Universidad Central de Venezuela Facultad de

Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Física
Ondas y Óptica (2407)
Guía 3
1. Mostrar que en el estado estacionario de oscilaciones forzadas, la energía disipada en
un ciclo debido a la fuerza de roce es igual a la energía suministrada por la forzadora
en cada ciclo.
2. El valor cuadrático medio (RMS) de una función X(t) con período T se define como
s
Z
1 T
dt X 2 (t)
(1)
XRM S =
T 0
Calcular el valor RMS del desplazamiento, la velocidad y la aceleración para un oscilador armónico forzado y amortiguado que se encuentra en su estado estacionario.
3. Una masa cuelga de un resorte y está sometida a oscilaciones forzadas de acuerdo a la
ecuación
F0
sin ω0 t
(2)
ẍ + ω02 x =
m
Note que el oscilador no posee amortiguamiento y la frecuencia de la forzadora es
igual a la frecuencia natural de oscilación. Halle la solución general del sistema y dé
una interpretación física de lo que encontró.
4. El sistema de amortiguación de un vehículo funciona como un resorte de constante k
sobre el cual está apoyada una masa m. Si el sistema está sometido a una fuerza de
roce del tipo Froce = −bẋ con b igual al 10 % necesario para alcanzar amortiguamiento
crítico, responda:
a) Cuál es el período de oscilaciones del vehículo.
1
b) Cuál es el factor por el cual decrece la amplitud en un período.
c) Cuánto tarda (en segundos y en número de períodos) la amplitud en decrecer en
un factor de 1000.
Asuma k = 1, 4 · 105 N m−1 y m = 1400 kg. Luego repita los cálculos con un valor
de b de 90 % necesario para alcanzar amortiguamiento crítico y compare con el caso
anterior.
5. Muestre que si la función
b
x1 (t) = e− 2m t
(3)
es solución de la ecuación de movimiento del oscilador armónico amortiguado, entonces debe satisfacerse b = 2mω0 . En este caso una segunda solución viene dada
por
b
(4)
x2 (t) = te− 2m t .
Demuéstrelo. Escriba la solución general y grafique para un sistema que en t = 0 parte
del reposo de x0 .
6. El puente Millenium en Londres tuvo que ser cerrado poco después de ser inaugurado
debido a un indeseado e inesperado movimiento de vaivén.
Se determinó que la causa de este movimiento era la exitación de un modo natural de
oscilación (f0 ≈ 1 Hz) producida por los peatones que caminaban sobre el puente y
donde cada paso de una persona se da a una frecuencia promedio de fp ≈ 1 Hz. Si la
constante de amortiguamiento del puente era originalmente de b = 1, 1 · 104 kg s−1 y
la fuerza promedio que imparte un peatón al pisar es de 25 N, estime la amplitud de las
oscilaciones del puente cuando 200 personas caminaban sobre él. ¿Cómo se resolvería
este problema?
2
7. Un oscilador en el estado estacionario se mueve según la ecuación
x = A cos(ωd t + δ) .
(5)
Muestre que la energía mecánica total es una función del tiempo
1
1
ET = mωd2 A2 sin2 (ωd t + δ) + mω02 A2 cos2 (ωd t + δ) .
2
2
(6)
Partiendo de este resultado, muestre que
dET
= −mωd (ω02 − ωd2 )A2 sin(ωd t + δ) cos(ωd t + δ) .
dt
(7)
Calcule los valores promedios hET i y hdET /dti sobre un ciclo de oscilación para una
frecuencia ωd cualquiera.
8. Una partícula de masa m está sujeta a la fuerza de un resorte −kx, la fuerza de roce
−bẋ, una forzadora F0 cos ωd t y una fuerza adicional que decae De−βt , donde D y β
son constantes positivas.
a) Escriba la ecuación diferencial para este sistema.
b) Ponga esta ecuación en notación compleja. Use como guía el hecho de que la
parte real de la ecuación debe ser igual a la ecuación original.
c) Muestre que la sustitución z = Aeiφ eiωe t no es una solución de la ecuación sin
importar cuáles sean los valores de A, φ y ωe .
9. En clase se encontró que la amplitud del oscilador armónico forzado y amortiguado
tiene la forma
F0 /m
A= p 2
.
(8)
(ω0 − ωd2 )2 + (γωd )2
Muestre que esta amplitud tiene un máximo en
r
1
ωd = ω0 1 −
2Q2
donde Q = ω0 /γ.
3
(9)
10. Consideremos el problema del oscilador armónico forzado y amortiguado
ẍ + γ ẋ + ω02 x =
F0
cos ωd t ,
m
(10)
con condiciones iniciales x(0) = x0 y ẋ(0) = v0 . La solución general a este problema
es
γ
x(t) = A0 e− 2 t cos(ωt + φ) + A cos(ωd t + δ)
(11)
q
donde ω = ω0 1 − 4Q1 2 . Halle el valor de A0 y φ en términos de x0 , v0 , A, δ, ω y ωd .
11. Un amigo imaginario suyo es ingeniero eléctrico y quiere diseñar un circuito RLC en
serie. Este amigo suyo quiere que la respuesta a la resonancia sea fuerte (es decir el
pico sea alto) y a su vez que responda a un rango amplio de frecuencias. Trate de explicarle a su amigo imaginario porqué ambas cosas no pueden lograrse simultáneamente
(advertencia: no haga esto frente a sus padres o amigos reales; corre el riesgo de que
lo miren raro o lo envíen al médico por delirio).
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