Movimiento Oscilatorio 3°parte

El Péndulo
Es un sistema físico que puede oscilar bajo la acción gravitatoria u otra característica
física (elasticidad, por ejemplo) y que está configurado por una masa suspendida de
un punto o de un eje horizontal fijos mediante un hilo, una varilla, u otro dispositivo que
sirve para medir el tiempo. Existen muy variados tipos de péndulos que, atendiendo a
su configuración y usos, reciben los nombres apropiados: péndulo simple, péndulo
compuesto, péndulo cicloidal, doble péndulo, péndulo de Foucault, péndulo de
Newton, péndulo balístico, péndulo de torsión, péndulo esférico, etcétera. Sus usos
son muy variados: medida del tiempo (reloj de péndulo, metrónomo,.), medida de la
intensidad de la gravedad, etc.
Movimiento Armónico Amortiguado
Añadiendo pérdidas de energía, se consigue modelar una situación más próxima a la
realidad. Así, nótese que la oscilación descrita en el apartado anterior se prolongaría
indefinidamente en el tiempo (la sinusoide que describe la posición no converge a cero
en ningún momento). Una situación más verosímil se corresponde con la presencia de
una fuerza adicional que frena el movimiento. Esa fuerza puede ser constante (pero
siempre con signo tal que frene el movimiento). Es el caso de rozamientos secos: la
fuerza no depende ni de la velocidad ni de la posición. Otra situación que se produce
en la realidad es que la fuerza sea proporcional a la velocidad elevada a una potencia,
entera o no. Así sucede cuando la fuerza que frena proviene de la viscosidad o de las
pérdidas aerodinámicas. Se tratará únicamente el caso más simple, es decir, cuando
la fuerza sea proporcional a la velocidad. En este caso la fuerza será:
Donde es un coeficiente que mide el amortiguamiento debido a la viscosidad. Si es
pequeño, el sistema está poco amortiguado. Nótese el signo negativo que indica,
como antes, que si la velocidad es positiva, la fuerza tiene la dirección opuesta a la
velocidad. Con este término complementario la ecuación diferencial del sistema es:
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden1 (contiene
derivadas segundas) y homogénea (no hay término independiente de ). Tiene tres
tipos de soluciones según el valor de
:



Si
el sistema está sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o
supercrítico)
Si
el sistema tiene amortiguamiento crítico.
Si
el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil
o subcrítico).
Oscilaciones forzadas
Podemos iniciar el movimiento un oscilador armónico desplazándolo de su
posición de equilibrio y abandonándolo a su oscilación libre. Alternativamente,
podemos aplicarle una fuerza cuya intensidad varíe de manera sinusoidal con
el tiempo. En esta situación, la ecuación diferencial lineal es inhomogénea. La
solución a este tipo de ecuación está formada por dos términos: la solución
general del sistema homogéneo más una solución particular del caso
inhomogéneo.2 Por tanto, la solución está formada por dos partes, una parte
transitoria (que se anula pasado cierto tiempo), similar a las que vimos en los
párrafos precedentes, más una parte estacionaria. La solución de la parte
transitoria es la misma la que ya hemos visto (ecuación homogénea). Las
únicas diferencias son las condiciones iniciales y finales, que no son idénticas.
Vamos a interesarnos a la solución estacionaria. En la ecuación diferencial del
sistema hay que añadir la fuerza sinusoidal:
Para resolver esta ecuación es más interesante utilizar el mismo método que
en electricidad y electrónica. Para ello, se añade a la fuerza real una fuerza
imaginaria
. Como en electrónica, se utiliza
en lugar de i.
Ahora la ecuación a resolver es:
Pero por supuesto, como en electricidad, sólo la parte real de y será de interés.
La solución es inmediata:
Si se deriva esta expresión y se sustituye en la ecuación diferencial, se
encuentra el valor de A:
Pero A puede escribirse como
y la solución de compleja es:
El valor de real es la parte real de la expresión precedente:
donde es el módulo de
y su argumento:
Como en electricidad, el ángulo da el desfase del movimiento con respecto a
la fuerza externa. Si es positivo, el movimiento está en avance de fase y si
es negativo el movimiento está en retardo de fase. En este caso el desfase
será siempre negativo.
Resonancia
Las amplitudes del desplazamiento y de la velocidad para la solución
estacionaria del oscilador amortiguado dependen de las características físicas
del oscilador y de la frecuencia de la fuerza aplicada. En la frecuencia w a la
que la amplitud del desplazamiento se hace máxima se dice que se produce
resonancia en amplitud. Cuando es la amplitud de la velocidad la que se hace
máxima se dice que se produce resonancia en energía.
El fenómeno de resonancia se manifiesta en la mayoría de los sistemas
naturales. Es bien conocido que cuando una formación de soldados cruza un
puente, rompe el paso, para evitar que la frecuencia de la marcha sea próxima
a la frecuencia natural de la estructura. La resonancia es observada con
frecuencia en maquinaria rotatoria. Un circuito receptor de radio o TV sintoniza
en una frecuencia específica ajustando la frecuencia natural del circuito
receptor para que sea exactamente igual a la frecuencia del transmisor. Y
sistemas atómicos o nucleares exhiben fenómenos de resonancia cuando son
excitados con luz o partículas.