Figura 1: El sistema de la figura representa un

Figura 1:
El sistema de la figura representa un mecanismo plano formado por las barras
AB,BC,CD, de longitudes 2a, a, 2a respectivamente, articuladas entre sı́ en los
puntos B,C y a dos puntos fijos A,D. Se considera el instante representado, en el
que la barra BC es perpendicular a las barras AB y CD, tomándose un sistema
cartesiano de referencia fijo con origen en A, ejes x e y según las direcciones y
sentidos de los vectores AB, BC en el instante inicial y eje z en sentido saliente
del plano. La barra AB se mueve con velocidad angular constante ω.
1. Obtenga, en la referencia definida, las velocidades de B y C, ası́ como las
rotaciones de las barra BC, CD.
Evidentemente,
v B = 2ωaj
y por el teorema de las velocidades proyectadas
v C = 2ωaj
con lo que la rotación de la barra BC es nula
ω BC = 0
Además, a partir de la velocidad de C, se tiene
ω CD = −ωk
2. Halle la aceleración de B.
aB = −2ω 2 ai
3. Formule el teorema de las velocidades proyectadas para los puntos B y C,
derı́velo y obtenga una fórmula similar para las aceleraciones de B y C, de
la que deducir la aceleración angular de la barra CD y la aceleración de
C.
De la ecuación
v B · BC = v C · BC
1
se tiene
aB · BC + v B · (ω BC × BC) = aC · BC + v C · (ω BC × BC)
con lo que
aB · BC = aC · BC
0 = −2a2 ω̇CD ⇒ ω̇CD = 0
y la aceleación de C es
aC = 2ω 2 ai
4. Sea P el punto medio del segmento BC. Obtenga su velocidad, aceleración
y curvatura de su trayectoria.
Su velocidad y aceleración son las medias de las de B y C, por lo que se
tiene
v P = 2ωi
aP = 0
su curvatura, por la segunda ecuación intrı́seca de la aceleración, será nula.
5. Sean ϕ1 , ϕ2 los ángulos girados en sentido antihorario y horario respectivamente por los segmentos AB, CD desde la posición referida anteriormente.
Muestre que si ϕ2 = f (ϕ1 ), entonces
f (0) = 0 ∧ f 0 (0) = 1 ∧ f 00 (0) = 0 ∧ x = −f (−f (x))
Las primeras ecuaciones se deducen de los apartados anteriores. La cuarta
refleja la simetrı́a del sistema. De hecho, la función es
f (x) = arccos(
6 − sen (x) − 4 cos(x)
1 − 2sen (x)
) − arctan(
);
1/2
4 − 2 cos(x)
(21 − 4sen (x) − 16 cos(x))
6. Deduzca que f 000 (0) = 0
De
x = −f (−f (x))
se tiene
1 = f 0 (−f (x))f 0 (x)
0 = −f 00 (−f (x))f 02 (x) + f 0 (−f (x))f 00 (x)
0 = f 000 (−f (x))f 03 (x) − 3f 00 (−f (x))f 0 (x)f 00 (x) + f 0 (−f (x))f 000 (x)
con lo que
f 000 (0) = 0
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7. Sea r P (t) = x(t)i + y(t)j el vector de posición de P. Demuestre que
x000 (0) = 0. La sobre aceleración de P es la media entre las sobre aceleraciones de B y C, por lo que
saB = −2aω 3 j
saC = −2aω 3 j
con lo que
x000 (0) = 0
8. Sea r P (t) = a(`)i+b(`)j el vector de posición de P en función de la abscisa
curvilı́nea de su trayectoria, con origen en la posición señalada y sentido
positivo hacia arriba. Demuestre que las derivadas de orden par de a en
` = 0 son nulas.
Dada la antisimetrı́a de la curva, se sigue inmediatamente.
9. Obtenga las derivadas en el origen de hasta tercer orden de a(`) y la de
cuarto orden de x(t), relacionando estas funciones, en función de `(t).
x0 (t) = a0 (`(t))`0 (t) ⇒ a0 (0) = 0
x00 (t) = a00 (`(t))`0 (t) + a0 (`(t))`00 (t) ⇒ a00 (0) = 0
como podı́a predecirse.
x000 (t) = a000 (`(t))`0 (t) + 2a00 (`(t))`00 (t) + a0 (`(t))`000 (t) ⇒ a000 (0) = 0
x0000 (t) = a0000 (`(t))`0 (t)+3a000 (`(t))`00 (t)+3a00 (`(t))`000 (t)+a0 (`(t))`0000 (t) ⇒ x0000 (0) = 0
Es decir, existe un contacto de al menos orden cuatro entre la trayectoria
de P y la recta soporte de la posición inicial del segmento BC.
10. Se completa el mecanismo con otros tres segmentos: AE de longitud a,
CE y BF de longitud 2a; Los segmentos AE y BF se articulan en sus
extremos, mientras que el segmento CE se une rı́gidamente en C al CD,
prolongándolo y se articula en E, como muestra la figura, de forma que
los puntos F, B, E, C forman siempre un paralelogramo. Demuestre que
la velocidad de F siempre es el doble que la de P.
Por el teorema de Tales, F siempre se encuentra en la lı́nea que une D con
P a una distancia doble que P, por lo que, tomando origen en D, el vector
de posición de F es el doble que el de P.
La trayectoria de F también tiene un contacto de orden cuarto con una
recta paralela a la posición inicial del segmento BC.
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Figura 2:
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