tema 3. oscilaciones simples - OCW-UV


TEMA 3. OSCILACIONES SIMPLES
Chantal Ferrer Roca 2008
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
El oscilador armónico simple. Ejemplos de fenómenos que responden a
este modelo.
Energía del oscilador armónico simple.
Superposición de movimientos armónicos: interferencias, pulsaciones y
trayectorias de Lissajous.
Oscilaciones amortiguadas. Caso inframortiguado: tiempo de relajación y
factor de calidad.
Oscilaciones forzadas. Efectos Transitorios.
Fuerza de tipo armónico. Curva de Resonancia. Amplitud de absorción y
amplitud elástica.
Fuerza periódica. Principio de superposición y Teorema de Fourier.
APÉNDICE: Ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes
Bibliografía: [Marion], [Kibble], [AFinn], [French], [Feynman], [Mec-Berk]
TEMA 3. OSCILACIONES SIMPLES
NOTA IMPORTANTE:
Los contenidos de este documento representan un esquema de los conceptos
fundamentales del tema, por lo que en ningún caso se trata de apuntes
completos. Este esquema se complementa con explicaciones, razonamientos,
ejemplos y problemas que se desarrollan durante las clases, así como con
alguno(s) de los libros que se incluyen en la bibliografía
Bibliografía: [Marion], [Kibble], [AFinn], [French], [Feynman], [Mec-Berk]
Chantal Ferrer Roca 2008
INTRODUCCIÓN
Movimientos periódicos (de vaivén, oscilatorios o vibratorios)
alrededor de una posición de equilibrio
Respiración
Latidos del corazón
Tímpano al oir un sonido
Pestañear
Giro de una rueda
Precesión de una peonza
Mareas
Movimientos planetarios
Ciclo de intensidad solar
Ciclos económicos
Columpio
Balancín
Mecedora
Chantal Ferrer Roca 2008
1. El oscilador armónico simple (O.A.S.)
Movimientos periódicos (de vaivén, oscilatorio o vibratorio)
alrededor de una posición de equilibrio
El más sencillo de describir físicamente: Movimiento Armónico Simple
regla apoyada a una mesa y puesta en
vibración
Péndulo
Masas sujetas a resortes o muelles
Vibración de los átomos de un sólido
Vibración de átomos dentro de una molécula
Vibración de electrones de una antena radiante, de un
plasma, en los átomos , etc…
En este tema : un solo cuerpo que
vibra en 1D o 2D
Chantal Ferrer Roca 2008
Chantal Ferrer Roca 2008
1. El oscilador armónico simple (O.A.S.)
Es un modelo de gran utilidad en la explicación de fenómenos físicos, descrito
por la ecuación diferencial:
Ψ magnitud cualquiera (distancia,
ángulo, carga eléctrica, función de
2
ondas, etc.)
&& + ω Ψ = 0
Ψ
0
ωo pulsación o frecuencia angular
ωο = 2π/Τ,
propia del sistema (radianes/segundo)
Τ período
Solución: cualquiera de las siguientes expresiones:
Ψ (t ) = B1eiω0t + B2 e − iω0t
Ψ (t)=Asin(ω t+ φ)
A
φ= 0
Ψ (t ) = C1 cos ω0t + C2 sin ω0t
Ψ (t ) = B cos(ω0t + φ )
0
Ψ (t ) = A sin(ω0t + φ )
C1 = A cos φ ; C2 = A sin φ
C1 = B1 + B2 ; C1 = i ( B1 − B2 )
-A
0
π
2π
3π
ω t (rad)
A amplitud del movimiento y φ fase inicial.
1. El oscilador armónico simple (O.A.S.)
Ψ&& + ω 2Ψ = 0
Ejemplos de fenómenos que responden a este modelo
Figura del libro “Física” de
P.A.Tipler y G. Mosca
MASA CON RESORTE sin rozamiento
Si los desplazamientos x respecto a la posición de equilibrio
son pequeños, se cumple la ley de Hooke:
F = - k(x-xe ) = ma
k
(x − x e ) = 0
m
Ec. movimiento:
&x& +
Solución:
x(t) − x e = x 0 cos(ωt + φ)
OAS con
ωo =
k
m
Figuras del libro “Física” de P.A.Tipler y G.
Mosca, Ed. Reverté, 2005
Chantal Ferrer Roca 2008
1. El oscilador armónico simple (O.A.S.)
Ejemplos de fenómenos que responden a este modelo
Ψ&& + ω 2Ψ = 0
PÉNDULO SIMPLE de longitud L
Fφ = ma φ − mg sin θ = mL&θ&
Figura del libro
“Física” de
P.A.Tipler y G.
Mosca, Ed.
Reverté, 2005
θ
g
sin θ = 0
L
linearizando (ángulos pequeños)
g
L
θ&& + θ = 0
Lθ
mg sin θ
OAS con ω =
o
θ
r
mg
k
θ&& +
m
mg cos θ
g
L
θ( t ) = θm sin( ωt + φ)
x ( t ) = x m sin( ωt + φ)
OSCILACIONES TRANSVERSALES de masa sujeta a un muelle
que responde a la ley de Hooke: la fuerza recuperadora NO es lineal en
general, pero puede ser linearizada, como en el caso anterior.
(pequeñas oscilaciones)
k
Chantal Ferrer Roca 2008
Chantal Ferrer Roca 2008
1. El oscilador armónico simple (O.A.S.)
Ejemplos de fenómenos que responden a este modelo
Agua en un
tubo en U
Partícula moviéndose en un
tunel dentro de la Tierra a
distancia variable del centro
esferita que se mueve sobre
superfície esférica
Potencial en las proximidades
de un mínimo
Figuras del libro “Física” de P.A.Tipler y
G. Mosca, Ed. Reverté, 2005
OTROS EJEMPLOS en los que hay una fuerza recuperadora lineal o que
puede ser linearizada y que obliga a una masa puntual a oscilar alrededor
de una posición de equilibrio que tomaremos como origen.
Ψ&& + ω 2Ψ = 0
O bien, en un ámbito distinto (cargas y f.e.m.):
CIRCUITO LC ambas ddp son iguales εC=εL
q
di
1
ε L = -L = − Lq&& ε C =
&
&
q+ q =0
C
dt
εL
L
LC
i
C
OAS con
εC
ωo =
1
LC
q ( t ) = q m sin( ωt + φ)
1. El oscilador armónico simple (O.A.S.)
Ψ&& + ω 2Ψ = 0
Ejemplos de fenómenos que responden a este modelo
¿posición de equilibrio? DISCUSIÓN
y = yh + y particular
&y& +
1
k
y=g
m
y h = A cos(ωt + φ)
y particular = yeq = −
mg
k
y referido a 1
k
&y& + y = 0
m
2
&y&'+
k
y' = 0
m
y' = y'h = A cos(ωt + φ)
y’ referido a 2
Figura del libro
“Física” de
P.A.Tipler y G.
Mosca, Ed.
Reverté, 2005
Idem en este
caso
Chantal Ferrer Roca 2008
Chantal Ferrer Roca 2008
2. Energía del oscilador armónico simple.
E=T+U
F
k
ω = ωo =
1
1
mx& 2 = m( −ωA sin(ωt + φ))2
2x
2
1
1
U = − ∫ F ⋅ dx = kx 2 = k ( A cos(ωt + φ )) 2
2
2
0
2
k
m
T=
m
x
x equil.
1
E = T + U = mω 2 A2
2
mω
Aunque se haya particularizado para el caso de una masa sujeta a un
muelle, esta dependencia con el cuadrado de la amplitud y de la
pulsación es general para TODOS los osciladores lineales (también
aproximación de pequeñas oscilaciones)
Energía oscilador arm ónico sim ple
1.2
E=<E>
1
(a.u.)
Figura del libro
“Física” de
P.A.Tipler y
G. Mosca,
Ed. Reverté, 2005
V
0.8
T
0.6
0.4
0.2
0
0
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mas/mas.htm
50
100 150 200 250 300 350
ω t (deg)
3. Superposición de movimientos
armónicos: interferencias
Chantal Ferrer Roca 2008
Superposición de movimientos armónicos paralelos de igual frecuencia
USO DE LA SOLUCIÓN COMPLEJA EN PROBLEMAS DE OSCILADORES
&x&1 + ω2 x1 = 0
&x& 2 + ω2 x 2 = 0
x1 = A1e j (ωt +θ )
x2 = A2 e j (ωt +φ )
x = x1 + x2 = ( A1e jθ + A2 e jφ )e jωt = x(0)e jωt
giro
Amplitud constante
Fase relativa constante
x ( 0)
A2
φ
A1
Cálculo en t=0
x(t )
x2
φ −θ
θ
x(0) = Ae jδ
ωt
x1
x(t ) = x(0)e jωt
A = x(0) = x(0) ⋅ x(0)* = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(φ − θ )
δ=
Im x A1 sin θ + A2 sin θ
=
Re x A1 cos θ + A2 cos θ
Problema 3.1 boletín
CASOS:
φ−θ =0, interferencia constructiva
φ−θ =π/2, interferencia en cuadratura
φ−θ =π, interferencia destructiva
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mas/mas.htm
3. Superposición de movimientos
armónicos: interferencias
Chantal Ferrer Roca 2008
Superposición de movimientos armónicos paralelos de igual frecuencia
CASOS:
φ−θ =0, interferencia constructiva
φ−θ =π/2, interferencia en cuadratura
φ−θ =π, interferencia destructiva
Problema 3.1 boletín
3. Superposición de movimientos
armónicos : pulsaciones
Chantal Ferrer Roca 2008
Superposición de movimientos armónicos paralelos de DISTINTA frecuencia
x1 = A1e jω1t
x2 = A2 e jω2t
2
x = x1 + x2 = A1e jω1t + A2 e jω2t
x
A2
A(t ) = x = A + A + 2 A1 A2 cos(ω1 − ω2 )t
2
1
2
2
ω 2t
Amplitud variable
A1
ω1t
CASO PARTICULAR: amplitudes iguales
MODULACIÓN DE AMPLITUD
ω − ω2
ω + ω2
x = x1 + x 2 = A(cos ω1t + cos ω2 t ) = 2A cos 1
t cos 1
t = 2A cos ωm t cos ωp t
2
2
x = A(t ) cos ω p t
Tm = 2π / ωm
2 A cosωmt
ν1=330 Hz ν2=331 Hz (∆ν=1 Hz)
+
=
ν1=330 Hz ν2=340 Hz (∆ν=10 Hz)
DEMO: Dos diapasones de distinta frecuencia
Tp = 2π / ω p
3. Superposición de movimientos
armónicos 2D: trayectorias de Lissajous.
k
Problema 3.2 boletín POLARIZACIÓN
k
m
k
&x& + ω x 2 x = 0
&y& + ω y 2 y = 0
k
PEQUEÑAS
OSCILACIONES
ω y ≠ ωx
ωx
irracional → trayectorias abiertas
ωy
ωx
racional → trayectorias cerradas
ωy
curvas de Lissajous
trayectorias
y( x )
Chantal Ferrer Roca 2008
Chantal Ferrer Roca 2008
4. Oscilaciones amortiguadas.
En los osciladores reales existen fenómenos disipativos que producen un amortiguamiento de la
oscilación. El modelo de oscilador amortiguado introduce un término proporcional a la primera
derivada (término disipativo). La ecuación diferencial del oscilador contiene un nuevo término
Término disipativo
Nota: el factor 2 que
multiplica a β se introduce
por conveniencia en la
notación, como se podrá
apreciar más adelante
& + ω02 Ψ = 0
&Ψ& + 2β Ψ
Factor de amortiguamiento
EJEMPLO 1: masa y resorte sujetas a un rozamiento de tipo viscoso
Figuras del libro “Física” de
P.A.Tipler y G. Mosca, Ed.
Reverté, 2005
x&
Fe = − kx
Fuerza de rozamiento de tipo viscoso:
proporcional a la velocidad
m&x& = − kx − bx&
&x& +
k
b
&x + x = 0
m
m
Fb = − bx&
&x& + 2β x& + ω02 x = 0
Chantal Ferrer Roca 2008
4. Oscilaciones amortiguadas.
En los osciladores reales existen fenómenos disipativos que producen un amortiguamiento de la
oscilación. El modelo de oscilador amortiguado introduce un término proporcional a la primera
derivada (término disipativo). La ecuación diferencial del oscilador contiene un nuevo término
Término disipativo
& + ω02 Ψ = 0
&Ψ& + 2β Ψ
Factor de amortiguamiento
EJEMPLO 2: circuito RLC
Condensador con carga inicial q0 , al cerrar el circuito:
εL + εR + εC = L
di
q
+ Ri + = 0
dt
C
&q& +
El único término disipativo
en este caso corresponde a la
resistencia ( efecto Joule)
R
1
q& +
q=0
L
LC
&q& + 2βq& + ω02 q = 0
Chantal Ferrer Roca 2008
4. Oscilaciones amortiguadas.
Ψ ( t ) = C1e r1t + C 2 e r2 t
SOLUCIÓN
r1, 2 = −β ± β 2 − ω02
CASOS según
β
r = − β ± β − ω = − β ± ω raices reales
2
2
0
Ψ (t ) = e − βt (C1eωt + C2 e −ωt )
Ψ (t ) = Ae − βt cosh(ωt + φ )
x (a.u.)
1. APERIÓDICO SOBREAMORTIGUADO β > ω0
APERIÓDICO
1
No hay oscilaciones
0.8
sobreamortiguamiento
( β>ω)
0.6
0.4
2. APERIÓDICO CRÍTICO β = ω0
r = − β = −ω0 raices reales iguales
Ψ ( t ) = e − ω0 t (C1 + C 2 t )
A igualdad de condiciones alcanza antes
el valor cero
amortiguamiento
crítico ( β=ω)
0.2
0
0
5
10
Problema 3.3 boletín
Cuestiones 30,36, 37 a,b
15
20
25
t(s)
Chantal Ferrer Roca 2008
4. Oscilaciones amortiguadas.
SOLUCIÓN
Ψ (t ) = C1e rt + C2 e − rt
3. INFRA-AMORTIGUADO β < ω0
r = − β ± β 2 − ω02
SÍ HAY OSCILACIONES
ω' = ω02 − β 2
r = −β ± β 2 − ω02 = −β ± iω' raices imaginarias
Ψ ( t ) = e −βt (C1eiω't + C 2 e − iω't )
Cuestiones 30,36, 37 a,b, 38
Problema 3.4 del boletín
Ψ ( t ) = Ae −βt cos(ω' t + φ)
1
0.5
Amplitud que disminuye
exponencialmente con el tiempo
A(t=0)=A0 valor inicial
A
t = 1/β = 2τ A(t ) = 0
e
Pulsación menor que la del OAS,
Si β << ω0 ω’≈ ω0
Ψ (t)=Ae
A0
(a.u.)
A(t )
CASOS según
β
-β t
A0/e
0
1/β
Ae
-0.5
-1
cos( ω’ t)
0
200
400
-β t
600
800
ω t(deg)
4. Oscilaciones amortiguadas.
Ae
3. INFRAMORTIGUADO β < ω0
−β t
Chantal Ferrer Roca 2008
Ψ ( t ) = A ( t ) cos(ω' t + φ)
MEDIDA DE LA PÉRDIDA DE AMPLITUD (O DE LA ENERGÍA)
Para t<<
t<<τ
A(t ) = A0 e − t / 2τ ≈ A0 (1 − t / 2τ )
tiempo de relajación
la tangente (derivada )en t=0 de la exponencial corta
el eje horizontal en t = 2τ
dA ( t )
= − A 0 / 2τ
dt t =0
(a.u.)
Decremento logarítmico δ: ¿en qué
medida disminuye la amplitud pasado
un período de oscilación?
−β ( t + T )
A ( t + T ) Ae
=
A( t )
Ae −βt
δ=β
Ψ (t)=Ae
A
=e
−β T
=e
−β
2π
ω'
1
0.5
2τ=1/β
−δ
Ae
-0.5
2π
ω'
-1
cos( ω’t)
A/e
0
=e
-β t
factor e-δ
0
200
400
-β t
A(1-βt)
t<<τ
600
800
ω t(deg)
Chantal Ferrer Roca 2008
Ae −βt
Ψ ( t ) = A ( t ) cos(ω' t + φ)
4. Oscilaciones amortiguadas.
3. INFRAMORTIGUADO β < ω0
ENERGÍA:máxima disipación cuando v es máxima. Supongamos masa con resorte
1
1
1
E = T + U = ... = mA 2 e −2βt (ω02 + β 2 cos 2ω' t + βω' sin 2ω' t )
mx& 2
U = kx 2
2
2
2
(demostrar como ejercicio-problema 3.4 del boletín )
T=
E ( τ) =
E0
e
τ=
1
2β
E = T + U = E 0 e −2β t
Tiempo de relajación: tiempo en el que
la energía promedio desciende a 1/e del
valor inicial
0.004
E0
E
0.0035
E OAS
0.003
Q = 2π
E
P T'
= 2π
E
T' E / τ
E almacenada
E disipada
= 2π
τ
= ω' τ
T
1ciclo
π
=
δ
Energía total (J)
Factor de calidad Q = 2π
Q = medida de τ (t. relajación) respecto a T’(periodo)
Q grande : poco amortiguamiento (y viceversa)
0.0025
E = E 0 e −2β t = E 0 e − t / τ
-
0.002
E0/e
0.0015
0.001
0.0005
0
0
Cuestión 31
1
τ
2
3
4
t(s)
5
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/amortiguadas/amortiguadas.htm
Chantal Ferrer Roca 2008
5. Oscilaciones forzadas. Efectos Transitorios.
Existe un mecanismo externo que suministra energía al sistema, compensando las
pérdidas por disipación.
&& + 2β Ψ
& + ω2 Ψ = G ext ( t )
Ψ
0
Ecuación
solución forzada
(una solución particular que
cumpla la ecuación diferencial).
Es la única solución para t>>τ
Ψ (t ) = Ψh (t ) + Ψ p (t )
Solución:
solución transitoria
solución de la ec. homogénea
(oscilador amortiguado).
Decae con el tiempo:
CASOS según el tipo de fuerza aplicada
ψ
(a.u.)
INFRA-AMORTIGUADO
1
Ef. Transitorios: distorsión
2
Ψ(t)=Ae-β tcos(ωt+φ)
0.5
Ec. diferencial no homogénea
Ψ (t ) = Ψh (t ) + Ψ p (t )
Ψ (t ) = Ψ p (t )
0
0
Ψp (t )
-1
Ae -βt
-0.5
-1
Solución t>>τ
1
Ψh (t )
-2
0
200
400
600
800
ω t(deg)
0
2
4
6
8
10
t(s)
5. Oscilaciones forzadas. Efectos Transitorios.
Chantal Ferrer Roca 2008
EJEMPLO 1: masa con muellle
m&x& = − kx − bx& + F0 sin ωt
x&
Fe = − kx
Fb = − bx&
EJEMPLO 2: circuito RLC
&x& + 2 β x& + ω02 x = A sin ω F t
Fext = F0 sin ω F t
x(t) = x h + x p
Con fuente de alimentación V en alterna
εL + εC + εR = L
di q
+ + Ri = Vmax sin ωt
dt C
V
R
1
q&& + q& + q = max sinωt
L LC
L
q(t ) = q h + q p
6. Fuerza de tipo armónico. Resonancia
Chantal Ferrer Roca 2008
&& + 2 β Ψ
& + ω 2 Ψ = A (t )
Ψ
0
ext
si ψ es desplazamiento x
Ecuación
A ext ( t ) = A 0 sin ωF t
iω F t
SOLUCIÓN ESTACIONARIA : supondremos A(t ) = A0 e
(−ω F2 + i 2ω F β + ω02 )C =
F0
=A
m
A
A
=
C=
((ω02 − ω2F ) + i 2ωFβ) Y
Ψp ( t ) = (
Número complejo,
expresión polar
Y e −iδ
Fuerza de tipo armónico de
pulsación ωF ≠ ω0
sol . particular (inspección ) :
ψ (t ) = Ce iω
Ft
Y = (ω02 − ω2F ) 2 + (2ωFβ) 2
δ = tg −1
− 2ω β
Im Y
= tg −1 2 F 2
( ω0 − ω F )
Re Y
A iδ i ( ω F t )
e )e
= D (ωF )e i ( ω F t + δ )
Y
(Parte imaginaria)
Ψ p (t ) = D(ω F ) sin(ω F t + δ )
A
A
=
Y
(ω02 − ω2F ) 2 + (2ωFβ) 2
δ = tg −1
Im Y
− 2ω β
= tg −1 2 F 2
Re Y
(ω0 − ωF )
6. Fuerza de tipo armónico. Resonancia.
Ecuación
Solución estacionaria
Ψ p (t ) = D(ω F ) sin(ω F t + δ )
&& + 2 β Ψ
& + ω 2 Ψ = A sin ω t
Ψ
0
F
Función Lorentziana
AMPLITUD: depende de la frecuencia de la
A
A
D(ωF ) =
=
Y
(ω02 − ωF2 ) 2 + (2βω F ) 2
dD (ω F )
=0
dω F
Chantal Ferrer Roca 2008
β=2, Q=5
β=10, Q=1
0.02
D
max
max
∆ω = 2β
∆ω
0.01
0
0
Dmax
):
2
β=1, Q=10
0.04
D
ω R = ω 2 − 2β 2
ω R ≈ ω , Dmax ≈
Anchura (para
β=0.1, Q=100
ω0 =20 rad/s
2
D(ωR)=Dmax
si β << ω 0
( x02 − x 2 ) 2 + ( xΓ) 2
0.03
FRECUENCIA DE RESONANCIA
máximo
A
0.05
D( ωF ) (a.u.)
fuerza, con un máximo cuando la frecuencia de
la fuerza se aproxima a la frecuencia propia del
oscilador libre : curva de resonancia
y ( x) =
A
2ω0 β
∆ω ⋅ τ ≈ 1
ω
0
10
15
20
R
25
30
ω (rad/s)
F
mayor amortiguamiento=mayor anchura y menor Q
midiendo la anchura de la lorentziana se obtiene también el
factor de amortiguamiernto o el tiempo de relajación
6. Fuerza de tipo armónico. Resonancia
Ecuación
Solución
&& + 2 βΨ
& + ω 2 Ψ = A sin ω t
Ψ
0
F
Ψ p (t ) = D(ω F ) sin(ω F t + δ )
Cuestiones 32, 33, 34, 35, 36c, 37c, 38c, 39
Chantal Ferrer Roca 2008
6. Fuerza de tipo armónico.
Resonancia.
Chantal Ferrer Roca 2008
Solución estacionaria
Ecuación
&& + 2 β Ψ
& + ω 2 Ψ = A sin ω t
Ψ
0
F
Ψ p (t ) = D(ω F ) sin(ω F t + δ )
FASE: diferencia de fase entre la fuerza y el desplazamiento. δ = tg −1 − 22ω F β2
(ω0 − ω F )
http://bednorzmuller87.phys.cmu.edu/demonstrations/electricityandmagnetism/timedependentcurrents/demo6503.html
A. debajo resonancia, ωF < ω0
B. resonancia , ωF = ω0
δ=
δ<
π
2
δ>
π
2
π
2
C. encima resonancia, ωF > ω0
C
A
ωF < ω0
ω F > ω0
ωF = ω0
B
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/forzadas/forzadas.htm
SOLUCIÓN GENERAL cerca de la resonancia: aparecen pulsaciones por la
combinación de la frecuencia propia del oscilador y la de la forzada. La ausencia
de pulsaciones garantiza que ambas coinciden y se está en resonancia.
6. Resonancia
Chantal Ferrer Roca 2008
Cuando columpiamos a alguien,
introducimos una fuerza
periódica de frecuencia lo más
próxima a la propia del columpio
para obtener amplitud máxima.
FISICA de Feynman (23-4):
- Respuesta de la atmósfera a excitaciones externas fr =10,5
h. (verificado con explosión de Krakatoa 1883)
- Absorción de radiación infrarroja a través de una película
delgada de Na Cl.
- Bombardeo de un átomo de Litio con protones: pico de
emisión gamma
- Curva de resonancia del efecto Mössbauer
Efecto resonante del sonido en un
tubo de longitud adecuada
Destrucción del
puente Tacoma
Narrows (1940)
Nature 420, 475 (5 December 2002)
Animal communication: Tree-hole
frogs exploit resonance effects
http://www.uv.es/piefisic/w3demos/castellano/catalogo/demos/demo14/Tacoma2.mpg
6. Resonancia
Osciladores micromecánicos o Sistemas Nanoelectromecánicos
sensores
Chantal Ferrer Roca 2008
Oro, 50 nm de diámetro
5 µm
15 µm
Sensibilidad: 1 attog
Medida de la respuesta a las vibraciones de
maquinaria pesada (AMTRI corp.)
2 µm
Célula de Escherichia coli
http://www.news.cornell.edu/releases/April04/attograms.ws.html
Curva de resonancia del
trampolín con y sin E.Coli
permite determinar su masa
Curva de resonancia de un piezoeléctrico
6. Amplitud de absorción y elástica
Chantal Ferrer Roca 2008
Solución estacionaria
Ecuación
C=
&& + 2 β Ψ
& + ω 2 Ψ = A cos ω t
Ψ
0
F
Ψ p (t ) = D (ω F ) cos(ω F t + δ )
A
A
A
δ
=
=
=
De
((ω02 − ω2F ) + i 2ωFβ) Y Y e −δ
Figura del libro “"Waves . Berkeley Physics Course" de
Kittel-Knight-Ruderman. Ed Reverté, 1999.
Otra forma de escribir la solución:
C = D(cos δ + i sin δ) = C R − iCi
ψ p ( t ) = Re(Ce iωF t ) = C R cos ωF t + C i sin ωF t
(C R − iCi )(cos ω F t + i sin ω F t )
desfasada 90º
respecto a la fuerza
A(ω02 − ω2F )
C R = D cos δ = 2
(ω0 − ω2F ) 2 + (2ωFβ) 2
Ci = D sin δ =
(ω02
A(2ωFβ)
− ω2F ) 2 + (2ωFβ) 2
Amplitud elástica o
"dispersiva"
Amplitud de
absorción
Ejemplo: modelo resonante de absorción de luz en la materia, constante dieléctrica compleja: la parte real (la
amplitud elástica) depende del índice de refracción y la imaginaria (amplitud de absorción) depende del
coeficiente de absorción del material.
Chantal Ferrer Roca 2008
6. Resonancia e Impedancia
Supongamos masa + muelle
Ecuación
&x& + 2β x& + ω02 x = A sin ωF t
v max
Solución estacionaria
x& p ( t ) = v = ωF D(ωF ) cos(ωF t + δ)
x p ( t ) = D(ωF ) sin(ωF t + δ)
v max
π
sin(ωF t + δ + ) = sin(ωF t + φ)
2
=
ωF A
(ω2F − ω02 ) 2 + (2ωFβ) 2
=
F0
k
( mωF − ) 2 + b 2
ωF
Z
Impedancia mecánica Z: R resistencia, X reactancia
(recordáis los circuitos de alterna?) igual para una masa con resorte u otro sistema físico forzado
Z = Ze
Z
φ
X
R
tg φ =
X
= −ctg δ =
R
R
cos φ =
Z
mωF −
b
iφ
x& p ( t ) = v =
k
ωF
φ>0
φ=0
φ<0
giro
k
Z = R + iX = b + i(mωF − )
ωF
F0
sin(ωF t − φ)
Z
ωt
F
φ
v
Velocidad retrasada respecto a la fuerza
Resonancia velocidad y fuerza colineales
Velocidad adelantada respecto a la fuerza
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/forzadas/forzadas.htm
6. Fuerza de tipo armónico. Resonancia e Impedancia
EJEMPLO: circuito RLC
Con fuente de alimentación ε en alterna
di q
VL + VC + VR = L + + Ri = ε = ε 0 cos ωt
dt C
Re( ε 0 e jωt )
derivar la ecuación de nuevo:
ε = ε0e
jωt
ε0ω jωt
d2i R di 1
+
+
=
i
je
dt 2 L dt LC
L
ε
ε = ε 0 e j( ωt −φ) = i e j( ωt −φ)
=
i=
0
Z
R + jX Z e jφ
Impedancia Z del circuito
ε
i0 = 0
Z
i = i0ejωt
Z = R 2 + X 2 = R 2 + (Lω −
φ > 0 Corriente retrasada respecto a la tensión
φ = 0 Resonancia, corriente en fase con la tensión i = i0 cos( ω t − φ )
φ < 0 Corriente adelantada con respecto a la tensión
Potencia
Solución
particular
tgφ =
X
=
R
Lω −
1 2
)
Cω
1
Cω
R
P( t ) = Re(i) Re(V)
1
1
Potencia disipada en la P ( t ) = Re(i) Re(V) = (i 0 cos(ωt − φ)(V0 cos ωt ) = V0i 0 cos φ = Ri 02 cos φ
2
2
resistencia
Potencia generador
Pgen ( t ) =
1
ε 0i 0 cos φ
2
IGUALES
Chantal Ferrer Roca 2008
6. Resonancia y potencia absorbida
⎛F
⎞
Pabs ( t ) = Fext ⋅ x& = (F0 sin ωF t )⎜⎜ 0 sin(ωF t − φ) ⎟⎟
⎝Z
⎠
Potencia absorbida o reactiva (transferida al oscilador
por la fuerza impulsora
1 F02
1 F02
Pabs ( t ) =
cos φ =
R
2 Z
2 Z2
k
Z = (mωF − ) 2 + b 2
ωF
2
Potencia absorbida
promedio.
Máxima potencia absorbida: en la
resonancia
φ=0
Z=R =b
v max
Pmax
Pabs ( t )
Pmax
2
0
1F
= Pabs (ω0 ) =
2 R
Potencia (u.a.)
Suponiendo amortiguamiento pequeño:
Pmax
También
Lorentziana
∆ω FWHM
Full Width Half Maximum
Pmax / 2
∆ω
b2
=
k
(mωF − ) 2 + b 2
ωF
También Lorentziana
10
Chantal Ferrer Roca 2008
15 ω0 − β 20 ω0 + β 25
30
ω(rad/s)
7. Fuerza periódica. Principio de superposición
&Ψ& + 2 β Ψ
& + ω 2 Ψ = Fext
0
m
Fext es Combinación lineal de otras fuerzas
Fext = ∑ ci Fi ( t )
i
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: si Ψi es solución de Fi, la solución general es la
combinación lineal de soluciones Ψi
Ψ p ( t ) = ∑ ciΨ p ( t )
i
i
definiendo el operador lineal
d2
d
L(Ψ ) = ( 2 + a
+ b) ⋅ Ψ
dt
dt
L(Ψp ) = L(∑ c i Ψi ) = ∑ ci L(Ψi ) = ∑ ci Fi ( t ) = Fext
i
Chantal Ferrer Roca 2008
i
i
Ejemplo: problema 3.6
7. Fuerza periódica. Principio
de superposición y Teorema de Fourier.
&Ψ& + 2 β Ψ
& + ω 2 Ψ = Fext
0
m
Fext es Combinación lineal de otras fuerzas
Fext = ∑ ci Fi ( t )
i
Fext es función periódica, F(t+T) = F(t)
TEOREMA DE FOURIER: Una función periódica f(t) de período T se puede escribir como la suma de
sus componentes armónicas (senos o cosenos de frecuencia múltiplo de la frecuencia fundamental)
ω1 =2π/T frecuencia fundamental
f ( t ) = a 0 + C1 sin(ω1t + φ1 ) + C 2 sin( 2ω1t + φ 2 ) + .... + C n sin( nω1t + φ3 )
T
∞
∞
n =1
n =1
f ( t ) = a 0 + ∑ b n cos ωn t + ∑ a n sin ωn t
T
1
a0
=< f ( t ) >= ∫ f ( t )dt
T0
2
ωn = nω1 armónicos
2
a n = ∫ f ( t )cos(nωt )dt
T0
T
2
b n = ∫ x ( t )sin( nωt )dt
T0
Las funciones sin (nωt), cos (nωt) son una base ortogonal ya que se cumple que: (n,k=1,2,3....)
T
T
π
sin(nωt)
sin(kωt)dt
=
cos(nωt)
cos(kωt)dt
=
δ nk
∫
∫
ω
0
0
T
y
∫ sin(nωt) cos(kωt)dt = 0
0
Ejemplo: problema 3.7
Chantal Ferrer Roca 2008
7. Fuerza periódica. Principio de superposición y Teorema de Fourier.
F1 =
Ejemplo: problema 3.7
Fext es función periódica, F(t+T) = F(t)
ω1 =
2
π
sin ω1t
F3 = F1 +
2
sin 3ω1t
3π
F7 = F5 +
2
sin 7ω1t
7π
2π
T
F5 = F3 +
bk
T
2
sin 5ω1t
5π
∞
2
sin ωk t
k = 0 ( 2k + 1) π
F( t ) = ∑
ωk = (2k + 1)ω1
bk
b1
Sólo términos impares
F9 = F7 +
2
sin 9ω1t
9π
b3
b5
b7
F2 k +1 = F2 k −1 +
2
sin(2k + 1)ω1t
(2k + 1)π
ω1 2ω1 3ω1 4ω1 5ω1 6ω1 7ω1
Chantal Ferrer Roca 2008
8. Otros aspectos de los osciladores (mención)
Chantal Ferrer Roca 2008
Osciladores no lineales o anarmónicos
F(Ψ ) ∝ aΨ + bΨ 2 + cΨ 3 + ....
&& + (aΨ + bΨ 2 + cΨ 3 + ...) = 0
Ψ
EJEMPLO- OIDO HUMANO que oye dos sonidos = oscilador no lineal sometido a dos fuerzas de diferente ω:
solución
cos ω1t , cos ω2 t
⎧
⎪
x(t ) ∝ ⎨
cos 2ω1t , cos 2ω2 t
⎪cos(ω + ω ) t , cos(ω − ω ) t
1
2
1
2
⎩
Osciladores paramétricos
EJEMPLO: Un péndulo que cambie de longitud
con el tiempo: cambia ω
Física en Acción 2003 (Terrasa, Barcelona)
&x& + ω02 x + bx 2 = A cos ω1t + A cos ω2 t
es un sonido más grave que se distingue claramente
de los originales (Tercer sonido de Tartini).
&& + a ( t )Ψ = 0
Ψ
MÉTODO para poner en
oscilación el botafumeiro de la
catedral de Santiago de
Compostela
OTRO EJEMPLO: un péndulo que
cambie el momento de inercia con el
tiempo (péndulo físico que cambia la
longitud efectiva: cambia ω): es como
nos columpiamos todos partiendo del
reposo.