De la proporcionalidad directa e inversa hacia la proporcionalidad

Proyecto FONDEF D05l-10211
De la proporcionalidad directa e inversa hacia la
proporcionalidad compuesta
Ruth lleva 10 años desarrollando clases en su liceo y siempre le ha preocupado que
a sus alumnos(as) les vaya bien en las Pruebas de Selección Universitaria y en el
SIMCE. Para esto procura estar informada con respecto a capacitaciones y
congresos que puedan ayudarla a mejorar las competencias, habilidades y
conocimientos de sus alumnos(as). Para planificar sus clases, considera
programas
los
del Ministerio de Educación y los contenidos que exigen las pruebas
PSU y SIMCE. Debido a esto, ella constantemente se disgusta, ya que algunos de
los contenidos que piden en las pruebas no se encuentran en forma explícita en los
planes y programas.
Carlos es un profesor que lleva trabajando tres años en el liceo y está muy bien
considerado por la planta del colegio. Al igual que Ruth es muy preocupado por sus
alumnos(as), le interesa que les vaya muy bien en la pruebas, pero siente que es
más importante que sus alumnos(as) aprendan bien los conceptos y no simples
recetas que ocuparán una vez y después olvidarán.
Por esto, Carlos y Ruth han tenido algunas discusiones en las reuniones de
departamento, ambos no concuerdan en sus planificaciones de clase y esto ha
traído consecuencias en las evaluaciones de sus alumnos(as).
Clase de Carlos en Primero Medio
Carlos está enseñando proporcionalidad en primero medio. Ya trató el tema de
gráficos, quiere que sus estudiantes lo utilicen en la resolución de problemas que
involucran proporcionalidad directa y que a partir de ellos, escriban tablas de
valores.
Carlos: Chicos tienen que resolver el problema 1. Para dar respuesta a la
pregunta, deberán construir el gráfico y observar la información.
Problema 1: Dos turistas chilenos querían conocer las pirámides del Sol y la Luna
ubicadas en la Ciudad de México. El valor de la entrada es de 100 pesos mexicanos.
Considerando la siguiente tabla de cambio:
US $ 1 = 8,5 pesos mexicanos y
US $ 1 = 450 pesos chilenos.
¿Cuál es el valor de un peso mexicano en pesos chilenos?
¿Cuál es el valor de la entrada en pesos chilenos?
Siguiendo las indicaciones del profesor, los alumnos(as) realizaron dos tipos de
gráficas:
Carlos observa los gráficos que sus alumnos han hecho y les dice:
- ¿Es posible dar respuesta a la pregunta del problema? A lo que los alumnos
respondieron que era difícil. Como Carlos había previsto esta dificultad les presenta
en una
cartulina un nuevo gráfico donde las variables son los pesos de ambos
países.
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A partir de esta información obtiene algunos valores, construye una tabla donde
muestra la relación entre los pesos mexicanos y chilenos
Peso
52,9
105,8
158,7
211,6
264,5
317,4
1
2
3
4
5
6
Chile
Peso
México
Continúa trabajando con sus alumnos y determina el cuociente entre los valores
de las dos filas, destacando que siempre resultaba el mismo cuociente.
En forma similar, usando gráficos y tablas, abordó otros problemas, llegando a
deducir que cuando las variables están relacionadas directamente los cuocientes
entre pares de variables tienen siempre el mismo valor —el cual recibía el nombre
de constante de proporcionalidad— y que el gráfico de la relación entre las
variables siempre es una línea recta que pasa por el origen.
Posteriormente, aplicando el mismo método, Carlos presentó la proporcionalidad
inversa. Para ello planteó el siguiente problema:
Problema 2:
Francisca le cuenta a Rodrigo que se demoró desde Santiago a su casa de veraneo,
2 horas a una velocidad de 100km/hr. Rodrigo responde que habitualmente él
realiza ese
viaje en su auto a una velocidad promedio de 120km/hr ¿Cuánto
tiempo demora Rodrigo desde Santiago a la casa de veraneo de Francisca?
Los alumnos(as) graficaron, construyeron la tabla de valores y el profesor concluyó
que cuando las variables estan en proporcionalidad inversa, el producto entre pares
de ellas es constante y que el gráfico entre ellas se acerca sucesivamente a los
ejes, el cual recibe el nombre de hipérbola.
Clase de Ruth
Como
Ruth había mostrado interés en la preparación para la PSU, el director le
asignó los Pre-universitarios del liceo y acordaron que desde el segundo semestre,
los terceros medios del liceo tenían que participar en forma obligatoria de estos
cursos. En estas clases Ruth se encontraba con alumnos(as) del profesor Carlos.
Ruth: Hoy vamos a ver proporcionalidad directa e inversa y resolveremos
problemas donde ambas proporcionalidades estén presentes.
Bueno, empecemos por recordar el concepto de proporcionalidad directa, haber,
¿Quién recuerda?
Camila: Recuerdo que esa materia la vimos con Ud. Profe, en primero, era más o
menos fome… ¡Ah! pero me acuerdo que cuando era proporcionalidad directa si una
variable aumentaba la otra también aumentaba… y si la proporcionalidad era
inversa, teníamos que si una variable aumentaba la otra disminuía.
Bernardo: ¡No te acuerdas de nada Camila! Cuando yo la vi en primero con el
profe Carlos recuerdo que cuando eran directamente proporcionales el cuociente
entre las variables siempre era el mismo y cuando eran inversas el producto entre
las variables siempre daba el mismo resultado.
Ruth: Bernardo y Camila, al parecer se recuerdan muy bien. Entonces trabajemos
con algunos problemas que he traído para la clase de hoy.
Problema 1: Si diez libros cuestan $150.000 ¿Cuánto costarán 12 libros?
Problema 2: a es inversamente proporcional al cuadrado de b . Si a = 5 cuando
b = 2 , ¿Cuánto vale a cuando b = 1 ?
Problema 3: Los lados de un rectángulo miden 5 cm. y 12 cm. Si la diagonal del
rectángulo se prolonga al doble, ¿cuál es el perímetro del nuevo rectángulo?
Problema 4: Si 5 hombres, trabajando 6 horas diarias, estucan 60 metros
cuadrados de estuco ¿Cuántos metros cuadrados de estuco realizarán 3 hombres en
8 horas diarias?
Camila: Están súper fácil los ejercicios Profe, ¿estos ejercicios aparecen en la PSU?
Ruth: ¿Y? ¿Cuál es el resultado?
Bernardo: En el primero, el resultado es $180.000 y en el tercero el resultado es
68 cm., son ternas pitagóricas, es súper fácil. El segundo es un poco más difícil,
pero como dice que son inversamente proporcionales tenemos que el producto de
a y b 2 debe dar una constante, así tenemos que 5 ⋅ 4 = k , de donde tenemos que
k = 20 , entonces como b = 1 tenemos que a ⋅ 1 = 20 .
Camila: ¡Ya po Bernardo deja uno para los demás!
Bernardo: ¡Hazlo tú entonces!
Camila: ¡Lo hago y qué! Mire Profe, tenemos tres variables, lo único que tenemos
que hacer es ver como están relacionadas las variables, si son directa o
inversamente proporcionales, así si analizamos los hombres y los metros de estuco
tenemos que a más hombres se estucarán más metros entonces estas variables son
directamente proporcionales. Ahora a mayor cantidad de horas trabajadas, mayor
será la cantidad de estuco, entonces también son directamente proporcionales,
entonces podemos hacer la siguiente proporción.
5 60 6
=
= de donde obtenemos 30 x = 1440 , así tenemos que vale x = 48
3 x 8
Bernardo: No Profe,
no está muy bien, ¿Camila de donde obtuviste el 30 y el
1.440?
Camila: Acuérdate de la receta; se multiplica cruzado.
Bernardo: Profe, sabe que el razonamiento de Camila no me convence, ya que
solamente con decir que si una variable aumenta y la otra también, no me asegura
que las variables
sean directamente proporcionales, por ejemplo, si aumento el
lado del cuadrado, el área del cuadrado también aumenta, pero estas variables no
son directamente proporcionales ya que el cuociente no siempre es el mismo. Y
además, no entiendo ¿Por qué hay que multiplicar cruzado?
Ruth queda pensativa y dice a sus alumnos(as): es que aquí tenemos que hacer un
acto de fe.
Bernardo, mirando a la profe con cara de asombro, se ríe… (En ese momento tocan
el timbre y la clase termina).
Al otro día
Ruth llega temprano y busca
a su colega y le
dice: ¡Carlos! ayer propuse este
problema pero tengo dudas de cómo explicarlo, Carlos respondió que en realidad
tenía dificultades para explicar los problemas con proporcionalidad compuesta a los
alumnos(as), así que no proponía este tipo de problemas. Al escuchar esto, Ruth
quedó preocupada por que no sabía qué responderle a Bernardo.