Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro I4. ESTUDIO DE LA AMPLITUD DE LAS OSCILACIONES ARMÓNICAS AMORTIGUADAS Y FORZADAS RESUMEN Los movimientos oscilatorios ideales están libres de fuerzas de rozamiento y oscilan indefinidamente, los cuales están descritos por las características del movimiento armónico simple. En los sistemas reales se deben considerar las fuerzas disipativas del entorno, las cuales generan disminución de la energía mecánica, decaimiento de su amplitud con el tiempo y en este caso, el movimiento recibe el nombre de movimiento amortiguado. De acuerdo al valor de la constante de amortiguamiento, el movimiento se puede clasificar en tres casos. Si la constante de amortiguamiento ϒ < ω0, la amplitud decae exponencialmente con el tiempo y es de la forma 𝐴𝑒 9:; , siendo este el caso más interesante, pues la energía del oscilador también disminuye. Si el amortiguamiento del sistema es grande, se pueden dar los casos de movimiento críticamente amortiguado, ϒ = ω0 y sobreamortiguado ϒ>ω0, en cuyas situaciones no se presentan oscilaciones y el sistema retorna rápidamente a la posición de equilibrio. Por otra parte, si a un movimiento amortiguado se le aplica una fuerza externa periódica que realice trabajo positivo sobre el sistema y en la misma dirección del movimiento, el sistema mantiene su amplitud (movimiento forzado). Cuando la frecuencia de la fuerza externa ω es igual o muy cercana a la frecuencia natural del sistema oscilatorio ω0 (la frecuencia de resonancia dependerá de la constante de amortiguamiento), ocurre el fenómeno de la resonancia. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA En este proyecto de investigación se busca estudiar la variación de la amplitud del movimiento amortiguado en función del tiempo para diferentes constantes de amortiguamiento y la amplitud del movimiento forzado en función de la frecuencia de la fuerza externa para diferentes constantes de amortiguamiento. Este hecho genera las preguntas: ¿Cómo afectan las fuerzas de fricción externas la amplitud en un movimiento Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro oscilatorio? ¿Cómo afecta la frecuencia de la fuerza externa la amplitud en un movimiento forzado? OBJETIVO GENERAL Análisis de las oscilaciones amortiguadas y forzadas . OBJETIVOS ESPECÍFICOS • Analizar el comportamiento de la amplitud de las oscilaciones amortiguadas en función del tiempo. • Estudiar los movimientos críticamente amortiguados y sobre amortiguado. • Analizar las oscilaciones rotatorias forzadas en función de la frecuencia del agente forzador, para diferentes constantes de amortiguamiento. • Entender la diferencia de fase entre el oscilador y el agente forzador. • Determinar la frecuencia natural del oscilador MARCO TEÓRICO Péndulo de Pohl El péndulo de Pohl consiste en una rueda de metal con momento de Inercia I que oscila (figura1) y un resorte helicoidal que produce un momento de torsión restaurador cuando la rueda rota, dado por la ecuación 1: 𝑀 = −𝐾𝜃 (1) Y genera el movimiento oscilatorio, tendiendo a llevar el péndulo a la posición de equilibrio. Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro Figura 1. Montaje péndulo de Pohl Debido a las fuerzas de fricción, la amplitud disminuye con el tiempo generando un movimiento oscilatorio amortiguado. En el péndulo, el amortiguamiento se realiza pasando la rueda de metal a través del campo magnético de un electroimán y como resultado se genera en el disco una corriente parásita. Luego, el momento de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre las corrientes es proporcional a la velocidad angular de la rueda y de sentido contrario. El movimiento que realiza el péndulo de Pohl puede describirse por la ecuación diferencial: 𝜃 + 𝛽𝜃 + 𝜔D E 𝜃 = 0 en donde la constante de amortiguamiento es 𝛾 = 𝜔DJ K I H EI (2) , la frecuencia natural del oscilador , I el momento de Inercia del disco y K la constante de restauración del resorte helicoidal. La frecuencia angular de la oscilación amortiguada, 𝜔= 𝜔DE − 𝛾 E (3) La solución para la ecuación diferencial (2) es: 𝜃 𝑡 = 𝜃D 𝑒 9:; cos 𝜔𝑡 (4) Siendo 𝜃D el ángulo inicial de rotación en el instante t=0. Dependiendo de cuál sea la relación entre 𝜔D y 𝛾 se pueden car tres casos: 𝜔DE > 𝛾 E , Movimiento Amortiguado, el sistema oscila con amplitud decreciente. Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro 𝜔DE = 𝛾 E , Amortiguamiento Crítico, el sistema vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar cuando se le desplaza. 𝜔DE < 𝛾 E , Movimiento Sobreamortiguado. No hay oscilación, pero el sistema vuelve al equilibrio más lentamente que en el caso del amortiguamiento crítico. Oscilaciones forzadas Cuando sobre el péndulo se ejerce una fuerza externa periódica, la ecuación de movimiento está descrita por: 𝜃 + 𝛽𝜃 + 𝜔D E 𝜃 = 𝐹D cos 𝜔𝑡 donde 𝐹D = ST I (5) y cuya solución general es igual a la del movimiento libre más una solución particular descrita por: 𝜃 = 𝐴U cos 𝜔𝑡 − 𝛿 (6) donde la amplitud del movimiento forzado AF depende de la magnitud del momento aplicado y de la frecuencia externa ω 𝐴U = UT X W X 9WTX Y: X W X (7) y el desfase entre el momento externo y la oscilación es: 𝛿 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 E:W WTX 9W X (8) La frecuencia en que la amplitud es máxima, es la frecuencia de resonancia y se expresa: 𝜔^ = 𝜔DE − 2𝛾 E (9) En el caso que no exista amortiguamiento, la frecuencia de resonancia corresponde a la frecuencia natural y la amplitud tenderá al infinito; para frecuencias altas la amplitud tenderá a cero y para muy bajas frecuencias la amplitud tenderá a F0. Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro METODOLOGÍA El desarrollo del proyecto se realizará en tres etapas o fases metodológicas, en las cuales se hará la recolección de los datos y posteriormente su respectivo procesamiento. En la primera fase se obtendrán los datos de las amplitudes y el tiempo de N oscilaciones del movimiento débilmente amortiguado con el fin de demostrar que ésta decae exponencialmente con el tiempo. Por otra parte, también se observarán los movimientos críticamente amortiguado y sobre amortiguado. En la segunda fase se registrarán los valores de la amplitud en función de la frecuencia del movimiento forzado para diferentes constantes de amortiguamiento y se obtendrá la frecuencia natural del oscilador. Fase Uno: en esta primera fase se determinará la amplitud del movimiento amortiguado en función del tiempo. Para esto, se aplicará una corriente continua a las bobinas para generar la fuerza que amortigua las oscilaciones en el péndulo de Pohl (a mayor corriente mayor amortiguamiento). Es aconsejable aplicar una corriente que permita generar varias oscilaciones, por ejemplo, en un rango entre 0.2A a 0.6 (no exceda 1A). Luego, se desplazará el indicador del péndulo hasta una posición límite y se registrarán las amplitudes sucesivas del péndulo (positivas y negativas) en la tabla 1 correspondientes a la corriente utilizada. Finalmente, se repetirá el procedimiento anterior para otra corriente y se registrarán los datos en la tabla 1. Nota: recuerde monitorear el valor de la corriente aplicada a las bobinas de manera que se garantice que el amortiguamiento se mantiene constante. Fase Dos: en ésta fase se determinará el período del movimiento amortiguado. Para esto, se ajustará en las bobinas la primera corriente utilizada en la fase uno. Luego, se separará el péndulo hasta una amplitud inicial límite y se medirá el tiempo de N oscilaciones tres veces. Después, se obtendrá el tiempo promedio y el período promedio del movimiento. Por último, se deberá repetir el procedimiento anterior con la segunda corriente y se registrarán los datos en la tabla 2 (hoja de trabajo). Fase tres: en esta fase se observará el comportamiento de la amplitud en los movimientos críticamente amortiguado y sobreamortiguado. Será necesario ajustar el valor de la corriente aumentándola hasta obtener un movimiento críticamente amortiguado (es decir que solo tenga un periodo o menos de oscilación). Luego, se determinará el Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro tiempo que tarda el péndulo desde que se libera hasta que alcanza la posición de equilibrio (se detiene por completo). Después, se deberá seguir aumentando los valores de la corriente hasta alcanzar un amortiguamiento que genere un movimiento sobre amortiguado. Luego, se medirá el tiempo que tarda el péndulo en realizar el movimiento hasta alcanzar la posición de equilibrio. Por último, se registrarán los valores de corriente y tiempo para cada movimiento. Fase cuatro: en esta fase se estudiará la respuesta forzada del péndulo de Pohl. Se debe seguir el siguiente procedimiento: primero, determinar el valor de la amplitud del péndulo para una corriente de 0A a una frecuencia 𝑓 (se debe registrar la amplitud cuando la oscilación forzada sea estable y la amplitud de las oscilaciones sucesivas sea aproximadamente constante). Segundo, se deberá realizar el procedimiento anterior variando las frecuencias según las indicaciones del profesor (tabla 3), teniendo en cuenta que para determinar el valor de la frecuencia es necesario tomar el tiempo de 𝑁 revoluciones del motor. Tercero, se deberán repetir los pasos anteriores ajustando las dos corrientes utilizadas en la fase uno (para generar el movimiento forzado-amortiguado), registrando nuevamente los datos de las amplitudes (tabla 3). Por último, determinar cualitativamente la relación de fase entre el excitador y el oscilador para cada frecuencia ajustada. Finalmente, se determinará la frecuencia natural de oscilación del péndulo de Pohl, registrando el tiempo de 𝑁 oscilaciones sin corriente y sin fuerza externa (tabla 4). Observe la relación de fase cualitativamente entre el excitador y el oscilador para cada frecuencia ajustada. Fase Cinco: se establecerán las funciones de la amplitud para el movimiento débilmente amortiguado y para el movimiento forzado. Para esto, se realizará un análisis de la gráfica de amplitud, 𝐴 𝑡 corrientes utilizadas en el (ordenadas) contra tiempo 𝑡 (abscisas) para las dos movimiento amortiguado. Luego, sobre los puntos experimentales se deberá realizar un ajuste exponencial de la forma: 𝐴D 𝑒𝑥𝑝 −𝛾𝑡 , como se muestra en la figura 2 (emplee cualquier programa para tratamiento de datos como Excel, matlab, etc.) Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro 𝐴 = 𝐴D 𝑒 9:; Figura 2. Amplitud en función del tiempo. Movimiento sub-amortiguado Luego, se deberá linealizar la función de amplitud del paso anterior usando el logaritmo natural de la amplitud 𝐴 𝑡 . Obtenga la ecuación de la recta usando la regresión lineal 𝑙𝑛 𝐴 contra tiempo (𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏). Después, se procederá a realizar las interpretaciones físicas de la pendiente y del término exp(𝑏). Luego, se calculará el decaimiento exponencial 𝛾 para los dos movimientos (correspondientes a las corrientes utilizadas). No olvide incluir la función de ajuste en la gráfica. Por último, se deberán discutir los resultados para los movimientos: crítico y sobre amortiguado. De forma similar, para estudiar las oscilaciones forzadas se construirá en una misma gráfica las funciones de amplitud contra frecuencia (tabla 3). Luego, se analizarán y compararán las curvas de resonancia obtenidas. Posteriormente, se determinará el ángulo de desfase entre el oscilador y el agente forzador. Por último, se calcularán las frecuencias de resonancia para la i=0 y las otras dos corrientes. No olvide comparar las frecuencias de resonancia con la frecuencia natural del péndulo de Pohl y discutir los resultados PREGUNTAS ADICIONALES ü ¿Cuál es la relación entre la variación de la corriente y el coeficiente de amortiguamiento del sistema? ü ¿Qué indica la frecuencia de resonancia en los casos estudiados? ü ¿Tiene alguna relación el valor de la corriente y la frecuencia de resonancia? Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro RESULTADOS ESPERADOS En este proyecto de investigación se espera que el estudiante tenga la capacidad de realizar el análisis de las funciones de la amplitud para los movimientos amortiguado y forzado y determinar los factores que afectan las amplitudes de éstos movimientos. BIBLIOGRAFÍA Hecht, E. (1997). Física en Perspectiva. México: educativa. Serway, J. (2013). Física. México: Thomson. Susan M Lea, J. R. (2000). Física. Vol 1. La naturaleza de las cosas. México: Thomson. Este material fue desarrollado por Mónica Alexandra Flores, B.Sc y Melba Johanna Sánchez Soledad, B.Sc, en el marco del proyecto titulado “Fortalecimiento de las capacidades científicas y tecnológicas para lograr una mejor formación para la investigación por medio de mejores laboratorios de física para ciencia e ingeniería”, fase 1: re-enfoque metodológico. Para el desarrollo de esta actividad se contó con el apoyo de Rogelio Ospina Ospina, Ph.D, Coordinador de los Laboratorios de Física, Jorge Humberto Martínez Téllez, Ph.D, Director de la Escuela de Física, David Alejandro Miranda Mercado, Ph.D, Decano de la Facultad de Ciencias, Universidad Industrial de Santander. Bucaramanga, 1 de octubre de 2017
