Guia-de-Ejercicios desarrollada

1 Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm. y 4 cm, respectivamente. ¿Cuánto mide el coseno del menor ángulo? Dada la construcción del triangulo, la medida del la hipotenusa estará dada por el teorema de Pitágoras, por ende Tal que 32 + 42 = x 2 x = 32 + 42 Entonces la medida de dicho lado corresponde a x = 25 = 5 Entonces las razones trigonométricas solicitadas serán Si el coseno de un ángulo es sin(α ) =
3
5
cos(α ) =
4
5
tan (α ) =
3
4
1
. ¿Cuál es el ángulo? 2
Tal como se observa en el triangulo equilátero de lado uno, la relación del coseno de 60 equivale a lo solicitado, por ende sen ( 60 ) =
cos ( 30 ) =
cos ( 60 ) =
sen ( 30 ) =
tan ( 60 ) = cotan ( 30 ) =
3
2
1
2
3
Si cosecante de un ángulo es 2, entonces ¿cuál es el seno del mismo ángulo? Dado que la cosecante de un ángulo corresponde a la inversa del seno se tendrá que cosecante (α ) =
1
1
1
⇒ sen (α ) =
= sen (α )
cosecante (α ) 2
Desarrollo de guía de trigonometría para el área de salud Profesor Eduardo Flores 2 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 m y el cateto adyacente a un ángulo mide 8m. ¿Cuál es el valor de la tangente del mismo ángulo? 10
x
α
8
Por Pitágoras se tendrá que x 2 + 82 = 102 ⇒ x = 100 − 64 = 36 = 6 Por ende la tangente del ángulo estará dado por tan (α ) =
¿Cual es el valor de la expresión sen 2 ( 45 ) + cos 2 ( 30 )
x 6
3
= . Al Simplificar quedara 8 8
4 ? 2
2
sen ( 45 ) =
2 , Sabemos que por ende ⎛ 2⎞
2 1
sen 2 ( 45 ) = ⎜⎜
⎟⎟ = =
4 2 ⎝ 2 ⎠
por ende ⎛ 3⎞
3
cos ( 30 ) = ⎜⎜
⎟⎟ =
4 ⎝ 2 ⎠
2
3
cos ( 30 ) =
2 , Del mismo modo 2
1 3 2 3 5
+ = + =
En consecuencia bastara adicionar adecuadamente 2 4 4 4 4 En el siguiente triangulo calcula las seis razones trigonométricas para sus ángulos agudos β
Por construcción sen (α ) =
8 4
=
10 5
csc (α ) =
1
5
1
5
=
sec (α ) =
=
sen (α ) 4
cos (α ) 3
cos (α ) =
6 3
=
10 5
tan (α ) =
ctg (α ) =
Desarrollo de guía de trigonometría para el área de salud 10
8
1
3
=
tan (α ) 4
α
6
del mismo modo se obtienen las relaciones para el ángulo β 8 4
=
6 3
Profesor Eduardo Flores 3 Dado el rectángulo ABC, calcular la medida de los lados AB y BC Dada la posición del ángulo las razones más convenientes a usar, en mi humilde opinión, son la tangente y el seno del ángulo mostrado tan ( 39° ) =
4
4
⇒a=
= 4,9396 a
tan ( 39° )
sen ( 39° ) =
4
4
⇒c=
= 6,3561 c
sen ( 39° )
Dado el triángulo EFG determinar la medida del ángulo EFG Simplemente usando el seno del ángulo se tendrá que sen (α ) =
13
⎛ 13 ⎞
⇒ α = sen −1 ⎜ ⎟ = 54,3409 16
⎝ 16 ⎠
Por Pitágoras se tendrá que la medida faltante será 162 = 132 + x 2 → 256 = 169 + x 2
→ x = 256 − 169 → x = 87
Por ende por medio de la tangente o el coseno llegamos a que tan (α ) =
13
⎛ 13 ⎞
→ α = tan −1 ⎜
⎟ = 54,3409 87
⎝ 87 ⎠
O bien 87
⎛ 87 ⎞
−1
cos (α ) = 13 → α = cos ⎜⎜ 13 ⎟⎟ = 54,3409 ⎝
⎠
Desarrollo de guía de trigonometría para el área de salud Profesor Eduardo Flores 4 13
Si sen (α ) = 5 calcule el valor de •
cos (α ) •
tan (α ) •
2 − cot (α )
4 − 9 sec 2 (α ) − 1
Pongámonos de acuerdo en algo. El valor máximo para seno y coseno es 1, por ende el problema no tiene ningún sentido. 5
Sin embargo podemos desarrollar el caso en que sen (α ) = 13 Por la estructura del seno tendemos que la relación establecida entre el cateto opuesto y la hipotenusa, por ende el triangulo a usar es e siguiente Por Pitágoras tenemos que la medida faltante es 12 Por ende cos (α ) =
12
13 tan (α ) =
5
12 cot (α ) =
12
5 sec (α ) =
13
12 10 − 12
2 − cot (α )
5
=
=
2
169 144
4 − 9 sec 2 (α ) − 1
⎛ 13 ⎞
4
9
−
−
4 − 9 ⎜ ⎟ −1
144
144
⎝ 12 ⎠
2−
=
12
5
−2
5
25
4−9
144
=
−2
5
4 −9⋅
5
12
−2
−2
−2 12 −24
5
=
= 5 =
⋅ =
48 45
3
5
3
15
−
12 12 12
Desarrollo de guía de trigonometría para el área de salud Profesor Eduardo Flores 5 Sabiendo que tan (α + β ) =
tan (α ) + tan ( β )
tan (105° ) 1 − tan (α ) ⋅ tan ( β ) , determine la medida de Por conveniencia se tendrá que tan (105° ) = tan ( 60° + 45° ) Por ende tan (105° ) =
tan ( 60° ) + tan ( 45° )
3 +1
3 +1
=
=
1 − tan ( 60° ) ⋅ tan ( 45° ) 1 − 3 ⋅1 1 − 3 Racionalizando convenientemente (
)
( )
1+ 3
3 +1 1+ 3
⋅
=
1 − 3 1 + 3 12 − 3
2
2
=
(
)
1+ 2 3 + 3 4 + 2 3 2 2 + 3
=
=
= − 2+ 3 1− 3
−2
−2
(
)
x
60°
h
12
45°
Un observador que viaja en un avión, horizontalmente, detecta un objetivo en tierra con un ángulo de depresión de 45°. Luego de volar 12 km dicho ángulo aumenta en 15°. ¿Qué distancia tendrá que volar, si mantiene la misma dirección, para pasar exactamente encima del objetivo? tan(60°) =
h
⇒ h = x ⋅ tan ( 60° )
x
tan ( 45° ) =
h = ( x + 12 ) ⋅ tan ( 45° )
h
⇒
x + 12
h = x ⋅ tan ( 45° ) + 12 ⋅ tan ( 45° )
por ende, igualando ambas expresiones se tendrá que x tan ( 60° ) = x ⋅ tan ( 45° ) + 12 ⋅ tan ( 45° ) Ordenando y despejando el valor de x se tendrá que x tan ( 60° ) − x ⋅ tan ( 45° ) = 12 ⋅ tan ( 45° )
x ⎡⎣ tan ( 60° ) − tan ( 45° ) ⎤⎦ = 12 ⋅ tan ( 45° )
x=
12 ⋅ tan ( 45° )
12
=
= 6⋅
tan ( 60° ) − tan ( 45° )
3 −1
(
)
3 +1
Desarrollo de guía de trigonometría para el área de salud Profesor Eduardo Flores 6 Un observador de 1,73 metros de altura mira al extremo superior de una torre eléctrica con un ángulo de elevación de 30°. Si el ángulo de elevación hacia el extremo superior de la torre es 60° después de caminar 100 metros. Calcular la altura de la torre. tan ( 60 ) =
h
Por construcción se tendrá que h
⇒ h = x ⋅ tan ( 60° ) x
60°
30°
Del mismo modo tan ( 30° ) =
100
x
h
⇒ h = (100 + x ) ⋅ tan ( 30° ) 100 + x
Por ende, bastara igualar las expresiones para tener que x ⋅ tan ( 60° ) = (100 + x ) ⋅ tan ( 30° )
x ⋅ tan ( 60° ) = 100 ⋅ tan ( 30° ) + x ⋅ tan ( 30° )
x ⋅ tan ( 60° ) − x ⋅ tan ( 30° ) = 100 ⋅ tan ( 30° )
x ⋅ ⎡⎣ tan ( 60° ) − tan ( 30° ) ⎤⎦ = 100 ⋅ tan ( 30° )
x=
100 ⋅ tan ( 30° )
tan ( 60° ) − tan ( 30° )
Por ende, dado que h = x ⋅ tan ( 60° ) se tendrá que h=
100 ⋅ tan ( 30° )
tan ( 60° ) − tan ( 30° )
⋅ tan ( 60° ) Mas la altura del observador, e en este caso es 1,70 metros, por ende la altura de la torre será H=
100 ⋅ tan ( 30° )
⋅ tan ( 60° ) + 1, 73
tan ( 60° ) − tan ( 30° )
1
100
3 ⋅ 3 + 1, 73 = 3 ⋅ 3 + 1, 73
H=
1
3 −1
3−
3
3
100 ⋅
100
H = 3 ⋅ 3 + 1, 73 = 50 3 + 1, 73 = 88,3325
3 −1
3
Desarrollo de guía de trigonometría para el área de salud Profesor Eduardo Flores 7 Desde dos puntos A y B ubicados sobre una misma dirección respecto a un cerro se observa la parte más alta del mismo, con ángulos de elevación de 30° y 60° respectivamente. Si la distancia del punto B al cerro es 1.000 metros, calcular la distancia entre A y B.
h
60°
30°
x
1000
En este caso se tendrá que tan ( 60° ) =
h
⇒ h = 1000 ⋅ tan ( 60° ) = 1000 ⋅ 3 = 1732, 0508 1000
Y, del mismo modo tan ( 30° ) =
h
⇒ h = tan ( 30° ) ⋅ ( x + 1000 ) x + 1000
Igualando ambas expresiones se tendrá que tan ( 30° ) ⋅ ( x + 1000 ) = 1000 ⋅ tan ( 60° )
x ⋅ tan ( 30° ) + 1000 ⋅ tan ( 30° ) = 1000 ⋅ tan ( 60° )
x ⋅ tan ( 30° ) = 1000 ⋅ tan ( 60° ) − 1000 ⋅ tan ( 30° )
x=
1000 ⋅ ⎡⎣ tan ( 60° ) − tan ( 30° ) ⎤⎦
tan ( 30° )
1 ⎤
⎡
1000 ⋅ ⎢ 3 −
3 ⎥⎦
⎣
x=
1
3
⎡ 3 − 1 ⎤ 2000
1000 ⋅ ⎢
⎥
⎣ 3 ⎦ = 3 = 2000
x=
1
1
3
3
Desarrollo de guía de trigonometría para el área de salud Profesor Eduardo Flores 8 Dos aviones se dirigen a un aeropuerto desde direcciones opuestas y a una misma altura. El piloto informa que está a 25 km de la torre con un ángulo de elevación de 37°; el piloto B informa que está a 30 km de la torre, ¿cuál es su ángulo de elevación? 25
30
α
37°
h
Consecuentemente en relación al grafico mostrado se tendrá que tan ( 37° ) =
h
⇒ h = 25 ⋅ tan ( 37° ) = 18,8339 25
Del mismo modo tan (α ) =
h
⇒ h = 30 ⋅ tan (α ) 30
Igualando ambas expresiones se tendrá que 30 ⋅ tan (α ) = 25 ⋅ tan ( 37° ) Despejando la tangente tan (α ) =
25 ⋅ tan ( 37° )
30
Por ende el ángulo α estará dado por el arco tangente de lo obtenido ⎛ 25 ⋅ tan ( 37° ) ⎞
⎟ = 32,1272 30
⎝
⎠
α = tan −1 ⎜
Desarrollo de guía de trigonometría para el área de salud Profesor Eduardo Flores 9 Una balsa se aproxima hacia un faro. En un determinado instante, el faro es observado por el tripulante de la balsa con un ángulo de elevación de π/12. Al recorrer 36 metros
adicionales vuelve a observar encontrando esta vez un ángulo de π/6. Encuentre la
altura del faro (desprecie la altura del tripulante que hizo la observación). Sera necesario explicar que la medida de los ángulos está dada en radianes, por ende tenemos dos opciones. 1. Convertir la medida de dichos ángulos a formato sexagesimal 2. Trabajar en radianes Opto por la primera opción Como se puede observar la estructura de la notación en radianes se basa en la medida de la longitud del arco subtendido por el ángulo inscrito, por ende bastara relacionar en base a una proporción. π
180°
=
π
12
x°
⇒x=
180°
= 15° 12
⇒x=
180°
= 30° 6
Y del mismo modo π
180°
=
π
6
x°
h
Por ende el problema se podrá describir de la siguiente forma 30°
15°
36
x
Desarrollo de guía de trigonometría para el área de salud Profesor Eduardo Flores 10 Luego se tendrá que tan ( 30° ) =
h
⇒ h = x ⋅ tan ( 30° ) x
Y del mismo modo tan (15° ) =
h
⇒ h = ( 36 + x ) ⋅ tan (15° ) 36 + x
Igualando ambas expresiones se tendrá que x ⋅ tan ( 30° ) = ( 36 + x ) ⋅ tan (15° )
x ⋅ tan ( 30° ) = 36 ⋅ tan (15° ) + x ⋅ tan (15° )
x ⋅ tan ( 30° ) − x ⋅ tan (15° ) = 36 ⋅ tan (15° )
x ⋅ ⎡⎣ tan ( 30° ) − tan (15° ) ⎤⎦ = 36 ⋅ tan (15° )
x=
36 ⋅ tan (15° )
tan ( 30° ) − tan (15° )
Por ende, dado que la medida de h estaba dada por h = x ⋅ tan ( 30° ) Se tendrá que h=
36 ⋅ tan (15° )
⋅ tan ( 30° ) tan ( 30° ) − tan (15° )
Desarrollo de guía de trigonometría para el área de salud Profesor Eduardo Flores 11 1.70 m
Un hombre que mide 1,70 metros de estatura observa su sombra a las 16:00 horas, asumiendo que amanece a las 6:00 y que el sol hace un círculo sobre el hombre ¿cuánto mide su sombra? Basando los datos en una 12.00
13.00
distribución de ángulos se puede 14.00
asociar sin incurrir en errores que al amanecer corresponde al 15.00
alguno de 180°, en tanto que el 16.00
anochecer al ángulo 0°. 15°
15°
15°
(Claramente estamos hablando 15°
17.00
de un caso ideal, remotamente 15°
15°
cercano a la realidad, pero 06.00 am
18.00 pm
adecuado para su resolución), por ende el mismo problema implica que el ángulo de elevación del Sol es aproximadamente 30°, por lo tanto todo se reduce al siguiente triangulo 30°
Por ende la relación a establecer se basa en la tangente de 30°, es decir tan ( 30° ) =
1, 70 metros
1, 70 metros
→ sombra =
sombra
tan ( 30° ) Desarrollo de guía de trigonometría para el área de salud Profesor Eduardo Flores 12 6m
h
El asta de bandera está clavada verticalmente en lo alto de un edificio a 6 metros de distancia de la base del edificio, los ángulos de elevación de la punta del asta y la parte superior del edificio son de 60° y 30° respectivamente ¿Cuál es la longitud del asta de La bandera? Este problema me causo algunas divergencias en torno a la interpretación, sin embargo me parece adecuado expresarlo bajo el siguiente modelo Teniendo como base que la tangente de 30 corresponde a la relación entre la altura del edificio y el observador del mismo modo que la tangente de 60 corresponde a la atura del hasta mas la del 60°
edificio con respecto a la 30°
posición del mismo observador tendremos que x
tan ( 30° ) =
6
6
6+h
6+h
⇒x=
⇒x=
y tan ( 60° ) =
x
tan ( 30° )
x
tan ( 60° )
Por ende, bastara igualar 6+h
6
=
tan ( 60° ) tan ( 30° )
( 6 + h ) ⋅ tan ( 30° ) = 6 ⋅ tan ( 60° )
6 ⋅ tan ( 30° ) + h ⋅ tan ( 30° ) = 6 ⋅ tan ( 60° )
h=
h=
6 ⋅ tan ( 60° ) − 6 ⋅ tan ( 30° )
tan ( 30° )
6 ⋅ ( tan ( 60° ) − tan ( 30° ) )
tan ( 30° )
h
Aun cuando me cabe la posibilidad de este contexto, el cual no he resuelto por carecer de más datos. ;) 60°
30°
x
6m
Desarrollo de guía de trigonometría para el área de salud Profesor Eduardo Flores 13 Teoremas del seno y del coseno Sea el triangulo ABC. ¿Cuál es la medida del lado AB? Dado que es un triangulo isósceles se puede determinar fácilmente que la medida del ángulo faltante es 120° Por ende bastara aplicar el teorema del seno Es decir 2
x
=
sen ( 30° ) sen (120° )
Entonces x=
2 ⋅ sen (120° )
sen ( 30° )
Dos lados de un triangulo miden 42 y 32 cm, respectivamente. El ángulo que forman mide 150°. Calcular la medida del tercer lado En este caso bastara plantear el teorema del coseno para buscar la medida del lado faltante, x. x 2 = 322 + 422 − 2 ⋅ 32 ⋅ 42 ⋅ cos (150° ) Resolviendo x 2 = 1024 + 1764 − 2688 ⋅
x = 2788 − 2688 ⋅
3
2
3
2
Desarrollo de guía de trigonometría para el área de salud Profesor Eduardo Flores 14 En un triangulo sus lados son 9, 10 y 17. Calcular la tangente de la mitad del ángulo mayor Tan solo como ejercicio será conveniente despejar la medida de cada ángulo, sin embargo el ángulo mayor estará asociado al lado mayor Por teorema del coseno, en todo triangulo a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos (α ) Por ende el coseno de dicho ángulo estará dado por ⎛ b2 + c 2 − a 2 ⎞
α = cos ⎜
⎟ ⎝ 2⋅b ⋅c ⎠
−1
Por ende el ángulo buscado corresponde a 17 2 = 92 + 102 − 2 ⋅ 9 ⋅10 cos (α )
2 ⋅ 9 ⋅10 cos (α ) = 92 + 102 − 17 2
cos (α ) =
92 + 102 − 17 2
2 ⋅ 9 ⋅10
⎛ 92 + 102 − 17 2 ⎞
α = cos ⎜
⎟
⎝ 2 ⋅ 9 ⋅10 ⎠
−1
⎛ −108 ⎞
−1
⎟ = cos ( −0, 6 ) = 126,8698976° 180
⎝
⎠
Lo cual corresponde a α = cos −1 ⎜
Ahora, la mitad de dicho ángulo es α
2
= 63, 43494882 ⎛α ⎞
⎟ = tan ( 63, 43494882..) = 2 ⎝2⎠
Y la tangente de dicho ángulo es tan ⎜
Desarrollo de guía de trigonometría para el área de salud Profesor Eduardo Flores 15 Una torre esta al pie de una colina cuya inclinación al plano horizontal es de 15°, una persona se encuentra en la colina a12 metros de la base y observa la parte más alta de la torre con un ángulo de inclinación de 45°. ¿Cuál es la altura de la torre? Comprendida la estructura del problema todo se relaciona fácilmente con un triangulo tal que sus ángulos interiores son conocidos, al igual que uno de sus lados etros
12 m
Luego 12
h
=
sen ( 45° ) sen ( 60° )
Entonces h=
12
⋅ sen ( 60° ) sen ( 45° )
Es decir h=
Desarrollo de guía de trigonometría para el área de salud 12 3
⋅
=6 3 1 2
Profesor Eduardo Flores 16 Al poco rato de haber despegado, dos aviones se cruzan en el aire cuando son las 16:00 horas. Uno se dirige en línea recta hacia una isla ubicada 68,25° al N.O., mientras que el otro va hacia una ciudad ubicada al este. Si le primero se desplaza con una velocidad de 650 km/h y el segundo a 820 km/h. ¿Qué distancia habrá entre ellos a las 17:30 horas? Considerando el punto O como el punto de encuentro, el primer avión se habrá desplazado 650 ⋅1,5 = 975 kilómetros en la recta OB, en tanto que el segundo avión se habrá desplazado 820 ⋅1,5 = 1320 kilómetros en la recta OC. Esto da origen a una triangulo tal que conocemos dos lados y un ángulo, por lo tanto usamos el teorema del coseno x 2 = 9752 + 13202 − 2 ⋅ 975 ⋅1320 ⋅ cos (158.25 ) Por ende, x = 9752 + 13202 − 2 ⋅ 975 ⋅1320 ⋅ cos (158.25 ) Desarrollo de guía de trigonometría para el área de salud Profesor Eduardo Flores 17 Dos faros A y B distan 6.3 kilómetros entre sí. En un mismo instante ambos faros iluminan un punto C que se encuentra a 4,5 kilómetros de A y 3.8 kilómetros de B. ¿Cuál es la posición del punto C respecto a cada uno de esos faros? El problema se puede plantear en base a un triangulo en que la medida de cada lado es conocida Bastara aplicar el teorema del coseno para determinar los respectivos ángulos y luego relacionar adecuadamente 3,82 = 6,32 + 4,52 − 2 ⋅ 6,3 ⋅ 4,5 ⋅ cos (α ) Entonces cos (α ) =
6,32 + 4,52 − 3,82
2 ⋅ 6,3 ⋅ 4,5 ⋅
⎛ 6,32 + 4,52 − 3,82 ⎞
⎟ 2 ⋅ 6,3 ⋅ 4,5
⎝
⎠
−1
Y aplicando el arco coseno se llegara a que α = cos ⎜
Aplicando el mismo criterio para los ángulos β y δ se tendrá que ⎛ 6,32 + 3,82 − 4,52 ⎞
⎟ 2 ⋅ 6,3 ⋅ 3,8
⎝
⎠
β = cos −1 ⎜
⎛ 3,8 + 4,52 − 6,32 ⎞
⎟ 2 ⋅ 3,8 ⋅ 4,5
⎝
⎠
δ = cos −1 ⎜
2
Desarrollo de guía de trigonometría para el área de salud Profesor Eduardo Flores 18 En un instante determinado un avión se encuentra a 8 kilómetros de la torre de control de un aeropuerto y a 7,5 kilómetros de un dirigible. Si ambos son observados bajo un ángulo de 30°. ¿a qué distancia de la torre se encuentra el dirigible? Claramente es otro problema de triángulos, por lo tanto el que usaremos es el siguiente Nuevamente aplicamos el teorema del coseno 7,52 = 82 + distancia 2 − 2 ⋅ 8 ⋅ distancia 2 ⋅ cos ( 30° ) Lo cual da origen a una ecuación cuadrática En l personal no me agrada demasiado, por lo tanto opto por otro camino Aplicando el teorema del seno ⎛ 8 ⋅ sen ( 30° ) ⎞
7,5
8
−1
=
⇒ α = sen −1 ⎜
⎟ ⇒ α = sen 0.53 ⇒ α = 32.231°
sen ( 30° ) sen (α ° )
7,5
⎝
⎠
(
)
Lo cual implica que el ángulo β se obtiene por la diferencia con 180°, por ende es 117.76 En consecuencia aplicando nuevamente el teorema del seno 7,5 ⋅ sen (117.76° )
7,5
d
=
⇒d =
= 13.2725 sen ( 30° ) sen (117.76° )
sen ( 30° )
Desarrollo de guía de trigonometría para el área de salud Profesor Eduardo Flores