Método de Newton-Raphson/Secante/Posición Falsa

Método de Newton-Raphson/Secante/Posición
Falsa
Ejercicios 2.3
1. Sean f (x) = x2 − 6 y p0 = 1. Aplique el método de Newton-Raphson
para encontrar p2 .
Se sabe que f (x) = x2 − 6, entonces calculando su derivada se tiene
que f 0 (x) = 2x, y como se da p0 = 1, aplicamos el método de NewtonRaphson hasta hallar p2 .
f (p0 )
f 0 (p0 )
(1)2 − 6
= 1−
2·1
= 3, 5
p1 = p 0 −
p1
p1
Ahora:
f (p1 )
f 0 (p1 )
(3, 5)2 − 6
= 3, 5 −
2 · 3, 5
= 2, 6
p2 = p 1 −
p2
p2
2. Sean f (x) = −x3 − cos x y p0 = −1. Aplique el método de NewtonRaphson para encontrar p2 . ¿Podı́amos utilizar p0 = 0?.
Calculamos la derivada de f (x) = −x3 − cos x, la cual es:
f 0 (x) = −3x2 + sen x.
Ahora evaluando p0 en f y en f 0 se obtiene:
f (p0 ) = f (−1) = −(−1)3 − cos(−1) = 0, 46
f 0 (p0 ) = f 0 (−1) = −3(−1)2 + sen(−1) = −3, 84.
1
Luego aplicando aplicando el método de Newton-Raphson se tiene:
p 1 = p0 −
f (p0 )
0, 46
= −1 −
= −0, 88.
0
f (p0 )
−3, 84
Sustituimos p1 en f y en f 0
f (p1 ) = f (−088) = −(−0, 88)3 − cos(−0, 88) = 0, 04
f 0 (p1 ) = f 0 (−0, 88) = −3(−0, 88)2 + sen(−0, 88) = −3, 09.
Aplicando el método se obtiene:
p 2 = p1 −
f (p1 )
0, 04
= −0, 88 −
= −0, 87.
0
f (p1 )
−3, 09
¿Se podrı́a utilizar p0 = 0?
No, porque al sustituir este valor en f 0 , toma el valor de cero, el cual
indefine la fracción que se utiliza en el método de Newton-Raphson.
3. Sea f (x) = x2 − 6. Con p0 = 3 y p1 = 2, encuentre p3 .
a) Aplique el método de la secante.
El método consiste en aplicar:
pn = pn−1 −
f (pn−1 )(pn−1 − pn−2 )
f (pn−1 ) − f (pn−2 )
Ahora sustituyendo los valores en f se obtiene:
f (p0 ) = f (3) = (3)2 − 6 = 3
f (p1 ) = f (2) = (2)2 − 6 = −2
Sustituyendo en el método se tiene:
p2 = p1 −
f (p1 )(p1 − p0 )
−2(2 − 3)
=2−
= 2, 4
f (p1 ) − f (p0 )
−2 − 3
Aplicando de nuevamente el método se obtiene p3 :
f (p2 ) = f (2, 4) = (2, 4)2 − 6 = −0, 24
Luego:
p3 = p2 −
f (p2 )(p2 − p1 )
−0, 24(2, 4 − 2)
= 2, 4 −
= 2, 45.
f (p2 ) − f (p1 )
−0, 24 + 2
2
b) Aplique el método de la posición falsa.
Tenemos que:
p0
p1
f (p0 )
f (p1 )
=
=
=
=
3
2
3
−2
Como f (p0 ) · f (p1 ) = 3 · −2 = −6 < 0, entonces se calcula p2
aplicando de forma normal el método de la secante, con lo que se
tiene que p2 = 2, 4 y que f (p2 ) = −0, 24, por el punto 3a.
Ahora para hallar p3 existen dos posibilidades: si f (p2 ) · f (p1 ) < 0,
entonces se toman p1 y p2 , para aplicar el método de la secante,
pero si f (p2 ) · f (p0 ) < 0, entonces se toman p0 y p2 .
f (p2 ) · f (p1 ) = −0, 24 · −2 = 0, 48 ≮ 0
f (p2 ) · f (p0 ) = −0, 24 · 3 = −0, 72 < 0
Entonces tomamos p1 = 3, p2 = 2, 4 y aplicamos nuevamente el
método de la secante:
p3 = p2 −
f (p2 )(p2 − p1 )
−0, 24(2, 4 − 3)
= 2, 4 −
= 2, 44.
f (p2 ) − f (p1 )
−0, 24 − 3
√
c) ¿Está (a) o (b) más cerca de 6?
Está más cerca
√ (b), porque es el valor que se aproxima mejor al
valor real de 6 que es 2, 449489...
4. Sea f (x) = −x3 − cos x. Con p0 = −1 y p1 = 0, obtenga p3 .
a) Aplique el método de la secante.
El método consiste en aplicar:
pn = pn−1 −
f (pn−1 )(pn−1 − pn−2 )
f (pn−1 ) − f (pn−2 )
Ahora sustituyendo los valores en f se obtiene:
f (p0 ) = f (−1) = −(−1)3 − cos(−1) = 0, 46
f (p1 ) = f (0) = −(0)3 − cos(0) = −1.
3
Sustituyendo en el método se tiene:
p2 = p 1 −
−1(0 + 1)
f (p1 )(p1 − p0 )
=0−
= −0, 68.
f (p1 ) − f (p0 )
−1 − 0, 46
Aplicando de nuevamente el método se obtiene p3 :
f (p2 ) = f (−0, 68) = −(−0, 68)3 − cos(−0, 68) = −0, 46.
Luego:
p3 = p2 −
f (p2 )(p2 − p1 )
−0, 46(−0, 68 − 0)
= −0, 68 −
= −1, 26.
f (p2 ) − f (p1 )
−0, 46 + 1
b) Aplique el método de la posición falsa.
Tenemos que:
p0
p1
f (p0 )
f (p1 )
=
=
=
=
−1
0
0, 46
−1
Como f (p0 ) · f (p1 ) = 0, 46 · −1 = −0, 46 < 0, entonces se calcula p2 aplicando de forma normal el método de la secante, con lo
que se tiene que p2 = −0, 68 y que f (p2 ) = −0, 46, por el punto 4a.
Ahora para hallar p3 existen dos posibilidades: si f (p2 ) · f (p1 ) < 0,
entonces se toman p1 y p2 , para aplicar el método de la secante,
pero si f (p2 ) · f (p0 ) < 0, entonces se toman p0 y p2 .
f (p2 ) · f (p1 ) = −0, 46 · −1 = 0, 46 ≮ 0
f (p2 ) · f (p0 ) = −0, 46 · 0, 46 = −0, 21 < 0
Entonces tomamos p1 = −1, p2 = −0, 68 y aplicamos nuevamente
el método de la secante:
f (p2 )(p2 − p1 )
−0, 46(−0, 68 + 1)
= −0, 68 −
= −0, 84.
f (p2 ) − f (p1 )
−0, 46 − 0, 46
√
c) ¿Está (a) o (b) más cerca de 6?
√
Están ambas aproximaciones muy lejos del valor real de 6, con
lo que en ambos métodos concluimos que no es la mejor función
para aproximar dicho valor.
p3 = p2 −
4
5. Aplique el método de Newton-Raphson para obtener soluciones con
una exactitud de 10−4 para los siguientes problemas.
a) x3 − 2x2 − 5 = 0, [1, 4].
Considere f (x) = x3 − 2x2 − 5, f 0 (x) = 3x2 − 4x y p0 = 2.
Calculamos:
f (p0 ) = f (2) = (2)3 − 2(2)2 − 5 = −5
f 0 (p0 ) = f 0 (2) = 3(2)2 − 4(2) = 4.
Ahora aplicamos:
p 1 = p0 −
f (p0 )
−5
=1−
= 2, 25.
0
f (p0 )
4
Ahora repetimos el método hasta determinar la aproximación que
se requiere:
f (p1 ) = f (2, 25) = (2, 25)3 − 2(2, 25)2 − 5 = −3, 73
f 0 (p1 ) = f 0 (2, 25) = 3(2, 25)2 − 4(2, 25) = 25, 2.
Ahora:
p2 = p1 −
−3, 73
f (p1 )
= 2, 25 −
= 2, 40.
0
f (p1 )
25, 2
Luego:
f (p2 ) = f (2, 40) = (2, 40)3 − 2(2, 40)2 − 5 = −2, 70
f 0 (p2 ) = f 0 (2, 40) = 3(2, 40)2 − 4(2, 40) = 7, 68.
Ahora:
p3 = p2 −
f (p2 )
−2, 70
= 2, 40 −
= 2, 75.
0
f (p2 )
7, 68
Luego:
f (p3 ) = f (2, 75) = (2, 75)3 − 2(2, 75)2 − 5 = 0, 67
f 0 (p3 ) = f 0 (2, 75) = 3(2, 75)2 − 4(2, 75) = 11, 7.
Ahora:
p4 = p3 −
f (p3 )
0, 67
= 2, 75 −
= 2, 692.
0
f (p3 )
11, 7
5
Luego:
f (p4 ) = f (2, 692) = (2, 692)3 − 2(2, 692)2 − 5 = 0, 015
f 0 (p4 ) = f 0 (2, 692) = 3(2, 692)2 − 4(2, 692) = 10, 97.
Ahora:
p5 = p4 −
f (p4 )
0, 015
= 2, 692 −
= 2, 6906.
0
f (p4 )
10, 97
Véase que x = 2, 6906 es una aproximación de la solución con 10−4
de la ecuación dada.
b) x3 + 3x2 − 1 = 0, [−3, −2].
Tome f (x) = x3 + 3x2 − 1, f 0 (x) = 3x2 + 6x y p0 = −3
Calculamos:
f (p0 ) = f (−3) = −1
f 0 (p0 ) = f 0 (−3) = 9
Determinamos ahora:
p1 = p0 −
−1
f (p0 )
= −3 −
= −2, 89.
0
f (p0 )
9
Calculamos:
f (p1 ) = f (−2, 89) = −0, 081
f 0 (p1 ) = f 0 (−2, 89) = 7, 72
Determinamos ahora:
p2 = p1 −
f (p1 )
−0, 081
= −2, 89 −
= −2, 879.
0
f (p1 )
7, 72
Calculamos:
f (p2 ) = f (−2, 879) = 0, 0029
f 0 (p2 ) = f 0 (−2, 879) = 7, 59
Determinamos ahora:
p3 = p 2 −
f (p2 )
0, 0029
=
−2,
879
−
= −2, 8793.
f 0 (p2 )
7, 59
Y como f (p3 ) = 0, 0006, entonces nuestra aproximación se alcanza
en p3 .
6
c) x − cos x = 0, 0, π2
Como f (x) = x − cos x, y además f 0 (x) = 1 + sen x, con p0 = 0,
procedemos a calcular:
f (p0 ) = f (0) = 0 − cos(0) = −1
f 0 (p0 ) = f 0 (0) = 1 + sen(0) = 1
Ahora para p1 se tiene que:
p1 = p0 −
f (p0 )
−1
=
0
−
= 1.
f 0 (p0 )
1
Luego
f (p1 ) = f (1) = 1 − cos(1) = 0, 46
f 0 (p1 ) = f 0 (1) = 1 + sen(1) = 1, 84
Ahora para p2 se tiene que:
p2 = p 1 −
f (p1 )
0, 46
=1−
= 0, 75.
0
f (p1 )
1, 84
Luego
f (p2 ) = f (0, 75) = 0, 75 − cos(0, 75) = 0, 02
f 0 (p2 ) = f 0 (0, 75) = 1 + sen(0, 75) = 1, 68
Ahora para p3 se tiene que:
p3 = p2 −
f (p2 )
0, 02
= 0, 75 −
= 0, 738.
0
f (p2 )
1, 68
Luego
f (p3 ) = f (0, 738) = 0, 738 − cos(0, 738) = −0, 002
f 0 (p3 ) = f 0 (0, 738) = 1 + sen(0, 738) = 1, 67
Ahora para p4 se tiene que:
p 4 = p3 −
f (p3 )
−0, 002
=
0,
738
−
= 0, 7391.
f 0 (p3 )
1, 67
Luego al calcular f (p4 ) se obtiene 0, 00002, lo cual aproxima la
solución que deseabamos determinar.
7
d ) x − 0, 8 − 0, 2 sen x = 0, 0, π2
Tome f (x) = x − 0, 8 − 0, 2 sen x, f 0 (x) = 1 − 0, 2 cos x y p0 = 0.
Calculamos:
f (p0 ) = f (0) = (0) − 0, 8 − 0, 2 sen(0) = −0, 8
f 0 (p0 ) = f 0 (0) = 1 − 0, 2 cos(0) = 0, 8.
Aplicando el método se tiene:
p1 = p0 −
f (p0 )
−0, 8
=0−
= 1.
0
f (p0 )
0, 8
Calculamos:
f (p1 ) = f (1) = (1) − 0, 8 − 0, 2 sen(1) = 0, 03
f 0 (p1 ) = f 0 (1) = 1 − 0, 2 cos(1) = 0, 89.
Aplicando el método se tiene:
p2 = p 1 −
0, 03
f (p1 )
=1−
= 0, 96.
0
f (p1 )
0, 89
Calculamos:
f (p2 ) = f (0, 96) = (0, 96) − 0, 8 − 0, 2 sen(0, 96) = −0, 004
f 0 (p2 ) = f 0 (0, 96) = 1 − 0, 2 cos(0, 96) = 0, 88.
Aplicando el método se tiene:
p3 = p2 −
−0, 004
f (p2 )
= 0, 96 −
= 0, 964.
0
f (p2 )
0, 88
Calculamos:
f (p3 ) = f (0, 964) = (0, 964) − 0, 8 − 0, 2 sen(0, 964) = −0, 0002
con lo que tenemos nuestra aproximación.
7. Repita el ejercicio 5 usando:
8
a) x3 − 2x2 − 5 = 0, [1, 4].
Método de la secante
Considere la función f (x) = x3 − 2x2 − 5, p0 = 2 y p1 = 3
Calculamos
f (p0 ) = f (2) = (2)3 − 2(2)2 − 5 = −5
f (p1 ) = f (3) = (3)3 − 2(3)2 − 5 = 4.
Ahora aplicamos
pn = pn−1 −
f (pn−1 )(pn−1 − pn−2 )
f (pn−1 ) − f (pn−2 )
con lo que tenemos:
p2 = p1 −
4(3 − 2)
f (p1 )(p1 − p0 )
=3−
= 2, 56.
f (p1 ) − f (p0 )
4+5
Calculamos
f (p2 ) = f (2, 56) = (2, 56)3 − 2(2, 56)2 − 5 = −1, 33
con lo que tenemos:
p3 = p2 −
f (p2 )(p2 − p1 )
−1, 33(2, 56 − 3)
= 2, 56 −
= 2, 67.
f (p2 ) − f (p1 )
−1, 33 − 4
Calculamos
f (p3 ) = f (2, 67) = (2, 67)3 − 2(2, 67)2 − 5 = −0, 22
con lo que tenemos:
p4 = p3 −
f (p3 )(p3 − p2 )
−0, 22(2, 67 − 2, 56)
= 2, 67 −
= 2, 69.
f (p3 ) − f (p2 )
−0, 22 + 1, 33
Calculamos
f (p4 ) = f (2, 69) = (2, 69)3 − 2(2, 69)2 − 5 = −0, 007
9
con lo que tenemos:
p5 = p4 −
f (p4 )(p4 − p3 )
−0, 007(2, 69 − 2, 67)
= 2, 69−
= 2, 6906.
f (p4 ) − f (p3 )
−0, 007 + 0, 22
Método de la posición falsa
Tenemos que:
p0
p1
p2
f (p0 )
f (p1 )
f (p2 )
=
=
=
=
=
=
2
3
2, 56
−5
4
−1, 33
Ahora para hallar p3 existen dos posibilidades: si f (p2 ) · f (p1 ) < 0,
entonces se toman p1 y p2 , para aplicar el método de la secante,
pero si f (p2 ) · f (p0 ) < 0, entonces se toman p0 y p2 .
f (p2 ) · f (p1 ) = −1, 33 · 4 = −5, 32 < 0
f (p2 ) · f (p0 ) = −1, 33 · −5 = 6, 65 ≮ 0
Entonces tomamos p1 = 3, p2 = 2, 56 y aplicamos nuevamente el
método de la secante:
p3 = p2 −
f (p2 )(p2 − p1 )
−1, 33(2, 56 − 3)
= 2, 56 −
= 2, 67.
f (p2 ) − f (p1 )
−1, 33 − 4
Considere f (p3 ) = −0, 22
Ahora para hallar p4 existen dos posibilidades: si f (p3 ) · f (p2 ) < 0,
entonces se toman p2 y p3 , para aplicar el método de la secante,
pero si f (p3 ) · f (p1 ) < 0, entonces se toman p1 y p3 .
f (p3 ) · f (p2 ) = −0, 22 · −1, 33 = 0, 3 ≮ 0
f (p3 ) · f (p1 ) = −0, 22 · 4 = −0, 88 < 0
Entonces tomamos p2 = 2, 56, p3 = 2, 67 y aplicamos nuevamente
el método de la secante:
p4 = p3 −
f (p3 )(p3 − p2 )
−0, 22(2, 67 − 2, 56)
= 2, 67 −
= 2, 69.
f (p3 ) − f (p2 )
−0, 22 + 1, 33
10
b) x3 + 3x2 − 1 = 0, [−3, −2].
Método de la secante
Considere la función f (x) = x3 + 3x2 − 1, p0 = −3 y p1 = −2
Calculamos
f (p0 ) = f (−3) = (−3)3 + 3(−3)2 − 1 = −1
f (p1 ) = f (−2) = (−2)3 + 3(−2)2 − 1 = 3.
Ahora aplicamos
pn = pn−1 −
f (pn−1 )(pn−1 − pn−2 )
f (pn−1 ) − f (pn−2 )
con lo que tenemos:
p 2 = p1 −
3(−2 + 3)
f (p1 )(p1 − p0 )
= −2 −
= −2, 75.
f (p1 ) − f (p0 )
3+1
Calculamos
f (p2 ) = f (−2, 75) = (−2, 75)3 + 3(−2, 75)2 − 1 = 0, 89
con lo que tenemos:
p3 = p2 −
f (p2 )(p2 − p1 )
0, 89(−2, 75 + 2)
= −2, 75 −
= −3, 07.
f (p2 ) − f (p1 )
0, 89 − 3
Calculamos
f (p3 ) = f (−3, 07) = (−3, 07)3 + 3(−3, 07)2 − 1 = −1, 66
con lo que tenemos:
p4 = p3 −
f (p3 )(p3 − p2 )
−1, 66(−3, 07 + 2, 75)
= −3, 07−
= −2, 86.
f (p3 ) − f (p2 )
−1, 66 − 0, 89
Calculamos
f (p4 ) = f (−2, 86) = (−2, 86)3 + 3(−2, 86)2 − 1 = 0, 15
11
con lo que tenemos:
p5 = p4 −
f (p4 )(p4 − p3 )
0, 15(−2, 86 + 3, 07)
= −2, 86−
= −2, 87.
f (p4 ) − f (p3 )
0, 15 + 1, 66
Método de la posición falsa
Tenemos que:
p0
p1
p2
f (p0 )
f (p1 )
f (p2 )
=
=
=
=
=
=
−3
−2
−2, 75
−1
3
0, 89
Ahora para hallar p3 existen dos posibilidades: si f (p2 ) · f (p1 ) < 0,
entonces se toman p1 y p2 , para aplicar el método de la secante,
pero si f (p2 ) · f (p0 ) < 0, entonces se toman p0 y p2 .
f (p2 ) · f (p1 ) = 0, 89 · 3 = 2, 67 ≮ 0
f (p2 ) · f (p0 ) = 0, 89 · −1 = −0, 89 < 0
Entonces tomamos p1 = −3, p2 = −2, 75 y aplicamos nuevamente
el método de la secante:
p 3 = p2 −
f (p2 )(p2 − p1 )
0, 89(−2, 75 + 3)
= −2, 75 −
= −2, 87.
f (p2 ) − f (p1 )
0, 89 + 1
c) x − cos x = 0, 0, π2 .
Método de la secante
Considere la función f (x) = x − cos x, p0 = 0 y p1 = 1
Calculamos
f (p0 ) = f (0) = (0) − cos(0) = −1
f (p1 ) = f (1) = (1) − cos(1) = 0, 46.
12
Ahora aplicamos
pn = pn−1 −
f (pn−1 )(pn−1 − pn−2 )
f (pn−1 ) − f (pn−2 )
con lo que tenemos:
p2 = p1 −
f (p1 )(p1 − p0 )
0, 46(1 − 0)
=1−
= 0, 68.
f (p1 ) − f (p0 )
0, 46 + 1
Calculamos
f (p2 ) = f (0, 68) = (0, 68) − cos(0, 68) = −0, 1
con lo que tenemos:
p 3 = p2 −
f (p2 )(p2 − p1 )
−0, 1(0, 68 − 1)
= 0, 68 −
= 0, 73.
f (p2 ) − f (p1 )
−0, 1 − 0, 46
Calculamos
f (p3 ) = f (0, 73) = (0, 73) − cos(0, 73) = −0, 01
con lo que tenemos:
p4 = p3 −
f (p3 )(p3 − p2 )
−0, 01(0, 73 − 0, 68)
= 0, 73 −
= 0, 74.
f (p3 ) − f (p2 )
−0, 01 + 0, 1
Calculamos
f (p4 ) = f (0, 74) = (0, 74) − cos(0, 74) = 0, 002
con lo que tenemos:
p5 = p4 −
0, 002(0, 74 − 0, 73)
f (p4 )(p4 − p3 )
= 0, 74 −
= 0, 739.
f (p4 ) − f (p3 )
0, 002 + 0, 01
Método de la posición falsa
Tenemos que:
p0
p1
p2
f (p0 )
f (p1 )
f (p2 )
13
=
=
=
=
=
=
0
1
0, 68
−1
0, 46
−0, 1
Ahora para hallar p3 existen dos posibilidades: si f (p2 ) · f (p1 ) < 0,
entonces se toman p1 y p2 , para aplicar el método de la secante,
pero si f (p2 ) · f (p0 ) < 0, entonces se toman p0 y p2 .
f (p2 ) · f (p1 ) = −0, 1 · 0, 46 = −0, 046 < 0
f (p2 ) · f (p0 ) = −0, 1 · −1 = 0, 1 ≮ 0
Entonces tomamos p1 = 1, p2 = 0, 68 y aplicamos nuevamente el
método de la secante:
p 3 = p2 −
f (p2 )(p2 − p1 )
−0, 1(0, 68 − 1)
= 0, 68 −
= 0, 74.
f (p2 ) − f (p1 )
−0, 1 − 0, 46
Considere f (p3 ) = 0, 002
Ahora para hallar p4 existen dos posibilidades: si f (p3 ) · f (p2 ) < 0,
entonces se toman p2 y p3 , para aplicar el método de la secante,
pero si f (p3 ) · f (p1 ) < 0, entonces se toman p1 y p3 .
f (p3 ) · f (p2 ) = 0, 002 · −0, 1 = −0, 0002 < 0
f (p3 ) · f (p1 ) = 0, 002 · 0, 46 = 0, 00092 ≮ 0
Entonces tomamos p2 = 1, p3 = 0, 74 y aplicamos nuevamente el
método de la secante:
0, 002(0, 74 − 1)
f (p3 )(p3 − p2 )
= 0, 74 −
= 0, 739.
f (p3 ) − f (p2 )
0, 002 − 0, 46
d ) x − 0, 8 − 0, 2 sen x = 0, 0, π2 .
p4 = p3 −
Método de la secante
Considere la función f (x) = x − 0, 8 − 0, 2 sen x, p0 = 0, 5 y p1 = 1
Calculamos
f (p0 ) = f (0, 5) = (0, 5) − 0, 8 − 0, 2 sen(0, 5) = −0, 4
f (p1 ) = f (1) = (1) − 0, 8 − 0, 2 sen(1) = 0, 03.
Ahora aplicamos
pn = pn−1 −
14
f (pn−1 )(pn−1 − pn−2 )
f (pn−1 ) − f (pn−2 )
con lo que tenemos:
p2 = p 1 −
f (p1 )(p1 − p0 )
0, 03(1 − 0, 5)
=1−
= 0, 96.
f (p1 ) − f (p0 )
0, 03 + 0, 4
Calculamos
f (p2 ) = f (0, 96) = (0, 96) − 0, 8 − 0, 2 sen(0, 96) = −0, 004
con lo que tenemos:
p3 = p2 −
f (p2 )(p2 − p1 )
−0, 004(0, 96 − 1)
= 0, 96 −
= 0, 964.
f (p2 ) − f (p1 )
−0, 004 − 0, 03
Método de la posición falsa
Tenemos que:
p0
p1
p2
f (p0 )
f (p1 )
f (p2 )
=
=
=
=
=
=
0, 5
1
0, 96
−0, 4
0, 03
−0, 004
Ahora para hallar p3 existen dos posibilidades: si f (p2 ) · f (p1 ) < 0,
entonces se toman p1 y p2 , para aplicar el método de la secante,
pero si f (p2 ) · f (p0 ) < 0, entonces se toman p0 y p2 .
f (p2 ) · f (p1 ) = −0, 004 · 0, 03 = −0, 00012 < 0
f (p2 ) · f (p0 ) = −0, 004 · −0, 4 = 0, 0016 ≮ 0
Entonces tomamos p1 = 1, p2 = 0, 96 y aplicamos nuevamente el
método de la secante:
p3 = p2 −
−0, 004(0, 96 − 1)
f (p2 )(p2 − p1 )
= 0, 96 −
= 0, 964.
f (p2 ) − f (p1 )
−0, 004 − 0, 03
Ejercicios 2.4
1. Use el método de Newton-Raphson para encontrar las soluciones de las
siguientes ecuaciones con una exactitud de 10−5 .
15
a) x2 − 2xe−x + e−2x = 0, para 0 ≤ x ≤ 1.
Considere
f (x) = x2 − 2xe−x + e−2x
f 0 (x) = 2x − 2e−x + 2xe−x − 2e−2x
p0 = 0, 5.
Ahora aplicando el algoritmo en Scilab se obtiene que la
aproximación para 10−5 , corresponde a 0, 56714.
√
√ b) cos(x + 2) + x x2 + 2 = 0, para −2 ≤ x ≤ −1.
Considere
x √ √
2) + x
+ 2
2 √
√
f 0 (x) = − sen(x + 2) + x + 2
p0 = −1, 5.
f (x) = cos(x +
Ahora aplicando el algoritmo en Scilab se obtiene que la
aproximación para 10−5 , corresponde a −1, 41396.
c) x3 − 3x2 (2−x ) + 3x(4−x ) − 8−x = 0, para 0 ≤ x ≤ 1.
Considere
f (x) = x3 − 3x2 (2−x ) + 3x(4−x ) − 8−x
f 0 (x) = 3x2 − 6x(2−x ) + 3x2 ln 2(2−x ) + 3(4−x ) − 3x ln 4(4−x ) + ln 8(8−x )
p0 = 0, 5.
Ahora aplicando el algoritmo en Scilab se obtiene que la
aproximación para 10−5 , corresponde a 0, 64117.
d ) e6x + 3(ln 2)2 e2x − e4x ln 8 − (ln 2)3 = 0, para −1 ≤ x ≤ 0.
Considere
f (x) = e6x + 3(ln 2)2 e2x − e4x ln 8 − (ln 2)3
f 0 (x) = 6e6x + 6(ln 2)2 e2x − 4(ln 8)e4x
p0 = −0, 5.
Ahora aplicando el algoritmo en Scilab se obtiene que la
aproximación para 10−5 , corresponde a −0, 18326.
16