t - FCEIA

Apéndice
Valores Característicos de la Respuesta Sub-amortiguada
• Sobrevalor (SV)
Sea la respuesta al escalón de un sistema de 2º orden sub-amortiguado:
⎛
⎞
ξ
y (t ) = 1 − e −ξωnt ⎜ cos(ωa t ) +
sin(ωa t ) ⎟ ,
⎜
⎟
1− ξ 2
⎝
⎠
para encontrar el valor máximo de la curva debemos derivar y(t) e igualar a cero.
y (t ) = 0
⎛
⎞
⎛ ξ
⎞
ξ
y (t ) = ξωn e −ξωnt ⎜ cos(ωa t ) +
sin(ωa t ) ⎟ − e −ξωntωa ⎜
cos(ωa t ) − sin(ωa t ) ⎟ = 0
⎜
⎟
⎜ 1− ξ 2
⎟
1− ξ 2
⎝
⎠
⎝
⎠
⎧⎛ ξ 2ω
⎫⎪
⎞
⎛
ξωa ⎞
−ξωn t ⎪
n
⎟ ⋅ cos(ωa t ) ⎬ = 0
y (t ) = eN ⎨⎜
+ ωa ⎟ ⋅ sin(ωa t ) + ⎜ ξωn −
2
⎟
⎜
1 − ξ 2 ⎟⎠
⎪⎜⎝ 1 − ξ
≠0 ⎩
⎠
⎝
⎭⎪
Entonces:
⎛ ξ 2ω
⎞
⎛
ξωa ⎞
n
⎜
+ ωa ⎟ ⋅ sin(ωa t ) + ⎜ ξωn −
⎟ ⋅ cos(ωa t ) = 0
2 ⎟
⎜ 1− ξ 2
⎟
⎜
1− ξ ⎠
⎝
⎠
⎝
ξωn 1−ξ 2 ⎞
⎛
P
⎛ 2
⎞
⎜
⎟
ξ
ω
ξω
n
a
⎜
⎟
⎟ ⋅ cos(ωa t )
+ ωa ⋅ sin(ωa t ) = ⎜ −ξωn +
⎜
⎟
2
2
⎜
1 − ξ ⎟⎟
⎝ 1− ξ
⎠
⎜
⎝
⎠
ξωn − ξωn
=0
tan(ωa t ) =
ξ 2ωn
+ ωa
2
1− ξ
⎛
⎞
tan(ωa t ) = tan ⎜ ωn 1 − ξ 2 t ⎟ = 0
⎝
⎠
⇔
ω 1 − ξ 2 t = kπ
n
Para k=1 (primer máximo), tenemos:
ωn 1 − ξ 2 t = π
π
π
t=
=
ωn 1 − ξ 2 ωa
Así,
tP =
π
ωa
Para calcular el sobrevalor, evaluamos y(t) para t=tP:
y ( π ωa ) = 1 − e
−ξωn
y ( π ωa ) = 1 + e
π
ωa
⎛
⎞
⎜
⎛
⎛
π ⎞
ξ
π ⎞⎟
sin ⎜ ω/ a
⎜ cos ⎜ ω/ a
⎟+
⎟⎟
2
ω
ω
/
/
1 − ξ ⎜ a ⎠
a ⎠⎟
⎝
⎝
⎜
⎟
−1
0
⎝
⎠
−πξ
1−ξ 2
Así:
SV = y ( π ωa ) − y (∞) = 1/ + e
−πξ
SV = e
1−ξ 2
−πξ
1−ξ 2
− 1/
• Settling Time (tiempo de asentamiento)
El settling time (tST) se define como el tiempo necesario para que y(t) alcance su valor
final con un porcentaje de error determinado. Así, por ejemplo, se habla de settling time de
5% o de 2%. Demostraremos aquí una ecuación que aproxima el valor de tST.
Reescribimos la respuesta al escalón de un sist. sub-amortiguado:
y (t ) = 1 −
1
e−ξωnt sin (ωa t + β )
1− ξ
−1≤ sin() ≤1
2
Ya que la función sen(x) varía entre -1 y 1, podemos decir que y(t) se encuentra
confinada por las siguientes envolventes:
y1 (t ) = 1 −
y2 (t ) = 1 +
1
1− ξ
2
1
1− ξ
2
e−ξωnt
e−ξωnt
y(t)
y1 (t ) = 1 +
y2 (t ) = 1 −
1
1−ξ 2
1
1− ξ 2
e−ξωnt
e −ξωnt
Tiempo
Planteamos ahora la definición de settling time al 5%:
5%
P
y (∞) − y1 (tST ) = y (∞) − y2 (tST ) ≤ 0, 05
⎛
⎞
1
1/ − ⎜ 1/ ±
e −ξωntST ⎟ ≤ 0, 05
⎜
⎟
1− ξ 2
⎝
⎠
1
e −ξωntST ≤ 0, 05
2
1− ξ
e −ξωntST ≤ 0, 05 ⋅ 1 − ξ 2
Aplicando logaritmo m. a m. tenemos:
(
)
)
(
≤ ln ( 0, 05 ⋅ 1 − ξ )
−1
1
⎡
ln ( 0, 05 ⋅ 1 − ξ ) =
ln ⎢( 0, 05 ⋅
≥
ξω
ξω ⎣
ln e−ξωntST ≤ ln 0, 05 ⋅ 1 − ξ 2
−ξωntST
tST
2
2
n
tST ≥
n
1 ⎛
⎜ ln(20) − ln
ξωn ⎜⎝ N
2,996 3
(
1− ξ 2
)
−1
⎤
⎥⎦
⎞
1− ξ 2 ⎟
⎟
⎠
)
⎛
⎞
⎝
⎠
Si ξ <1 ⇒ ξ 2 1 ⇒ ln ⎜ 1 − ξ 2 ⎟ ≈ ln(1) = 0.Así:
tST ≥
3
ξωn
Así, el valor de settling time al 5% queda:
tST5% ≅
3
ξωn
Con el mismo procedimiento se calcula tST 2% , dando como resultado:
tST2% ≅
4
ξωn