ALGORITMO DE NEWTON-RAPHSON GENERALIZADO

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación
APROXIMACION NUMERICA DE SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES
Profesor: Jaime Álvarez Maldonado
Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre
ALGORITMO DE NEWTONNEWTON-RAPHSON GENERALIZADO
1) Aplicar algoritmo de Newton-Raphson generalizado al sistema de ecuaciones no lineales,
tomando como vector de inicio )*+ =-../, efectuando 4 iteraciones. Determine el error
cometido en norma infinito (4 45 ).
5) 8 9 3); = 2 ?
6 8
) 9 7; 8 9 3); = 10
Sol:
Para solucionar el sistema de ecuaciones no lineales que se nos ha dado, debemos tener presente
los siguientes conceptos:
Algoritmo de N-R Generalizado: Se define como la extensión del algoritmo de N-R
(unidimensional) a 2 o más dimensiones. La formula es en nuestro caso (en 2 dimensiones) es;
Con:
•
G HIJ* ()K , ;K )L ∆)*K = NIJ* ()K , ;K )
)*K : Vector que contiene las variables que están en el sistema de ecuaciones no lineales, es
el caso de nuestro problema; )*K = HQSR L.
R
•
•
R
L =HQSRUV L N HQSR L: Es la forma de expresar diferencia entre las
∆)*K =)*KT. N )*K =H∆Q
∆S
R
RUV
iteraciones con el vector JJJJ*.
)K
R
IJ* ()K , ;K ) : Es la forma de expresar las 2 ecuaciones en una matriz de 2 filas y 1 columna,
evaluando la matriz en ()K , ;K ).
En nuestro caso: X()K , ;K ) = 5)K 8 9 3)K ;K N 2 = 0
Y()K , ;K ) = )K 8 9 7;K 8 9 3)K ;K N 10 = 0
X ()K , ;K )
5)K 8 9 3)K ;K N 2
[=Z 8
[
IJ* ()K , ;K ) = Z
)K 9 7;K 8 9 3)K ;K N 10 8Q.
Y()K , ;K )
Siendo )K y ;K valores numéricos.
•
G HIJ* ()K , ;K )L : Es la expresión del Jacobiano de IJ* evaluado en ()K , ;K ), es decir, es la
derivada parcial de cada función con respecto a cada variable involucradas.
aX 3)K , ;K aX 3)K , ;K `
d
a)
a;
_
c
G HIJ* ()K , ;K L , _
aY3)K , ;K aY3)K , ;K c
_
c
^
a)
a;
b8Q8
4 45 : Es la expresión utilizada para calcular errores. Las Normas más utilizadas son la
Norma-1, Norma-2 y Norma-infinito.
•
K
4e4. , max ijklf j
fg.,…,K
lg.
4e48 , mn3eeo K
Siendo n3e , det pq N rst: radio espectral de la matriz A
4e45 , max ijklf j
lg.,…,K
fg.
Algunas propiedades 3importantes para algunas demostraciones son:
a
b
c
d
4)*4 , 0 u )* , 0.
4v)*4 , |v|4)*4, )* x y, v x sz 3{|}~€, |} €~ ‚€ Y}ƒ}~k‚ „€ƒ sz € ….
4)* 9 ;*4 † 4)*4 9 4;*4, )*, ;* x y.
4)* ‡ ;*4 † 4)*4 ‡ 4;*4: Lema de Schwartz
Con algunos conceptos importantes ya vistos, podemos resolver nuestro problema.
Una buena forma de comenzar, es graficando X 3)K , ;K ; Y3)K , ;K .
‰~kXŠ{€ ‹} ‚k }{|k{Š€ƒ X 3)K , ;K : 5)K 8 9 3)K ;K , 2 ; Y3)K , ;K : )K 8 9 7;K 8 9 3)K ;K ,
10. Œƒ ‚k ŠkY}ƒ „} |}„Ž~kƒ 4 |ƒŽ€„ ‹} ŠƒŽ}~„}{{Š€ƒ, ƒ|}„Ž~€ €}ŽŠ‘€ }„
}ƒ{€ƒŽ~k~ }„€„ |ƒŽ€„ €~ }‹Š€ ‹}‚ k‚Y€~ŠŽ€ ‹} ’ N z ‰}ƒ}~k‚Š“k‹€. Graficar las funciones
solo sirve para dar una idea de los puntos de intersección, por lo que no es recomendable hacerlo
en una prueba.
El algoritmo de N-R generalizado es muy sensible a la elección del punto de inicio, pues esta
elección hará converger al método a un punto de intersección más lejana o más cercana.
Entonces, se tiene:
Punto de inicio: )*+ =-../
J* ()K , ;K ) = • R R ˜ = • š R š R R
Vector: I
˜
—(QR ,SR )
QR TSR T›QR SR œ.+ 8Q.
–(Q ,S )
™Q š T›Q S œ8
10)K 9 3;K
Jacobiano: G HIJ* ()K , ;K )L = ž
2)K 9 3;K
3)K
Ÿ
14;K 9 3)K 8Q8
R
R
Diferencia entre iteraciones: ∆)*K =H∆Q
L =HQSRUV œQ
L
∆S
œS
R
RUV
R
Al reemplazar estos datos en la formula de N-R Generalizado bidimensional, es decir;
G HIJ* 3)K , ;K L ∆)*K = NIJ* 3)K , ;K Entonces se tiene;
ž
10)K 9 3;K
2)K 9 3;K
Para n=0 y )*+ =HQS¢ L = -../
¢
ž
10)+ 9 3;+
2)+ 9 3;+
•
∆)K
5)K 8 9 3)K ;K N 2
3)K
Z
Ÿ [
¡ =N
14;K 9 3)K 8Q8 ∆;K
)K 8 9 7;K 8 9 3)K ;K N 10
8Q.
∆)+ = ). N )+
5)+ 8 9 3)+ ;+ N 2
3)+
ŸQ g. [
¡ = NZ 8
14;+ 9 3)+ ¢
)+ 9 7;+ 8 9 3)+ ;+ N 10 Q¢g.
∆;+ = ;. N;+
S¢ g.
S¢ g.
∆)+ = ). N 1
5 ‡ 18 9 3 ‡ 1 ‡ 1 N 2
10 ‡ 1 9 3 ‡ 1
3‡1
˜ ¡ = NZ 8
[
2 ‡ 1 9 3 ‡ 1 14 ‡ 1 9 3 ‡ 1 ∆;+ = ;. N 1
1 9 7 ‡ 18 9 3 ‡ 1 ‡ 1 N 10
•
13
5
6
3 ∆)+
˜ ¡ = Nž Ÿ
17 ∆;+
1
∆)+ = N0.4805825 = ). N 1
∆;+ = 0.0825243 = ;. N 1
El resultado servirá para seguir iterando.
). = 0.5194175
;. = 1.082524
L
Para n=1 y )*. =HQSV g+.™.¦§.™
g..+¨8™8§
ž
10). 9 3;.
2). 9 3;.
V
∆). = )8 N ).
5). 8 9 3). ;. N 2
3).
ŸQ g+.™.¦§.™ [
¡ = NZ 8
14;. 9 3). V
∆;. = ;8 N;.
). 9 7;. 8 9 3). ;. N 10 QVg+.™.¦§.™
SV g..+¨8™8§
SV g..+¨8™8§
•
∆). , )8 N 0.5194175
1.035818
8.441747 1.558253
Ÿ
˜‡ ¡ , Nž
4.286407 16.71359
0.1596477
∆;. , ;8 N 1.082524
∆). , N0.1269484 , )8 N 0.5194175
∆;. , 0.0230055 , ;8 N 1.082524
)8 , 0.3924691
;8 , 1.10553
El resultado de la segunda iteración indica que se empieza a estabilizar.
L
Para n,2 y)*8 ,HQSš g+.›¦8§©¦.
g...+™™›
ž
10)8 9 3;8
2)8 9 3;8
š
∆)8 , )› N )8
5)8 8 9 3)8 ;8 N 2
3)8
ŸQ g+.›¦8§©¦ [
¡ , NZ 8
14;8 9 3)8 š
∆;8 , ;› N;8
)8 9 7;8 8 9 3)8 ;8 N 10 Qš g+.›¦8§©¦.
•
7.241281
4.101528
Sš g...+™™›
0.0718191
∆)8 , )› N 0.3924691
1.177407
Ÿ
¡ , Nž
˜‡ 16.65483
∆;8 , ;› N 1.10553
0.0110672
Sš g...+™™›
∆)8 , N0.0009206 , )› N 0.3924691
∆;8 , N0.0004378 , ;› N 1.10553
)› , 0.3915485
;› , 1.105092
El resultado de la tercera iteración varía muy poco con respecto a la segunda, se estabiliza aun
más.
L
Para n,3 y )*› ,HQS« g+.›¦.™§¨™
g...+™+¦8
ž
10)› 9 3)›
2)› 9 3;›
«
∆)› , )§ N )›
5)› 8 9 3)› ;› N 2
3)›
[
ŸQ g+.›¦.™§¨™ ¡ , NZ 8
14;› 9 3)› «
∆;› , ;§ N ;›
)› 9 7;› 8 9 3)› ;› N 10 Q«g+.›¦.™§¨™
Sš g...+™+¦8
∆)› , )§ N 0.3915485
0.0646425
7.230761 1.174646
Ÿ
•
˜‡ ¡ , Nž
4.098373 16.64593
∆;› , ;§ N 1.105092
N0.0000001
S« g...+™+¦8
∆)› , N0.0009206 , )§ N 0.3915485
∆;› , N0.0004378 , ;§ N 1.105092
)§ , 0.3822361
)*§ , ¡
;§ , 1.107385
El resultado de nuestra cuarta iteración nos lleva a pensar que el resultado final que nos dará el
algoritmo después de “n” iteraciones será el punto de intersección s. , una explicación a esto es el
punto de inicio elegido ()*+ ,-../, en el caso de otro punto, puede que el algoritmo converja con
mayor o menor velocidad a s. , o a uno de los otro 3 puntos de intersección. Lo más probable es
que si se elije un punto que toque alguna de las dos funciones y que esté cerca de la intersección
entre estas, el algoritmo converja más rápidamente a esa intersección.
Ahora para calcular el error cometido, necesitamos encontrar la solución exacta al problema por
medio de métodos numéricos, por lo que se debe reducir el problema de 2 a 1 dimensión.
Se debe despejar una de las variables de una de las ecuaciones, y reemplazar ésta en la otra
ecuación, es decir;
Si tenemos
5) 8 9 3); = 2
y
) 8 9 7; 8 9 3); , 10
Eligiendo la ecuación 5) 8 9 3); , 2 y despejando la variable “y”, se tiene; ; =
Ahora esta variable la reemplazamos en la otra ecuación, quedando;
8œ™Q š
›Q
8
2 N 5) 8
2 N 5) 8
¯ 9 3) ®
¯ , 10 /‡ 9) 8
) 9 7®
3)
3)
8
9) § 9 175) § N 140) 8 9 28 9 18) 8 N 45) § , 90) 8
X3) , 139) § N 212) 8 9 28 , 0
La derivada de esta función es X±3) , 556) › N 424)
–3Q Ahora aplicaremos N-R unidimensional 3)KT. , )K N –²3QR , tomando como punto de inicio
R
)+ =0.4, que es un punto cercano al que se obtuvo después de la cuarta iteración por medio del
algoritmo de N-R generalizado. En este caso lo natural era tomar como punto de inicio el )+ =1
(según el enunciado del problema), pero si elegimos este punto, el algoritmo de N-R
unidimensional convergerá al punto de intersección más cercano, es decir, a s§
(aproximadamente ) = 1.174358 y ; , N1.62393.
)KT. , )K N
.›¦QR ´ œ8.8QR š T8¨
™™©QR « œ§8§QR
, con )+ =0.4
). = 0.3823782
)8 , 0.3821829
;,
2 N 5)8 8 2 N 5 ‡ 0.38218298
,
, 1.107394
3)8
3 ‡ 0.3821829
; , 1.107394
)L , H0.3821829L
Entonces la solución exacta es sJJ*. , H;
1.107394
Por lo que el error cometido en norma-infinita es;
0.3822361
0.3821829
N0.0000532
¡· , ¸
Œµ 3)*§ , ¶ sJJ*. N )*§ ¶5 , ·H
LN ¸ , 0.0000532
1.107394
0.000009 5
1.107385 5
Œµ 3)*§ , 0.0000532
2 Aplicar
Aplicar algoritmo
algoritmo de
de N-R
N R generalizado al sistema de ecuaciones no lineales, tomando como
vector de inicio x₀, (0.5 1) t, efectuando 5 iteraciones. Determine
mine el error cometido en
norma-infinito (|| ||∞ ) y norma-1 (|| ||₁).
cos(x) + ey = x
sen(5x) + xy = y
Sol:
El problema nos entrega los siguientes datos;
Grafico de la ecuación f (xn, yn): cos (xn)+ey= xn y g (xn, yn): sen (5xn)+ xnyn = yn . En la
imagen se muestran 2 puntos de intersección.
ℱ(xn ,yn )= f(xn ,yn ) = cos (xn) + ey - xn
g(xn ,yn )
sen (5xn)+ xnyn - yn
(ℱ(xn ,yn ))= δf(xn ,yn )/δx
/δx
δf(x
δ n ,yn )/δy
δg(xn ,yn )/δx
δg(xn ,yn )/δy
Entonces,, se puede armar el algoritmo;
-sen (xn)-1
5cos (5xn)+ yn
ey
xn - 1
∆xn
∆yn
=
5cos (5xn) + yn
-1.4794526
1.4794526
-3.005718
3.005718
5cos (5xn)+ yn
ey
xn - 1
cos (xn) + ey - xn
sen (5xn)+ xnyn - yn
0.5 1) t
Para n=0 y x₀= (x0 y0) t = (0.5
-sen (xn)-1
1
= -sen (xn)-1
ey
∆xn
xn - 1
∆yn
2.718282
-0.5
=
cos (xn) + ey - xn
sen (5xn) + xnyn - yn
∆x0 =
∆y0
3.095864
0.0984721
∆)+ = 0.2037695 , ). N 0.5
∆;+ , N1.028003 , ;. N 1
). = 0.7037695
;. , N0.028003
g+.+›©¦™
Para n=1 y )*. =HSQVgœ+.+8¨++›
L
V
N„}ƒ (). ) N 1
ž
5 cos35). 9 ;.
•
∆).
cos3). 9 } SV N ).
} SV
[
Ÿ
¡ = NZ
). N 1 QVg+.+›©¦™ ∆;.
„}ƒ35). 9 ). ;. N ;. QV g+.+›©¦™
SV gœ+.+8¨++›
N1.647096
N4.6764
1.031024
∆).
0.9723854
Ÿ
¡ = Nž
˜‡ N0.2962305
N0.3600744
∆;.
SV gœ+.+8¨++›
∆). = N0.0088796 = )8 N 0.7037695
∆;. = N1.075345 = ;8 9 0.028003
)8 = 0.6948899
;8 = N1.103348
g+.©¦§¨¨¦¦
L
Para n=2 y )*8 =HSQšgœ...+››§¨
š
N„}ƒ 3)8 N 1
ž
5 cos35)8 9 ;8
∆)8
cos3)8 9 } Sš N )8
} Sš
[
Ÿ
¡ = NZ
)8 N 1 Qš g+.©¦§¨¨¦¦ ∆;8
„}ƒ35)8 9 )8 ;8 N ;8 Qš g+.©¦§¨¨¦¦
Sš gœ...+››§¨
0.4049928
N1.640301 0.3317585 ∆)8
Ÿ
¡ = Nž
•
˜ N5.828912 N0.3051101 ∆;8
0.0098982
Sš gœ...+››§¨
∆)8 = 0.0521107 = )› N 0.6948899
∆;8 = N0.9630968 = ;› 9 1.103348
)› = 0.7470006
;› = N2.066445
g+.§+++©
L
Para n=3 y )*› =HSQ«gœ8.+©©§§™
«
N„}ƒ 3)› N 1
ž
5 cos35)› 9 ;›
•
∆)›
cos3)› 9 } S« N )›
} S«
[
Ÿ
¡ = NZ
)› N 1 Q« g+.§+++© ∆;›
„}ƒ35)› 9 )› ;› N ;› Q« g+.§+++©
S« gœ8.+©©§§™
N1.679441
N6.211637
0.1133647
0.1266352 ∆)›
Ÿ
¡ = Nž
˜ N0.2529994 ∆;›
N0.0363822
∆)› = 0.019871 = )§ N 0.7470006
∆;› = N0.6316766 = ;§ 9 2.066445
)§ = 0.7668716
;§ = N2.698122
S« gœ8.+©©§§™
g+.©©¨.©
Para n=4 y )*§ =HSQ´gœ8.©¦¨.88
L
´
ž
N„}ƒ 3)§ N 1
5 cos35)§ 9 ;§
∆)§
cos3)§ 9 } S´ N )§
} S´
¡ = NZ
[
Ÿ
)§ N 1 Q´g+.©©¨.© ∆;§
„}ƒ35)§ 9 )§ ;§ N ;§ Q´g+.©©¨.©
S´ gœ8.©¦¨.88
0.0205452
N1.693886 0.0673318 ∆)§
Ÿ
•
˜ ¡ = Nž
N6.545536 N0.2331284 ∆;§
N0.0096586
S´ gœ8.©¦¨.88
∆)§ = 0.0049536 = )™ N 0.7668716
∆;§ = N0.1805135 = ;™ 9 2.698122
)™ = 0.7718252
)*™ = ¡
;™ = N2.878636
La solución exacta se puede obtener de la misma forma que el ejercicio 1).
Si tenemos
6
cos3)) 9 } S = ) ?
„}ƒ35)) 9 ); = ;
Eligiendo la ecuación „}ƒ35) ) 9 ); = ; y despejando la variable “y”, se tiene; ; =
½¾K3™Q)
Ahora esta variable la reemplazamos en la otra ecuación, quedando;
cos3) ) 9 }
½¾K3™Q)
.œQ
=)
X3)) = cos3)) 9 }
¿ÀR3ÁÂ)
VÃÂ
N) =0
La derivada de esta función es X ² 3)) = N„}ƒ3) ) 9 }
¿ÀR3ÁÂ)
VÃÂ
Ahora aplicaremos N-R unidimensional 3)KT. = )K N
H
–3QR )
™ ÄÅÆ3™Q)‡3.œQ)T½¾K3™Q)
3.œQ)š
LN1
), tomando como punto de inicio
–²3QR )
)+ =0.5, que es un punto cercano al que se obtuvo después de la quinta iteración
)KT. = )K N
N„}ƒ3)K ) 9 }
)+ =0.5
). =0.683704
)8 =0.7395126
)› =0.7665557
)§ =0.7719147
)™ =0.7720818
)© =0.7720819
cos3)K ) 9 }
½¾K3™QR )
.œQR
½¾K3™QR )
)
3
.œQR 5 cos 5)K
N )K
.œQ
‡ 31 N )K ) 9 „}ƒ35)K )
¡N1
31 N )K )8
;=
„}ƒ(5)© „}ƒ35 ‡ 0.7720819)
=
= N2.889173
1 N )©
1 N 0.7720819
; = N2.889173
)L = H 0.7720819 L
Entonces una de las soluciones es sJJ*. = H;
N2.889173
El error cometido en norma-infinita es;
0.7718252
0.7720819
0.0002567
¡· = · ¡N ¡· = 0.010537
Œµ ()*™ ) = ¶ sJJ*. N )*™ ¶5 = · N2.878636 5
N2.889173
N0.010537 5
Œµ 3)*™ ) = 0.010537
El error cometido en norma-1 es;
0.7720819
0.7718252
0.0002567
Œµ 3)*™ = ¶ sJJ*. N )*™ ¶. = · ¡N ¡· = · ¡· = 0.0107937
N2.889173
N2.878636 .
N0.010537 .
Œµ 3)*™ ) = 0.0107937
3) Aplicar algoritmo de N-R generalizado al sistema de ecuaciones no lineales, tomando como
.
/, efectuando 2 iteraciones. Determine el error cometido en norma
vector de inicio )*+ =-œ.
/.
infinito (4 45 ), si la solución exacta es v
JJJJ*. = -œ8.™+©8™™
8.™+©8™™
Sol:
() 9 ;)} QS = 0?
6 QS
} = „}ƒ();)
El problema nos entrega los siguientes datos;
‰~kXŠ{€ ‹} ‚k }{|k{Š€ƒ X ()K , ;K ): ()K 9 ;K )} QR SR = 0 ;
Y()K , ;K ): } QR SR = „}ƒ ()K ;K ). Œƒ ‚k ŠkY}ƒ „} |}„Ž~kƒ "n" |ƒŽ€„ ‹} ŠƒŽ}~„}{{Š€ƒ.
IJ* ()K , ;K ) = Z
()K 9 ;K )} QR SR
X ()K , ;K )
[=Z Q S
[
Y()K , ;K )
} R R N „}ƒ()K ;K )
aX3)K , ;K `
a)
_
G HℱJ* ()K , ;K L , _
aY3)K , ;K _
^
a)
aX 3)K , ;K d
a;
c ž3)K ;K 9 ;K 8 9 1} QRSR
,
3} QR SR N cos3)K ;K ));K
aY3)K , ;K c
c
a;
b
3)K ;K 9 )K 8 9 1} QR SR
Ÿ
3} QRSR N cos3)K ;K )))K
Entonces, se puede armar el algoritmo;
ž
3)K 9 ;K } QR SR
3)K ;K 9 )K 8 9 1} QRSR ∆)K
Ÿ
Z
[
¡
=
N
3} QR SR N cos3)K ;K )K ∆;K
} QR SR N „}ƒ3)K ;K 3)K ;K 9 ;K 8 9 1} QR SR
3} QR SR N cos3)K ;K ;K
.
/
Para n=0 y )*+ =HQS¢ L = -œ.
ž
¢
()+ ;+ + ;+ 8 + 1} Q¢S¢
3} Q¢S¢ N cos3)+ ;+ ));+
3)+ 9 ;+ )} Q¢ S¢
∆)+
3)+ ;+ 9 )+ 8 9 1} Q¢S¢
Ÿ
Z
[
¡
=
N
3} Q¢S¢ N cos3)+ ;+ )))+ Q¢ g. ∆;+
} Q¢ S¢ N „}ƒ 3)+ ;+ ) Q¢ g.
0.3678794
•
0.1724229
S¢ gœ.
0
0.3678794 ∆)+
Ÿ
¡ = Nž
˜ N0.1724229 ∆;+
1.20935
∆)+ = N3.50693 = ). N 1
∆;+ = 3.50693 = ;. 9 1
). = N2.50693
;. = 2.50693
L
Para n=1 y )*. =HQSV gœ8.™+©¦›
g8.™+©¦›
V
ž
3). ;. 9 ;. 8 9 1} QV SV
3} QVSV N {€„3). ;. ;.
S¢ gœ.
3). 9 ;. } QVSV
∆).
3). ;. 9 ). 8 9 1} QVSV
Ÿ
Z
[
¡
=
N
3} QV SV N {€„3). ;. ). QVgœ8.™+©¦› ∆;.
} QV SV N „}ƒ3). ;. QV gœ8.™+©¦›
SV g8.™+©¦›
•
0
0.0018646 0.0018646 ∆).
Ÿ
˜ ¡ = Nž
N2.502253 2.502253 ∆;.
0.0033773
SV g8.™+©¦›
∆). = 0.0006749 = )8 9 2.50693
∆;. = N0.0006749 = ;8 N 2.50693
)8 = N2.506255
¡
)*8 = ;8 = 2.506255
El error cometido en norma-infinita es;
N2.506255
N2.506255
ε 3)*8 = 4 v
JJJJ*. N )*8 45 = · ¡N ¡· = 0
2.506255
2.506255 5
ε 3)*8 = 0
El resultado nos indica que )*8 es la solución del problema, este punto se encuentra en el segundo
cuadrante 3v. Obs: En ocasiones puede que el resultado no es el que se espera, pues en este ejercicio, la solución
más cercana al punto de inicio se encuentra en el cuarto cuadrante y no en el segundo. Puede que
el punto de inicio este muy cercano a la solución, pero cabe la posibilidad que haga converger al
algoritmo a una solución distinta. Todo depende de la complejidad del problema. También la mala
elección del punto de inicio, puede hacer que el algoritmo no converja.
N R generalizado al sistema de ecuaciones no lineales, tomando como
4) Aplicar algoritmo de N-R
vector de inicio x₀= (-0.5
0.5 0.5) t, efectuando 6 iteraciones. Determine el error cometido en
norma infinito (|| ||1) si la solución exacta α₀= (-1.035664
1.035664 0.5277222) t.
3
x - 2 xy+ y = cos (x)
x5+ ey = sen (y).
Sol:
El problema nos entrega los siguientes datos;
Grafico de la ecuación f (xn, yn): x3n - 2 xnyn+ yn = cos (xn) y g (xn, yn): x5n+ ey = sen (yn).
En la imagen se muestran 4 puntos de intersección.
ℱ(xn ,yn )= f(xn ,yn ) = x3n - 2 xnyn+ yn - cos (xn)
g(xn ,yn )
(ℱ(xn ,yn ))= δf(xn ,yn )/δ x
δg(xn ,yn )/δx
x5n+ ey - sen (yn)
δ n ,yn )/δy
δf(x
δg(xn ,yn )/δy
Entonces, se puede armar el algoritmo;
-sen (xn)-1
5cos (5xn)+ yn
ey
xn - 1
∆xn
∆yn
=
Entonces, se puede armar el algoritmo;
= 3x2n - 2yn +sen (xn)
5 x4n
cos (xn) + ey - xn
sen (5xn)+ xnyn - yn
-2xn +1
ey - cos (yn)
ž
)K › N 2)K ;K 9 ;K N cos ()K ∆)K
3)K 8 N 2;K 9 „}ƒ3)K N2)K 9 1
Z
[
Ÿ
¡,N
)K ™ 9 } SR N „}ƒ(;K 5)K §
} SR N {€„ (;K ∆;K
/
Para n=0 y )*+ ,HQS¢ L , -œ+.™
+.™
¢
ž
∆)+
)+ › N 2)+ ;+ 9 ;+ N cos ()+ N2)+ 9 1
[
Ÿ
Z
¡
,
N
Q¢ gœ+.™
)+ ™ 9 } S¢ N „}ƒ(;+ } S¢ N {€„ (;+ Q¢ gœ+.™ ∆;+
3)+ 8 N 2;+ 9 „}ƒ()+ 5)+ §
N0.7294255
•
0.3125
S¢ g+.™
N0.0025826
∆)+
2
Ÿ
¡ , Nž
˜ 0.7711387 ∆;+
1.138046
S¢ g+.™
∆)+ , N1.918405 = ). 9 0.5
∆;+ = N0.6983755 = ;. N 0.5
). , N2.418405
;. = N0.1983755
gœ8.§.¨§+™
L
Para n,1 y )*. ,HSQVgœ+..¦¨›™™
V
ž
∆).
). › N 2). ;. 9 ;. N cos (). 3). 8 N 2;. 9 „}ƒ(). N2). 9 1
Z
[
Ÿ
¡
,
N
QV gœ8.§.¨§+™
). ™ 9 } SV N „}ƒ(;. 5). §
} SV N {€„ (;. QV gœ8.§.¨§+™ ∆;.
•
17.28102
171.0354
ž
3)8 8 N 2;8 9 „}ƒ()8 5)8 §
∆).
N14.55266
5.83681
Ÿ
˜ ¡ , Nž
N0.1603262 ∆;.
N81.70946
SV gœ+..¦¨›™™
∆). , 0.4787427 = )8 9 2.418405
∆;. = 1.075844 = ;8 9 0.1983755
)8 , N1.939662
;8 , 0.8774685
Para n,2 y )*8 ,HQSš gœ..¦›¦©©8
L
g+.¨§©¨™
š
SV gœ+..¦¨›™™
∆)8
)8 › N 2)8 ;8 9 ;8 N cos ()8 N2)8 9 1
Ÿ
Z
[
¡
,
N
Qš gœ..¦›¦©©8
)8 ™ 9 } Sš N „}ƒ(;8 } Sš N {€„ (;8 Qšgœ..¦›¦©©8 ∆;8
•
8.599192
70.77408
Sš g+.¨§©¨™
N2.655558
4.879324 ∆)8
Ÿ
˜ ¡ , Nž
1.765704 ∆;8
N25.81988
∆)8 , 0.3673969 = )› 9 1.939662
∆;8 = N0.1032435 = ;› N 0.8774685
)› , N1.572265
;› , 0.774225
Sš g+.¨§©¨™
ž
Para n=3 y )*› =HQS« gœ..™88©™
L
g+.§88™
3)› 8 N 2;› 9 „}ƒ3)› 5)› §
«
∆)›
)› › N 2)› ;› 9 ;› N cos 3)› )
N2)› 9 1
Z
[
Ÿ
¡
=
N
Q« gœ..™88©™
)› ™ 9 } S« N „}ƒ3;› )
} S« N {€„ 3;› Q«gœ..™88©™ ∆;›
4.867603
•
30.55435
S« g+.§88™
N0.6763988
4.14453 ∆)›
Ÿ
˜ ¡ = Nž
1.453947 ∆;›
N8.138157
S« g+.§88™
∆)› = 0.2738912 = )§ 9 1.572265
∆;› = N0.1584727 = ;§ N 0.774225
)§ = N1.298374
;§ = 0.6157523
L
Para n=4 y )*§ =HQS´ gœ..8¦¨›§
g+.©.™™8›
´
ž
∆)§
)§ › N 2)§ ;§ 9 ;§ N cos 3)§ )
3)§ 8 N 2;§ 9 „}ƒ()§ )
N2)§ 9 1
[
Ÿ
Z
¡
=
N
Q´ gœ..8¦¨›§
)§ ™ 9 } S´ N „}ƒ3;§ )
5)§ §
} S´ N {€„ (;§ ) Q´ gœ..8¦¨›§ ∆;§
•
2.862699
14.20919
S´ g+.©.™™8›
N0.2431259
3.596748 ∆)§
Ÿ
˜ ¡ = Nž
1.034709 ∆;§
N2.416292
S´ g+.©.™™8›
∆)§ = 0.1752884 = )™ 9 1.298374
∆;§ = N0.0719183 = ;™ N 0.6157523
)™ = N1.123086
;™ = 0.543834
Para n=5 y )*™ =HQSÁ gœ...8›+¨©
L
g+.™§›¨›§
ž
3)™ 8 N 2;™ 9 „}ƒ()™ )
5)™ §
Á
∆)™
)™ › N 2)™ ;™ 9 ;™ N cos 3)™ )
N2)™ 9 1
Ÿ
Z
[
¡
=
N
QÁ gœ...8›+¨©
)™ ™ 9 } SÁ N „}ƒ3;™ )
} SÁ N {€„ (;™ ) QÁgœ...8›+¨© ∆;™
1.794858
•
7.954668
SÁ g+.™§›¨›§
N0.0840972
3.246172 ∆)™
Ÿ
˜ ¡ = Nž
0.8668675 ∆;™
N0.5815773
SÁ g+.™§›¨›§
∆)™ = 0.074795 = )© 9 1.123086
∆;™ = N0.0154487 = ;© N 0.543834
El error cometido en norma-1 es;
)© = N1.048291
)*© = ¡
;© = 0.5283853
N1.035664
0.012627
N1.048291
JJJJ*. N )*© 4. = · Œµ 3)*© ) = 4 v
¡N ¡· = 0.0132901
¡· = · 0.5277222
N0.0006631 .
0.5283853 .
Œµ ()*© ) = 0.0132901
5) Aplicar algoritmo de N-R generalizado al sistema de ecuaciones no lineales, tomando como
/, efectuando 6 iteraciones. Determine el error cometido en normavector de inicio )*+ =-œ.
.
É. = -œ+.¦§..™8/.
infinito (4 45 ) y norma-1(4 4. ), si una de las soluciones es JJJ*
} œS + ) › + 7); = ; › 9 10
?
Ê
) 8 );
9
= cos ())
9
2
Sol:
œ..+§88+
El problema nos entrega los siguientes datos;
‰~kXŠ{€ ‹} ‚k }{|k{Š€ƒ X ()K , ;K ): } œSR 9 )K › 9 7)K ;K = ;K › 9 10 ; Y()K , ;K ):
cos ()K ). Œƒ ‚k ŠkY}ƒ „} |}„Ž~kƒ 2 |ƒŽ€„ ‹} ŠƒŽ}~„}{{Š€ƒ.
}
X ()K , ;K )
[=Ë
IJ* ()K , ;K ) = Z
Y()K , ;K )
aX()K , ;K )
`
a)
_
G HIJ* ()K , ;K )L = _
aY()K , ;K )
_
^
a)
œSR
9 )K › 9 7)K ;K N ;K › N 10
Ì
)K 8 )K ;K
9
N
cos
()
)
K
9
2
aX ()K , ;K )
d
3)K 8 9 7;K
a;
c
= Í2)K ;K
aY()K , ;K )c
9 9 „}ƒ()K )
c
9
2
a;
b
Entonces, se puede armar el algoritmo;
3)K 8 9 7;K
Í2)K ;K
9 9 „}ƒ()K )
9
2
•
¦
9
QR SR
8
=
N} œSR 9 7)K N 3;K 8
Î
)K
2
N} œSR 9 7)K N 3;K 8 ∆)
} œSR 9 )K › 9 7)K ;K N ;K › N 10
K
Î ¡ = NË
Ì
)K
)K 8 )K ;K
∆;K
9
N cos ()K )
9
2
2
/
Para n=0 y )*+ =HQS¢ L = -œ.
.
¢
QR š
10
N0.5636932
N18.632121
N10.36788 ∆)+
Ÿ
˜ ¡ = Nž
N0.5
∆;+
N0.9291912
∆)+ = N0.0292949 = ). 9 1
∆;+ = N1.825356 = ;. N 1
). = N1.029295
;. = N0.825356
L
Para n=1 y )*. =HQSV gœ..+8¦8¦™
gœ+.¨8™›™
V
•
N2.599147
N1.498346
∆).
N2.298805
N11.5314
Ÿ
˜ ¡ = Nž
N0.5146475 ∆;.
0.0270608
∆). = 0.0937947 = )8 9 1.029295
∆;. = N0.2204928 = ;8 9 0.825356
)8 = N0.9355003
;8 = N1.045849
Para n=2 y )*8 =HQSš gœ+.¦›™™++›
L
gœ..+§™¨§¦
š
•
N4.695461
N1.53571
0.0197945
N12.67572 ∆)8
Ÿ
˜ ¡ = Nž
N0.4677502 ∆;8
N0.0069797
∆)8 = N0.0056591 = )› 9 0.9355003
∆;8 = 0.0036579 = ;› 9 1.045849
)*› = El error cometido en norma-infinita es;
É. N )*› ¶5 = · Œµ 3 )*› = ¶ JJJ*
Œµ 3)*› ) = 0.000016
)› = N0.9411594
¡
;› = N1.042191
N0.9411594
N0.9411527
0.0000067
¡· = · ¡N ¡· = 0.000016
N1.042191 5
N1.042207
N0.000016 5
El error cometido en norma-1 es;
N0.9411527
N0.9411594
0.0000067
¡N ¡· = · ¡· = 0.0000227
Œµ 3)*› = ¶ JJJ*
É. N )*› ¶. = · N1.042207
N1.042191 .
N0.000016 .
Œµ 3)*› ) = 0.0000227