, porque están unidas por el mismo
núcleo.
dΦ
dt
dΦ
ε 2 = −N2
dt
ε 1 = − N1
ε 1 N1
=
ε2 N2
Si partimos del supuesto que el transformador no tiene pérdidas de energía. La potencia de
entrada en el primario será igual a la potencia de salida en el secundario.
ε 1 I1 = ε 2 I 2
⇒
27
ε 1 I 2 N1
=
=
ε 2 I1 N 2
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20. EL PRISMA ÓPTICO
Ecuaciones del prisma:
sen i = n sen r
sen i´= n sen r´
ϕ = r + r´
(1)
(2)
(3)
δ = i + i´−ϕ
(4)
Hay un rayo particular en el que la desviación es mínima y se cumple por tanto que
Derivando (4):
dδ
d i´
= 1+
di
di
si
dδ
=0
di
d i´
= −1
di
⇒
⇒
dδ
= 0.
di
d i´= − d i
(5)
Diferenciando las ecuaciones (1), (2) y (3):
cos i d i = n cos r d r
(6)
cos i´ d i´ = n cos r´ d r´
0 = d r + d r´
(7)
(8)
Dividiendo la ecuación (7) entre la (6) y sustituyendo el valor dado en la ecuación (5):
1=
cos r´ cos i
cos r cos i´
Ecuación que para ángulos inferiores a π/2 solo tiene como solución: i = i´ y r = r´. Se cumple
igualmente que el rayo dentro del prisma es paralelo a la base.
De este modo la desviación mínima es:
δ min = 2 i − ϕ
y se cumple para un ángulo de incidencia
i=
δ min + ϕ
2
Esta ecuación, una vez determinado experimentalmente el ángulo de desviación mínima, nos
permite determinar el índice de refracción del prisma, sustituyendo en la expresión (1).
n=
sen
δ min + ϕ
sen
28
2
ϕ
2
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21. EL DIOPTRIO ESFÉRICO
Es una superficie, plana o curva, que separa dos medios de diferente índice de refracción.
Convenio de signos.
• Las distancias, puntos y ángulos, relativas al objeto se denominan con letras minúsculas,
mayúsculas y letras griegas. Las relativas a las imágenes con apóstrofe.
• La luz incide de izquierda a derecha
• Las magnitudes lineales: se toma un eje de coordenadas con origen en el centro del
sistema óptico O, siendo el eje de abscisas el eje óptico AA´.
• Para los ángulos que van del rayo al eje óptico, se utiliza el giro contrario a las agujas del
reloj como positivo, pero los ángulos de incidencia y refracción con la normal se
consideran positivos si tienen el giro de las agujas del reloj.
Aplicando las leyes de la reflexión en la superficie del dioptrío, y teniendo en cuenta los
criterios de la óptica paraxial (si el ángulo es muy pequeño senα ≈ tgα ≈ α).
n sen iˆ = n' sen iˆ'
≅
n tg iˆ = n' tg iˆ'
≅
n iˆ = n' iˆ'
iˆ = αˆ + ϕˆ
ϕˆ = βˆ + iˆ'
y teniendo en cuenta el criterio de signos:
n (ϕˆ − αˆ ) = n' (ϕˆ − βˆ )
⇒
iˆ = −αˆ + ϕˆ
.
ϕˆ = βˆ + iˆ
⎛ h h⎞
⎛h h⎞
n ⎜ − ⎟ = n' ⎜ − ⎟
⎝R s⎠
⎝ R s' ⎠
Y simplificando y ordenando tenemos:
n' n n'− n
− =
la ecuación del dioptrío esférico.
s' s
R
Para el dioptrío plano solamente hay que considerar r= ∞ y tenemos:
Y para un espejo esférico habría que considerar que n=-n’ y entonces:
Finalmente para un espejo plano R = ∞ y se tiene: s = − s '
29
n' s '
=
n s
1 1 2
+ =
s' s R
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22. MÉTODOS DE MEDIDA DE LA VELOCIDAD DE LA LUZ
a) Método de Römer (1675)
El satélite Io de Júpiter está en
una órbita coplanaria con la
tierra y queda eclipsado en cada
revolución alrededor de Júpiter,
lo que supone enviar señales
periódicas a la Tierra.
J2
r2
r1
T1
Sol
T2
J1
Órbita de
la Tierra
Satélite Los eclipses de Io duran algo
más en la posición T2 que en la
Io
posición T1. Este retraso permite
medir la velocidad de la luz:
c = (r2-r1)/Δt
Órbita de
la Júpiter
b) Método de Fizeau (1849)
M = manantial luminoso
L1, L2, L3 y L4 = Lentes convergentes
E1 = Espejo semiplateado
L4
E2 = Espejo plano
R = rueda dentada
O = Observador
E1
L3
L2
E2
R
O
d
L1
M
La luz en su recorrido se puede encontrar con un diente de la rueda R o un hueco. Si se hace
girar la rueda lentamente, la luz encuentra hueco tanto a la ida como a la vuelta; se va
aumentado la velocidad de rotación hasta que el observador no recibe luz, lo que indica que
en el tiempo empleado por la luz en ir de R a E2 y regreso un diente ha sido sustituido por el
diente que le sigue. Conociendo la distancia RE2, el número de dientes de la rueda y el
número de revoluciones de la misma se calcula la velocidad de la luz.
30
Departamento de Física y Química - 31/42
2º BACHILLERATO-Física
Ejemplo: La distancia entre los espejos en el dispositivo de Fizeau para medir la velocidad de
la luz es de 20 km. La rueda dentada es de 25 mm de radio y 250 dientes. ¿Cuál ha de ser la
velocidad con que debe girar la rueda para que la luz que pasa por un hueco regrese por el
Solución: 30 rps
siguiente? Dato c = 3·105 km/s
c) Método de Michelson (1926)
O
E2
E
E1
M
El método de Fizeau fue perfeccionado por Foucault, sustituyendo la rueda dentada por un
espejo plano giratorio. Michelson perfecciono aún más este dispositivo, sustituyendo el espejo
plano por otro octogonal. Por este método se llego a obtener un valor de la velocidad de la luz
c = 2,997969·108 m/s.
31
Departamento de Física y Química - 32/42
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23. FÍSICA NUCLEAR
Fuerzas nucleares: atractivas, muy intensas, de muy corto alcance, p-p, p-n, n-n.
Estabilidad nuclear: Diagrama nº de neutrones frente a nº de protones.
Energía de enlace: es el defecto de masa nuclear convertido en energía de estabilización.
E = Δm(u )·931 en MeV
ΔE = Δm·c 2 en J
H Bequerel (1895) observó que el sulfato de uranilo producía fluorescencia al incidir sobre él
una radiación, pero no había relación entre la intensidad y la fluorescencia obtenida; pero el
fenómeno era proporcional a la cantidad de uranio.
Posteriormente los esposos Curie observaron el mismo fenómeno al separar el radio de la
pechblenda.
E. Rutherford estudió la radiación emitida descubriendo tres tipos distintos de radiación:
Radiación α (positiva): 24α ó He 2+ E=7,7 MeV y v=1,9·107 m/s
ó e E=3,1 MeV y v=2,97·108 m/s
Radiación β (negativa): −1 β
Radiación γ (neutra): γ ó hν , radiación de alta energía.
0
−
−
La radiactividad es la transformación de unos átomos en otros por emisión de radiación α o
β de los átomos iniciales
dN
⇒
= −λ dt
dN = −λ N dt
Ley de desintegración radiactiva:
N
N
t
dN
N
=
∫N N ∫0 − λ dt ⇒ ln N 0 = −λ t
0
N = N 0 e −λ t
Periodo de semidesintegración: es el tiempo para que una muestra radiactiva disminuya su
0,693
masa o su número de átomos a la mitad (t cuando N=N0/2). T1 2 =
λ
Vida media: es la suma de todos los tiempos de existencia de todos los átomos dividida por el
∞
1 ∞
1 ∞
1
número de átomos. τ =
t dN =
t λ N dt = − λ ∫ t e −λ t dt
⇒τ =
∫
∫
0
0
0
λ
N0
N0
Unidad radiactiva (SI): el bequerel; 1Bq = 1 desintegración/s.
Transformaciones radiactivas:
- Transformación α: ZA X → ZA−−42Y + 24 α + Q + γ
- Trasformación β: ZA X → Z +A1Y + −10β + ν + Q + hν
Series radiactivas:
208
- A = 4n: 232
90Th K→ 82 Pb ;
T1/2 =1,41·1010 años
-
6
209
A = 4n+1: 237
93 Np K→ 82 Pb ; T1/2 =2,14·10 años (es la serie artificial)
-
A = 4n+2:
-
A= 4n+3:
-
También hay otros elementos que no pertenecen a ninguna serie: 12 H ; 13H ; 104Be; 146C...
U K→ 206
82 Pb ;
T1/2 =4,51·109 años
U K→ 207
82 Pb ;
T1/2 =7,18·108 años
238
92
235
92
32
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24. FÍSICA CUÁNTICA
Planteamientos iniciales:
La radiación electromagnética: Toda carga acelerada emite radiación electromagnética, esto
implica que el modelo de Rutherford no es estable.
La radiación del cuerpo negro. Hipótesis de Planck: Cada oscilador puede absorber o emitir
energía de radiación en una cantidad proporcional a su frecuencia:
E = hν .
Ley de Wien: La longitud de onda, para la cual la intensidad de radiación emitida es máxima,
disminuye al aumentar la temperatura:
λmáx ⋅ T = 2,9 ⋅10 −3 m·K
Ley de Stefan-Boltzman: La energía total emitida por un cuerpo negro, por unidad de
superficie y de tiempo, o intensidad de radiación, a una temperatura determinada, es
directamente proporcional a la cuarta potencia de su temperatura:
I total = σ ⋅ T 4
σ = 5,67 ⋅10 −8 w·m −2 ·K −4
El efecto fotoeléctrico. Teoría de Einstein. Emisión de electrones por las superficies metálicas
cuando se iluminan con luz de frecuencia adecuada.
- Para cada metal existe una frecuencia mínima umbral.
- Solo cuando ν > νumbral, la Icorriente es proporcional a la Iluminosa.
- La Ec de los electrones aumenta al hacerlo la frecuencia de la luz incidente, pero es
independiente de la intensidad luminosa.
Energía del fotón =Trabajo de extracción + Energía cinética del electrón
1
hν = Wextracción + mv 2
2
Espectros atómicos. Ecuación de Rydberg.
k=
⎛ 1
1 ⎞
= R⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟
λ
⎝ n1 n2 ⎠
1
n2 > n1
R = 1,09677·10 7 m −1
Modelo atómico de Bohr. Postulados.
- El electrón gira en torno al núcleo en órbitas estables y sin emitir energía.
- El electrón no puede girar en cualquier órbita, solo en aquella en que el momento angular
sea un múltiplo entero de h/2π.
- Cuando un electrón cambia de orbita emite o absorbe un cuanto de luz: E2-E1 =hν
33
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Principios de la Mecánica Cuántica
La mecánica cuántica, en su formulación ondulatoria, tiene como base física de partida el
principio de dualidad onda-corpúsculo de De Broglie y el principio de incertidumbre de
Heisemberg, a parte, de la hipótesis de Planck.
Principio de dualidad onda corpúsculo de De Broglie
De Broglie fue capaz de unir la teoría corpuscular de la luz (defendida por Newton) y la teoría
ondulatoria de al luz (defendida por Huygens).
Si la luz está formada por corpúsculos, estos estarán caracterizados por un momento lineal y
una energía que según la teoría de la relatividad de Eistein valdrá: E = pc , pero si la luz es
c
una onda estará caracterizada por una longitud de onda y su energía valdrá: E = h .
λ
h
Igualando ambas expresiones: λ = , ecuación que nos da la relación entra las magnitudes
p
características λ y p .
La luz presenta de este modo una doble naturaleza, ciertos fenómenos tienen una explicación
ondulatoria y otros tienen una explicación corpuscular.
De Broglie generalizó este resultado a todo tipo de partículas: Todas las partículas lleva
asociada una onda electromagnética, cuya longitud de onda viene dada por la expresión:
h
λ=
mv
Principio de incertidumbre de Heisemberg
Es imposible realizar ninguna medida sin interaccionar con el sistema con lo que no medimos
el sistema sino el sistema perturbado.
Es imposible observar un objeto más pequeño que la longitud de onda de la luz utilizada y
para objetos atómicos la energía de esta radiación es muy elevada.
Esto llevó a Heisemberg a enunciar su famoso postulado: Es imposible conocer
simultáneamente y con exactitud la posición y la cantidad de movimiento de una partícula, de
modo que el producto de sus imprecisiones es siempre mayor que una cantidad.
h
Δx ⋅ Δp ≥
2π
Esta limitación no es instrumental, sino físicamente real e intrínseca al hecho de medir.
Postulados de la Mecánica Cuántica.
Postulado I
Cualquier estado de un sistema dinámico de N partículas puede ser descrito por una función
de onda que depende de las 3N coordenadas espaciales y del tiempo:
Ψ = Ψ (x1 , y1 , z1 , x2 , y 2 , z 2 , x3 , y3 , z 3 , t )
(1)
Pero esta función de onda debe ser una función aceptable:
a) Uniforme (Ψ no podrá presentar más de un valor para un mismo conjunto de coordenadas),
b) Continua, así como sus derivadas y
c) De cuadrado integrable.
La función de onda que describe un sistema de N partículas corresponde a una amplitud y, por
consiguiente, por analogía con la teoría de la luz, el cuadrado de la función de onda que
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describe un sistema microscópico en un punto arbitrario en el espacio será proporcional a la
probabilidad de encontrar estas N partículas en aquel punto del espacio. Matemáticamente,
esto se puede expresar por:
2
*
(3)
∫ Ψ Ψ dv = ∫ Ψ dv =1
Postulado II
A cada observable (magnitud física de un sistema) le corresponde un operador que se
construye mediante unas determinadas reglas y que aplicado sobre la función de onda Ψ, nos
permite calcular el observable. Así se definen los siguientes operadores:
- El tiempo y las coordenadas permanecen invariables.
- El momento lineal en coordenadas cartesianas se obtiene a partir del operador diferencial:
h ∂
∂
(4)
= −ih
−i
2π ∂q
∂q
- El operador hamiltoniano relacionado con la energía.
1
E ( p, q ) =
( p x2 + p y2 + p z2 ) + V ( x, y, z )
2m
2
∂2
∂2 ⎞
h ⎛ ∂2
⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ + V ( x, y, z )
H =−
∂y
∂z ⎠
2m ⎝ ∂x
h2 2
H =−
∇ +V
2m
El resultado de aplicar un operador sobre la función de onda produce los valores propios del
operador o autovalores asociados a las funciones propias o autofunciones del operador.
AΨ = aΨ
Postulado III
La medida de un observable cualquiera asociado a un operador A solo puede dar como
resultado uno de los valores propio de A.
Por ejemplo, en el caso del hamiltoniano asociado a la energía del sistema: La solución de la
ecuación: HΨ = EΨ nos permite hallar los valores propios de la energía asociado a las
funciones propias del sistema.
2m
∇ 2 Ψ + 2 (E − V )Ψ = 0
h
Postulado IV
Si se conoce la función de onda Ψ en cualquier instante, su valor en otro tiempo cualquiera
es solución de la ecuación diferencial:
h2 ∂
HΨ = −
Ψ
i ∂t
que representa la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
Postulado V
Se trata del principio de Exclusión de Pauli
35
Departamento de Física y Química - 36/42
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25. FILOSOFÍA DE LA TEORÍA CUÁNTICA
A pesar de que existe un acuerdo entre todos los físicos, de que la teoría cuántica funciona en el sentido de que predice
resultados que concuerdan en forma excelente con el experimento, existe una controversia cada vez mayor en cuanto a sus
fundamentos filosóficos. Neils Bohr ha sido el principal arquitecto de la interpretación actual de la mecánica cuántica,
conocida como la interpretación de Copenhague. Su enfoque ha sido apoyado por la gran mayoría de los físicos teóricos de
hoy. Sin embargo, un grupo numeroso de físicos, no todos de acuerdo entre sí, han cuestionado la interpretación de
Copenhague. El principal crítico de esta interpretación fue Albert Einstein. Los debates Einstein-Bohr constituyen una parte
fascinante de la historia de la física. Bohr consideraba que había podido enfrentar todos los retos que inventó Einstein a
manera de experimentos de pizarrón que tenían por objeto refutar el principio de incertidumbre. Finalmente, Einstein
aceptó que la teoría poseía consistencia lógica y su concordancia con los hechos experimentales, pero permaneció firme
hasta el final, sin convencerse de que ello representara la realidad física última y dijo: “Dios no juega a los dados con el
universo”, refiriéndose a que la mecánica cuántica abandonaba los eventos individuales y la causalidad estricta, en favor de
una interpretación fundamentalmente estadística.
Heisenberg ha afirmado el punto de vista comúnmente aceptado en forma concreta: “No hemos supuesto que la teoría
cuántica, en forma opuesta a la teoría clásica, sea esencialmente una teoría estadística, en el sentido de que de los datos
exactos sólo se puedan obtener conclusiones estadísticas… En la formulación de la ley causal, a saber, si sabemos el
presente exactamente podemos predecir el futuro, no es la conclusión sino la premisa la que es falsa. No podemos saber,
como cuestión de principio, el presente en todos sus detalles”.
Entre los críticos del punto de vista de Bohr-Heisenberg de una indeterminación fundamental en la física, está Louis de
Broglie. En un prólogo a un libro de David Bohm, joven colega de Einstein cuyos intentos de una teoría nueva revivieron el
interés por reexaminar las bases filosóficas de la teoría cuántica, de Broglie escribe: “Razonablemente podemos aceptar que
la actitud adoptada, por más de 30 años, por físicos teóricos cuánticos es, al menos en apariencia, la contraparte exacta de la
información del mundo atómico que nos ha dado la experimentación. Al nivel de investigación que se tiene actualmente en
microfísica, es cierto que los métodos de medición, no nos permiten determinar simultáneamente todas las cantidades que
seriar necesarias para obtener una visión de los corpúsculos de tipo clásico (esto se puede deducir del principio de
incertidumbre de Heisenberg) y que las perturbaciones introducidas por la medición, que son imposibles de eliminar, en
general nos impiden predecir el resultado que producirán y permiten sólo predicciones estadísticas. Por lo tanto, la
construcción de fórmulas puramente probabilísticas, que todos los teóricos usan actualmente, fue completamente justificada.
Sin embargo, la mayoría de ellos, muchas veces bajo la influencia de ideas preconcebidas derivadas de la doctrina positivista,
han pensado que podrían ir más allá y afirmar que el carácter incierto e incompleto del conocimiento que la experimentación,
en su estado actual, nos provee de lo que realmente ocurre en microfísica, es el resultado de una indeterminación real de los
estados físicos y su evolución. Tal extrapolación de ninguna manera parece ser justificada. Es posible que en el futuro,
examinando a un nivel más profundo la realidad física, seamos capaces de interpretar las leyes de probabilidad y física
cuántica como los resultados estadísticos del desarrollo de variables completamente determinadas que actualmente se
encuentran ocultas a nosotros. Puede ser que los poderosos medios que empezamos a usar para romper la estructura nuclear y
para que aparezcan nuevas partículas, nos den algún día un conocimiento directo que actualmente no tenemos a este nivel
más profundo. Tratar de impedir todo intento de ir más allá del punto de vista actual sobre la física cuántica, podría ser muy
peligroso para el progreso de la ciencia y además sería contrario a las lecciones que podemos aprender de la historia de la
ciencia. En efecto, esto nos enseña que el estado actual de nuestro conocimiento es siempre provisional y que deben existir,
más allá de lo que actualmente se conoce, inmensas regiones nuevas que descubrir”. (Tomado de Causality and Chance in
Modern Physics por David Bohm, © 1957 D. Bohm; reimpreso con permiso de D. Van Nostrand Co.).
El estudiante deberá notar aquí la aceptación de que la mecánica cuántica es correcta al nivel atómico y nuclear. La
búsqueda de un nivel más profundo, donde la mecánica cuántica podría ser superada, es motivada mucho más por la objeción
a su indeterminismo filosófico, que por otras consideraciones. De acuerdo con Einstein, “La creencia en un mundo externo
independiente del sujeto que lo percibe es la base de toda la ciencia natural”. Sin embargo, la mecánica cuántica considera las
interacciones entre objeto y observador como la realidad última. Utiliza el lenguaje de las relaciones físicas y procesos en
lugar del de las cualidades y propiedades físicas. Rechaza, por insignificante e inútil, el concepto de que detrás del universo
de nuestra percepción se encuentre oculto un mundo objetivo gobernado por la causalidad; en cambio, se confina a la
descripción de las relaciones entre percepciones. De todas maneras, existen muchos que rehúsan dejar de atribuir propiedades
objetivas a las partículas elementales, por ejemplo, y trabajar con el conocimiento subjetivo acerca de ellas, lo cual motiva su
investigación por una teoría nueva. De acuerdo con de Broglie, tal investigación es en el interés de la ciencia. Que lo anterior
lleve a una nueva teoría que en algún campo actualmente inexplorado contradiga a la mecánica cuántica y altere también sus
fundamentos filosóficos, nadie lo sabe.
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26. MOVIMIENTO RELATIVO
1. Relatividad en la Mecánica Clásica. Principio de relatividad de Galileo
Para la mecánica clásica de Newton:
- La trayectoria y la velocidad de un móvil son relativas, puesto que dependen del observador.
- El tiempo es absoluto, es un invariante para todos los observadores.
Ante la imposibilidad de encontrar un sistema de referencia absoluto Galileo enuncia su
principio de relatividad: “Es imposible poner de manifiesto, por procedimientos mecánicos, si
un sistema mecánico está en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme”.
A los sistemas de referencia en reposo o en moviendo rectilíneo y uniforme los
llamaremos sistemas inerciales.
1.1. Movimiento relativo de traslación uniforme
Supongamos dos sistemas S(O, x, y, z, t) y S’(O’, x’,
y’, z’, t’), que se mueven uno con respecto al otro con
velocidad constante v y que para simplificar S’ se
desplaza en la dirección del eje x como se ve en la figura.
Supongamos que para t = 0, t’ = 0 y los orígenes O y
O’ coinciden. Al cabo de un cierto tiempo t = t’ un cierto
punto A vendrá determinado por el vector de posición
r ( x, y, z ) respecto de S y r ' ( x' , y ' , z ' ) respecto de S’.
Estando ambos vectores relacionados:
r = r ' + OO' = r ' + v t
Derivando para obtener la velocidad:
u=
(
)
dr d
=
r' + v t = u' + v
dt dt
Derivando por segunda vez para obtener la aceleración:
a=
(
)
du d
=
u ' + v = a'
dt dt
ya que O’ se desplaza con velocidad constante.
Respecto a un sistema de referencia inercial, la distancia entre dos puntos y la aceleración
son invariantes, pero la velocidad depende del observador.
El principio de relatividad de Galileo toma ahora un enunciado más completo: Las leyes
físicas (de la mecánica) tienen la misma expresión matemática para dos observadores
inerciales.
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1.2. Transformada de Galileo
Supongamos que el observador O’ se mueve en la dirección del eje X y sentido positivo
con velocidad constante. Un suceso ocurrido en A tendrá las coordenadas ( x, y, z, t ) para O y
( x' , y ' , z ' , t ' ) para O’ que están relacionadas mediante las ecuaciones:
x' = x − vt
y' = y
z' = z
t'= t
Estas ecuaciones reciben el nombre de transformaciones de Galileo.
1.3. Movimiento relativo de rotación uniforme (que ya no es un sistema inercial).
Supongamos dos sistemas S(O, x, y, z, t) y S’(O’, x’, y’, z’, t’), que rotan uno con respecto
al otro con velocidad angular constante ω y que para simplificar los orígenes de ambos
sistemas coinciden O = O’, como se ve en la figura.
Supongamos que para t = 0, t’ = 0. Al cabo de un cierto tiempo t = t’ un cierto punto A
vendrá determinado por el vector de posición r ( x, y, z ) respecto de O que será igual a
r ' ( x' , y ' , z ' ) respecto de O’.
Estando ambos vectores relacionados:
r = r'
x i + y j + z k = x' i' + y ' j ' + z ' k '
Derivando para obtener la velocidad:
u=
u=
dr
dt
dx
dy
dz
i+
j+ k
dt
dt
dt
u' =
u' =
d r'
dt
dy '
dz '
dx'
i' +
j' +
k'
dt
dt
dt
Teniendo en cuenta que los vectores unitarios
respecto a O’ varían con el tiempo respecto a O, y
que: r = r '
d r dx'
dy '
dz '
d i'
d j'
d k'
=
i' +
j' +
k' +
x'+
y '+
z'
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
u = u' + ω × r
Considerando ahora las velocidades y derivando para obtener la aceleración:
u = ux i + u y j + uz k
u ' = u ' x i' + u ' y j ' + u ' z k '
a=
du y
du
d u du x
=
i+
j+ z k
dt
dt
dt
dt
a=
d u d u'
dr
=
+ω×
dt
dt
dt
a' =
du ' y
du ' z
d u ' du ' x
=
i' +
j' +
k'
dt
dt
dt
dt
Teniendo en cuenta que los vectores unitarios respecto a O’ varían con el tiempo respecto a O.
du ' y
du ' z
d j'
d k'
d u ' du ' x
d i'
=
i' +
j' +
k' +
u' x +
u' y +
u' z = a' + ω × u '
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
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ω×
(
)
( )
dr
= ω × u' + ω × r = ω × u' + ω × ω × r
dt
de donde se deduce
( )
a = a' + 2 ω × u ' + ω × ω × r
El primer término es la aceleración respecto a O’, el segundo es la aceleración de Coriolis y el
tercero la aceleración centrípeta.
1.4. Movimientos relativos con relación a la tierra
Nos encontramos en un sistema que rota con la tierra a una ω=7,293·10-5 rad·s-1.
Considerando un punto A sobre la superficie de la tierra llamaremos g o la aceleración de la
gravedad medida por un observador que no gira situado en A. Despejando la aceleración del
sistema en movimiento tenemos:
( )
g = g o − 2 ω × u' − ω × ω × r
Consideraremos primero el caso de un cuerpo en reposo, entonces el término de Coriolis
es cero − 2 ω × u ' = 0 y g = g o − ω × ω × r que será la aceleración efectiva de la gravedad.
( )
El término correspondiente a la aceleración centrífuga, por el signo negativo, se puede
descomponer en un término radial, ω 2 r cos 2 λ que disminuye ligeramente a go , y un término
tangente, en la dirección norte-sur, ω 2 r cos λ sen λ . Esto implica que la plomada cae
ligeramente hacia el sur de la dirección radial en el hemisferio norte y ligeramente hacia el
norte en el hemisferio sur.
Considerando ahora el término de Coriolis − 2 ω × u ' . En el caso de un cuerpo que cae, la
velocidad u ' , es esencialmente hacia abajo a lo largo de la vertical BA y − 2 ω × u ' señala
hacia el este, y el cuerpo al caer se desviará en esa dirección. Combinando el efecto centrífugo
y el de Coriolis el cuerpo caerá al sureste de A en el hemisferio norte y al noreste de A en el
hemisferio sur.
39
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En el caso de un cuerpo que se mueve en un plano horizontal, el término de Coriolis
formará un ángulo de π 2 − λ . Tendrá una componente vertical (despreciable frente a la
aceleración de la gravedad) y otra componente horizontal, que se anula en el ecuador y que
tiende a hacer que la trayectoria se desvíe de la línea recta, hacia la derecha en el hemisferio
norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur.
2. Transformada de Lorentz
Surge de la determinación de la velocidad de la luz. A partir de la transformada de Galileo
la velocidad de la luz depende del movimiento relativo del observador y del foco. El
experimento de Michelson-Morley determinó que la velocidad de la luz era independiente del
observador.
Este dilema fue resulto por Einstein en 1905. Dio origen a la teoría de la relatividad especial,
que desarrolló a partir de los siguientes postulados:
- La velocidad de la luz es la misma para todos los sistemas inerciales. Independiente del
movimiento del foco y del observador. La velocidad de la luz es una invariante, que tiene el
mismo valor para todos los observadores.
- Las leyes de la física son las mismas y tienen la misma expresión matemática en todos los
sistemas de referencia inercial.
Bajo estas suposiciones las transformaciones de Galileo no son correctas, en particular t ' = t
no puede se correcta e igualmente tendremos que ajustar la distancia. No obstante resultarán
correctas cuando hablemos de velocidades dentro de nuestras experiencias cotidianas y solo a
velocidades próximas a la luz no serán válidas. Es preciso encontrar otras.
La deducción de estas nuevas ecuaciones se ha de hacer teniendo en cuenta dos premisas:
A velocidades bajas deben coincidir con la transformada de Galileo y la velocidad de la luz
debe ser constante en los diferentes sistemas de referencia.
Sean el sistema S (O, x, y, z, t) y S’ (O’, x’, y’, z’, t’). El sistema S’ se aleja de S en la
dirección del eje X con velocidad uniforme v. Supongamos que en el inicio t=t’ y ambos
orígenes coinciden, O=O’. En este instante sale un rayo de luz en la dirección del eje X que
tendrá las siguientes coordenadas en ambos sistemas:
x=ct
(1)
x' = c t '
(2)
Porque la velocidad de la luz es la misma para ambos observadores.
Por otro lado la coordenada x’ en función de x, será de la forma:
x' = γ (x − v t )
(3) donde si γ=1 se convierte en la transformada de Galileo.
Pero igualmente podemos considerar que S’ está fijo y es S el sistema que se aleja con
velocidad negativa, de este modo podemos escribir:
x = γ ( x'+ v t ')
(4)
Sustituyendo en (4) la x’ de (3) y despejando t’:
(
)
⎛
γ 2 − 1 x ⎞⎟
(5)
t ' = γ ⎜⎜ t −
γ 2 v ⎟⎠
⎝
Y para determinar el valor de γ, debemos incorporar la premisa de la constancia de la
velocidad de la luz para ambos sistemas.
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Sustituimos la expresión (1) y (2) en (3) y en (5):
c t ' = γ t (c − v )
(
) c ⎞⎟
⎛
γ 2 −1
⎜
t ' = γ t ⎜1 −
γ2 v
⎝
(6)
(7)
⎟
⎠
Finalmente dividiendo las expresiones (6) entre la (7) se obtiene el valor de γ:
1
γ=
1−
v2
c2
Coeficiente que es igual a 1 cuando la velocidad v es pequeña e infinito cuando v=c.
Reemplazando el valor de γ en las expresiones (3) y (5) se obtienen las trasformadas de
Lorentz.
x' = γ ( x − v t )
y' = y
z' = z
⎛ v x⎞
t'= γ ⎜ t − 2 ⎟
⎝ c ⎠
2.1. Contracción de la Longitud
La longitud de un objeto es la distancia entre sus extremos a y b. Consideremos una barra
en reposo relativo a O’ y paralela al eje O’X’. La longitud medida por O’ será L' = xb '− xa ' .
Sin embargo el observador O, ve la barra en movimiento y medirá una longitud L = xb − xa .
xb '− xa ' = γ ( xb − vt ) − γ ( xa − vt ) = γ ( xb − xa )
L' = γ L
⇒
Puesto que γ es siempre mayor que la unidad, L será siempre menor que L’. Esto es el
observador O, que ve la barra en movimiento mide una longitud menor que el observador O’
quien ve el objeto en reposo. Los objetos en movimiento son más cortos: Lmov < L'reposo .
2.2. Dilatación del tiempo
Un intervalo de tiempo es el tiempo transcurrido entre dos eventos. Consideremos dos
eventos que ocurren en el mismo lugar x’ respecto a O’. El intervalo entre estos dos eventos
medido por O’ es T ' = tb '−t a ' . Sin embargo para el observador O con respecto al que O’ se
está desplazando a una velocidad constante v en la dirección positiva de las X, el intervalo es
T = tb − t a .
⎛ v x' ⎞
Recordando que t = γ ⎜ t '+ 2 ⎟ y que el suceso ocurre en x’.
c ⎠
⎝
(
) (
)
T = tb − t a = γ tb '+v x' / c 2 − γ t a '+ v x' / c 2 = γ (tb '−t a ')
⇒
T = γ T'
Ahora T’ es el tiempo medido por un observador O’ en reposo con respecto al evento, es el
tiempo propio, y T es el tiempo medido por un observador O relativo al cual el punto está en
movimiento cuando ocurren los eventos. El observador O ve que los eventos ocurren en dos
posiciones diferentes en el espacio. Puesto que γ es mayor que 1, T es mayor que T’. Los
procesos toman más tiempo cuando ocurren en un cuerpo en movimiento relativo a un
observador que cuando está en reposo relativo al observador; esto es T 'mov < Treposo .
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Pendiente:
- Composición de movimientos armónicos
- Mecánica cuántica
- Relatividad Especial y General.
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