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En 1926 Schrödinger encontró la siguiente solución exacta de su ecuación (dependiente del tiempo)
para un oscilador armónico:
1
{
mω 4
mω 2
a2
iℏt
Ψ( x , t)=(
) exp −
[ x −2ax e−i ωt + (1+e−2i ωt )+
]
πℏ
2ℏ
2
m
}
donde m es la masa de la particula, ω es la frecuencia angular del oscilador y a es una constante real
arbitraria. La solución anterior es un ejemplo de estado coherente en el que todos los términos del
desarrollo en estados estacionarios oscilan en fase
a) Comprueba que la función de onda anterior efectivamente satisface la ecuación de
Schrödinger dependiente del tiempo
b) Prueba que la densidad de probabilidad es:
•
•
1
mω 2
−m ω
2
P (x ,t )=(
) exp [
(x−a cos ω t ) ]
πℏ
ℏ
c) Calcula los valores esperados <x> y <px> en función del tiempo y comprueba que se
verifica el teorema de Ehrenfest
•
Apartado A
La función de onda es:
1
{
2
mω 4
mω 2
a
iℏt
Ψ( x , t)=(
) exp −
[ x −2ax e−i ω t + (1+e−2i ωt )+
]
πℏ
2ℏ
2
m
}
Tiene que verificar la ecuación de Schrödinger:
(−
∂ Ψ ( x ,t)
ℏ2
Δ+V (r , t)) Ψ( x , t)=i ℏ
2m
∂t
Así comenzamos a derivar con respecto a x
2
−i ω t
B[ x −2axe
+C 2 ]
∂ Ψ( x , t)
=Ae
(2x−2ae−i ωt ) B
∂x
Posteriormente derivamos con respecto a x dos veces
∂ ( ∂ Ψ( x , t) )= Ae B[ x
∂x
∂x
2
−2axe−i ωt +C 2 ]
(2x−2ae−i ωt )2 B2 + Ae
= Ae BL B[2+( 2x−2ae−i ωt )2 B]
Siendo
L=[ x 2 −2axe−i ωt +C 2 ]
B[ x2−2axe−i ω t+C 2 ]
2B =
Así el primer termino de la ecuación de Schrödinger nos queda:
[−
ℏ2
ℏ2
1
Δ+V ( x , t)] Ψ( x , t)=−
{
Ae BL B [2+(2x−2ae−i ωt )2 B] }+Ae BL m ω2 x 2
2m
2m
2
Operando y simplificando este termino obtenemos la expresión final (1):
{
Ae BL −
{
= ABe BL −
{
̂ −
=K
}
ℏ2
1m 2 2
B[ 2+(2x−2ae−i ω t )2 B]+
ω x =
2m
2
}
1
ℏ2
[2+(2x−2ae−i ωt )2 B]+
mω 2 x 2 =
2m
2B
̂ ABe BL⟩ ;
; ⟨ Siendo K=
}
ℏ2
1mx 2 2
B[ 2+(4x2 +4a 2 e−2iω t −4axe−i ω t ) B]+
ω =
2m
2B
{
2
2
2
̂ − ℏ (− ℏ ) 4x2 (− m ω )+4a 2 (− ℏ )(− mω )e−2iω t −8(− ℏ )(− mω )axe −i ωt +
=K
m
2m
2ℏ
2m
8ℏ
2m
2ℏ
{
{
{
̂ −
=K
}
1
ω 2 mx 2 =
−m ω
2(
)
2ℏ
}
ℏ2
+ℏ x 2 ω+a 2 ℏ ω e−2i ωt −2 ℏ ω axe −i ωt −ω ℏ x 2 =
m
}
2
̂ −2 ℏ ω a x e−i ωt +ℏ ω a 2 e−2i ωt +(− ℏ +ℏ x 2 ω−ω ℏ x 2 ) =
=K
m
2
}
̂ −2 ℏ ω a xe−i ω t +ℏ ω a 2 e−2iω t − ℏ =
=K
m
2
mω 2
iℏt
−2i ωt a
1
+ (1+e−2i ω )+
]
m ω 4 mω (− 2 ℏ )[ x −2axe
ℏ2
2
m
=(
) (−
)e
⋅ −2 ℏ ω a xe−i ω t +ℏ ω a 2 e−2iω t −
πℏ
2ℏ
m
{
}
(1)
Ahora procedemos con el segundo termino de la ecuación, realizando la derivada con respecto al
tiempo de la función de onda:
−i ωt
B[(−2axe
∂ Ψ( x , t)
=Ae
∂t
2
Siendo C =x 2 + a
1
2
a 2 −2iω t i ℏ t
e
+
+C 1 ]
2
m
a 2 −2i ωt
iℏ
e
(−2iω)+ ) =
2
m
iℏ
=Ae BL B (−2axe−i ω t (−i ω)+a 2 e−2i ωt (−i ω)+ )
m
)+
B (−2axe−i ωt (−i ω)+
Así el segundo termino de la ecuación de Schrödinger nos queda :
∂ Ψ( x , t)
iℏ
ℏi
=i ℏ A B e BL (−2axe−i ω t (−i ω)+a 2 e−2iω t (−i ω)+ )
∂t
m
Operando y simplificando obtenemos el segundo termino de la ecuación, (2)
{
{(i ℏ)(−2a) xe
i ℏ ABe BL −2axe−i ωt (−i ω)+a 2 e−2iωt (−i ω)+
= ABe BL
−i ωt
}
iℏ
=
m
(−i ω)+a 2 (−i ω)(i ℏ) e−2i ωt +
{
2
}
iℏ
(i ℏ) =
m
}
ℏ
= K̂ −2 ℏ ω a x e−i ωt +ℏ ω a 2 e−2iω t−
=
m
=(
mω
πℏ
1
mω
)4 (−
(−
)e
2ℏ
mω
a2
i ℏt
)[ x2 −2axe−2i ωt + (1+e−2iω )+
]
2ℏ
2
m
{
⋅ −2 ℏ ω a x e−i ωt +ℏ ω a 2 e−2i ωt −
ℏ2
m
}
De esta forma, la ecuación de Schrödinger queda así:
mω
1
m ω 4 mω (− 2 ℏ
(
) (−
)e
πℏ
2ℏ
1
mω 4 mω
=(
) (−
πℏ
2ℏ
)e
)[ x 2−2axe−2i ω t+
a2
iℏt
(1+e−2i ω)+
]
2
m
{
2
⋅ −2 ℏ ω a xe−i ω t +ℏ ω a 2 e−2i ω t −ℏ
m
mω
a2
i ℏt
(−
)[ x 2−2axe−2i ω t + (1+e−2i ω )+
]
2ℏ
2
m
{
⋅ −2 ℏ ω a x e−i ω t +ℏ ω a 2 e−2i ω t −
}
=
ℏ2
m
}
Así se demuestra que la función de onda dada satisface la ecuación de Schrödinger.
Apartado B
Dadas la función de Onda y la densidad de probabilidad de la partícula
1
{
mω 4
mω 2
a2
iℏt
Ψ( x , t)=(
) exp −
[ x −2ax e−i ω t + (1+e−2i ωt )+
]
πℏ
2ℏ
2
m
}
1
mω 2
−m ω
P ( x ,t )=(
) exp [
( x−a cos ω t ) 2 ]
πℏ
ℏ
Sabiendo que la densidad de probabilidad de la partícula es igual a la multiplicación de la función
de onda original por su conjugada ( P ( x ,t )=∣Ψ⋅Ψ *∣ ) . Tenemos que:
1
{
mω 4
P (x ,t )=(
) e
πℏ
−
}⋅( mω ) e{
mω 2
a2
iℏ t
[ x −2ax e−i ωt + (1+e−2iω t )+
]
2ℏ
2
m
πℏ
1
4
−
}
mω 2
a2
i ℏt
[ x −2ax ei ωt + ( 1+e2i ω t )−
]
2ℏ
2
m
(2)
Tratamos la expresión y obtenemos la forma simplificada:
2
2
P (x
mω 2
iℏt
a
i ℏt
−i ωt a
1
+ (1+e−2i ωt )+
]+[ x2 −2axe i ωt + (1+e2iω t)−
]
mω 2 − 2 ℏ [ x −2ax
2
m
2
m
,t )=(
) e
P (x
mω
a
2
iω t
−i ω t
1
)+ [(1+e−2i ω t )+(1+e2i ω t )]]
m ω 2 − 2 ℏ [ 2x −2ax (e +e
2
,t )=(
) e
P (x
mω
a
2
−2i ω t
1
+e 2i ω t )]]
m ω 2 − 2 ℏ [ 2x −2ax 2 cosωt + 2 [ 2+(e
,t )=(
) e
P (x
2
1 − m ω [ 2x2 −2ax 2 cos ωt+ a [ 2+2( 2cos2 ωt −1)]]
mω 2
2
,t )=(
) e 2ℏ
P (x
mω
a
2
2
1
m ω 2 − 2 ℏ [ 2x −2ax 2 cosωt + 2 [ 2+4cos ωt −2]]
,t )=(
) e
πℏ
2
πℏ
2
πℏ
πℏ
*
2
πℏ
1
mω 2
[ x −2axcos ωt +a 2 cos ωt ]
ℏ
1
mω
[( x−acos ωt )2 ]
ℏ
mω 2 −
P ( x ,t )=(
) e
πℏ
mω 2 −
P ( x ,t )=(
) e
πℏ
e ix +e−x
=cos x
2
e 2ix +e−2ix
=cos 2x
2
cos 2 x−sen 2 x=cos 2x−(1−cos 2 x)=2cos2x −1
*
Finalmente obtenemos la expresión de la densidad de probabilidad que inicialmente se nos requería.
Se puede definir la densidad de probabilidad es una función, que representa la densidad de la
probabilidad en cada punto del espacio de tal manera que la probabilidad de que la variable
aleatoria tome un valor dentro de un intervalo sea la integral de la función de densidad sobre dicho
conjunto.
Es decir, aplicado a nuestro caso, esta función nos indicará en qué puntos de la recta será más
probable encontrar la partícula; la forma grafica de la función será una campana de gauss (por lo
que se asemeja a la función de densidad normal o de gauss), además de lo anteriormente expuesto,
debemos comentar que la densidad de probabilidad se mueve en función del tiempo, oscila ya que
se trata de un oscilador armónico, y cuya fluctuación cíclica vendrá dada por el termino , situado
arriba en el exponente.
Apartado C:
Primeramente debemos obtener el valor medio esperado de la posición usando el siguiente
procedimiento:
< X > =∫ dx ∣Ψ( x , t)∣2 x
Siendo el modulo de la función de onda la densidad de probabilidad que calculamos antes :
1
mω 2 (
) e
∣Ψ(r ,t )∣ =(
πℏ
2
Siendo A=(
−m ω
)( x −acos ω t )2
ℏ
−B ( x −c )2
= Ae
mω
−m ω
) ; B=(
) ; C =acos ω t
ℏ
πℏ
Así desarrollando la expresión obtenemos lo siguiente:
2
∞
2
∞
2
∞
2
< X >=∫−∞ Axe−B( x−c) dx=∫−∞ A(W +c)e−BW dW =∫−∞ [ AWe−BW + Ace−BW ] dW =
2
∞
∞
2
= A∫−∞ We −BW dW +AC ∫−∞ e−BW dW
Cambios de variable :
W =x−c
x=W +c
dW =dx
Primera Integral :
{∫
∞
0
∞
−BW 2
−BW 2
−BW 2
A −∞ W e
dW =A −∞ We
dW + 0 We
dW
2
2
∞
∞
= A − 0 We−BW dW + 0 We−BW dW =0
∫
{∫
∫
∫
}
Segunda Integral :
∞
∞
−BW 2
−BW 2
e
dW
=2AC
e
dW
−∞
−∞
AC ∫
= 2AC
=(
∫
1
2
=
π
√B=
m ω 1/ 2
π1/ 2 ℏ1 /2
) acos ω t 1 /2 1/ 2 =acos ωt
πℏ
m ω
Finalmente este es el valor esperado de la posición:
1/ 2 1/ 2
< X >=(
mω 1 /2
π ℏ
) acos ω t 1/ 2 1 / 2 =acos ω t
πℏ
m ω
Ahora vamos con el valor esperado del momento:
∞
< P( x)>=∫−∞ dx Ψ* (r , t)[−i ℏ dx ] Ψ (r , t);
}=
Usando la función de onda dada:
1
{
}
2
2
−i ω t
mω 4
mω 2
iℏt
−i ωt a
+K ]
Ψ( x , t)=(
) exp −
[ x −2ax e
+ (1+e−2i ωt )+
] =Ae B[ x −2axe
πℏ
2ℏ
2
m
1
mω 4
Siendo: A=(
)
πℏ
; B=−
2
mω
2ℏ
;K=
a
iℏt
(1+e−2i ωt )+
2
m
Procedemos con la primera integral respecto a x
2
−i ω t
∂ Ψ ( x , t)
= Ae B( x −2ae + K ) ( 2x−2ae−i ω t )( B)
∂x
2
[−i ℏ Δ] Ψ( r ,t )−i ℏ Ae−B( x −2ai ωt +K )( 2x−2ae−i ωt ) B =
=−i ℏ Ψ ( x , t)(2x−2ae−i ωt ) B
El conjugado de la función de onda
mω
2
i ωt
a
2i ω t
i ℏt
m ω 1/ 4 − 2 ℏ [ x −2axe + 2 (1+e )− m
Ψ ( x , t)=(
) e
πℏ
Siendo la expresión a integrar de la siguiente forma :
*
]
Ψ* ( x ,t )[−i ℏ dx ] Ψ( x ,t )=Ψ * (x ,t )Ψ (x ,t )(i ℏ )(2x−2ae−i ω t ) B=P (x ,t )(i ℏ )(2x−2ae−i ω t ) B =
mω
2
m ω 1/ 2 [− ℏ ( x−acos ωt ) ]
−2B[ x−acos ω t] 2
=(
) e
(−i ℏ)(2x−2ae−i ω t ) B = BA2 e
(i ℏ)(2x−2ae−i ω t ) ;
πℏ
mω 1/ 2
mω
)
; 2B=
ℏ
πℏ
Introduciendolo en la integral y desarrollando:
Siendo: A2 =(
2
∞
<P(x)>=∫−∞ A2 Be−2B[ x−acos ωt ] (i ℏ)(2x−2ae−i ωt ) =
2
∞
= 2A 2 B(i ℏ)∫−∞ e−2B[ x −acos ωt ] ( x−ae−i ωt ) dx =
2
∞
2
∞
= 2A 2 B(i ℏ)∫−∞ xe−2B[ x−acos ω t ] dx−2A 2 B(i ℏ) ae−i ωt ∫−∞ e−B[ x −acos ω t ] dx =
{∫∞−∞ xe−2B[ x −acos ωt ] dx−ae−i ωt∫∞−∞ e−2B[ x −acos ω t ] dx}=
∞
∞
= 2A 2 B(i ℏ) {∫−∞ xe−2B[ x −c] dx−aei ωt ∫−∞ e−2B[ x−c ] dx }=;
2
= 2A 2 B(i ℏ)
2
2
2
Cambio de variable : W = x−c ; dW =dx
; = 2A 2 B(i ℏ)
∞
( c+W ) e−BW
{∫−∞
{
∞
2
2
2
∞
}
dW −ae−i ωt ∫−∞ e−2BW dW =
2
∞
∞
2
}
= 2A 2 B(i ℏ) C ∫−∞ e−BW dW +∫−∞ W e−BW dW −ae−i ωt∫−∞ e−2BW dW =
{
∞
2
∞
2
}
= 2A 2 B(i ℏ) 2C ∫0 e−BW dW −2ae−i ω t∫0 e−2BW dW =
{ 12 √ πB −2ae
= 2A 2 B(i ℏ) 2C
−i ωt 1
√ }
π =
2 2B
Devolvemos las expresiones simplificadas para obtener una expresión completa:
mω 1 /2 m ω
1 π
1
)
i ℏ 2 a cos ω t
−2ae−i ω t
πℏ
2ℏ
2
mω
2
2(
)
2ℏ
mω 1 /2 m ω
1 π
1
= 2(
)
i ℏ 2 a cos ω t
−2ae−i ω t
πℏ
2ℏ
2
mω
2
2(
)
2ℏ
−i ωt
= mω i a cos ω t−a e
mω i =
= mω i a cos ω t−a(cos ω t−i sen ω t) m ωi =
= mω i a cos ω t−acos ω t−acos ω t =
=−mω a sen ω t
√
√
= 2(
siendo :
√
√
π
2(
mω
)
2ℏ
π
2(
mω
)
2ℏ
2(
mω 1/ 2 mω mω
)
(i ℏ)=
πℏ
2ℏ 2ℏ
2(
mω 1/ 2 mω
)
(i ℏ) =
πℏ
2ℏ
C=acos ω t
Y finalmente obtenemos un valor esperado del momento tal que:
<P(x)> =−mω a sen ω t
Teorema de Ehrenfest :
d <r> 1
d <P>
dV ( x)
= <P>
;
=<−
>
dt
m
dt
dx
Para la derivada del valor de la posición esperada tenemos :
d <r> 1
Si r=acos ω t :
= < P> ;
dt
m
dv
=−a ω sen ω t ;
dt
1
< P >=−ω asen ω t
m
Para el valor de la derivada del momento esperado y el valor esperado de la derivada del potencial
con signo cambiado respecto a x
d < p>
dv
1
dv
1
=<− > ; Si V = a ω2 x 2 ; − =− mω 2 2x=−mω x
dt
dx
2
dx
2
d < P>
=−mω 2 a cos ω t
dt
dV
2
<−
>=∫ dx ∣Ψ( x , t )∣ −mω 2 x =
dx
=−mω 2∫ dx∣Ψ (x , t)∣2 x=−mω 2 a cos ω t ;
d < p>
dv
=−mω 2 a cos ω t=<− >
dt
dx