Una estructura articulada simétrica está sometida a la carga P

Cátedra de Ingeniería Rural
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real
Una estructura articulada simétrica está sometida a la carga P. Siendo
las barras de sección circular de radios RAB = RAD = 4 cm, RAC = 2 ⋅ 2 cm,
calcular el menor valor de P para el que se produce la rotura de la estructura,
indicando en qué barra se inicia la misma.
Datos: L = 2m, α = 60º, E = 2· 10 6 kg/cm2 y la tensión de rotura αR = 3000
kg/cm2.(*)
Del equilibrio del nudo A se obtiene:
N AB ⋅ senα − N AD ⋅ senα = 0
N AB ⋅ cos α + N AD ⋅ cos α + N AC + P = 0
(*)
Vázquez, M. (1999) Resistencia de materiales. Elasticidad. Solicitaciones. Cálculo de
estructuras. Editorial Noela. 4ª edición. Madrid.
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Si se analizan las deformaciones de la estructura, se obtiene la relación:
δ AB = δ AC ⋅ cos α
Aplicando la ley de Hooke:
N AB ⋅ L AB N AC ⋅ L AC
⋅ cos α
=
E ⋅ A AB
E ⋅ A AC
L AC
= 2 ⋅ L = 400 cm ,
cos 60
= 8 ⋅ π cm 2 , el sistema de ecuaciones
Teniendo en cuenta que α=60º, LAC=L=200 cm, L AB =
A AB = π ⋅ R 2AB = 16 ⋅ π cm 2 , A AC = π ⋅ R 2AC
anterior se reduce a:
N AB = N AD
N AB + N AC + P = 0
N AC = 2 ⋅ N AB
de donde se obtiene:
N AB = N AD = −
N AC = −
2⋅P
3
P
3
Al ser negativas las fuerzas, las tres barras trabajan a compresión.
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Las barras AB y AD se romperían a compresión, sin inestabilidad,
cuando P alcanzase un valor PI tal que:
σ AB =
N AB
A AB
PI
= 3 = σ R → P I = 3 ⋅ σ R ⋅ A AB = 3 ⋅ 3000 ⋅ 16 ⋅ π = 452389 kg
A AB
Las barras AB y AD se romperían por pandeo al alcanzar su
soliciticación NAB o NAD el valor de la carga crítica de Euler, o lo que es lo
mismo, cuando P alcanzase un valor PII tal que:
N AB =
P II π 2 ⋅ E ⋅ Imín
=
3
L2AB
Sabiendo que el momento de inercia de
π ⋅ R 4AB π ⋅ 4 4
I=
=
= 804.25 cm 4 , se obtiene la carga PII:
4
4
P II =
la
sección
es
3 ⋅ π 2 ⋅ E ⋅ I 3 ⋅ π 2 ⋅ 2 ⋅ 10 6 ⋅ 804.25
=
= 74415 kg
L2AB
400 2
La barra AC se rompería a compresión, sin inestabilidad, cuando P
alcanzase un valor PIII tal que:
σ AC =
N AC
A AC
2 ⋅ PIII
3 ⋅ σ R ⋅ A AC 3 ⋅ 3000 ⋅ 8 ⋅ π
= 3 = σ R → PIII =
=
= 113097 kg
A AC
2
2
La barra AC se rompería por pandeo cuando P alcanzase un valor PIV tal
que:
N AC =
2 ⋅ P IV π 2 ⋅ E ⋅ Imín
=
3
L2AB
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Sabiendo
I=
que
(
π ⋅ R 4AC π ⋅ 2 ⋅ 2
=
4
4
P
IV
)
el
momento
de
inercia
de
la
sección
es
4
= 50.27 cm 4 , se obtiene la carga PIV:
3 ⋅ π 2 ⋅ E ⋅ I 3 ⋅ π 2 ⋅ 2 ⋅ 10 6 ⋅ 50.27
=
=
= 37208 kg
2 ⋅ L2AC
2 ⋅ 200 2
Al ser PIV la menor de las cargas P, la estructura se rompe cuando se
alcance este valor P=37208 kg, debido al pandeo de la barra AC.
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