lista 14 (Oscilaciones-mecánicas)

PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
1. Un peso de 8 lb. está unido al extremo inferior de un resorte que está
suspendido del techo. El peso se encuentra en reposo en su posición de
equilibrio y el resorte está estirado 6 pulgadas. En el instante t = 0 el
peso se desplaza 3 pulgadas hacia abajo de su posición de equilibrio y
se impulsa para ser puesto en movimiento con una velocidad inicial de
2 pies/s, dirigida hacia arriba.
a. Establecer la ecuación diferencial y las condiciones iniciales que
modelen el problema.
b. Determinar el desplazamiento resultante y la velocidad del peso
como una función del tiempo. Escribir también la forma alterna
de la solución.
c. Determinar la amplitud, el perı́odo y la frecuencia del movimiento.
d. Calcular el primer tiempo en que el peso se encuentra a 1/8 de
pie abajo de su posición de equilibrio.
e. Calcular el instante en el que el peso pasa por tercera vez por su
posición de equilibrio y su velocidad en ese instante, determinando
hacia dónde se mueve.
√
√
π
π
2
cos(8t) sen(8t)
−
, x(t) =
sin(8t − ), v(t) = 2 2 cos(8t − ).
Solución: (b) x(t) =
4
4
4
4
4
√
2
π
4
pies;
(segundos),
(oscilaciones por segundo). (d) t =
(c)
4
4
π
0.1963s. (e) t = 0.8835s, v = 2.8284 pies/s, hacia abajo.
2. Un resorte tiene la capacidad de estirarse 6 pulgadas cuando se le cuelga
un peso de 25 libras. El resorte está suspendido del techo, tiene en su
extremo inferior un peso de 16 lb. y el peso se encuentra en reposo en
su posición de equilibrio. Después se desplaza 4 pulgadas hacia abajo
de su posición de equilibrio y se suelta en t = 0 con una velocidad
inicial de 2 pies por segundo, dirigida hacia arriba.
a. Establecer la ecuación diferencial y las condiciones iniciales que
modelen el problema.
b. Determinar el desplazamiento resultante como una función del
tiempo.
2
c. Determinar la amplitud, el perı́odo y la frecuencia del movimiento
resultante.
d. Calcular el instante en el que el peso pasa primero por su posición
de equilibrio y su velocidad en ese instante.
√
cos 10t sen10t
−
. (c) 34/15 pies; π/5 (segundos),
3
5
5/π (oscilaciones por segundo). (d) 0.103 (segundos); 3.888 pies/segundo.
Solución: (b) x =