www.cienciamatematica.com Ejercicios de inecuaciones con valor absoluto 1. Resuelva la inecuación |x + 1| + 3 < |2x + 6|. solución: Como x + 1 se hace cero en x = −1, 2x + 6 se hace cero en x = −3 entonces quitamos −1 y 3 de la recta real; de esta forma nos quedan tres intervalos: ] − ∞, −3[, ] − 3, −1[, ] − 1, ∞[. Miremos que pasa en cada intervalo: Si x ∈]−∞, −3[: En este caso tanto x+1 como 2x+6 son negativos. Por lo tanto |x + 1| = −x − 1 y |2x + 6| = −2x − 6. Asi, la desigualdad queda: −x−1+3 < −2x−6, la cual al resolver para x nos da que x < −8, es decir x ∈] − ∞, −8[ Como estamos bajo la restricción x ∈] − ∞, −3[, es decir x < −3, entonces la solución es dada por todos los x tales que x ∈ ] − ∞, −3[ ∩ ] − ∞, −8[ = ] − ∞, −8[ Si x ∈] − 3, −1[: En este caso x + 1 es negativo y 2x + 6 es positivo. Por lo tanto |x + 1| = −x − 1 y |2x + 6| = 2x + 6. Asi, la desigualdad queda: −x − 1 + 3 < 2x¤+ 6, la £cual al resolver para x nos da que x > −4/3, es decir x ∈ − 34 , ∞ Como estamos bajo la restricción x ∈] − 3, −1[, es decir −3 < x < −1, entonces la solución es dada por todos los x tales que · ¸ · ¸ 4 4 = − , −1 x ∈ ] − 3, −1[ ∩ − ,∞ 3 3 Si x ∈] − 1, ∞[: En este caso tanto x + 1 como 2x + 6 son positivos. Por lo tanto |x + 1| = x + 1 y |2x + 6| = 2x + 6. Asi, la desigualdad queda: x + 1 + 3 < 2x + 6, la cual al resolver para x nos da que x > −2, es decir x ∈ ]−2, ∞[ Como estamos bajo la restricción x ∈] − 1, ∞[,es decir x > −1, entonces la solución es dada por todos los x tales que x ∈ ] − 1, ∞[ ∩ ]−2, ∞[ = ]−1, ∞[ Uniendo las tres soluciones obtenemos la solución final: ¸ ] − ∞, −8[ ∪ 4 − , −1 3 1 · ∪ ]−1, ∞[ www.cienciamatematica.com 2. Resuelva la inecuación x + 2 < √ 2x2 + 5x − 12. solución: Debemos tener en cuenta primero que para que el problema tenga sentido la cantidad debajo de la raiz debe ser mayor o igual a cero, es decir 2x2 + 5x − 12 ≥ 0. Como las raices de la anterior ecuación son −4 y 3/2 y como el grafico de y = 2x2 + 5x − 12 es una parabola abierta hacia arriba, tenemos que 2x2 + 5x − 12 ≥ 0 si y solamente si x ≤ −4 o x ≥ 23 . Por lo tanto la solución a nuestro problema sera restringida a la condicion de que x ≤ −4 o x ≥ 23 o en otras palabras nuestra solución final la interceptaremos con el conjunto ] − ∞, −4] ∪ [ 23 , ∞[. Ahora vemos que x + 2 tiene dos posibilidades: ó bien x + 2 ≤ 0 ó bien x + 2 > 0. Si x + 2 ≤ 0 es decir si√x < −2 entonces la desigualdad se cumple siempre, pues x + 2 ≤ 0 ≤ 2x2 + 5x − 12, ası́ el único caso de interés es cuando x + 2 > 0. Si tomamos x + 2 > 0 es decir x > −2 podemos tomar la ecuación que vamos a resolver y elevar a ambos lados al cuadrado, de tal forma que la ecuación queda: (x + 2)2 < 2x2 + 5x − 12 es decir x2 + 4x + 4 < 2x2 + 5x − 12, equivalentemente 0 < x2 + x − 16 √ Ahora, la ecuación x2 +x−16 tiene raices x = −1±2 65 y es estrictamente mayor que cero al lado de dichas raices, es decir √ √ 65 65 −1 − −1 + 0 < x2 +x−16 si y solamente si x < ó x > 2 2 para todo x > −2. Asi, la desigualdadi original esh cierta para todos los x tales que √ −1+ 65 , ∞ que además cumplan la restricción x ∈] − 2, ∞[ ∩ 2 x ≤ −4 o x ≥ 23 . Aplicando la restricción y notando que a: √ −1+ 65 2 > −1+8 2 > 23 , llegamos " # √ √ 65 −1 + ,∞ x+2 < 2x2 + 5x − 12 si y solo si x ∈]−∞, −4]∪ 2 2 www.cienciamatematica.com 3. Determinar el conjunto de números reales que satisfacen la desigualdad: p √ |x − 2| + 4 − x − 6 < 2 solución: Primero que nada, para que las raices esten bien definidas es necesario que x ≥ 6. Ahora, la desigualdad puede escribirse como p √ |x − 2| + 4 < 2 + x − 6 y como ambos lados son positivos, podemos elevar al cuadrado ambos lados obteniendo √ |x − 2| + 4 < 4 + (x − 6) + 4 x − 6 Pero como x ≥ 6, (x − 2) es positivo y luego |x − 2| = x − 2. Por lo tanto la desigualdad anterior se convierte en √ (x − 2) + 4 < 4 + (x − 6) + 4 x − 6 p √ la cual simplificando queda 4 < 4 x − 6 es decir 1 < (x − 6). Finalmente elevando de nuevo al cuadrado tenemos 1 < (x − 6), es decir 7 < x. Como todos estos puntos satisfacen x ≥ 6 tenemos que la solución es el intervalo ]7, ∞[ 4. Encuentre los valores de x para los cuales ¯ 2 ¯ ¯ x − 2x + 3 ¯ ¯ ¯ ¯ x2 − 5x + 6 ¯ < 1 solución: ¯ ¯ 2 2 ¯ x − 2x + 3 ¯ ¯ < 1 si solo si −1 < x − 2x + 3 ¯ ¯ x2 − 5x + 6 ¯ x2 − 5x + 6 y x2 − 2x + 3 <1 x2 − 5x + 6 Asi resolvemos cada desigualdad por separado y luego intersectamos las soluciones, esto nos dara la solución final. 3 www.cienciamatematica.com 2 2 2 −2x+3 −2x+3 2x −7x+9 si y solo si xx2 −5x+6 + 1 > 0 si y solo si (x−2)(x−3) >0 −1 < xx2 −5x+6 2 Ahora 2x − 7x + 9 > 0 pues su discriminante es igual a 2x2 −7x+9 > 0 72 − 4(2)(9) < 0 y 2 > 0. Luego para resolver (x−2)(x−3) debo tener (x − 2)(x − 3) > 0, analizando signos vemos que esto es posible si y solo si x ∈ ] − ∞, 2[ ∪ ]3, ∞[ x2 −2x+3 x2 −5x+6 2 −2x+3 3x−3 < 1 si y solo si xx2 −5x+6 − 1 < 0 si y solo si (x−2)(x−3) >0 Ahora 3x − 3 = 0 si solo si x = 1 y (x − 2)(x − 3) = 0 si y solo si x = 2 o x = 3. Analizando signos vemos que la solución de esta desigualdad es dada por el conjunto ] − ∞, 1[ ∪ ]2, 3[ Por lo tanto la solución final es ] − ∞, 1[ 4